(共19张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第83课时 利用锐角三角函数求边长
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．如图1-28-83-1，在Rt△ABC中，∠C=90°.
∵sinA=
∴a=c·sinA，c=
∵cosA=
∴b=c·cosA，c=
∵tanA=
∴a=b·tanA，b=
1. 如图1-28-83-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，sinA=
求BC的长度.
解：∵sinA= AB=26，
∴BC=__________·sinA=__________×
∴BC=__________.
BC
AB
AB
26
10
典型例题
知识点1：直接利用锐角三角函数的概念求边长
【例1】如图1-28-83-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
AB=6，求BC的长.
解：∵sinA= AB=6,
∴BC= AB=4.
变式训练
2. 如图1-28-83-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosA=
求AB的长.
解：∵cosA= AC=6，
∴AB=
典型例题
知识点2：锐角三角函数概念结合方程思想求边长
【例2】如图1-28-83-5， 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=24 cm，cosA= 求△ABC的周长．
解：∵cosA=
∴设AC=5x cm，AB=13x cm.
∴BC= =12x cm.
由12x=24，得x=2.
∴AB=26 cm，AC=10 cm.
∴△ABC的周长为10+24+26=60（cm）．
变式训练
3. 如图1-28-83-6，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE=8，sinA= 求此菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵DE⊥AB，sinA=
∴设DE=12k，AD=13k，
则AE=
∴BE=13k-5k=8k=8.
∴k=1，即AD=13.
∴此菱形的周长为4AD=52．
分层训练
A组
4. 如图1-28-83-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=
求BC的长．
解：∵sinA=
AB=15，
∴BC=AB·sinA=15× =9.
5. 如图1-28-83-8，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tanA=
求AB的长．
解：∵在Rt△ABC中，
∠C=90°，BC=6，
tanA=
∴AC=2BC=12.
∴AB=
B组
6. 如图1-28-83-9，在△ABC中，AB=AC，BC=12，cosB= 求AB的长.
解：如答图28-83-1，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC，BC=12，
∴BD= BC=6.
在Rt△ABD中，cosB=
∴AB=
7. 如图1-28-83-10，CD是△ABC的高，AB=10，CD=6，tan∠CAD= 求BD的长.
解：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°.
∵tan∠CAD= CD=6，
∴AD=
又∵AB=10，∴BD=AB-AD=10-8=2.
C组
8. 如图1-28-83-11，已知PA与 ⊙O相切于点A，若PA=8，sinP=
求⊙O的面积．
解：如答图28-83-2，连接OA.
∵PA与 ⊙O相切于点A，∴OA⊥PA.
设OA=OB=r，由sinP= 得OP=3r.
由勾股定理，得OA2+PA2=OP2,
即r2+82=（3r）2.
解得r2=8.
∴⊙O的面积为πr2=8π．
9. 如图1-28-83-12，在△ABC中，sinB= tanC= AB=3，求AC的长.
解：如答图28-83-3，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，sinB= AB=3，
∴AD=AB·sinB=1.
在Rt△ACD中，tanC= ∴CD=
由勾股定理，得
AC=(共25张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第82课时 锐角三角函数的定义
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
锐角三角函数 的定义及相关 计算 （1）在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；
（2）在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
（3）在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA
锐角三角函数 的定义及相关 计算 特殊角的三角函数值：
sin30°= sin45°= sin60°=
cos30°= cos45°= cos60°=
tan30°= tan45°=1，tan60°=
解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，则:
①三边之间的关系:a2+b2=c2（勾股定理）；
②锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°；
③边角之间的关系:sinA= sinB= cosA=
cosB= tanA= tanB=
解直角三角形 的应用 解直角三角形的应用的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据题目已知条件，选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案
知识点导学
A．锐角三角函数的定义（如图1-28-82-1）：
∠A的正弦：sinA=
∠A的余弦：cosA=
∠A的正切：tanA=
1. 如图1-28-82-2，根据锐角三角函数的定义填空：
（1）sinA=__________；
（2）cosA=__________；
（3）tanA=__________；
（4）sinB=__________；
（5）cosB=__________；
（6）tanB=__________.
