(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第11课时 实际问题与一元二次方程（3）——
销售问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 销售问题中的常用等量关系：
①利润=实际售价-成本（进价）；
②总利润=单件利润×销售量.
1. 若一支笔的售价为0.9元，成本为0.7元，则
（1）卖一支笔的利润为__________元；
（2） 卖10支笔的总利润为__________元.
0.2
2
典型例题
知识点1：涨价或降价1元的情况
【例1】某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出300件．每上涨1元，每天要少卖10件．
（1）填表：
每件上涨的钱数/元 单件利润/元 销售量减 少/件 销售总量/件 总利润/元
1 20+1 10 300-10 (20+1)×(300-10)
续表
每件上涨的钱数/元 单件利润/元 销售量减 少/件 销售总量/件 总利润/元
2 _________ ________ ________ __________________________
x _________ ________ ________ __________________________
20+2
20
300-20
（20+2）×
（300-20）
20+x
10x
300-10x
（20+x）·
（300-10x）
（2）每件涨价多少元时，每天售出的商品的利润为2 250元？
解：由题意，得（60-40+x）（300-10x）=2 250.
整理，得x2-10x-375=0.
解得x1=25，x2=-15（不合题意，舍去）．
答：每件涨价25元时，每天售出的商品的利润为2 250元.
变式训练
2. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元.（用含x的代数式表示）
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 000元？
2x
（50-x）
解：由题意,得（50-x）（30+2x）=2 000.
整理,得x2-35x+250=0.
解得x1=10，x2=25.
∵该商场要尽快减少库存.
∴x=25.
答：每件商品降价25元时，商场的日盈利可达2 000元.
典型例题
知识点2：需转化为涨价或降价1元的情况
【例2】某商店准备销售一种多功能旅行背包，进价为每个30元，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．为了尽可能让顾客得到实惠，当销售单价增长多少元时，销售利润是3120元？
解：设销售单价增长x 元.
依题意，得（40-30+x） =3 120.
解得x1=2，x2=16．
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=2.
答：销售单价增长2元时，利润是3 120元.
变式训练
3. 某商场销售一款消毒湿巾，这款消毒湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售.市场调研反映：销售单价每降低0.5元，每天可多售出20包.为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把每包消毒湿巾降价多少元？
解：设每包消毒湿巾应降价x元.
依题意，得（10-x-6） =360．
解得x1=x2=1．
答：商场应把每包消毒湿巾降价1元．
分层训练
A组
4. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，且每降价1元，每星期可多卖出20件.
（1）若降价3元，则单件利润是__________元，每星期可多卖__________件，总利润是__________元；
（2）若降价a元，则单件利润是__________元，每星期可多卖__________件，总利润是________________________元.
17
60
6 120
（20-a）
20a
（20-a）（300+20a）
5. 某演出团体准备在文化艺术中心举办迎新演出，该剧院有1 000个座位，如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出门票就减少2张．
（1）若票价增加2元，则每张票价为_________元，售出门票为__________张，门票总收入为_________________元；
（2）若涨价后的票价定为x元，则每张票价增加
__________元，售出门票为____________________张，门票总收入为______________________________元.
102
996
101 592
（x-100）
1 000-2（x-100）
x［1 000-2（x-100）］
B组
6. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．当每盆多植x株时，每盆的盈利达到15元，则可列方程为___________________________________.
（3+x）（4-0.5x）=15
7. 某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3 000元？设销售单价定为x元/件，可列方程为___________________________________.
（x-30）［200+10（50-x）］=3 000
C组
8. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查,这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出［300+5(200－x)］个.
依题意，得(x－100)［300+5(200－x)］=32 000.
整理，得x2－360x+32 400=0.
解得x1=x2=180．100<180<200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
9. 2020年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求.某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，销售量就减少10个，问每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
解：设每个口罩涨价x元，则每天可售出 个.
依题意，得（1+x） =480.
整理，得x2-9x+14=0.
解得x1=2，x2=7．
又∵要让顾客得到实惠，∴x=2．
答：每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．(共26张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第13课时 一元二次方程单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：一元二次方程的解法
【例1】用适当的方法解下列方程：
（1）（x-5）2-9=0；
解：移项，得(x-5)2=9.
∴x-5=±3.
∴x1=8,x2=2.
（2）6x2-x-2=0.
解：a=6,b=-1,c=-2,
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×6×(-2)=49.
∴x=
∴x1=
变式训练
1. 用适当的方法解下列方程：
（1）x（x-4）=1；
解：去括号，得x2-4x=1.
配方，得x2-4x+22=1+22,即(x-2)2=5.
∴x-2=±
∴x1=2+ x2=2-
（2）（2x+1）2=2x+1.
解：移项，得（2x+1）2-(2x+1)=0.
因式分解，得(2x+1)·2x=0.
∴x1= x2=0.
典型例题
知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例2】已知x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若满足x1+x2+x1x2=0，求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根，
∴Δ=4-4（k+2）≥0．
解得k≤-1．
（2）由一元二次方程根与系数的关系,得
x1+x2=2，x1x2=k+2.
∵x1+x2+x1x2=0，
∴2+k+2=0.
解得k=-4．
变式训练
2. 已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
（1）证明：∵在方程x2-(t-1)x+t-2=0中，Δ=［-(t-1)］2-4×1×(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2≥0,
∴对于任意实数t，方程都有实数根.
（2）解：设方程的两根分别为m,n.
∵方程的两个根互为相反数，
∴m+n=t-1=0.
解得t=1．
∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
典型例题
知识点3：一元二次方程的实际应用
【例3】网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展．某快递公司2020年9月份与11月份投递的快递件数分别为10万件和14.4万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同，求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x.
依题意，得10（1+x）2=14.4.
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为20%．
变式训练
3. 校园空地上有一面墙，长度为20 m，用长为32 m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图1-21-13-1. 能围成面积是126 m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.
解：假设能，设AB的长度为x m，则BC的长度为（32-2x） m.
根据题意,得x（32-2x）=126.
解得x1=7，x2=9.
当x=7时，32-2x=18.
当x=9时，32-2x=14.
∴假设成立.
花圃长为18 m,宽为7 m或长为14 m,宽为9 m.
分层训练
A组
4. 方程x2-2x=0的解是（ ）
A. 0 B. 2
C. 0或-2 D. 0或2
D
5. 已知方程3x2-x-1=0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（ ）
A. 3 B. C. D. -1
6. 下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根
A
C
7. 关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________.
a＜1
B组
8. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2-2x-4=0；
解：移项，得x2-2x=4.
