(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
第25课时 实际问题与二次函数（1）——
图形面积
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 求图形的面积时常会涉及线段及线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系式，转化为函数问题，就可以用函数的图象和性质来解决．
1. 用10 cm长的绳子围成一个矩形，若这个矩形的一边长为x cm，面积为S cm2，则S与x的函数关系式为_______________，自变量的取值范围是__________.
S=-x2+5x
0＜x＜5
典型例题
知识点1：围栏问题
【例1】 用一根长为20 m的绳子，围成一个矩形，矩形的一边长为x cm，面积为S cm2.
（1）S与x的函数关系式为_____________________；
（2）自变量x的取值范围是_____________________；
（3）求围成的矩形的最大面积.
S=-x2+10x
0＜x＜10
解：（3）S=-x2+10x=-(x-5)2+25.
当x=5时，矩形取得最大面积，最大面积为25 m2．
变式训练
y=-2x2+80x
15≤x＜40
2. 如图1-22-25-1，小亮想用长为80 m的栅栏，再借助一面长为50 m的墙，围成一个矩形的菜园ABCD．
（1）设菜园的面积为y m2，AB=x m，y与x之间的函数解析式为______________________________；
（2）自变量x的取值范围是________________________；
（3）若要使菜园的面积最大，矩形的长、宽各是多少？
解：（3）∵y= -2x2+80x=-2（x-20）2+800,且15≤x<40,
∴当x=20时，y有最大值，最大值为800．
此时80-2x=40.
∴若要使菜园的面积最大，矩形的长、宽分别是40 m和20 m．
典型例题
知识点2：动点面积问题
【例2】 如图1-22-25-2,△ABC中，AB=6 cm，BC=12 cm，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动（不与点B重合），点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.
（1）写出y与x之间的函数关系，直接写出自变量x的取值范围；
（2）经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？
解：（1）y= ×2x（6-x）=-x2+6x(0＜x＜6).
（2）∵y=-x2+6x=-（x-3）2+9,
∴经过3 s时，△PBQ的面积最大，最大值是9 cm2．
变式训练
3. 如图1-22-25-3，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 m，BC=24 m.动点P从点A开始沿边AB向点B以2 m/s的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向点C以4 m/s的速度运动（不与点C重合）．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动时间为x s，四边形APQC的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接
写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最
小值是多少？
解：（1）根据题意知y=S△ABC－S△PBQ= ×12×24－
×4x×(12－2x)=4x2－24x+144.
由12－2x>0得x<6，
∴0（2）y=4x2－24x+144=4(x－3)2+108．
∵4>0,∴当x=3时，y取得最小值，最小值为108．
分层训练
A组
4. 如图1-22-25-4，一边靠学校的墙，其他三边用40 m长的篱笆围成一个矩形花圃.设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2，则下列关系式正确的是（ ）
A. S=x(40－x)
B. S=x(40－2x)
C. S=x(10－x)
D. S=10(2x－20)
B
5. 用一根长为30 cm的绳子围成一个长方形，长方形一边长为x cm，则长方形的面积S（cm2）与x的函数关系式为S=－x2+15x.其中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0
B. 0C. 0D. 15B
B组
6. 用一根长60 cm的铁丝围成一个矩形，求矩形的最大面积.
解：设矩形的长为x cm，则宽为(30-x) cm.
∴矩形的面积S＝(30-x)x=-x2+30x.
∵a=-1＜0，
∴S最大＝ ＝225（cm2）.
故矩形的最大面积是225 cm2.
7. 在一个直角三角形中，两直角边之和为12.当两直角边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少？
解： 设其中的一条直角边长为x，那么另一条直角边长为12-x，设三角形的面积为S，
则S= x（12-x）=- （x-6）2+18.
∵a=- ＜0，
∴S有最大值.
∴当x=6时，S有最大值18.
这时12-x=6.
∴当两直角边长各是6时，这个三角形的面积最大，最大面积为18.
C组
8. 如图1-22-25-5，用长为24 m的篱笆靠一道长为a m的墙围一个矩形养鸡场ABCD（靠墙一面不用篱笆）．求下列情形下养鸡场的面积S的最大值：
（1）a=15；（2）a=10．
解：设BC的长为x m，则AB为 m.
由题意可知x≤a.
S=x× =- x2+12x=- （x-12）2+72.
∵ ＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=12，
∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小.
(1)当a=15时，x≤a即x≤15,
∴当x=12时，S有最大值为72 m2.
(2)当a=10时，x≤a即x≤10，
∴当x=10时，S有最大值为 ×（10-12）2+72=70（m2）．(共15张PPT)
第二十二章 二次函数
第20课时 二次函数的图象和性质（6）——
用公式法求抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
的顶点坐标和对称轴
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 把二次函数y=ax2+bx+c通过配方，化为y=a（x-h）2+k形式，即
y=
∴对称轴为直线x=
顶点坐标为
2
4
-3
-1
1. 用公式求抛物线y=2x2+4x-3的对称轴和顶点坐标.
解：∵a=__________，b=__________，c=__________，
∴ =______________=__________，
=________________________________=__________，
∴对称轴是__________________________，
顶点坐标是__________________________．
-5
直线x=-1
（-1，-5）
典型例题
知识点1：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标公式
【例1】 求抛物线y=x2－x的开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：∵a=1,b=-1,c=0,
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为 对称轴为直线x=
变式训练
2. 求抛物线y=－2x2－6x+7的开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：∵a=-2,b=-6,c=7,
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为 对称轴为直线x=
典型例题
知识点2：利用顶点坐标公式求参数的值
【例2】已知抛物线y=x2+2mx+m，其中m为常数. 若抛物线的对称轴为直线x=2，求m的值及抛物线的解析式.
解：∵该抛物线的对称轴为直线x=2，
∴ ＝2. 解得m=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-2.
变式训练
3. 已知抛物线y=x2+（m-1）x- 的顶点的横坐标是2，求m的值.
解：∵抛物线y=x2+（m-1）x- 的顶点的横坐标是2，
∴
解得m=-3.
分层训练
A组
4. 求二次函数y=x2-2x+3的对称轴和顶点坐标.
解：∵a=1，b=-2，c=3，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,2）.
5. 求抛物线y=-x2+3x的对称轴和最值.
解：∵a=-1，b=3，c=0，
∴该二次函数的对称轴为直线x= 当x= 时y有最大值为
B组
6. 求抛物线y=－ x2-x+ 的对称轴和顶点坐标.
解：∵a= b=-1，c=
∴该二次函数的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1,4）.
7. 已知抛物线y=x2-bx+3的对称轴为直线x=2.
（1）求b的值；
（2）抛物线的顶点坐标.
解：（1）根据顶点坐标公式，得 =2，
∴b=4.
（2）∵抛物线为y=x2-4x+3，
∴顶点坐标为（2，-1）.
C组
8. 已知抛物线y=x2-2kx+3k+4．若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.
解：∵抛物线的顶点在x轴上，
解得k=4或-1.
9. 已知（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数
y=-x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3
B. y3＜y2＜y1
C. y3＜y1＜y2
D. y1＜y3＜y2
D(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
第26课时 实际问题与二次函数（2）——
商品利润
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 常用等量关系：利润=售价-进价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率= ×100%.通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数最值问题，从而使问题得到解决.
1. 某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则可卖出（300-10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为_________________________.
y=-10x2+500x-6 000
典型例题
知识点1：利润问题——常规型
【例1】某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件. 现采取提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每涨价1元，每天的销售量就减少10件.设该商人将每件售价定为x元，每天获得的总利润为y元，回答下列问题：
（1）提价后，销售每件商品可获利__________元，每天少销售_____________件商品；
（2）当每件售价x定为多少元时，可使每天所获利润最大？并求出每天的最大利润.
（x-8）
10（x-10）
解：（2）y=（x-8）［100-10（x-10）］=-10（x-14）2+360（10≤x＜20）.
∵a=-10＜0，
∴当x=14时，y有最大值360.
答：将售价x定为14元时，可使每天所获利润最大，每天的最大利润是360元.
变式训练
2. 商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元.为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出4件.若要使商场平均每天的盈利最大，则每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元，商场平均每天盈利为y元，则
y=（45-x）（20+4x）=-4x2+160x+900=-4（x-20）2+2 500.
∴当x=20时，y取得最大值，此时y=2 500.
答：若要使商场平均每天盈利最大，则每件衬衫应降价20元.