典型例题
知识点1：根据定义求锐角三角函数值
【例1】如图1-28-82-3，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）sinA=__________，cosA=__________，
tanA=__________；
（2）sinB=__________，cosB=__________，tanB=__________.
2
变式训练
2. 如图1-28-82-4，在Rt△ABC中，∠A=90°.
（1）sinB=__________,cosB=__________，
tanB=__________；
（2）sinC=__________，cosC=__________，
tanC=__________.
典型例题
知识点2：由两边的数量关系求锐角三角函数值
【例2】如图1-28-82-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，求sinB和tanA的值.
解：设BC=x，则AB=3x.
由勾股定理，得
AC=
∴sinB=
tanA=
变式训练
3. 如图1-28-82-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，求sinA和sinB的值.
解：设BC=x，则AC=2x.
由勾股定理，得AB=
∴sinA=
分层训练
A组
4. 如图1-28-82-7，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AC=2BC，则∠A的正切值是__________.
5. 如图1-28-82-8，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则sinA=__________.
6. 如图1-28-82-9，已知PA与 ⊙O相切于点A，OP=10，PA=8，则∠P的余弦值为_________.
7. 如图1-28-82-10，在Rt△ABC中，∠C=90°.则：
sinA=_________，cosA=_________，tanA=_________.
B组
2
8. 如图1-28-82-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1.
（1）AB=__________，AC=__________；
（2）sin30°=__________；
（3）cos30°=__________；
（4）tan30°=__________.
9. 如图1-28-82-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1.
（1）AC=__________，AB=__________；
（2）sin45°=__________；
（3）cos45°=__________；
（4）tan45°=__________.
1
1
10. 如图1-28-82-13，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为__________.
11. 如图1-28-82-14，在平面直角坐标系中，直线OA过点
（2，1），则sinα的值是__________.
C组
12. 如图1-28-82-15，点A,B,O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，P是优弧AMB上的一点，则tan∠APB的值是（ ）
A
13. 如图1-28-82-16，在锐角△ABC中，AB=10 cm，BC=9 cm，△ABC的面积为27 cm2．求tanB的值．
解：如答图28-82-1,过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC=27 cm2，
∴ ×9×AH=27.
∴AH=6 cm.
在Rt△ABH中，
∵AB=10 cm，
∴BH= =8（cm）.
∴tanB=(共22张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第84课时 特殊角的三角函数
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
1. 填写下表中的三角函数值：
锐角 三角函数 锐角α
30° 45° 60°
sinα ___________________ ___________________ ___________________
cosα ___________________ ___________________ ___________________
tanα ___________________ ___________________ ___________________
1
典型例题
知识点1：特殊角的三角函数值的计算
【例1】求下列各式的值：
（1）2sin30°=__________；
（2） sin45°=__________；
（3） tan30°=__________；
（4）tan260°=__________；
（5）cos260°=______________；
（6） cos45°- tan30°=______________.
1
1
1
3
变式训练
2. 计算：
（1）2sin30°+4cos30°tan60°-cos245°；
解：原式= =1+6-
（2）tan230°-4cos45°sin60°.
解：原式=
典型例题
知识点2：根据特殊角的三角函数值求角度
【例2】 已知∠A是锐角.
（1）若sinA= 则∠A=__________；
（2）若cosA= 则∠A=__________；
（3）若tanA=1，则∠A=__________.
30°
30°
45°
变式训练
3. 已知∠A是锐角.
（1）若2sinA= 则∠A=__________；
（2）若cos2A= 则∠A=__________；
（3）若tan2A=3，则∠A=__________.