配方，得x2-2x+1=4+1，即(x-1)2=5.
∴x-1=±
∴x1=1+ x2=1-
（2）x2-1=2（x+1）.
解：整理，得(x+1)(x-1)-2(x+1)=0.
因式分解，得（x+1）(x-1-2)=0.
∴x1=-1，x2=3.
9. 某种品牌的手机经过7，8月份连续两次降价，每部的售价由2 500元降到了1 600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？
解：（1）设每次下降的百分率为x.
依题意，得2 500（1-x）2=1 600.
解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）1 600×（1-20%）=1 280（元）．
答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1 280元．
C组
10. 已知关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若两实数根x1,x2满足（x1+1）（x2+1）=12，求k的值.
（1）证明：∵Δ=［-(2k+1)］2-4（k2+k）=1＞0,
∴无论k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵x1+x2=2k+1，x1x2=k2+k，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=k2+k+2k+1+1=12.
解得k1=-5，k2=2.
11. 某果农在网上销售苹果，每天可销售40箱，每箱盈利20元，一段时间的销售发现，若每箱降价1元，则每天可多售出10箱，如果要想顾客得到实惠，且每天盈利1 400元，每箱应降价多少钱？这时他每天售出苹果多少箱？
解：设每箱应降价x元，则每箱的销售利润为（20-x）元，每天可售出（40+10x）箱.
依题意，得（20-x）（40+10x）=1 400.
整理，得x2-16x+60=0.
解得x1=6，x2=10.
又∵为了让顾客得到实惠，
∴x=10.
∴40+10x=40+10×10=140（箱）．
答：每箱应降价10元，这时他每天售出140箱苹果．(共20张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第3课时 解一元二次方程（2）——配方法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，那么判定此方程无实数解.
1. 将下列方程化成（x+m）2=n的形式：
（1）x2+2x-3=0可变形为_____________；
（2）x2-2x-5=0可变形为_____________；
（3）x2+6x-10=0可变形为_____________；
（4）x2+4x+5=0可变形为_____________．
（x+1）2=4
（x-1）2=6
（x+3）2=19
（x+2）2=-1
典型例题
知识点1：解“a=1，b为偶数”型一元二次方程
【例1】用配方法解方程：x2－8x+7=0.
解：移项，得x2-8x=-7.
配方，得x2-8x+42=-7+42,即(x-4)2=9.
由此可得x-4=±3.
解得x1=7,x2=1.
变式训练
2. 用配方法解方程：x2+4x+3=0.
解：移项，得x2+4x=-3.
配方，得x2+4x+22=-3+22,
即(x+2)2=1.
由此可得x+2=±1.
解得x1=-1，x2=-3.
典型例题
知识点2：解“a=1，b为奇数”型一元二次方程
【例2】用配方法解方程：x2－3x+1=0.
解：移项，得x2-3x=-1.
配方，得x2-3x+ =-1+
即
由此可得x-
解得x1=
变式训练
3. 用配方法解方程：x2+5x+6=0.
解：移项，得x2+5x=-6.
配方，得x2+5x+ =-6+ ,
即
由此可得x+
解得x1=-2，x2=-3.
典型例题
知识点3：解“a≠1”型一元二次方程
【例3】用配方法解方程：2x2－4x－1=0.
解：移项，得2x2-4x=1.
二次项系数化为1，得x2-2x=
配方，得x2-2x+12= +12,即(x-1)2=
由此可得x-1=±
解得
变式训练
4. 用配方法解方程：2x2+2x=1.
解：二次项系数化为1，得x2+x=
配方，得x2+x+
即
由此可得
解得
分层训练
A组
5. 一元二次方程x2－4x－1=0配方后可化为（ ）
A. (x+2)2=3 B. (x+2)2=5
C. (x－2)2=3 D. (x－2)2=5
D
6. 将下列方程化成（x+m）2=n的形式：
（1）x2+2x-2=0可变形为_________________；
（2）x2-4x-4=0可变形为_________________.
（x+1）2=3
（x-2）2=8
B组
7. 一元二次方程y2－y－ =0配方后可化为（ ）
B
8. 一元二次方程x2-2x+m=0配方后，得（x-1）2=n，则m+n的值是__________.
1
9. 用配方法解下列方程：
（1）x2-4x+3=0；
解：配方，得x2-4x+4=1,
即（x-2）2=1.
∴x-2=±1.
∴x1=3，x2=1.
（2）x2-2x-3=0．
解：配方，得x2-2x+1=4，即
（x-1）2=4.
∴x-1=±2.
∴x1=3，x2=-1.
10. 用配方法解下列方程：
（1）x2-6x+10=0；
解：配方，得x2-6x+9=-1.
∵（x-3）2=-1＜0，
∴原方程无解．
（2）x2-2x=7．
解：配方，得x2-2x+1=8，
即（x-1）2=8.
∴x-1=±2
∴x1=1+2 ，x2=1-2
C组
11. 用配方法解方程x2－ x+1=0，正确的是（ ）
A.
B.
C. 原方程无实数解
D. 原方程无实数解
D
12. 解方程：2x2+8x-3=0.
解：移项，得2x2+8x=3.
二次项系数化为1，得x2+4x＝
配方，得(x+2)2＝
开方，得x+2＝
解得(共20张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第7课时 一元二次方程根的判别式
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 求根公式中的b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式：
①当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
②当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
③当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
1. 填空：
（1）一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是__________，它有__________个__________（填“相等”或“不相等”）的实数根；
（2）一元二次方程x2+6x+9=0的根的判别式的值是__________，它有两个__________（填“相等”或“不相等”）的实数根；
（3）一元二次方程x2+x+1=0的根判别式的值是__________，它__________（填“有”或“没有”）实数根.
5
两
不相等
0
相等
-3
没有
典型例题
知识点1：由判别式判断方程根的情况
【例1】不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况：
（1）x2+2x-2=0；
解：∵Δ=22-4×1×（-2）=12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）4x2-x+4=0.
解：∵Δ=（-1）2-4×4×4=-63＜0，
∴方程没有实数根.
变式训练
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况:
（1）2x2+3x+5=0；
解：∵Δ=32-4×2×5=-31＜0，
∴方程没有实数根.
（2）x2-2 x+2=0.
解：∵Δ=（-2 ）2-4×1×2=0，
∴方程有两个相等的实数根.
典型例题
知识点2：由方程根的情况计算方程中字母的取值范围
【例2】已知关于x的方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
解：∵方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(－2)2－4×1×m=4－4m>0.