典型例题
知识点2：利润问题——借助图象或表格
【例2】商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图1-22-26-1．
（1）y与x之间的函数关系式为
___________________________；
（2）销售单价定为多少，才能使
销售该商品每天获得的利润w（元）
最大？最大利润是多少？
y=-2x+160
解：（2）由题意，得w=（x-30）（-2x+160）
=-2（x-55）2+1 250.
∵-2＜0，
∴当x=55时，w有最大值，此时，w=1 250.
答：销售单价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1 250元.
变式训练
3. 某公司在某网络平台上进行直播销售防疫包，已知防疫包的成本价格为6元/个，每日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元，设公司销售防疫包的日获利为w（元）．（日获利=日销售额-成本）
x/（元·个-1） 7 8 9
y/个 4 300 4 200 4 100
（1）y与x之间的函数关系式为____________________________；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种防疫包的日获利w最大？最大利润为多少元？
y=-100x+5 000（6≤x≤30）
解：（2）w=（x-6）（-100x+5 000）=-100（x-28）2+48 400.
∵-100＜0，
∴当x=28时，w取得最大值，最大值为48 400.
答：当销售单价定为28元时，销售这种防疫包的日获利w最大，最大利润为48 400元．
分层训练
A组
4. 某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本.书城准备开展“读书节”活动，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A. y=(30－x)(200+40x) B. y=(30－x)(200+20x)
C. y=(30－x)(200－40x) D. y=(30－x)(200－20x)
B
5. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=(x－40)(500－10x)
B. y=(x－40)(10x－500)
C. y=(x－40)［500－10(x－50)］
D. y=(x－40)［500－10(50－x)］
C
B组
6. 小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天的销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间的关系式为y=-10x+700（40≤x≤55）.当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：设每天获得的利润为w元.
根据题意，得w=（x-30）y=（x-30）（-10x+700）
=-10x2+1 000x-21 000
=-10（x-50）2+4 000.
∵a=-10＜0，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为4 000.
答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润为
4 000元.
C组
7. 某超市销售一种商品，成本价为20元/kg，经市场调查，每天的销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间的关系如图1-22-26-2，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
（1）y与x之间的函数关系式为_______________；
（2）请写出w与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，
该超市每天的利润最大？最大利
润是多少元？
y=-x+180
解：（2）由题意，得w=（x-20）（-x+180）=-x2+200x-3 600（30≤x≤80）.
（3）w=-x2+200x-3 600=-（x-100）2+6 400.
∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=100，
∴当x＜100时，w随x的增大而增大.
∴当x=80时，w有最大值，此时w=6 000.
答：当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6 000元．(共26张PPT)
第二十二章 二次函数
第27课时 实际问题与二次函数（3）——
实物抛物线
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 利用二次函数解决实物抛物线问题：
①建立适当直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标系中；
②从已知条件中获得求二次函数所需的条件；
③用待定系数法求出抛物线的解析式；
④运用求得的抛物线解决相关问题．
1. 如图1-22-27-1，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为h=
（t-3）2+40，当小球运动时间为_________________时，小球的高度为30 m.
4.5 s或1.5 s
典型例题
知识点1：运动路径问题
【例1】 一男生掷铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y= x+ 铅球运行路线如图1-22-27-2.
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进
高度能否达到4 m.
解:（1）令y=0，即
解得x1=-2（不符题意，舍去），x2=10.
∴铅球推出的水平距离是10 m.
（2）对于y=
∵ =4,
∴y的最大值为 =3<4.
∴铅球行进高度不能达到4 m.
变式训练
2. 在体育测试中，九年级的一名男生推铅球.已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图1-22-27-3.如果这个男生的出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的
坐标是
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男生能把铅球推出去多远
解：（1）设二次函数的解析式是y=a(x-4)2+
将(0,2)代入，得
a·(0-4)2+ =2.
解得a=
∴二次函数的解析式是y=
（2）令y=0,得 =0.
解得x1=-4(不合题意，舍去)，x2=12.
答：该男生能把铅球推出去12 m.
典型例题
知识点2：拱桥问题
【例2】 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如图1-22-27-4，把它的图形放在直角坐标系中.
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图1-22-27-4，在抛物线的对称轴
右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
解:（1）设函数关系式为y=a(x-5)2+4.
将(0,0)代入上式，得
a(0-5)2+4=0.
解得a=
∴所求函数关系式为y= (x－5)2+4.
（2）当x=5+1=6时，y= ×(6-5)2+4=
答：在抛物线的对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是 m.
变式训练
3. 某隧道截面如图1-22-27-5，它是由抛物线和长方形构成.已知OA=12 m，OB=4 m.抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10 m，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）由于隧道较长，在抛物线型拱壁
上需要安装两排灯，使它们到地面的高
度相同.如果灯离地面的高度是8 m，求
两排灯的水平距离.
解：（1）根据题意，得顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4）.
设函数解析式为y=a（x-6）2+10.
把点B（0，4）代入，得36a+10=4.
解得a=
∴所求的函数解析式为y= （x-6）2+10.
（2）把y=8代入y= （x-6）2+10，得
（x-6）2+10=8.
解得x1=6+2 x2=6-2
∴所求的距离为x1-x2=4 (m).
答：两排灯的水平距离是4 m.
分层训练
A组
4. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图1-22-27-6所示的抛物线.点(4,3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数
解析式为_____________________．
y= (x－4)2+3
5. 有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图1-22-27-7所示的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为
___________________________________.
y= （x-20）2+16
B组
6. 如图1-22-27-8所示是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，正中间的立柱OC的高为10 m（不考虑立柱的粗细），相邻立柱间的水平距离为10 m．建立如图所示坐标系，求距A点最近处的立柱EF的高度．
解：由题意，得C(50,10)，A(0,0).
设该抛物线对应的函数关系式为y=a(x－50)2+10.
把(0,0)代入，得0=a(0－50)2+10.
解得a=
故函数关系式为y= (x－50)2+10.
当x=10时，y= ×(10－50)2+10=3.6.
答：EF的高度为3.6 m．
7. 某小区有一半径为8 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3 m处达到最高，高度为5 m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图1-22-27-9所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，
喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高
1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心
多少米以内？
解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数关系式为
y=a(x－3)2+5(a≠0).
将(8,0)代入y=a(x－3)2+5，得25a+5=0.
解得a=
∴水柱所在抛物线的函数关系式为y= (x－3)2+5(0（2）当y=1.8时，有 (x－3)2+5=1.8.
解得x1=－1（不符题意，舍去），x2=7.
∴为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m以内．
C组
8. 如图1-22-27-10，一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6 m.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽2 m，通过
计算说明其能否从该隧道内通过；
（3）如果隧道内设双行道，那么这
辆货车是否可以顺利通过 为什么？
解:（1）由题意，得P(4,6),
∴可设函数解析式为y=a(x-4)2+6.
将(0,2)代入上式，得2=a(0-4)2+6.
解得a=
∴函数解析式为y= (x-4)2+6.
(共28张PPT)
第二十二章 二次函数
第28课时 与二次函数相关的综合题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.解这类问题的关键是将函数问题转化为方程问题，利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，同时注意挖掘题目中的一些隐含条件，数形结合地解决问题.
1. 如图1-22-28-1，已知抛物线y=x2+2x-3与坐标轴交于点A,B,C.
（1）点A,B,C三点坐标分别为
_________________________________；
（2）△ABC的面积为__________；
（3）直线AC的解析式为_______________，直线BC的解析式为_______________________.
A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）
6
y=-x-3
y=3x-3
典型例题
知识点1：求面积
【例1】如图1-22-28-2，已知二次函数y= x2+4x-6的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点D，对称轴与x轴交于点C.
（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）求△ACD的面积.
解：（1）当y=0时， x2+4x-6=0.
解得x1=2，x2=6.
∴A（2，0），B（6，0）.
∵A点和B点为对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=4.
∴C（4，0）.
当x=0时，y=-6,∴D(0,-6).
∴点A,B,C,D的坐标分别为（2，0），（6，0），（4，0），（0，-6）.
（2）△ADC的面积为 ×6×（4-2）=6．
变式训练
2. 如图1-22-28-3，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M.
（1）求点A，B，C，M的坐标；
（2）求四边形ABMC的面积.
解：（1）当y=0时，x2-3x-4=0.
解得x1=-1，x2=4.
∴A（-1，0），B（4，0）.
当x=0时，y=-4,
∴C(0,-4).