60°
45°
60°
典型例题
知识点3：利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【例3】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA= cosB=
则△ABC的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 锐角三角形或钝角三角形
C
变式训练
4. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且tanA=1，sinB=
你认为对△ABC最确切的判断是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
B
分层训练
A组
B
5. 计算sin60°tan30°的结果为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
6. 2cos60°=（ ）
A. 1 B. C. D.
A
7. 已知∠A为锐角，且sinA= 那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
C
8. 计算：sin30°+cos45°-tan30°sin60°．
B组
9. 如图1-28-84-1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（ ）
C
10. 若（sinA- ）2+|tanB-1|=0，则△ABC是___________三角形.
等腰直角
11. 如图1-28-84-2，在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=3
∠B=60°，求△ABC的面积.
解：如答图28-84-1,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，sinB= ∠B=60°，AB=4,
∴AD=AB·sinB=4×
∴△ABC的面积为 BC·AD= ×3 =9．
C组
12. 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
（1）sin230°+cos230°=__________；
sin245°+cos245°=__________；
sin260°+cos260°=__________；
……
（2）观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A
=__________.
1
1
1
1
（3）已知∠A为锐角（cosA＞0），且sinA= 求cosA的值．
解：∵sinA= sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，
∴cosA=
13. 如图1-28-84-3，定义：在Rt△ABC中，∠C=90°,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cotα，即cotα=
根据上述角的余切定义，完成下列题目：
（1）cot30°=__________；
（2）若tanA= 其中∠A为锐角，
试求cotA的值.
解：（2）∵tanA=
∠A为锐角，
∴cotA=(共22张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第88课时 解直角三角形的应用（3）——坡度
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A． 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1∶m的形式．
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为i= =tanα．
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形．
1. 某河堤横断面如图1-28-88-1所示，河堤高BC=8 m，迎水坡坡角∠BAC=30°，则AB的长为__________m.
16
典型例题
知识点1：坡角、坡度
【例1】一斜坡的坡度是1∶ 则此斜坡的坡角是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
B
变式训练
2. 坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图1-28-88-2，斜坡AB的坡比为（ ）
A. ∶4 B. 2 ∶1
C. 1∶3 D. 3∶1
A
典型例题
知识点2：根据坡度求坡长或高度
【例2】如图1-28-88-3，河堤横断面的迎水坡AB的坡比是1∶3，坡高BC=20，则坡面AB的长度是（ ）
A. 60
B. 100
C. 50
D. 20
D
变式训练
3. 河堤横断面如图1-28-88-4所示，斜坡AB的坡度是1∶
AB=6 m，则BC的长是（ ）
A. m
B. 3 m
C. 3 m
D. 6 m
B
典型例题
知识点3：坡度问题
【例3】如图1-28-88-5，一座水坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AB的坡度i （即tanα） 为1∶1，迎水坡CD的坡角为30°，坝顶宽AD长为6 m，坝高7 m.
（1）求背水坡AB的长；
（2）求坝底宽BC的长.
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，
结果精确到0.1 m.）
解：（1）过点A，D分别作BC的垂线交BC于点E，F（图略）.
由题意，得AE=DF=7 m，EF=AD=6 m.
又∵tanα= =1,∴BE=AE=7 m.
∴AB= （m）≈9.9(m).
答：背水坡AB的长约为9.9 m.
（2）在Rt△DFC中，由DF=7，∠C=30°,
可得CF= DF=7 (m).
BC=BE+EF+CF≈7+6+12.1=25.1(m).
答：坝底宽BC的长约为25.1 m.
变式训练
4. 如图1-28-88-6，公园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为30 m.为方便游客行走，决定开挖小山坡，使开挖后山坡的坡比是1∶3（即为CD与BC的长度之比）.A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，sin∠ABC=
cos∠ABC=
∴AC=AB·sin∠ABC=30× =15(m)，
BC=AB·cos∠ABC=30× (m).
∵斜坡BD的坡比是1∶3，∴CD= BC=5 (m).
∴AD=AC-CD=15-5 (m).
答：开挖后小山坡下降的高度AD是（15-5 ）m.