解得m<1．
变式训练
3. 若关于x的一元二次方程x2-x+k-1=0没有实数根，求k的取值范围.
解：根据题意,得Δ=（-1）2-4（k-1）＜0.
解得k＞
典型例题
知识点3：由判别式证明方程根的个数
【例3】已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0，求证：此方程总有两个实数根.
证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，Δ=［-（k+3）］2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根.
变式训练
4. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x-3k=0, 求证：此方程总有两个不相等的实数根.
证明：在方程x2+（2k-3）x-3k=0中，Δ=b2-4ac=（2k-3）2-4×（-3k）=4k2-12k+9+12k=4k2+9＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根.
分层训练
A组
5. 一元二次方程x2－x－1=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
A
6. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2-3x=0 B. x2-6x+10=0
C. x2-6x+9=0 D. x2=1
B
7. 已知关于x的一元二次方程x2－4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）
A. 4 B. 2
C. 1 D. －4
A
8. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A. x-1=0 B. x2+x=0
C. x2-1=0 D. x2+1=0
C
B组
9. 已知关于x的方程x2+2x-3a=0没有实数根，求a的取值范围.
解：由题意,得Δ=22-4×1×（-3a）=4+12a＜0.
解得a＜
10. 已知关于x的方程x2-4x-2k=0有两个实数根，求k的取值范围.
解：∵关于x的方程x2-4x-2k=0有两个实数根，
∴Δ=（-4）2-4×1×(-2k)≥0.
解得k≥-2.
C组
11. 已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+1=0有实数根，求m的取值范围.
解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+1=0有实数根，
∴ m-1≠0且Δ＝(-2)2-4×(m-1)×1≥0.
解得m≤2且m≠1.
12. 已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m2,求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
解：原方程可化为x2-5x+6-m2=0，
∴Δ=25-4（6-m2）=1+4m2＞0.
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．(共26张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
解一元二次方程 （1）直接开平方法；
（2）配方法；
（3）公式法；
（4）因式分解法
根的判别式 （1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根
根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则x1+x2=－ba，x1·x2= 其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，且判别式b2-4ac≥0
一元二次方程的实际应用 平均变化率问题；面积问题；销售问题等
知识点导学
A. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
1. 判断，是一元二次方程的打“√”，不是打“×”.
（1）2x2-3x-1=0；（ ）
（2）10x2=9.（ ）
√
√
B. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）.
2. 一元二次方程5x2-x-3=2x2+3+x整理成一般形式为___________________________．
3x2-2x-6=0
C. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
3. 下列方程的解为x＝3的是（ ）
A. x2＝4 B. x2－6x+9＝0
C. x2－2x－1＝0 D. x2－4x－5＝0
B
典型例题
知识点1：一元二次方程的定义
B
【例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1 B. x2=1
C. x2+ =8 D. x(x+3)=x2－1
变式训练
A
4. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+3=0 B. x2+3x－4
C. 2x－3+y=0 D. +2x－6=0
典型例题
知识点2：一元二次方程的一般形式
【例2】写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
一元二次方程 二次项系数 一次项系数 常数项
x2－3x＋4＝0 ____________ ____________ ____________
3x2－5＝0 ____________ ____________ ____________
6x2－x＝0 ____________ ____________ ____________
1
-3
4
3
0
-5
6
-1
0
变式训练
5. 填空：
一元二次方程 一般形式 二次项 一次项
3x-1=-2x2 ____________ ____________ _________
x（2x-5）=4x-10 ____________ __________ _________
（x+2）2=8x ____________ __________ __________
2x2+3x-1=0
2x2
3x
2x2-9x+10=0
2x2
-9x
x2-4x+4=0
x2
-4x
典型例题
知识点3：一元二次方程的解
【例3】下列哪些数是方程x2+2x-8=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：-4，2都是方程x2+2x-8=0的根.
变式训练
6. 下列方程是以－2为根的一元二次方程的是（ ）
A. x2+2x－x=0 B. x2－x－2=0
C. x2+x+2=0 D. x2+x－2=0
D
典型例题
知识点4：一元二次方程解的简单应用
【例4】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个实数根是-1，求m的值.
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个根是-1，
∴（-1）2+2×（-1）+m=0.
解得m=1.
变式训练
7. 若关于x的方程ax2-2ax+1=0的一个根是-1，求a的值.
解：∵关于x的方程ax2-2ax+1=0的一个根是-1，
∴a+2a+1=0.
∴3a+1=0.
解得a=
分层训练
A组
8. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x2+ =6 B. ax2+bx-3=0
C. （x-1）（x+2）=1 D. 3x2-2xy-5y2=0
C
9. 关于x的方程（m-1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. 任意实数 B. m≠1
C. m≠-1 D. m＞1
B
10. 将一元二次方程x（3x-1）=2化为一般形式，正确的是（ ）
A. 3x2-x+2=0 B. 3x2+x-2=0
C. 3x2-x=2 D. 3x2-x-2=0
11. 一元二次方程3x2－5x=－3的二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________．
D
3
-5
3
x2+4x-6=0
1
-6
12. 一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是______________________，二次项系数为__________，常数项为__________.
13. 下列各数是方程 (x2+2)=2的解的是（ ）
A. 6 B. 2 C. 4 D. 0
B
B组
14. 一个直角三角形的面积为8，两条直角边相差2，求较短的
直角边长x.根据题意，可列出方程为____________________________________，
将其化为一般形式为_______________________.
x(x+2)=8(x>0)
x2+2x-16=0
15. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，则m的值是（ ）
A. -4 B. 4 C. 0 D. 0或4
16. x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=（ ）
A. －2 B. －3 C. －1 D. －6
A
A
17. 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2－1=0有一个根为x=0，则a的值为（ ）
A. 0 B. ±1
C. 1 D. －1
D
C组
18. 已知m是方程x2+3x-1=0的一个根，求代数式2m2+6m-2 020的值.
解：由题意，得m2+3m-1=0.
解得m2+3m=1.
则2m2+6m-2 020=2（m2+3m）-2 020=2-2 020=-2 018．
19. 若-2和3是一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根，求b-c的值.
解：将x=-2和x=3分别代入方程，得
∴b-c=-1-（-6）=5.
4-2b+c=0,
9+3b+c=0.
解得
b=-1，
c=-6.(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第12课时 实际问题与一元二次方程（4）——
其他问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 互赠问题：每两人之间进行2次活动，则n人共进行了n（n-1）次活动.
B. 握手问题：每两人之间进行1次活动，则n人共进行了
次活动.
1. 5人之间互赠贺卡，则每人要送出__________张贺卡，共送出__________张贺卡.