∵y=x2-3x-4=
∴
∴点A,B,C,M的坐标分别为（-1，0），（4，0），（0，-4），
（2）如答图22-28-1，连接OM.
S四边形ABMC=S△AOC+S△OMC+S△OBM=
典型例题
知识点2：和面积相关的分类讨论问题
【例2】如图1-22-28-4，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，顶点为D，与y轴交于点C．
（1）点A，B，C，D的坐标分别为_________________________
________________________________；
A（-1,0），B（3,0），C（0，-3），D（1，-4）
8
（2）S△ABD=__________；
（3）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出点P的坐标．
解：（3）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．
令y=4，则x2-2x-3=4.
解得x1=1+2 x2=1-2
∴点P的坐标为（1+2 4）或（1-2 4）．
变式训练
3. 如图1-22-28-5，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C．
（1）点A,B,C的坐标分别为
_________________________________；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得
S△OBC=4S△AOP？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
A（-1，0），B（4，0），C（0，4）
解：（2）存在.由（1）可知AO=1，BO=CO=4.
设点P（x，y）.
∵S△OBC=4S△AOP，
∴ ×OB×OC=4× ×AO×|y|.
∴|y|=4.∴y=±4.
①当y=4时，4=-x2+3x+4，∴x1=0，x2=3.
∴点P的坐标为（0，4）或（3，4）.
②当y=-4时，-4=-x2+3x+4，
∴点P的坐标为
综上所述，点P的坐标为(0,4)或（3,4）或
典型例题
知识点3：求线段的最值
-m2+3m
【例3】如图1-22-28-6，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A，与一次函数y=x-3交于B，C两点. 点F是线段BC上的点，且EF∥y轴，点E在抛物线上.
（1）若点F的横坐标为m，则EF=__________
（用含m的代数式表示）；
（2）求EF的最大值.
解：（2）当-x2+4x-3=x-3时，解得x1=0，x2=3，则C（0，-3），B（3，0）.
∴EF=-m2+3m= （0＜m＜3）.
∴当m= 时，EF有最大值，最大值为
变式训练
4. 如图1-22-28-7，抛物线y=x2+2x-3与x轴相交于A，B两点，点C为抛物线与y轴的交点.
（1）求直线AC的解析式；
（2）设点Q为线段AC上的动点，
作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线
段QD长度的最大值.
解：（1）令y=0,即x2+2x-3=0.
解得x1=1,x2=-3.
∴A(-3,0),B(1,0).
令x=0,则y=-3.∴C(0,-3).
设直线AC的解析式为y=kx+b.
将A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+b，得
解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3.
-3k+b=0,
b=-3.
k=-1,
b=-3.
（2）设Q点坐标为（m，-m-3）（-3（m，m2+2m-3）.QD=（-m-3）-（m2+2m-3）=-m2-3m=
∴当m= 时，QD有最大值，最大值为
分层训练
A组
5. 如图1-22-28-8，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0.
解得x1=-1，x2=3.
又∵A在B左边，∴A（-1，0），B（3，0）.
在y=-x2+2x+3中，令x=0，得y=3.∴C（0，3）.
（2）∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4.
∵C（0，3），∴OC=3.∴S△ABC= ×4×3=6.
B组
6. 如图1-22-28-9,抛物线y=x2+bx-c经过点A（3，0），B（0，-3）.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）记抛物线的顶点为D，抛物线与
x轴的另一个交点为C，设P为抛物线上
一动点，求使S△PAC=3S△DAC时，点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y=x2+bx-c经过点A（3，0），B（0，-3），
∴
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
c=3,
9+3b－c=0.
解得
b=－2,
c=3.
（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点D（1，-4），易知C（-1，0）.
设P（m，m2-2m-3）.
∵S△PAC=3S△DAC，∴ ·AC·（m2-2m-3）=3· ·AC·4.
∴m2-2m-15=0.解得m=5或-3.
∴P（5，12）或（-3，12）．
C组
7. 如图1-22-28-10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-4经过A（-4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上
一动点，点M的横坐标为m，△AMB的
面积为S．求S关于m的函数关系式，
并求出S的最大值．
解：（1）把A（-4，0），C（2，0）代入y=ax2+bx-4，得
∴抛物线的解析式为y= x2+x-4.
16a－4b－4=0,
4a+2b－4=0.
解得
a=
b=1.
（2）如答图22-8-2，过点M作MN⊥x轴交AB于点N.
由题意得直线AB的解析式为y=-x-4.
∵M （-4＜m＜0），则N（m，-m-4），
∴MN=-m-4- m2 -2m.
∴S= ·OA·MN= ×4×- =
-m2-4m=-（m+2）2+4.
∴当x=-2时，S有最大值，最大值为4.(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
第22课时 二次函数与一元二次方程（2）——
利用图象解决问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与字母系数a，b，c之间的关系：
①当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；②若对称轴在y轴的左边，则a，b同号，若对称轴在y轴的右边，则a，b异号,简称“左同右异”；③若抛物线与y轴的正半轴相交，则c＞0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c＜0，若抛物线经过原点，则c=0.
>
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图1-22-22-1.
（1）因为开口向上，所以a__________0；
（2）因为对称轴在y轴左侧，所以
__________0，又因为a__________0，所以b__________0；
（3）因为与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c__________0.
<
>
>
<
典型例题
知识点1：抛物线与x轴
【例1】 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-22-22-2.根据图象填空：
（1）抛物线的对称轴是__________；
（2）当x=__________时，y=0；
（3）当___________________时，y＞0；
（4）当________________时，y＜0.
直线x=-1
-3或1
x＜-3或x＞1
-3＜x＜1
变式训练
2. 如图1-22-22-3，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，点A(-1,0)为其与x轴的一个交点，则
（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为__________；
（2）当x=__________时，y=0；
（3）当__________时，ax2+bx+c＞0；
（4）当_______________时，ax2+bx+c＜0.
（3,0）
-1或3
-1＜x＜3
x＜-1或x＞3
典型例题
知识点2：抛物线与一般的直线
【例2】 如图1-22-22-4，直线y1=x+m和抛物线y2=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），则
（1）当x=__________时，y1=y2；
（2）当__________时，y1＞y2；
（3）当______________时，y1＜y2.
1或3
1＜x＜3
x＜1或x＞3
变式训练
3. 如图1-22-22-5，直线y1=mx+n和抛物线y2=ax2+bx+c都经过点C（0，3）和B（3，0），则
（1）当x=__________时，y1=y2；
（2）当_______________时，y1＞y2；
（3）当__________时，y1＜y2.
0或3
x＜0或x＞3
0＜x＜3
典型例题
知识点3：二次函数的图象与字母系数之间的关系
【例3】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1-22-22-6，那么下列说法正确的是（ ）
A. a＞0，b＞0，c＞0
B. a＜0，b＞0，c＞0
C. a＜0，b＞0，c＜0
D. a＜0，b＜0，c＞0
B
变式训练
4. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-22-22-7，则下列结论正确的是（ ）
A. a>0
B. b>0
C. a－b+c>0
D. a+b+c<0
B
分层训练
A组
5. 已知抛物线y=x2-4x+c 与x轴交于点（1，0）和（3，0）.
（1）对称轴是__________；
（2）当y＜0时，x的取值范围是__________；
（3）当__________________时，x2-4x+c＞0.
直线x=2
1＜x＜3
x＜1或x＞3
6. 如图1-22-22-8，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-2，0），对称轴是直线x=1.
（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为__________；
（2）当______________________时，ax2+bx+c＞0；
（3）当______________________时，y＜0.
（4,0）
-2＜x＜4
x＜-2或x＞4
B组
7. 如图1-22-22-9，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，6）和B（8，3）.
（1）当__________时，y1= y2；
（2）当_______________时，y1＞y2；
（3）ax2+bx+c≤kx+m的解集为_____________.
x=-2或8
x＜-2或x＞8
-2≤x≤8
8. 如图1-22-22-10所示是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A. －1B. x>5
C. x<－1且x>5
D. x<－1或x>5
A
C组
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-22-22-11，它的对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是__________．(填序号)
①abc>0；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=－1，
x2=3；
③2a+b=0；
④当x>0时，y随x的增大而减小.