分层训练
A组
5. 如图1-28-88-7，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
C
6. 如图1-28-88-8，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的坡角是∠BAC.若tan∠BAC= 则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A. 75 m B. 50 m
C. 30 m D. 12 m
A
B组
7. 如图1-28-88-9，扶梯AB的坡比为1∶2，滑梯CD的坡比为1∶
若AE=40 m，BC=30 m，某人从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，共经过多少路径（结果精确到0.1 m)？(参考数据：
≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
解：∵扶梯AB的坡比为1∶2，
∴BE∶AE=1∶2.
又∵AE=40 m，
∴BE=20 m.
∴AB= (m).
∵CF=BE=20 m，CF∶DF=1∶
∴DF= CF=20 (m).
∴CD= =40(m).
∴经过的路径为AB+BC+CD=20 +30+40=70+20 ≈114.8(m)．
答：共经过的路径长约为114.8 m．
8. 如图1-28-88-10，有一段斜坡BC长为10 m，坡角∠CBD=12°.为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角减小为5°．
（1）求坡高CD；
（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1 m）．
（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)
解：（1）在Rt△CBD中，sin∠CBD=
∴CD=BC·sin∠CBD≈10×0.21=2.1（m）.
答：坡高CD约为2.1 m.
（2）在Rt△CBD中，cos∠CBD=
∴BD=BC·cos∠CBD≈10×0.98=9.8(m).
在Rt△CAD中，tan∠CAD=
∴AD= ≈23.33(m).
∴AB=AD－BD≈23.33－9.8≈13.5(m).
答：斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5 m．
C组
9. 如图1-28-88-11，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60 m的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i=1∶ 山坡坡底点B到坡顶A的距离AB=40 m，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH（结果保留根号）.
解：（1）如答图28-88-1，过点A作AD⊥HB交HB的延长线于点D.则∠ADB=90°.
由题意，得i=1∶ AB=40 m，
∴ 即BD＝ AD.
又∵AB2=AD2+BD2，∴402＝AD2+( AD)2.
解得AD=20（m）.
答：山坡的高度为20 m.
（2）如答图28-88-1，过点A作AE⊥GH于点E.
又∵AD⊥BH，GH⊥BH，
∴四边形ADHE是矩形.
由题意可知∠GAE=30°，BH=60 m，
∵BD＝ AD＝20 (m)，∴AE＝DH＝BH+BD=60+20 (m).
在Rt△AGE中，tan∠GAE＝
∴GE=(60+20 )× ＝20+20 (m).
又∵EH=AD=20 m，∴GH＝GE+EH＝40+20 （m）.
答：铁塔的高度GH为(40+20 )m．(共23张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第85课时 解直角三角形
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图1-28-85-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
①三边之间的关系:a2+b2=c2（勾股定理）；
②锐角之间的关系:∠A＋ ∠B＝ 90°；
③边角之间的关系:
sinA= sinB=
cosA= cosB=
tanA= tanB=
1. 如图1-28-85-1，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=6，c=10，则b=__________;
（2）若∠A=35°，则∠B=__________；
（3）若a=1，c=2，则sinA=__________，∠A=__________；
（4）若a=2，∠A=30°，则∠B=__________，c=__________，b=__________；
8
55°
30°
60°
4
（5）若∠A=36°，则∠B=__________，a=__________，b=__________.（用含c的代数式和∠A的三角函数表示）
54°
c·sinA
c·cosA
典型例题
知识点1：已知两条边，解直角三角形
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c， 且a=4 c=8 解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，b=
∵tanA= =1,∴∠A=45°.
∴∠A=∠B=45°.
变式训练
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=5 AC=5 解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，AB=
∵sinA= ∴∠A=30°.
∴∠B=90°-∠A=60°.
典型例题
知识点2：已知一条边和一个锐角，解直角三角形
【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=6，∠B=30°，解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°.
∵cosB=
∴c=
变式训练
解：在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=45°.
∵tanB=
∴b=a·tanB=6 =12.