2. 5人之间两两握手，则每人和其他人握手__________次，共握手__________次.
4
20
4
10
典型例题
知识点1：互赠问题
【例1】某校九年级学生毕业时，每位同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2 070张相片，求全班有多少名学生.
解：设全班有x名学生，则每人送出（x-1）张相片.
根据题意,得x（x-1）=2 070，
即x2-x-2 070=0.
解得x1=46，x2=-45（不合题意，舍去）.
答：全班有46名学生.
变式训练
3. 2 020年国庆节和中秋节双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，求该群一共有多少人.
解：设该群一共有x人，则每人收到（x-1）个红包.
依题意，得x（x-1）=90.
解得x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）．
答：该群一共有10人.
典型例题
知识点2：握手问题
【例2】一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了45次手，求这次会议到会的人数.
解：设参加会议的有x人.
依题意,得 x（x-1）=45.
解得x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）.
答：参加会议的有10人．
变式训练
4. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，这个航空公司共有多少个飞机场？
解：设这个航空公司共有n个飞机场.
依题意，得 =10.
解得n1=5,n2=-4（不合题意，舍去）.
答：这个航空公司共有5个飞机场.
典型例题
知识点3：动点问题
【例3】如图1-21-12-1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=3 cm，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过多少秒后，P，Q两点间距离为4 cm？
解：设经过t s后PQ=4 则BP=6-t，BQ=2t.
∵∠B=90°，
∴PB2+BQ2=PQ2.
∴（6-t）2+（2t）2=（4 ）2.
解得t1= t2=2．
又∵2t≤3,∴t≤
∴t=
答：经过 s后PQ间的距离为4 cm.
变式训练
5. 如图1-21-12-2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1 cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2 cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．经过多少秒后,△PBQ的面积为15 cm2？
解：设经过t s后，△PBQ的面积为15 cm2.
依题意,得
（8-t）·2t=15.
解得t1=3，t2=5．
又∵2t≤6，∴t≤3.
∴t=3．
答：经过3 s后,△PBQ的面积为15 cm2.
分层训练
A组
6. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
A. x（x+1）=45 B. x（x-1）=45
C. x（x+1）=45 D. x（x-1）=45
B
7. 月考前，九年级（3）班每位同学各写一句励志语送给其他同学，全班共写了306句励志语.若设全班共有x名同学，则依题意可列出方程为________________________.
x（x-1）=306
B组
8. 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解:∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴比赛共有7×4=28（场）.
设比赛组织者邀请x个队参赛.
依题意，得 =28.
解得x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
9. 女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场.中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，求中国队在本届世界杯比赛中连胜多少场.
解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛.
依题意，得 x（x+1）=66.
解得x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
答： 中国队在本届世界杯比赛中连胜11场.
C组
10. 两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点.
（1）四条直线两两相交最多有__________个交点；
（2）若n条直线两两相交，其交点个数最多为15个，求n的值.
6
解：由题意，得 n（n-1）=15.
解得n=6．
11. 如图1-21-12-3，在矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=10 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止，那么多少秒后，△PBQ的面积为12 cm2？
解：设x s后，△PBQ的面积为12 cm2，则
PB=8-x，BQ=2x.
根据题意，得 （8-x）2x=12.
解得x1=2，x2=6.
当x=6时，BQ=12＞10(不合题意，舍去).
答：2 s后，△PBQ的面积为12 cm2.(共24张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第10课时 实际问题与一元二次方程（2）——
面积问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 面积问题的常用公式：①S长方形=ab；
②S正方形=a2；③S圆=πR2；④S三角形= ah；
⑤S梯形= （a+b）h.
1. 已知矩形的周长为20.
（1）若矩形的一边长为4，则相邻的边长为__________；
（2）若矩形的一边长为x，则相邻的边长为__________，若面积为24，则可列方程为_______________________.
6
10-x
x（10-x）=24
典型例题
知识点1：矩形面积问题
【例1】若将一根长为8 m的绳子围成一个面积为3 m2的矩形，求该矩形的长和宽.
解：设该矩形的长为x m，则宽为（4-x）m.
由题意，得x（4-x）=3.
解得x1=3，x2=1（不合题意，舍去）．
4-x=4-3=1.
答：矩形的长为3 m，宽为1 m.
变式训练
2. 一个矩形的周长为56 cm，面积为180 cm2时，求这个矩形的长和宽.
解：设矩形的长为x cm，则宽为（28-x）cm.
依题意，得x（28-x）=180.
解得x1=10（不合题意，舍去），x2=18.
28-x=28-18=10．
答：长为18 cm，宽为10 cm.
典型例题
【例2】如图1-21-10-1，某学校有一块面积为84 m2的矩形空地，准备进行绿化．计划在空地的中间修建两个相同的正方形花坛，其余地方铺草坪，两个花坛之间及与四周的距离均为2 m，求正方形花坛的边长．
解：设正方形花坛的边长为x m，则矩形空地的长为（2x+2×3）m，宽为（x+2×2）m．
依题意，得（2x+2×3）·（x+2×2）=84．
整理，得x2+7x-30=0．
解得x1=3，x2=-10（不合题意，舍去）．
答：正方形花坛的边长为3 m．
变式训练
3. 2020年初，受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一．某服装厂快速转型生产某种型号的矩形防护口罩．如图1-21-10-2，已知该口罩长为18 cm，宽为9 cm．口罩上压边宽度是下压边宽度的2倍，左右压边与下压边同宽．要使口罩内部有效面积达到96 cm2，则口罩下压边的宽度为多少？
解：设口罩下压边的宽度为x cm，则口罩的上压边的宽度2x cm．
依题意，得（18-2x）（9-3x）=96．
解得x1=1，x2=11（不合题意，舍去）．
答：口罩下压边的宽度为1 cm．
典型例题
知识点2：围栏问题
【例3】如图1-21-10-3，利用一面10 m长的墙，用20 m长的篱笆，围成一个面积为48 m2的矩形场地，求这个矩形的长、宽．
解：设垂直于墙的边长为x m.
由题意，得x（20-2x）=48.
解得x1=4，x2=6．
∵当x=4时，20-2x=12＞10，
∴x=4不合题意，舍去．
∴x=6，20-2x=8．
答：这个矩形的长为8 m，宽为6 m．
变式训练
4. 如图1-21-10-4，利用22 m长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36 m.为了使这个长方形ABCD的面积为96 m2，AB和BC的长各应是多少？
解：设AB的长为x m，则BC的长为（36-3x）m.
根据题意，得
x（36-3x）=96.