②③
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图1-22-22-12，图象过点(－1,0)，对称轴为直线x=1.有下列结论：①abc<0；②b0时，－1A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
D(共31张PPT)
第二十二章 二次函数
第29课时 二次函数单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：二次函数的图象和性质
【例1】抛物线y=-5（x+2）2-6的对称轴和顶点分别是（ ）
A. 直线x=2和（2，-6）
B. 直线x=2和（-2，-6）
C. 直线x=-2和（-2，-6）
D. 直线x=-2和（2，-6）
C
变式训练
1. 下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 顶点坐标为（-1，2）
C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
D. 抛物线与x轴有两个交点
D
典型例题
知识点2：用待定系数法求二次函数的解析式
【例2】 已知抛物线的顶点为（2，4），并过点（1，2）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求抛物线与x轴，y轴的交点坐标.
解：（1）设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+4.
将(1,2)代入上式，得2=a(1-2)2+4.
解得a=-2.
∴二次函数的解析式为y=-2（x-2）2+4.
（2）y=-2(x-2)2+4.
令y=0,即-2（x-2）2+4=0.
解得x1=2+ x2=2-
∴抛物线与x轴的交点为（2+ 0），（2- 0）.
令x=0,得y=-2×(0-2)2+4=-4.
∴抛物线与y轴的交点为（0,-4）.
变式训练
2. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3）和点（3，0）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）该函数的图象可以由y=x2的图象经过怎样的平移得到？
解：（1）将(4,3),(3,0)分别代入y=x2+bx+c，得
解得
∴二次函数的解析式是y=x2-4x+3.
3=16+4b+c,
0=9+3b+c.
b=-4,
c=3.
（2）y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.
∴它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.
典型例题
知识点3：二次函数的实际应用
【例3】 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元. 市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60（30≤x≤60）. 设这种双肩包每天的销售利润为W元.
（1）求W与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）W=（x-30）·y=（x-30）（-x+60）
=-x2+30x+60x-1 800=-x2+90x-1 800，
即W与x之间的函数解析式为W=-x2+90x-1 800.
（2）根据题意,得
W=-x2+90x-1 800=-（x-45）2+225.
∵-1＜0，
∴当x=45时，W有最大值，最大值是225.
答：当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润为225元.
变式训练
3. 用长为32 m的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x m，面积为y m2.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）能否围成面积最大的养鸡场？如果能，请求出x的值及最大面积；如果不能，请说明理由.
解：（1）y=x(16-x)=-x2+16x（0＜x＜16）.
（2）能围成面积最大的养鸡场.
∵y=-x2+16x=-(x2-16x)=-(x2-16x+64-64)=-（x-8）2+64，
∴当x=8时，y取得最大值，此时y=64.
即当x=8时，围成的养鸡场的面积最大，最大面积是64 m2.
典型例题
知识点4：二次函数的综合
【例4】 如图1-22-29-1，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）,B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，
使△PAC周长最小？若存在，请求出点P的
坐标以及△PAC的周长；若不存在，请说
明理由．
解：（1）根据题意,得
a+b+3=0,
9a－3b+3=0.
解得
a=－1,
b=－2.
∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
（2）存在.如答图22-29-1，连接BC交抛物线的对称轴于点P.
∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴此时PA+PC最小.
∵A（1，0），C（0，3），
∴AC= 是定值.
∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC=3
∴△PAC的周长的最小值为BC+AC=3
设直线BC的解析式为y=kx+b1.
把B（-3，0）,C（0，3）代入,得
∴直线BC的解析式为y=x+3.
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线x=-1，
∴点P的横坐标为-1.
把x=-1代入y=x+3,得y=2.
∴点P的坐标为（-1，2）.
－3k+b1=0,
b1=3.
解得
k=1,
b1=3.
变式训练
4. 如图1-22-29-2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，其中点A的坐标为(－1,0)，与y轴交于点C,M(2,9)为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x－2)2+9.
将点A的坐标代入上式，得0=a(－1－2)2+9.
解得a=－1.
故抛物线的解析式为y=－(x－2)2+9=－x2+4x+5.
（2）由（1）求得的抛物线的解析式知，点C(0,5).
如答图22-29-2,过点M作y轴的平行线交BC于点H.
∵A(-1,0)，且抛物线的对称轴为直线x=2,
∴B(5,0).
则直线BC的函数解析式为y=－x+5.
则点H(2,3).
∴S△MCB= HM·BO= ×(9-3)×5=15．
分层训练
A组
5. 下列各点在抛物线y=2x2上的是（ ）
A. （2，2） B. （2，4）
C. （2，8） D. （2，16）
6. 把抛物线y=2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____________________.
C
y=2（x+2）2-1
7. 下列是对二次函数y=2（x-3）2+1的描述，其中正确的是（ ）
A. 图象的开口向下
B. 图象的对称轴为直线x=-3
C. 函数的最小值为1
D. 当x＜3时，y随x的增大而增大
C
8. 抛物线y=x2-2x+2与y轴的交点坐标为（ ）
A. （0，2） B. （1，1）
C. （2，0） D. （0，-2）
9. 二次函数y=－3(x+2)2－1的最大值是__________．
A
－1
B组
10. 已知二次函数y=x2+4x-6．
（1）将二次函数的解析式化为y=a（x-h）2+k的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
解：（1）y=x2+4x+4-6-4=（x+2）2-10.
（2）y=（x+2）2-10，
∵a=1＞0，
∴二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是（-2，-10）．
11. 如图1-22-29-3，用一段长20 m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园ABCD．
（1）设菜园的面积为y m2，AB为x m，求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为多少时，y有最大值？求出最大值.
解：（1）由题意，得
y=x（20-2x）=-2x2+20x.
（2）∵y=-2x2+20x=-2（x-5）2+50，
∴当x=5时，y取得最大值，最大值为50 m2.
C组
12. 如图1-22-29-4，已知点A(－1,0)，一次函数y= x+2的图象交坐标轴于点B,C，二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A,C,B. 点Q是二次函数图象上的一动点．当S△QAB=5S△AOC时，求点Q的坐标.
解：∵一次函数y= x+2的图象交坐标轴于点B，C，
∴B(4,0)，C(0,2).∴S△AOC= ×2×1=1.
∵S△QAB=5S△AOC，∴S△QAB= (4+1)×|yQ|=5，则|yQ|=2.
∴yQ=±2.
将A,B的坐标代入y=ax2+bx+2，得
解得
a－b+2=0，
16a+4b+2=0.
∴二次函数的解析式为y=
令y=2，则2= 解得x=0或3.
令y=－2，则－2= 解得
∴点Q的坐标为(0,2)或(3,2)或(共22张PPT)
第二十二章 二次函数
第17课时 二次函数的图象和性质（3）——
y=a(x－h)2(a≠0)
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象与性质
函数 y=a（x-h）2（a＞0） y=a（x-h）2（a＜0）
图象
开口方向 __________ __________
顶点坐标 _____________ _____________
向上
向下
（h,0）
（h,0）
函数 y=a（x-h）2（a＞0） y=a（x-h）2（a＜0）
对称轴 ___________ _________
最值 当x=__________时，y有最__________值，为__________ 当x=__________时，y有最__________值，为__________
增减性 当x＞h时，y随x的增大而__________； 当x＜h时，y随x的增大而__________ 当x＞h时，y随x的增大而__________；
当x＜h时，y随x的增大而__________
直线x=h
直线x=h
h
小
0
h
大
0
增大
减小
减小
增大
B. 二次函数y=a（x-h）2（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图象形状相同，位置不同.函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象是由抛物线y=ax2向右（或左）平移|h|个单位长度得到的.
典型例题
知识点1：画二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象
【例1】 在同一直角坐标系(如图1-22-17-1)中，画出函数y=
x2，y= （x+1）2，y= （x-1）2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= x2
y= （x+1）2
y= （x-1）2
略.
变式训练
1. 在同一直角坐标系(如图1-22-17-2)中，画出函数y=- x2，
y=- （x+3）2，y=- （x-1）2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=- x2
y=- （x+3）2
y=- （x-1）2
略.
典型例题
知识点2：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
【例2】已知抛物线y=（x-2）2.
①开口方向：__________；
②对称轴：__________；
③顶点坐标：__________；
④当x__________时，y随x的增大而增大；
⑤当x=__________时，函数y的最__________值是__________.
向上
直线x=2
（2,0）
≥2
2
小
0
变式训练
2. 已知抛物线y=-3（x+4）2.
①开口方向：__________；
②对称轴：__________；
③顶点坐标：__________；
④当x__________时，y随x的增大而增大；
⑤当x=__________时，函数y的最__________值是__________.