典型例题
知识点3：非特殊角解直角三角形
【例3】如图1-28-85-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AC=20，解这个直角三角形（边长精确到0.1）.（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，
tan35°≈0.700）
解：∵∠C=90°，∠B=35°，
∴∠A=55°.
∵AC=20，sinB=
∴AB= ≈34.8.
∵tanB= ∴BC= ≈28.6．
变式训练
4. 如图1-28-85-3，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c=62.5，解这个直角三角形．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.2）
解：∵∠C=90°，a=17.5，c=62.5．
∴b= =60.
∵sinA= =0.28，
∴∠A≈16°.
∴∠B=90°-∠A=74°．
分层训练
A组
5. 已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50°
C．10tan50° D．
A
6. 如图1-28-85-4，△ABC在正方形网格中，则sinB的值为
__________．
B组
7. 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=2，AC=2 解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AC=2
∴BC＝ ＝2.
∵sinA＝
∴∠A=45°.
∴∠C=90°-∠A=45°.
8. 如图1-28-85-5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D.若BC=14，AD=12，tan∠BAD= 求sinC的值．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中，
tan∠BAD=
∴BD=AD·tan∠BAD=9.
∴CD=BC－BD=14-9=5.
在Rt△ADC中，AC= =13.
∴sinC=
C组
9. 如图1-28-85-6，在△ABC中，cosB= sinC= AC=10，求△ABC的面积．
解：如答图28-85-1，过点A作AD⊥BC于点D.
∵sinC= AC=10，
∴AD=AC·sinC=6.
∴CD= =8.
∵cosB= ∠ADB=90°，
∴∠B=45°.∴∠BAD=∠B=45°.
∴BD=AD=6.∴BC=BD+CD=6+8=14.
∴△ABC的面积是 BC·AD= ×14×6=42.
10. 如图1-28-85-7，在△ABC中，AB=7，BC=8，AC=5，求△ABC的面积和∠C的度数．
解：如答图28-85-2，过点A作AD⊥BC于点D.
设CD=x，则BD=8-x.
由勾股定理，得AB2-BD2=AC2-CD2，即72-(8-x)2=52-x2.
解得x=
∴CD=
∵cosC=
∴∠C=60°.
∵AD=
∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×8×(共22张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第87课时 解直角三角形的应用（2）——方向角
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．方向角一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
注意：描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．而几个方向的角平分线按日常习惯描述，即东北，东南，西北，西南．
北偏西65°
1. 如图1-28-87-1，点A位于点O的__________方向上．
典型例题
知识点1：“一个方向角”类型
【例1】如图1-28-87-2，东西两炮台A,B相距2 000 m，它们同时发现入侵舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°方向上，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离分别是多少米（结果精确到1 m）？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
解：依题意，得∠ACB=40°.
∵sin∠ACB= tan∠ACB= AB=2 000 m,
∴AC= ≈3 125(m),
BC= ≈2 381(m).
答：敌舰与炮台A的距离约是3 125 m，与炮台B的距离约是2 381 m.
变式训练
2. 小亮为测量如图1-28-87-3所示的水湖湖面的宽度BC，他在与水湖处在同一水平面上取一点A，测得湖的一端C在A处的正北方向，另一端B在A处的北偏东60°方向上，并测得A,C间的距离为10 m，求湖的宽度BC.
解：由题意，得∠A=60°,AC=10 m.
∵tan∠A=
∴BC=AC·tan∠A=10 (m).
答：湖的宽度BC为10 m.
典型例题
知识点2：“两个方向角”类型
【例2】如图1-28-87-4，某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨为了测量小河的宽度，他在河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向上，然后他沿正东方向
步行80 m到达点B处，此时测得
大树P在其北偏西60°方向上．请
根据以上所测得的数据，计算小河
的宽度．
解：如答图28-87-1，过点P作PD⊥AB于点D.
∵∠APD=30°，∴AD=PD·tan30°= PD.