整理，得x2-12x+32=0.
解得x1=4，x2=8．
当x=4时，BC=36-3x=24>22，
∴x=8．
∴BC=36-3x=12.
答：AB的长为8 m，BC的长为12 m．
典型例题
知识点3：小路宽度问题
【例4】要在长为32 m，宽为20 m的矩形花圃中修两条与花圃四周垂直等宽的小路（如图1-21-10-5），且使种植花草的面积能达到589 m2，问小路应修多宽？
解：设小路的宽应为x m.
由题意,得
（32-x）（20-x）=589.
解得x1=1，x2=51（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为1 m．
变式训练
5. 学校课外生物小组的试验园地是长32 m、宽20 m的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图1-21-10-6），要使种植水稻的面积为504 m2，求小道的宽．
解：设该小道的宽为x m.
依题意,得
（32-2x）（20-x）=504.
解得x1=2，x2=34(不合题意，舍去)．
答：该小道的宽为2 m．
分层训练
A组
6. 一块面积是600 m2的长方形土地，它的长比宽多10 m，设宽为x m，则可列方程为（ ）
A. x2－10x+600=0
B. x2+10x－600=0
C. x(x－10)=600
D. x(x+10)+600=0
B
7. 如图1-21-10-7，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80 cm，宽为50 cm的挂图，设边框的宽为x cm，若风景画的面积是2 800 cm2，则可列方程为_______________________________________.
（80-2x）（50-2x）=2 800
B组
8. 如图1-21-10-8，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，四边沿虚线折起做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为_____________________________.
（30-2x）（40-2x）=600
9. 如图1-21-10-9，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．若设小路的宽为x m，则可列方程为_______________________________________.
（20-x）（32-x）=540
C组
10. 疫情期间，某小区准备搭建一个面积为12 m2的矩形临时隔离点ABCD，如图1-21-10-10，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5 m），另外三边用9 m长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边BC开一扇宽度为1 m的小门EF，求AB的长度.
解：设AB的长为x m，则BC的长为（9+1-2x）m.
根据题意,得x（10-2x）=12.
解得x1=3，x2=2.
当x=3时，AD=4＜5，
当x=2时，AD=6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5 m,
∴AB的长为3 m．
答：AB的长度为3 m．(共28张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 解一元二次方程（4）——因式分解法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
1. 填空：
（1）若A·B=0，则A=__________或B=__________；
（2）若（x-5）（x+2）=0，则x-5=__________或x+2=__________，∴x1=__________，x2=__________.
0
0
0
0
5
-2
典型例题
知识点1：解形如“A·B=0”的一元二次方程
【例1】用因式分解法解下列方程:
(1)（x+3）（x-5）=0；
解:x+3=0或x-5=0,
∴x1=-3，x2=5.
（2）x（x-3）=0．
解：x=0或x-3=0,
∴x1=0,x2=3．
变式训练
2. 用因式分解法解下列方程:
(1)(4x+3）（7x+2）=0.
解:4x+3=0或7x+2=0,
∴x1=
(2)y（2y+3）=0．
解：y=0或2y+3=0,
∴y1=0,y2=
典型例题
知识点2：用提公因式法分解因式，解一元二次方程
【例2】用因式分解法解下列方程：
（1）x2-x=0；
解：因式分解，得x（x-1）=0.
∴x=0或x-1=0.
解得x1=0,x2=1.
（2）x（x+4）=3（x+4）;
解：移项，得x(x+4)-3(x+4)=0.
因式分解，得(x-3)(x+4)=0.
∴x-3=0或x+4=0.
解得x1=3,x2=-4.
（3）x（x-1）=2x-2．
解：方程变形为x(x-1)-2(x-1)=0.
因式分解，得（x-2）（x-1）=0.
∴x-2=0或x-1=0.
解得x1=2,x2=1．
变式训练
3. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2+ x=0；
解：因式分解，得x =0.
∴x=0或x+ =0.
解得x1=0,x2=
（2）3x（x-1）=2（1-x）；
解：方程变形为3x(x-1)+2(x-1)=0.
因式分解，得(x-1)(3x+2)=0.
∴x-1=0或3x+2=0.
解得x1=1，x2=
（3）x（x+1）=4x+4．
解：方程变形为x(x+1)-4(x+1)=0.
因式分解，得（x+1）（x-4）=0.
∴x+1=0或x-4=0.
解得x1=-1，x2=4．
典型例题
知识点3：逆用平方差公式分解因式，解一元二次方程
【例3】用因式分解法解方程：（3x+2）2-x2=0.
解:因式分解，得(4x+2)(2x+2)=0.
∴4x+2=0或2x+2=0.
解得x1= x2=－1.
变式训练
4. 用因式分解法解方程:（x+3）2=（2x-5）2.
解:移项，得(x+3)2-(2x-5)2=0.
因式分解，得(3x-2)(8-x)=0.
∴3x-2=0或8-x=0.
解得x1= x2=8.
分层训练
A组
5. 填空：
（1）（x-3）（x+1）=0的解是____________________；
（2）（x+1）（x+2）=0的解是_____________________.
x1=3，x2=-1
x1=-1，x2=-2
6. 一元二次方程（x-3）（x+5）=0的两根分别为（ ）
A. 3，5 B. -3，-5
C. -3，5 D. 3，-5
D
7. 解下列方程：
（1）3x2+2x=0；
解:因式分解，得x（3x+2)=0.
∴x=0或3x+2=0.
解得x1=0，x2=
（2）2 020x=x2．
解：移项，得2 020x-x2=0.
因式分解，得x(2 020-x)=0.
∴x=0或2 020-x=0.
解得x1=0,x2=2 020．
8. 解方程：x(x+3)－7(x+3)=0.
解：因式分解，得(x+3)(x-7)=0.
∴x+3=0或x-7=0.
解得x1=-3，x2=7.
B组
9. 解方程： x2-3x=0．
解：因式分解，得x =0.
∴x=0或 x-3=0.
解得x1=0,x2=
10. 解方程：2x（x+1）-x-1=0．
解：整理，得2x(x+1)-(x+1)=0.
因式分解，得(x+1)(2x-1)=0.
解得x1=-1，x2=
11. 当x为何值时，代数式（x+1）（x-5）与（3x-1）（x+1）的值相等
解：由题意，得
（x+1）（x-5）=（3x-1）（x+1）.
∴（x+1）（x-5）-（3x-1）（x+1）=0.
∴（x+1）（-2x-4）=0.
则x+1=0或-2x-4=0.