向下
直线x=-4
（-4,0）
≤-4
-4
大
0
典型例题
知识点3：二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的关系
【例3】 将抛物线y=x2向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为_____________________.
y=（x-3）2
变式训练
3. 将抛物线y=－ x2向左平移5个单位长度，所得抛物线的解
析式为____________________________.
y=－ （x+5）2
分层训练
A组
4. 函数y=-5（x-1）2的图象大致是（ ）
B
5. 已知抛物线y=－ (x+2)2.
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，函数y的最__________值是__________.
向下
直线x=-2
（-2,0）
≤-2
-2
大
0
6. 将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. y=x2+1 B. y=x2-1
C. y=（x+1）2 D. y=（x-1）2
D
7. 对于y=2（x-3）2的图象，下列叙述错误的是（ ）
A. 顶点坐标为（-3，0）
B. 对称轴为直线x=3
C. 当x＞3时，y随x的增大而增大
D. 当x=3时，y有最小值0
A
B组
8. 某二次函数当x=5时有最小值0，图象形状与y=2x2相同，则该二次函数的解析式为______________________.
y=2(x-5)2
9. 将抛物线y=（x+2）2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为_______________.
y=x2+3
C组
10. 已知函数y=3(x－2)2的图象上有三点A（ y1）,B（5，y2）,C（－ y3），则y1,y2,y3的大小关系为（ ）
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
B
11. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a（x+c）2的图象大致为（ ）
B(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
第24课时 用待定系数法求二次函数的解析式（2）
——顶点式与交点式
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 顶点式：已知抛物线的顶点坐标（h，k）及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k.
1. 已知抛物线的顶点坐标为（2，-1），则可设这条抛物线的解析式为y=_______________，如果此抛物线经过点（0,0），那么此抛物线的解析式为_____________________________________.
a（x-2）2-1
y= （x-2）2-1
B. 交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）．
2. 已知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则可设这条抛物线的解析式为y=_________________，如果此抛物线经过点（0,3），那么此抛物线的解析式为___________________.
a（x-1）（x-3）
y=x2-4x+3
典型例题
知识点1：已知顶点和另外一点
【例1】 已知抛物线的顶点坐标为（3,3）,且点（2,-2）在抛物线上,求该二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+3.
将点(2,-2)代入，得-2=a(2-3)2+3.
解得a=-5.
∴二次函数的解析式为y=－5(x－3)2+3.
变式训练
3. 已知二次函数的图象经过原点且顶点坐标为（2，-4），求该函数的解析式.
解:设该函数的解析式为y=a(x-2)2-4.
将(0，0)代入上式，得
a(0-2)2-4=0.
解得a=1.
∴该函数的解析式为y=（x-2）2-4.
典型例题
知识点2：已知一点和可以转化为顶点的条件
【例2】已知二次函数图象的对称轴为直线x=3，最小值为-2，且过（0，1），求此函数的解析式.
解:设函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
∵对称轴为直线x=3,∴h=3.
∵最小值为-2,∴k=-2.
∴y=a(x-3)2-2.
将(0,1)代入，得a(0-3)2-2=1.解得a=
∴函数的解析式为y= (x-3)2-2.
变式训练
4. 已知抛物线过点（1，9）,当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小,且函数的最小值为1. 求该二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+1.
将（1，9）代入上式，得a(1-3)2+1=9.
解得a=2.
∴该二次函数的解析式为y=2(x-3)2+1.
典型例题
知识点3：已知与x轴的交点和另外一点
【例3】 已知抛物线经过点A（-4，0），B（-2，6），C（1，0），求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=a(x+4)(x-1).
将B(-2,6)代入,得a(-2+4)(-2-1)=6.
解得a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-(x+4)(x-1)=-x2-3x+4.
变式训练
5. 已知二次函数的图象如图1-22-24-1，求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为
y=a(x-1)(x-2).
将（0，2）代入上式，得
a(0-1)(0-2)=2.解得a=1.
∴二次函数的解析式为
y=(x-1)(x-2)=x2-3x+2.
分层训练
A组
6. 若抛物线过点(2,5)，顶点坐标是(1,3)，求二次函数的解析式．
解：∵抛物线的顶点坐标是(1,3),
∴设二次函数的解析式为y=a(x－1)2+3.
将(2,5)代入，得a(2-1)2+3=5.
解得a=2.
∴二次函数的解析式为y=2(x－1)2+3,
即y=2x2－4x+5．
7. 已知二次函数的图象如图1-22-24-2，求这个二次函数的解析式.
解：由图可知，函数图象的顶点为（1，-1），且过点（2，0）.
设函数的解析式为y=a(x-1)2-1.
将(2,0)代入上式,得a-1=0.
解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x.
B组
8. 已知二次函数的图象如图1-22-24-3．
（1）对称轴为__________；
（2）当x__________时，y随x的增大而减小；
（3）求函数的解析式．
直线x=1
≤1
解：（3）∵函数图象经过点(－1,0)，(3,0)，(0,－2)，
∴设函数的解析式为
y=a(x+1)(x－3).
将点(0,－2)代入，得－3a=－2.
解得a=
∴函数的解析式为y= (x+1)(x-3)= x－2．
9. 二次函数的图象的顶点坐标是(2,1)，且与x轴相交的两点的距离为2，求此二次函数的解析式.
解：∵二次函数的顶点坐标是(2,1)，并且图象与x轴两交点间的距离为2，
∴二次函数图象与x轴两交点坐标为(3,0)与(1,0).
设二次函数的解析式为y=a(x－2)2+1.
把x=1，y=0代入,得0=a+1.
解得a=－1.
∴二次函数的解析式为y=－(x－2)2+1=－x2+4x－3．
C组
10. 抛物线的部分图象如图1-22-24-4，抛物线图象的顶点坐标为A（1，4），与y轴,x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4.
把C（3，0）代入，得a（3-1）2+4=0.
解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
（2）当x=0时，y=-（0-1）2+4=3，则B（0，3）.
如答图22-24-1,作AD⊥y轴于点D.
∵AD=1，OC=3，OD=4，OB=3，
∴S△ABC=S梯形ADOC-S△ABD-S△OBC= ×（1+3）×4- ×1×1-
×3×3=3．
11. 如图1-22-24-5，已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是直线l上的一个动点，当点PA+
PC的值最小时，求点P的坐标.
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）.
又∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=-3a.解得a=1.
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴D（1，-4）.
（2）如答图22-24-2,连接BC，交直线l于点P，此时PA+PC的值最小.
设直线BC的解析式为y=kx+d，则
解得
∴故直线BC的解析式为y=x-3.
由（1）可知直线l为x=1,
∴当x=1时，y=1-3=-2.
∴P（1，-2）.
d=－3,
3k+d=0.
k=1,
d=－3.(共20张PPT)
第二十二章 二次函数
第15课时 二次函数的图象和性质（1）——y=ax2(a≠0)
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 二次函数y=ax2（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0）
图象
开口方向 __________ __________
顶点坐标 _________ ___________
向上
向下
（0,0）
（0,0）
函数 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0）
对称轴 __________ __________
最值 当x=__________时，y有最__________值，为__________ 当x=__________时，y有最__________值，为 __________
增减性 当x＞0时，y随x的增大而__________； 当x＜0时，y随x的增大而__________ 当x＞0时，y随x的增大而__________；
当x＜0时，y随x的增大而__________
y轴
y轴
0
小
0
0
大
0
增大
减小
减小
增大
典型例题
知识点1：用描点法画出y=ax2(a≠0)的图象
【例1】在同一直角坐标系（如图1-22-15-1）中，画出函数y=x2和y=-x2的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=x2
y=-x2
略.
变式训练
1. 在同一直角坐标系（如图1-22-15-2）中，画出函数y= x2和y=- x2的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y= x2
y=- x2
略.
典型例题
知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质
【例2】 已知函数y=2x2，不画图象，回答下列问题：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x≥0时，y随x的增大而__________；
（5）当x=__________时，y＝0；
（6）当x=__________时，函数y的最__________值是__________．
向上
y轴
（0,0）
增大
0
0
小
0
变式训练
2. 已知函数y= x2，不画图象，回答下列问题：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，y＝0；
（6）当x=__________时，函数y的最__________值是__________.