∵∠BPD=60°，∴BD=PD·tan60°= PD.
∵AD+BD=80，∴ PD+ PD=80.
解得PD=20 m.
答：小河的宽度为20 m．
变式训练
3. 如图1-28-87-5，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P出发，沿着正南方向，以12 n mile/h的速度航行，一个半小时后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向上.小岛A离港口P有多远？
解：如答图28-87-2,过点A作AE⊥PB于点E.
由题意，得PB=12×1.5=18 (n mile).
设AE=x n mile.
在Rt△APE中，∠APE=45°，
∴PE=AE=x n mile.
在Rt△ABE中，tan∠ABE=
∴BE= x n mile.
由题意，得PE-BE=PB,即x－ x=18.
解得x=27+9
在Rt△APE中，sin∠APE=
∴AP= =27 +9 （n mile）.
答：小岛A离港口P有(27 ) n mile．
分层训练
A组
4. 如图1-28-87-6，海面上B,C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C岛之间的距离约为36 n mile，B岛在C岛的南偏东43°方向上，A,B两岛之间的距离约为
__________n mile（结果精确到0.1
n mile）.（参考数据：sin43°≈0.68，
cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
33.5
5. 如图1-28-87-7，上午8时，一艘船在灯塔A的正北方向的C处，以30 km/h的速度匀速向正东方向航行.如果上午10时它到达灯塔A的北偏东60°的B处，那么A，B之间的距离是__________km（结果保留根号）.
40
B组
6. 如图1-28-87-8，小明同学在东西走向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400 m的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到环海路的距离.
解：如答图28-87-3,过点P作PD⊥AB于点D.
由题意，得∠PAB=30°,∠PBA=90°+30°=120°,
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=30°.
∴∠APB=∠PAB.∴BP=AB=400 m.
在Rt△PBD中，∠PBD=60°,
∴PD=PB·sin∠PBD=200 (m).
答：灯塔P到环海路的距离为200 m.
7. 如图1-28-87-9，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45°方向，距离灯塔100 n mile的A处.它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船与灯塔的距离（结果取整数）.（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
解：如答图28-87-4,过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴CD=AC·sin∠A=50 (n mile).
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100 ≈141(n mile).
答：此时船与灯塔的距离约为141 n mile．
C组
8. 如图1-28-87-10，海面上产生了一股强台风，台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛C 200 n mile．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50 n
mile范围内均会受到台风影响（假设台
风在移动过程中风力保持不变）．问：
在台风移动过程中，沿海城市B是否会
受到台风影响？请说明理由．（参考数
据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60， ≈1.73）
解：（1）∵∠MAC=60°，∴∠BAC=30°.
又∵BP⊥AC，∴∠APB=90°.∴∠ABP=60°.
又∵∠CBN=29°，∠ABN=90°，∴∠ABC=119°.
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=59°.
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知∠PBC=59°，∴∠C=90°-∠PBC=31°.
∵tanC=
设BP为x n mile，则AP=3x n mile，CP= x n mile.
∴ x+ x＝200.解得x≈57.
∵57＞50，∴沿海城市B不会受到台风影响．(共26张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第89课时 锐角三角函数单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：锐角三角函数的定义及其相关计算
【例1】在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦
值是__________.
变式训练
1. 在△ABC中，∠C=90°. 若AB=3，BC=2，则cosB的值为__________.
典型例题
知识点2：特殊角的三角函数
【例2】sin60°+tan45°=____________________.
变式训练
2. 已知锐角α满足tanα= 则α=__________°.
30
典型例题
知识点3：解直角三角形
【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，b= 解这个直角三角形.
解：∵∠A=45°，∠C=90°,
∴∠B=90°-∠A=45°.
∵tanA= =1，∴a=b=
∴c= =2.
变式训练
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a∶c= ∶2，b=6，解这个直角三角形.
解：设a=3x,则c=2x.
∴b= =6.解得x=6.
∴a=6 ,c=12.