解得x1=-1，x2=-2．
∴当x=-1或-2时，代数式（x+1）（x-5）与（3x-1）（x+1）的值相等．
12. 已知代数式2x（x-1）与代数式3x-3的值互为相反数，求x的值.
解：由题意，得2x（x-1）+(3x-3)=0.
整理，得2x(x-1)+3(x-1)=0.
则（x-1）（2x+3）=0.
∴x-1=0或2x+3=0.
解得x1=1,x2=
∴x的值为1或
C组
13. 阅读下面的材料，回答问题：
把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.用十字相乘法因式分解x2-5x+6：
即x2-5x+6=（x-2）（x-3）.
试运用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
解:
因式分解，得(x+1)(x+3)=0.
∴x+1=0或x+3=0.
解得x1=-1，x2=-3.
（2）x2+5x-6=0.
解：
因式分解，得(x-1)(x+6)=0.
∴x-1=0或x+6=0.
解得x1=1，x2=-6.(共24张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第4课时 解一元二次方程（3）——公式法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
（b2－4ac≥0）.
2
-3
-2
(-3)2-4×2×(-2)
25
1. 完成下面的解题过程：
解方程：2x2－3x－2=0．
解：a=__________，b=__________，c=__________,
Δ=b2－4ac=_____________________=__________>0．
x= =_________________=_________________，
x1=__________，x2=________________．
2
典型例题
知识点1：当Δ>0时，解一元二次方程
【例1】用公式法解方程:x2－ =0.
解：∵a=1，b=－ c=
∴Δ=b2－4ac=(－ )2－4×1×－ =3>0.
变式训练
2. 用公式法解方程:x2+x－1=0.
解：∵a=1，b=1，c=－1，
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5.
典型例题
知识点2：当Δ=0时，解一元二次方程
【例2】用公式法解方程：x2+9=6x.
解：原方程化为x2-6x+9=0.
∵a=1,b=-6,c=9，
∴Δ=b2-4ac=（-6）2-4×1×9=0.
∴x= =3.
∴x1=x2=3.
变式训练
3. 用公式法解方程:x2+2=2 x.
典型例题
知识点3：当Δ<0时，解一元二次方程
【例3】用公式法解方程：2x（x-3）+5=0.
解：原方程化为2x2-6x+5=0．
∴a=2,b=-6,c=5,
∴Δ=b2-4ac=（-6）2-4×2×5=-4＜0.
∴原方程没有实数根.
变式训练
4. 用公式法解方程:3x2-8x=2（x2-10）.
解：原方程化为x2－8x+20=0.
∵a=1，b=－8，c=20，
∴Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×20=－16<0.
∴此方程无实数根．
分层训练
A组
5. 用公式法解方程5x2=6x-8时，a,b,c的值分别是（ ）
A. 5，6，-8 B. 5，-6，-8
C. 5，-6，8 D. 6，5，-8
C
6. x= 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2-3x+1=0
C. 2x2+3x-1=0 D. 2x2-3x-1=0
C
7. 用公式法解下列方程：
（1）x2 =x+2；
解：原方程化为x2-x-2=0.
∵a=1，b=-1，c=-2,
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×（-2）=9＞0.
∴x=
∴x1=-1，x2=2.
(2)x2+4=4x．
解：原方程化为 x2-4x+4=0.
∵a=1，b=-4，c=4,
∴Δ=16-16=0.
∴x1=x2= =2．
8. 用公式法解下列方程：
（1）x（x+1）+1=0；
解：原方程化为 x2+x+1=0.
∵a=1，b=1，c=1，
∴Δ=b2-4ac=1-4=-3＜0.
∴原方程没有实数根.
（2）x（2x-3）=-1．
B组
9. 用公式法解下列方程：
（1）x（x+2 ）=1；
解：原方程化为 x2+2 x-1=0.
∵a=1，b=2 c=-1,
∴Δ=b2-4ac=(2 )2-4×1×(-1)=12＞0.
∴x=
∴
(2)(x－1)(x+2)=6．
解：整理方程，得x2+x－8=0.
∵a=1,b=1,c=-8,
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-8)=1+32=33>0.
∴
∴
10. 用公式法解下列方程：
（1）5y2-y=0；
解：∵a=5，b=-1，c=0,
∴Δ=b2-4ac=1＞0.∴y=
∴y1=0，y2=
（2）x2-6=0．
解：∵a=1，b=0，c=-6,
∴Δ=b2-4ac=24＞0.∴x=
解得x1= x2=
C组
11. 解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．请利用这种方法解下列方程：
（1）（2x+5）2-（2x+5）-2=0；
解：设2x+5=y，则原方程可化为y2-y-2=0.
解得y1=2，y2=-1．
当y=2时，即2x+5=2，解得x=-1.5；
当y=-1时，即2x+5=-1，解得x=-3.
所以原方程的解为x1=-1.5，x2=-3.
（2）（x2+x）2-（x2+x）-2=0．
解：令x2+x=m，则原方程可化为m2-m-2=0.
解得m=2或m=-1.
当m=2时，x2+x=2，即x2+x-2=0，
解得x1=-2，x2=1；
当m=-1时，x2+x=-1，即x2+x+1=0，
∵Δ=12-4×1×1=-3＜0，
∴此方程无解.
综上，原方程的解为x1=-2，x2=1．(共23张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第2课时 解一元二次方程（1）——直接开平方法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，由直接开平方可得
x=±
1. 方程x2=4的解为__________.
x=±2
典型例题
知识点1：解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程
【例1】用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=25；
解:由原方程，得x=±
∴x1=5，x2=-5.
（2）x2- =0；
解：∵x2- =0,∴x2=
∴x=±
变式训练
2. 用直接开平方法解下列方程：
（1）m2- =0；
解：∵m2- =0,∴m2= .
∴m=±
(2)45-y2=0.
解：∵45-y2=0,
∴y2=45.∴y=±
∴y1=3 y2=－3
典型例题
知识点2：解形如ax2=p(p≥0)的一元二次方程
【例2】用直接开平方法解下列方程：
（1）4x2=1；
解:∵4x2=1,
∴x2= ∴x=±
∴x1= x2=
（2）9x2-4=0.
解：∵9x2-4=0,∴9x2=4.∴x2=
∴x=± ∴x1=
变式训练
3. 用直接开平方法解下列方程：
（1）25x2=49；
解:∵25x2=49,
∴x2= ∴x=±
∴x1=
（2）6x2-9=0.
解：∵6x2-9=0,∴6x2=9.
∴x2= ∴x=±
∴x1= x2=
典型例题
知识点3：解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程
【例3】用直接开平方法解下列方程:
（1）(x－1)2=4;
解：两边直接开平方,得x－1=±2.