向下
y轴
（0,0）
≤0
0
0
大
0
分层训练
A组
3. 抛物线y= x2的顶点坐标是（ ）
A. (0,－ ) B. (0, )
C. (0,0) D. (1,－ )
C
4. 抛物线y=2x2，y=-x2，y= x2共有的性质是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是y轴
C. 都有最低点
D. y随x的增大而减小
B
B组
5. 已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的取值范围是（ ）
A. m<－1 B. m<1
C. m>－1 D. m>－2
A
-2
2
7. 已知二次函数y=（a2+1）x2，不画图象，回答下列问题：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，y＝0；
（6）当x=__________时，函数y的最__________值是__________．
向上
y轴
（0,0）
≥0
0
0
小
0
8. 已知函数y=（a+1）x2 的图象如图1-22-15-3，则
（1）a的范围是__________；
（2）当x__________时，y随x的增大而增大.
a＜-1
＜0
9. 点（-2，y1），（-3，y2）是抛物线y=-x2上的两点，则下列选项正确的是（ ）
A. y1＞y2 B. y2＞y1
C. y1=y2 D. 不确定
A
C组
10. 已知函数y＝（m－3）xm －3m－2为二次函数.
（1）若其图象开口向上，求函数的关系式；
（2）若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式.
2
解：（1）依题意，得m2-3m-2=2.
整理,得m2-3m-4=0.
解得m1=4，m2=-1.
又∵函数图象开口向上，
∴m-3＞0.
解得m＞3. ∴m=4.
∴函数关系式为y=x2.
（2）∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m-3＜0. 解得m＜3.
∴m=-1.
∴函数关系式为y=-4x2.
11. 已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）.
（1）求a的值；
（2）若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B，试求出△AOB的
面积.
解：(1)将A(-2，8)代入抛物线y=ax2，得(-2)2a=8. 解得a=2.
(2)由(1)可知，函数的解析式为y=2x2.
当y=8时，2x2=8.
解得x=±2.
则B点坐标为(2，8).
如答图22-15-1，
S△AOB= AB·OD= ×4×8=16.(共20张PPT)
第二十二章 二次函数
第21课时 二次函数与一元二次方程（1）——
抛物线与坐标轴的交点
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 二次函数与一元二次方程的联系:
b2-4ac的符号 b2-4ac______0 b2-4ac______0 b2-4ac______0
二次函数的图象 a>0
a<0
>
=
<
抛物线与x轴的交点个数 __________ __________ __________
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根 _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
2个
1个
0个
有两个不相等的实数根x1，x2
有两个相等的实数根x1=x2
没有实数根
典型例题
知识点1：求二次函数与x轴，y轴的交点坐标
【例1】 求下列抛物线与x轴，y轴的交点坐标：
（1）y=2x2-8；
解：当y=0时，2x2-8=0.
解得x1=2，x2=-2.
当x=0时，y=-8.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2,0）和（-2,0），与y轴的交点坐标为（0，-8）.
（2）y=x2-2x-3.
解：当y=0时，x2-2x-3=0.
解得x1=3，x2=-1.
当x=0时，y=-3.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0），与y轴的交点坐标为（0，-3）.
变式训练
1. 求下列抛物线与坐标轴的交点坐标：
（1）y=x2-2x；
解：当y=0时，x2-2x=0.解得x1=0，x2=2.
当x=0时，y=0.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0,0）和（2,0），与y轴的交点坐标为（0，0）.
（2）y=x2-2x+3.
解：当y=0时，x2-2x+3=0.方程无实数根.
当x=0时，y=3.
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为（0，3）.
典型例题
知识点2：根据抛物线与x轴的交点个数求参数的取值（范围）
【例2】已知二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴有交点，求k的取值范围.
解：∵二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴有交点，
∴Δ=（-2）2-4k≥0.
解得k≤1.
变式训练
2. 若函数y=x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值.
解：根据题意，得Δ=（-4）2-4×2a=0.
解得a=2.
典型例题
知识点3：二次函数与一元二次方程的解
x1=-1,x2=4
【例3】 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图1-22-21-1，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________________.
变式训练
3. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图1-22-21-2，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为______________________.
x1=-1，x2=3
分层训练
A组
4. 抛物线y=2（x-3）（x+4）与x轴交点的坐标为（ ）
A. （-3,0）和（-4,0）
B. （0， 3）和（0，-4）
C. （0，-3）和（0,4）
D. （3,0）和（-4,0）
D
5. 填空：
（1）抛物线y＝x2-2x-3与x轴的交点个数是__________;
（2）抛物线y＝x2+2x+1与x轴的交点个数是__________;
（3）抛物线y＝x2+x+4与x轴的交点个数是__________.
2
1
0
6. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（-2，0），（1，0），则方程ax2+bx+c=0的解为________________________.
7. 若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为__________．
x1=-2，x2=1
-1
B组
8. 二次函数y=x2-6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A. （-1，0） B. （4，0）
C. （5，0） D. （-6，0）
C
9. 将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后得到的抛物线与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
B
C组
10. 如图1-22-21-3，已知抛物线y=-x2+2x+8与坐标轴交于A，B，C三点，求△ABC的面积.
解：当y=0时，-x2+2x+8=0.
解得x1=-2,x2=4.
∴A(-2,0),B(4,0).
当x=0时，y=8.
∴C(0,8).
∴S△ABC= ×6×8=24.
11. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，求k的取值范围.
解：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，
∴Δ=(-7)2-4k×(-7)≥0且k≠0.
解得k≥ 且k≠0.(共29张PPT)
第二十二章 二次函数
第14课时 二次函数的相关概念
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的性质列表如下：
a的符号 a＞0 a＜0
图象
开口方向 向上 向下
二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的性质列表如下：
对称轴
顶点坐标
二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的性质列表如下：
增减性 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；
当x＞ 时，y随x的增大而减小
二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的性质列表如下：
最值 当x= 时，y有最小值，y最小值= 当x= 时，y有最大值，y最大值=
二次函数的图象和性质 二次函数的解析式有以下三种常见形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）
二次函数与一元二次方程 b2－4ac的取值 b2－4ac＞0 b2－4ac=0 b2－4ac＜0
二次函数y=ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴的交点 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根 有两个不相等的实数根x1,x2 有两个相等的实数根x1=x2 没有实数根
实际问 题与二 次函数 （1）利用二次函数解决几何图形中的最值问题；
（2）利用二次函数解决利润问题；
（3）构建二次函数模型解决实际问题
知识点导学
A. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数. 其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
B. 自变量的取值范围：
①分母≠0；②根号内的式子≥0.
×
√
1. 判断，是二次函数的打“√”，不是的打“×”.
（1）y=2x+1; （ ）
（2）y=x2+2.（ ）
2. 填空：
（1）函数y= 中，x的取值范围是__________；
（2）函数y= 中，x的取值范围是__________.
x≠6
x≥2
典型例题
知识点1：二次函数的定义
【例1】 下列函数：①y=3x+1，②y=4x2－3x，③y= ④y=－2x2+5，是二次函数的是（ ）
A. ①② B. ②④
C. ②③ D. ①④
B
变式训练
3. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. y=2x2 B. y=2x-2
C. y=ax2 D. y＝
A
典型例题
知识点2：自变量的取值范围
【例2】 求下列函数自变量的取值范围：
（1）y= __________；
（2）y= __________；
（3）y=x2：_______________.
（4） y= __________________.
x≠0
x≤5
x为任意实数
x≥-1且x≠3
变式训练
4. 写出下列函数的自变量x的取值范围：
（1） __________；
（2）y=2x－3x2：__________________；
（3）y= ___________________；
（4）y= __________.
x≠-2
x为任意实数
x≥-3
x＞1
典型例题
知识点3：实际问题中的二次函数
【例3】 设矩形窗户的周长为6 m，窗户面积为S（m2）.
（1）求S与窗户一边x(m)之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围;
（3）当x=1时，求S的值.
解:（1）S=x(3-x)=-x2+3x.
（2）0＜x＜3.
（3）当x=1时，S=1×（3-1）=2．
变式训练
5. 一个直角三角形的两条直角边之和为18，其中一条直角边的长为x.
（1）求这个直角三角形的面积y与x的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当x=2时，求y的值.
解：（1）y= x（18-x）=- x2+9x.
（2）0＜x＜18.
（3）当x=2时，y=- ×22+9×2=16．
分层训练
A组
6. 当函数y=(a－1)x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A. a=1 B. a=－1
C. a≠－1 D. a≠1
D
7. 下列函数属于二次函数的是（ ）
A. y=－3x2+1 B. y=
C. y= D. y=2x+5
A
8. 对于二次函数y=-x2-1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c,描述正确的是（ ）
A. a=-1，b=-1，c=0
B. a=-1，b=0，c=1
C. a=-1，b=0，c=-1
D. a=1，b=0，c=-1
C
9. 求下列函数的自变量的取值范围：
（1）y=x2+5； （2）y=
解：x是任意实数.