∵sinA= ∴∠A=60°.
∴∠B=90°-∠A=30°.
典型例题
知识点4：解直角三角形的应用
【例4】如图1-28-89-1，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6 min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（结果精确到1 m）．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.4， ≈1.7)
解：如答图28-89-1，过点P作PC⊥AB于点C.
由题意，得PA=70×6=420(m)，
∠APC=30°，∠B=37°，
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC= PA=210(m)，
PC=PA·cos∠APC=420× =210 (m).
在Rt△BPC中，tanB=
∴BC= ≈476(m).
∴PA+AC+BC=420+210+476=1 106（m）．
答：小明步行的总路程大约是1 106 m．
变式训练
4. 如图1-28-89-2,为了测量某山的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400 m．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．
解：设AB=x m.
由题意,得∠ACB=45°，∠ADB=30°.
∴AB=BC=x m.
∴BD=BC+CD=x+400(m).
在Rt△ADB中，tan30°=
∴
解得x=200+200
答：山高AB为（200+200 ） m.
分层训练
A组
3
8
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为__________.
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠B= 则BC=______.
7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍
C．缩小5倍 D．不能确定
A
8. 如图1-28-89-3，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300 m到达B处，则小刚上升了（ ）
A. 300sinα m
B. 300cosα m
C. 300tanα m
D. m
A
B组
9. 如图1-28-89-4，在△ABC中，∠A=30°，tanB= AC=2
求BC的长.
解：如答图28-89-2，过点C作CD⊥AB于点D.
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∵∠A=30°，AC=2
∴CD= AC=
又∵tanB=
∴BD=2.
∴BC=
10. 如图1-28-89-5，高为16.5 m的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5 m的测角仪DE，测得避雷针顶端点C的仰角为45°，避雷针底部点B的仰角为37°，求避雷针BC的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：由题意，得DE=AF=1.5 m.
∴BF=AB-AF=16.5-1.5=15(m).
在Rt△BFD中，∠BDF=37°，
tan∠BDF=
∴DF= =20(m).
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴CF=DF≈20(m).
∴BC=CF-BF≈20-15=5(m).
答：避雷针BC的长度约为5 m．
C组
11. 如图1-28-89-6，一船以20 n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东45°的方向上，继续航行1 h到达B处，再测得灯塔C在北偏东15°的方向上，此时船与灯塔相距多少海里？
解：如答图28-89-3，过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AB=20×1=20(n mile)，
∴BD=AB·sin45°=20× =10 （n mile）.
在Rt△BCD中，∠DBC=45°+15°=60°，
∴BC= （n mile）.
答：此时船与灯塔相距20 n mile．
12. 如图1-28-89-7，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：D是BF的中点；
（2）如果BC=5，sinC= 求AF的长．
（1）证明：如答图28-89-4，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥EC.
又∵AE⊥EC，∴OD∥AE.
∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.
∴∠EAD=∠OAD.
∴DF=DB，即D是BF的中点．
（2）解：如答图28-89-4，过点O作OH⊥AE于点H，则AH=HF．
设OA=OB=OD=r.
∵∠ODC=90°，
∴sinC=
解得r=
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC.∴∠AOH=∠C.
∴sin∠AOH=sinC=
∴
∴AF=2AH=9．(共23张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第86课时 解直角三角形的应用（1）——
仰角、俯角
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
解决仰角俯角类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.
另外，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．
1. 如图1-28-86-1，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是__________，从B看D的俯角是__________，从A看B的__________角是__________，从D看B的__________角是__________，从B看A的__________角是__________．
∠CAD
∠FBD
仰
∠BAC
仰
∠BDE
俯
∠FBA
典型例题
知识点1：“一个夹角”类型
【例1】如图1-28-86-2，小方在“五一”假期期间到郊外放风筝，风筝飞到点C处时的线长为20 m，此时小方正好站在点A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5 m，求此时风筝离地面的高度（结果保留根号）.
解：依题意，得∠BDE=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形.