∴x－1=2或x－1=－2.
解得x1=3，x2=－1．
（2）（2x-3）2=9．
解：两边直接开平方，得2x-3=±3.
∴2x-3=3或2x-3=-3.
解得x1=3，x2=0．
变式训练
4. 用直接开平方法解下列方程:
（1）（1-x）2-0.81=0
解：移项，得（1-x）2=0.81.
∴1-x=±0.9.
∴1-x=0.9或1-x=-0.9.
解得x1=0.1，x2=1.9.
（2）（1-2x）2-49=0．
解：移项，得（1-2x）2=49.
∴1-2x=±7.
∴1-2x=7或1-2x=-7.
解得x1=-3，x2=4．
典型例题
知识点4：解形如a（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程
【例4】用直接开平方法解方程：100（1+x）2=121．
解：移项，得（1+x）2=
∴1+x=±1.1.
∴1+x=1.1或1+x=-1.1.
解得x1=0.1，x2=-2.1．
变式训练
5. 用直接开平方法解方程:2(3x－2)2－18=0．
解：∵2(3x－2)2－18=0，
∴(3x－2)2=9.
∴3x－2=±3.
解得x1= x2=
分层训练
A组
6. 方程x2=1的解是（ ）
A. x=1 B. x=-1
C. x1=1,x2=0 D. x1=-1,x2=1
7. 一元二次方程x2－9=0的解是_____________________．
D
x1=3，x2=－3
8. 解下列方程：
（1）x2-36=0； （2）y2=0.16．
解：x=±6.
解：y=±0.4．
B组
9. 解下列方程：
（1）81x2=1； （2）x2=24；
（3）x2+3=0．
解：x=±
解：x=±2
解：原方程无解.
解：x=±2．
解：x=±2
10. 解下列方程：
（1）x2-8=0； （2） x2=6；
（3）x2=
C组
11. 解方程： (2x－5)2－2=0．
解：由原方程，得(2x－5)2=4.
∴2x－5=±2.
∴x=
∴x1=
12. 解方程：(3x－1)2=(x+1)2．
解：方程两边直接开方,得
3x－1=x+1或3x－1=－(x+1).
∴2x=2或4x=0.
解得x1=1，x2=0．(共18张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程（1）——
平均变化率问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 连续增长（下降）两次问题：
原量·（1±x）2=新量（x为变化率）；
病毒传染两轮问题：
原量·（1+x）2=新量（x为一个传染源能传染的数量）.
1. 某人去年收入为6万元，若每年的收入增长率为x，则今年年收入为__________万元，明年年收入为_____________万元.
6（1+x）
6（1+x）2
典型例题
知识点1：增长率问题
【例1】某商店元旦当天的销售额是2 000元，1月3日的销售额是4 500元，求该店从元旦到1月3日销售额平均每天的增长率.
解：设销售额平均每天的增长率是x.
依题意，得2 000（1+x）2=4 500.
解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）.
答：销售额平均每天的增长率为50%.
变式训练
2. 某市推出名师公益大课堂．据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
解：设增长率为x.
根据题意，得2（1+x）2=2.42.
解得x1=-2.1（不合题意，舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%．
典型例题
知识点2：下降率问题
【例2】两年前生产1 t某种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t这种药品的成本是3 200元，求这种药品成本的年平均下降率.
解：设这种药品成本的年平均下降率为x.
由题意,得5 000（1-x）2=3 200．
解得x1=1.80（不合题意，舍去），x2=0.2=20%.
答：这种药品成本的年平均下降率为20%．
变式训练
3. 某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高生产效率改进了生产技术，从而连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，求平均每次降低成本的百分率.
解：设平均每次降低成本的百分率是x.
依题意，得100（1-x）2=81.
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降低成本的百分率为10%.
典型例题
知识点3：传染问题
【例3】秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染的人数.
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人.
依题意，得1+x+x(1+x)=81.
解得x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染的人数为8人.
变式训练
4. 学校机房里有一台电脑感染了病毒，病毒通过局域网扩散，经过2轮扩散后共有64台电脑感染了病毒，请问每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑.
依题意，得1+x+x(1+x)=64.
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染7台电脑．
分层训练
A组
5. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A. 16(1+2x)=25
B. 25(1－2x)=16
C. 16(1+x)2=25
D. 25(1－x)2=16
D
6. 响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24 000元，8月份盈利34 560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为_______________________________________.
24 000（1+x）2=34 560
B组
7. 某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果按此速度增长，该公司6月份的快递件数将达到多少万件？
解：（1）设该公司投递总件数的月平均增长率为x.
依题意，得10（1+x）2=12.1.
解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.
答：该公司投递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
答：该公司6月份的快递件数将达到13.31万件．
8. 2020年初爆发的新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人.
依题意，得1+x+x（1+x）=169.
解得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）=2 197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2 197人患病．
C组
9. 某种植物的一个主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数为133，设每个枝干长出x个小分支，依题意可列方程为_________________.
1+x+x2=133
10. 某企业一月份的营业额是1 000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增长率是x，则可列出的方程是________________________________________.
1 000+1 000（1+x）+1 000（1+x）2=3 990(共20张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第6课时 解一元二次方程自测
限时：40 min 满分：100分
1. （3分）方程x2-1=0的根为（ ）
A. x1=1，x2=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=-1
2. （3分）一元二次方程x2-8x-2=0配方后可变形为（ ）
A. （x+4）2=18 B. （x+4）2=14
C. （x-4）2=18 D. （x-4）2=14
A
C
3. （3分）若一元二次方程（x+6）2=64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=8，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x-6=-8 B. x-6=8
C. x+6=8 D. x+6=-8
D
4. （3分）用公式法解一元二次方程3x2-3x=1时，将方程化为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A. 3，-3，1 B. 3，-3，-1
C. 3，3，-1 D. 3，3，1
B
5. 用直接开平方法解方程（每小题4分，共8分）：
（1）4x2-25=0；
解：整理，得x2=
∴x=
∴
（2） (x+3)2=2.
解：原方程可化为(x+3)2=4.
∴x+3=±2.
∴x1=-1,x2=-5.
6. 用配方法解方程（每小题4分，共8分）：
（1）x2+4x=1；
解：配方,得x2+4x+4=5，即（x+2）2=5.
开方,得x+2=±
解得x1=-2+ x2=-2-
（2）x2-6x+8=0．
解：移项,得x2-6x=-8.
配方,得x2-6x+9=1，即（x-3）2=1.