解：x是任意实数.
B组
10. 已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. ±2 D. 0
11. 已知y=x2+3x-1.
（1）当x=1时，y=__________；
（2）当x=-4时，y=__________.
B
3
3
12. 求下列函数自变量的取值范围：
（1）y= __________；
（2）y= __________；
（3）y= ______________________；
（4）y= ____________________.
x≥-4
x＞-2
x≥-2且x≠-1
x≥-2
13. 用40 cm的绳子围成一个矩形，则矩形的面积y（cm2）与一边长为x（cm）之间的函数关系式为______________________.
14. 2020年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5 000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩数y（枚）与x的函数关系式是____________________________.
y=-x2+20x
y=5 000（1+x）2
C组
15. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成，已知墙长为18 m（如图1-22-14-1），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m，平行于墙的一边长为y m.
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）写出自变量的取值范围.
得
16. 如图1-22-14-2，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，点P,Q分别从点A,B同时出发.
（1）写出△PBQ的面积S与出发
时间t（s）的函数关系式；
（2）直接写出t的取值范围．
解：（1）由题意，得
BP=12-2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S与出发时间t（s）的解析式为
S= （12-2t）×4t=-4t2+24t.
（2）t的取值范围为0＜t＜6．(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
第23课时 用待定系数法求二次函数的
解析式（1）——一般式
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 已知二次函数图象上三点的坐标求二次函数的解析式的方法：
（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；
（2）代入三点坐标，列出方程组；
（3）解出a,b,c，并写出解析式.
_____________,
_____________,
_____________,
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，-1），（-1,5）和（0,3），求抛物线的解析式.
解：将点（1，-1），（-1,5）和（0,3）代入解析式，得
∴抛物线的解析式为_______________________.
_____________,
_____________,
_____________,
解得
a=
b=
c=
a+b+c=-1
a-b+c=5
c=3
-1
-3
3
y=-x2-3x+3
典型例题
知识点1：已知对称轴是y轴，求二次函数的解析式
【例1】已知抛物线y=ax2.
（1）若抛物线经过点（1， 4），则抛物线的解析式为__________；
（2）若抛物线经过点（4，-2），则抛物线的解析式为
__________________.
y=4x2
y= x2
变式训练
2. 已知抛物线y=ax2+k(a≠0)经过点(－3，2)，(0，－1)，求该二次函数的解析式．
解：将（-3，2），（0，-1）代入y=ax2+k，得
∴二次函数的解析式为y= x2－1．
9a+k=2，
k=－1.
a=
k=－1.
解得
典型例题
知识点2：已知a,b,c中任一字母的值，求二次函数的解析式
【例2】已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，2）和（1，-1），求二次函数的解析式.
解：将(0,2),(1,-1)代入y=x2+bx+c，得
02+0×b+c=2,
12+b+c=-1.
解得
b=-4,
c=2.
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+2.
变式训练
3. 已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）,（-1，6）,求二次函数的解析式.
解：将(2,0),(-1,6)代入y=ax2+bx，得
解得
∴二次函数的解析式为y=2x2-4x.
4a+2b=0,
a-b=6.
a=2,
b=-4.
典型例题
知识点3：已知抛物线上的三点，求二次函数的解析式
【例3】 一个二次函数的图象经过点A(1,0)，B(2,0)和C(3,4)，求这个二次函数的表达式．
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
把A(1,0)，B(2,0)，C(3,4)代入，得
a+b+c=0，
4a+2b+c=0，
9a+3b+c=4.
解得
a=2，
b=－6，
c=4.
∴二次函数的表达式为y=2x2－6x+4．
变式训练
4. 如图1-22-23-1所示是一条抛物线，求其解析式.
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由图可得抛物线经过点（-1，0）,(3,0),(0,-3).
将三点代入，得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
a－b+c=0,
9a+3b+c=0,
c=－3.
a=1，
b=－2，
c=－3.
分层训练
A组
5. 若抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（1，3），则该抛物线的解析式为__________.
6. 已知二次函数y=ax2-1（a≠0）的图象经过点（1，-2），则二次函数的解析式为__________.
y=3x2
y=-x2-1
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点，求抛物线的解析式.
解：将A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)代入解析式，得
解得
∴抛物线的解析式为y= x2+x.
4a－2b+c=－4，
c=0，
4a+2b+c=0.
a=
b=1,
c=0.
B组
8. 已知抛物线y=x2+bx+c过点P（2，3），Q（-1，6）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标.
解：(1)将P(2,3)，Q(-1,6)代入y=x2+bx+c,
得 解得
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x+3.
（2）y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,2）.
4+2b+c=3,
1－b+c=6.
b=-2,
c=3.
9. 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点（m，-8）在此抛物线上，求m的值.
解：（1）将A(2,4),B(6,0)代入y=ax2+bx,
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2+3x.
4a+2b=4,
36a+6b=0.
a=
b=3.
（2）将点(m,-8)代入y= x2+3x，得
m2+3m=-8.
解得m=8或-2.
C组
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时，y=3；当x=－1时，y=－8；当x=2时，y=1.求这个二次函数的解析式．
解：根据题意，将x=4，y=3；x=－1，y=－8；x=2，y=1代入y=ax2+bx+c，
得 解得
故二次函数的解析式为y=
16a+4b+c=3，
a－b+c=－8，
4a+2b+c=1.
11. 二次函数y=ax2+bx-3中的x，y满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求m的值.
x … -1 0 1 2 …
y … 0 -3 m -3 …
解：（1）将(-1,0),(2,-3)代入y=ax2+bx-3，
得 解得
故二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
（2）把x=1代入y=x2-2x-3，得
y=1-2-3=-4.
∴m=-4.
a-b-3=0,
4a+2b-3=-3.
a=1,
b=-2.(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
第16课时 二次函数的图象和性质（2）——y=ax2+k(a≠0)
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象与性质
函数 y=ax2+k（a＞0） y=ax2+k（a＜0）
图象
开口方向 __________ __________
顶点坐标 __________ __________
向上
向下
（0,k）
（0,k）
函数 y=ax2+k（a＞0） y=ax2+k（a＜0）
对称轴 _________ ___________
最值 当x=__________时，y有最__________值，为__________ 当x=__________时，y有最__________值，为 __________
增减性 当x＞0时，y随x的增大而__________； 当x＜0时，y随x的增大而__________ 当x＞0时，y随x的增大而__________；
当x＜0时，y随x的增大而__________
y轴
y轴
0
小
k
0
大
k
增大
减小
减小
增大
B. 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同. 函数y=ax2+k（a≠0）的图象是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.
典型例题
知识点1：画二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象
【例1】 在同一直角坐标系(如图1-22-16-1)中，画出函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
略.
变式训练
1. 在同一直角坐标系(如图1-22-16-2)中,画出二次函数
y=-2x2,y=-2x2+3,y=-2x2-3的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2
y=-2x2+3
y=-2x2-3
略.
典型例题
知识点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质
【例2】 已知函数y=3x2+4，不画图象，回答下列问题：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，函数y的最__________值是__________．
向上
y轴
（0,4）
≥0
0
小
4
变式训练
2. 已知函数y=- x2-3，不画图象，回答下列问题：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x≥0时，y随x的增大而__________；
（5）当x=_________时，函数y的最_________值是________．
向下
y轴
（0,-3）
减小
0
大
-3
典型例题
知识点3：二次函数y=ax2+k与y=ax2的关系
【例3】 若将抛物线y=3x2向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为_______________________.
y=3x2+2
变式训练
3. 将抛物线y=-3x2向下平移4个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为________________________．
y=-3x2-4
分层训练
A组
4. 抛物线y=-x2-1的图象大致是（ ）
B
5. 将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为____________________.
6. 已知抛物线y=-3x2+5，回答：
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，函数y的最__________值是__________；
y=x2-2
向下
y轴
（0,5）
≤0
0
大
5
B组
7. 抛物线y= x2-1向__________平移__________个单位长度得到抛物线y= x2+8.