∴DE=AB=1.5 m.
在Rt△BCD中，sin∠CBD＝
又∵BC=20 m，∠CBD=60°，
∴CD=BC·sin60°=20× =10 (m).
∴CE=CD+DE=10 +1.5(m).
答：此时风筝离地面的高度为（10 +1.5）m.
变式训练
2. 如图1-28-86-3，小明欲利用测角仪测量树的高度. 已知他离树的水平距离BC为10 m，测角仪的高度CD为1.5 m，测得树顶A的仰角为33°，求树的高度AB.（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
解：如答图28-86-2，过点D作DE⊥AB于点E.
依题意，得tan33°=
DE=BC=10 m,
∴AE=DE·tan33°≈10×0.65≈6.5(m).
∴AB=AE+BE=AE+CD≈6.5+1.5=8(m).
答：树的高度AB约为8 m.
典型例题
知识点2：“两个夹角”类型
【例2】如图1-28-86-4，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9 m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．
解：如答图28-86-1,过点C作CF⊥AB于点F，则CF=BD=9 m.
在Rt△ACF中，tan∠ACF= ∠ACF=30°,
∴AF=CF·tan30°=9× (m).
在Rt△BCF中，∵∠FCB=45°，
∴BF=CF=9 m.
∴AB=AF+BF=3 +9(m)．
答：旗杆的高度为(3 +9) m．
变式训练
3. 如图1-28-86-5，研究学习小组要测量学校旗杆AB的高度，首先在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，然后在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°.已知旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，若CD=8 m，求旗杆AB的高度.
解：如答图28-86-3，过点D作DE⊥AB于点E.
依题意，得tan30°=
则BE= DE.①
又∵tan60°= AC=DE,
AE=CD=8 m,
∴ ②
联立①②可求得BE=4(m).
∴AB=BE+AE=12(m).
答：旗杆AB的高度为12 m.
分层训练
A组
4. 如图1-28-86-6，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A,B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα m
B. 800tanα m
C. m
D. m
D
5. 如图1-28-86-7，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30 m，那么塔AC的高度为__________m（结果保留根号）．
10
B组
6. 如图1-28-86-8，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1 m的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40 m，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°，求该建筑物的高度AB（结果保留根号）.
解：设AM=x m.
在Rt△AFM中，∠AFM=45°，
∴FM=AM=x m.
在Rt△AEM中，tan∠AEM= ∠AEM=60°，
∴EM=
由题意，得FM－EM=EF，即x－ x=40.
解得x=60+20 .
∴AM=(60+20 ) m.
又∵MB=CF=1 m,
∴AB=AM+MB=61+20 (m).
答：该建筑物的高度AB为(61+20 ) m．
7. 如图1-28-86-9，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30 m．
（1）求∠BCD的度数;
（2）求教学楼的高度BD（结果精
确到0.1 m）.（参考数据：tan20°
≈0.36，tan18°≈0.32)
解：（1）如答图28-86-4,过点C作CE⊥BD于点E.
∵∠DCE=18°，∠BCE=20°.
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.
（2）由题意，得CE=AB=30 m.
在Rt△CBE中，BE=CE·tan20°≈10.80(m).
在Rt△CDE中，DE=CE·tan18°≈9.60(m).
∴BD=BE+DE≈10.80+9.60=20.4(m).
答：教学楼的高度BD约为20.4 m．
C组
8. 如图1-28-86-10，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为16 m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1 m)．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3， ≈1.7).
解：（1）如答图28-86-5,过点A作AM⊥CD于点M，则四边形ABCM为矩形.
∴CM=AB=16 m，AM=BC.
在Rt△ACM中，tanα=
则AM= (m).
答：AB与CD之间的距离为16 m.
（2）在Rt△AMD中，tanβ=
则DM=AM·tanβ≈16×1.7×1.3=35.36（m）.
∴DC=DM+CM=35.36+16≈51(m).
答：建筑物CD的高度约为51 m．