开方,得x-3=±1.
解得x1=4，x2=2．
7. 用公式法解方程（每小题4分，共8分）：
（1）x2-x-6=0；
解：∵a=1,b=-1,c=-6,
∴Δ=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）=25＞0.
∴x＝
∴x1=3，x2=-2．
（2）x2-3x+1=0．
解：∵a=1,b=-3,c=1,
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0.
∴x=
∴
8. 用因式分解法解方程（每小题4分，共8分）：
（1）x2-7x=0；
解：因式分解，得x(x-7)=0.
∴x=0或x-7=0.
∴x1=0，x2=7.
（2）x（x-2）-4（x-2）=0．
解：因式分解，得（x-2）(x-4)=0.
∴x-2=0或x-4=0.
∴x1=2，x2=4．
9. 解下列方程（每小题4分，共8分）：
（1）x2-7=0；
解:移项，得x2=7.
∴x=±
∴x1= ，x2=－ .
（2）x2-5x-6=0.
解：移项，得x2-5x=6.
配方，得x2-5x+ =6+
即
∴x-
解得x1=6，x2=-1.
10. 解下列方程（每小题4分，共8分）：
（1）（x-3）2-25=0;
解：移项，得(x-3)2=25.
∴x-3=±5.
∴x1=8,x2=-2.
（2）x2+2x=8．
解：配方，得x2+2x+1=9,即(x+1)2=9.
∴x+1=±3.
解得x1=2，x2=-4．
11. (10分)解方程：2x2+1=2 x.
解：移项，得2x2-2 x+1=0.
∵a=2,b=-2 ,c=1,
∴Δ=b2-4ac=(-2 )2-4×2×1=4.
∴x=
∴
12. （10分） 解方程：3(x-5)2=x(5-x).
解：方程变形为3（x-5）2+x(x-5)=0.
∴(x-5)(3x-15+x)=0.
∴x-5=0或4x-15=0.
解得x1=5，x2=
13. （10分）已知x=-2是关于x的一元二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根，求c的值.
解:∵x=-2是关于x的一元二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根，
∴4-2+c2-8c-2=0.
∴c2-8c=0，即c（c-8）=0.
解得c1=0，c2=8.
14. (10分)若代数式4x2-2x-5与-3x2-3的值互为相反数，求x的值.
解:由题意，得
4x2-2x-5+(-3x2-3)=0.
整理，得x2-2x-8=0.
解得x1=4,x2=-2.
∴x的值为4或-2.(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
*第8课时 一元二次方程的根与
系数的关系（韦达定理）
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,b2－4ac≥0）的两根为x1和x2，则x1+x2=
x1·x2= 其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，且根的判别式b2-4ac≥0.
17
2
-5
1
1. 已知一元二次方程2x2-5x+1=0.
∵Δ=__________＞0，∴方程有两个实数根x1，x2.
∵a=__________，b=__________，c=__________，
∴x1+x2= =__________，x1x2= =__________.
典型例题
知识点1：一元二次方程根与系数的关系
【例1】下列方程的两根为x1，x2，不解方程，根据根与系数的关系填写下表：
方程 x1+x2 x1·x2
x2－3x＝0 __________ __________
x2-x－5＝0 __________ __________
2x2+7x-6＝0 __________ __________
3
0
1
-5
-3
变式训练
2. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
（1）（x+1）（x-2）=2；
解：将原方程化简，得x2-x-4=0.
∴x1+x2=1，x1·x2=-4.
（2）3x2+7x=6.
解：移项，得3x2+7x-6=0.
∴x1+x2= x1·x2=-2.
典型例题
知识点2：利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
【例2】若方程x2-4x+2=0的两个根分别为x1，x2.
求：（1）x12x2+x22x1； （2） x12+x22.
解：依题意，得x1+x2=4，x1x2=2.
（1）x12x2+x22x1= x1x2（x1+x2）=2×4=8.
（2）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=42-2×2=12．
变式训练
3. 若方程x2+8x-4=0的两个根分别为x1,x2.
求：（1） （2）（x1-x2）2.
解：依题意,得x1+x2=-8，x1x2=-4.
(1)
(2)（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-8）2-4×（-4）=80．
典型例题
知识点3：一元二次方程根与系数的关系的综合运用
【例3】已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m-1=0的两根互为相反数，求m的值及方程的解．
解：设方程的两个根为x1，x2.
由题意，得x1+x2=0，即-(m+2)=0.
解得m=-2.
当m=-2时，原方程为x2-5=0.
解得x1= x2=
变式训练
4. 已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-3=0的两根互为倒数，求m的值及方程的解．
解：设此方程的两个根分别为x1,x2.
∵此方程的两根互为倒数，
∴x1·x2=m-3=1.
∴m=4．
当m=4时，方程为x2-3x+1=0.
解得
分层训练
A组
5. 一元二次方程x2－2x=0的两根分别为x1和x2，则x1·x2为（ ）
A. －2 B. 1
C. 2 D. 0
D
6. 在下列方程中，满足两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A. x2-2x+4=0 B. x2+2x-4=0
C. x2+2x+4=0 D. x2-2x-4=0
D
B组
7. 若方程x2-4x+m=0的一个根为-2，求m和另一个根的值.
解:设方程的另一个根为a，则有
a-2=4，-2a=m.
解得a=6，m=-12.
∴m的值为-12，方程的另一个根为6.
8. 已知x1，x2是方程x2-2x=1的两实数根．求：
（1）（x1-2）（x2-2）；（2）
解：∵x1，x2是方程x2-2x-1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1.
(1)（x1-2）（x2-2）=x1x2-2x1-2x2+4=x1x2-2（x1+ x2）+4=-1-2×2+4=-1．
(2)∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=22-2×（-1）=6，
∴
C组
9. 已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k2+k－1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k2+k－1=0有实数根，
∴Δ≥0，即［－(2k－1)］2－4×1×(k2+k－1)=－8k+5≥0.
解得k≤
（2）由根与系数的关系可得
x1+x2=2k－1，x1x2=k2+k－1，
∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=(2k－1)2－2(k2+k－1)=2k2－6k+3.
∵x12+x22=11,
∴2k2－6k+3=11.
解得k=4或k=－1.
∵k≤ ∴k=－1．
10. 关于x的方程为x2+（m-3）x+m-7=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围．
（1）证明：∵Δ=（m-3）2-4（m-7）=（m-5）2+12＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：根据题意得x1+x2=3-m，x1x2=m-7.
∵2（x1+x2）+x1x2＞0，
∴2（3-m）+m-7＞0.
∴m＜-1．