上
9
8. 对于抛物线y=-2x2-1与y=2x2+1的判断：①开口方向相同；②对称轴相同；③顶点坐标相同；④可以由同一条抛物线平移得到.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
C组
9. 已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y= x2+4上，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若y1=y2,则x1=x2
B. 若x1=-x2，则y1=-y2
C. 若0y2
D. 若x1y2
D
10. 若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，-3），则该抛物线的函数表达式为__________________________.
y=-2x2-3(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
第19课时 二次函数的图象和性质（5）——
用配方法把二次函数化为y=a(x－h)2+k(a≠0)的形式
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式.
1. 将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是（ ）
A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x－1)2＋3
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－2)2＋4
B
典型例题
知识点1：将“a=1,b为偶数”型的二次函数化为y＝a（x－h）2＋k的形式
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2＋6x化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y=x2+6x=x2+6x+9-9＝(x+3)2-9，
所以该抛物线开口向上，顶点坐标为（-3，-9），对称轴为直线x=-3.
变式训练
2. 利用配方法将抛物线y=x2-8x+1化为y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y=x2-8x+1=x2-8x+16-16+1＝(x-4)2-15，
所以该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，-15），对称轴为直线x=4.
典型例题
知识点2：将“a=1,b为奇数”型的二次函数化为
y=a(x-h)2+k的形式
【例2】求抛物线y=x2-x+1的顶点坐标.
解：抛物线y=x2-x+1=x2-x+ - +1＝
所以其顶点坐标为
变式训练
3. 求抛物线y=x2+3x-2的顶点坐标.
解：抛物线y=x2+3x-2=x2+3x+ -2＝
所以其顶点坐标为
典型例题
知识点3：将“a≠1”型的二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式
【例3】求二次函数y=-2x2+8x-5的最大值.
解：y=-2x2+8x-5=-2(x2-4x+4-4)-5＝-2(x-2)2+3，
故其最大值是3.
变式训练
4. 求二次函数y= x2-4x+3的最小值.
解：y= x2-4x+3= (x2-8x)+3= (x2-8x+16-16)+3＝
(x-4)2-5，
故其最小值是-5.
分层训练
A组
5. 将二次函数y=x2-2x化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（ ）
A. y=（x-1）2 B. y=（x-1）2-1
C. y=（x+1）2+1 D. y=（x-1）2+1
B
6. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x－2)2+1，那么b，c的值分别为（ ）
A. 4，5 B. 4，3
C. －4，3 D. －4，5
D
7. 求抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标.
解：将抛物线y=x2-4x+3化为顶点式为
y=（x-2）2-1．
故顶点坐标为（2，-1）.
8. 求抛物线y=-x2-4x-7的最大值.
解：将抛物线y=-x2-4x-7化成顶点式为
y=-（x+2）2-3．
∴当x=-2时，y有最大值-3.
B组
9. 已知抛物线y=2x2+4x.
（1）化为顶点式：_________________________；
（2）顶点坐标：______________________；
（3）当x__________时，y随x的增大而增大；
（4）当x=__________时，函数y的最__________值是_________.
10. 把二次函数y=x2－4x+5化为y=a(x－h)2+k的形式，那么h+k=__________．
y=2（x+1）2-2
（-1，-2）
≥-1
-1
小
-2
3
11. 把抛物线y=x2-2x+3先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求新抛物线的解析式.
解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴把抛物线y=x2-2x+3先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解析式为y=（x-1-2）2+2+3，即y=（x-3）2+5．
C组
12. 已知抛物线y=x2+4x-1，用“＜”表示y1，y2，y3的大小关系：
（1）若A（-8，y1），B（-4，y2），C（-3，y3）为抛物线上三点，则__________________；
（2）若A（-6，y1），B（-5，y2），C（-1，y3）为抛物线上三点，则________________；
（3）若A（-5.5，y1），B（-3.5，y2），C（1，y3）为抛物线上三点，则________________；
（4）若A（-2.5，y1），B（-1，y2），C（2，y3）为抛物线上三点，则___________________.
y3＜y2＜y1
y3＜y2＜y1
y2＜y3＜y1
y1＜y2＜y3
13. 已知抛物线y=-2x2+4x+6.
（1）通过配方，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并在图1-22-19-1中画出对应函数的图象；
（2）若抛物线上有两点A（x1, y1）,B（x2,y2），如果x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小.
解：（1）y=-2(x2-2x)+6=-2(x2-2x+1-1)+6＝-2(x-1)2+8，
故抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,8）.画图略.
（2）∵当x>1时，y随x的增大而减小，
∴如果x1>x2>1,则y1第二十二章 二次函数
第18课时 二次函数的图象和性质（4）——
y=a(x－h)2+k(a≠0)
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与性质
函数 y=a（x-h）2+k（a＞0） y=a（x-h）2+k（a＜0）
图象
开口方向 __________ __________
顶点坐标 __________ __________
向上
向下
（h,k）
（h,k）
对称轴 ___________ _________
最值 当x=__________时，y有最__________值，为__________ 当x=__________时，y有最__________值，为__________
增减性 当x＞h时，y随x的增大而__________； 当x＜h时，y随x的增大而__________ 当x＞h时，y随x的增大而__________；
当x＜h时，y随x的增大而__________
B. 抛物线y＝a（x－h）2＋k可由y＝ax2向右（或左）平移|h|个单位长度，再向上（或下）平移|k|个单位长度得到.
直线x=h
直线x=h
h
小
k
h
大
k
增大
减小
减小
增大
典型例题
知识点1：画二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象
【例1】在同一直角坐标系(如图1-22-18-1)中，画出二次函数y=x2,y=（x-2）2-1和y=（x+2）2+1的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
y=(x-2)2-1
y=（x+2）2+1
略.
变式训练
1. 在同一直角坐标系(如图1-22-18-2)中，画出二次函数
y=-2x2,y=-2（x+1）2-3和y=-2（x-1）2+3的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
y=-2(x+1)2-3
y=-2(x-1)2+3
略.
典型例题
知识点2：抛物线y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
【例2】已知抛物线y=（x-2）2-1.
①开口方向：__________；
②对称轴：__________；
③顶点坐标：__________；
④当x__________时，y随x的增大而增大；
⑤当x=________时，函数y的最__________值是__________.
向上
直线x=2
（2,-1）
≥2
2
小
-1
变式训练
2. 已知抛物线y=-2（x+3）2+1.
①开口方向：__________；
②对称轴：__________；
③顶点坐标：_______________；
④当x__________时，y随x的增大而增大；
⑤当x=__________时，函数y的最__________值是_________.
向下
直线x=-3
（-3，1）
≤-3
-3
大
1
典型例题
知识点3：抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的关系
【例3】 将抛物线y=2x2先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为_________________.
y=2（x-5）2+2
变式训练
3. 函数y=-2（x-3）2-1的图象可由函数y=-2x2的图象先向__________平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度得到.
右
3
下
1
分层训练
A组
4. 已知抛物线y=-2（x+2）2-3.
（1）开口方向：__________；
（2）对称轴：__________；
（3）顶点坐标：__________；
（4）当x__________时，y随x的增大而增大；
（5）当x=__________时，函数y的最__________值是_________.
向下
直线x=-2
（-2,-3）
≤-2
-2
大
-3
5. 填空：
（1）将抛物线y=3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为__________________；
（2）函数y=3（x+2）2+5的图象可由函数y=3x2的图象先向__________平移__________个单位长度，再向上平移__________个单位长度得到.
y=3（x+1）2-5
左
2
5
B组
6. 对于函数y=2(x－3)2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 顶点坐标为（－3,2）
B. 对称轴是直线y=3
C. 当x≥3时，y随x的增大而增大
D. 当x≥3时，y随x的增大而减小
C
7. 已知把抛物线y=(x+2)2+k向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y=(x+h)2－1，则h和k的值分别为（ ）
A. 3，－4 B. 1，－4
C. 1，2 D. 3，2
D
8. 将抛物线y=－5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. y=－5(x+1)2－1
B. y=－5(x－1)2－1
C. y=－5(x+1)2+3
D. y=－5(x－1)2+3
A
9. 若抛物线y=-3（x+k）2-k的顶点在直线y=3x-4上，求k的值.
解：由抛物线y=-3（x+k）2-k可得其顶点坐标为（-k，-k）.
又∵顶点在直线y=3x-4上，
∴-k=-3k-4.解得k=-2．
C组
10. 已知点A（-2，a），B（-1，b），C（3，c）均在抛物线y=-2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. a＜b＜c
C
11. 抛物线y=2（x-3）2-1关于x轴对称的抛物线解析式为________________________，关于y轴对称的抛物线的解析式为_________________________.
y=-2（x-3）2+1
y=2（x+3）2-1
