(共22张PPT)
第二十五章 概率初步
第57课时 用列举法求概率（1）——简单型
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=
∵P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，
∴0≤P（A）≤1.
1. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取1个数，取到的数恰好是3的倍数的是__________，所以取到的数恰好是3的倍数的概率是__________.
3，6，9
典型例题
知识点1：概率公式
【例1】如图1-25-57-1，把转盘等分为8块，分别标有数字1～8，随意转动一次，求下列事件的概率：
（1）指针指向3；
（2）指针指向奇数；
（3）指针指向大于2的数.
解：（1）P（指针指向3）=
（2）P（指针指向奇数）=
（3）P（指针指向大于2的数）=
变式训练
2. 掷一个质地均匀的六面体骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
解：（1）P（点数为2）=
（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，
则P（点数为奇数）=
（3）点数大于2且小于5的有2种可能，即点数为3，4，
则P（点数大于2且小于5）=
典型例题
知识点2：运用概率公式进行相关计算
【例2】一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和n个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是 求 n的值.
解：由题意，得
解得n=3.
经检验，n=3是原分式方程的解.
∴n=3.
变式训练
3. 设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为 那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球？（游戏用球除颜色外均相同）
解：设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球.
根据题意,得
解得x=4.
经检验，x=4是原分式方程的解.
答：应该向盒子中再放入4个其他颜色的球.
典型例题
知识点3：几何概率
【例3】如图1-25-57-2，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为
__________.
变式训练
4. 正方形地板由9块边长相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图1-25-57-3的正方形地板上. 那么米粒最终停留在阴影区域的概率是（ ）
B
分层训练
A组
5.若100个产品中有98个正品，2个次品，从中随机抽取一个，抽到次品的概率是__________．
6. 编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是__________．
7. 小米和小亮玩一种跳棋游戏，如图1-25-57-4，游戏板由大小相等的小正方形组成，小米让棋子在游戏板上随意走动，则棋子落在白色区域的概率是（ ）
C
8. 掷一个质地均匀的六面体骰子，求下列事件的概率：
（1）出现点数3；
（2）出现的点数是偶数.
解：（1）P（出现点数3）=
（2）点数为偶数的有3种可能，即点2，4，6，
∴P（出现的点数是偶数）=
B组
9. 有5张完全同样的卡片，卡片正面分别写有“体艺节”“端午节”“教学节”“中秋节”“元宵节”，将这些卡片反面朝上，从中随机抽取一张，抽到写有中国传统节日的卡片的概率
是________________.
10. 一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同.若从中随机摸出1个球是红球的概率为
则m的值为__________．
2
C组
11. 如图1-25-57-5是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区
域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是_________.
12. 一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外，其他均相同）. 若红球个数是黑球个数的2倍多40个，从袋中任取一个球是白球的概率是
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率.
解：（1）白球个数为290× =10（个），
红球和黑球个数为290-10=280（个），
黑球个数为（280-40）÷（2+1）=80（个），
红球个数为280-80=200（个）.
（2）由（1）知黑球为80个，
∴从袋中任取一个球是黑球的概率是80÷290=(共20张PPT)
第二十五章 概率初步
第59课时 用列举法求概率（3）——不放回型
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率；画树状图法一般是选择一个元素，再和其他元素分别组合，依次列出所有可能的结果，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果数n．
1. 箱子中有两个红球和一个黄球，随机摸出两个球，为了求两个球均为红球的概率，某人列出如下的树状图，请补充完整：
根据树状图1-25-59-1可知，所有等可能的结果共有__________种，其中两次都摸到红球的有__________种，
∴两次都摸到红球的概率是_____________.
红
黄
红
黄
红
红
6
2
典型例题
知识点1：先后选取
【例1】一个不透明的口袋中有2个红球，1个白球，1个绿球．这些球除颜色外都相同，将球摇匀．若从中摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出一个红球和一个绿球的概率．
解：画树状图如答图25-59-1：
∵共有12种等可能的结果，其中摸出的一个红球和一个绿球的结果数为4，
∴摸出一个红球和一个绿球的概率为
变式训练
2. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，6不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，求两次摸出的球所标数字之积为6的概率.
第一次 第二次
1 2 3 6
1 — （1，2） （1，3） （1，6）
2 （2，1） — （2，3） （2，6）
3 （3，1） （3，2） — （3，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） —
解：列表如下：
∵所有等可能的结果共有12种，其中两次摸出的球所标数字之积为6的有4种结果，
∴两次摸出的球所标数字之积为6的概率为
典型例题
知识点2：同时选取
【例2】一个不透明的口袋中装有4个除颜色外，其他都一样的小球，其中有2个黄球，2个蓝球，现从中随机摸出2个球，求这2个球为同色的概率.
解：画树状图如答图25-59-2：
∵共有12个等可能的结果，这2个球为同色的结果有4个，
∴从中随机摸出2个球，则这2个球为同色的概率是
变式训练
3. 某医院拟从3名男医生和1名女医生中任选2人参加抗击新型冠状病毒肺炎医疗队，求选中的2人都是男医生的概率.
解：画树状图如答图25-59-3：
分层训练
A组
4. 从-2，-1，1三个数中，随机抽取两个数，求抽到一正一负的概率.
解：画树状图如答图25-59-4:
∵共有6种等可能的结果，其中一正一负的有4种，
∴随机抽取两个数是一正一负的概率为
5. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个黑球，摸出一个不放回再摸一次，求两次都摸到红球的概率.
红 红 黑 黑
红 — （红，红） （黑，红） （黑，红）
红 （红，红） — （黑，红） （黑，红）
黑 （红，黑） （红，黑） — （黑，黑）
黑 （红，黑） （红，黑） （黑，黑） —
解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种结果，
∴两次都摸到红球的概率为
B组
6. 在一个不透明的布袋里装有大小、质量完全相同的四个小球，标号分别为-1，0，1，2，先从布袋中随机摸出一个小球，记下标号数字；再从布袋中剩下的三个小球里随机摸出一个小球，记下标号数字．用列表或画树状图的方法，求两次摸出的小球标号数字之和是正数的概率．
解：画树状图如答图25-59-5：
∵共有12个等可能的结果，两次摸出的小球标号数字之和是正数的有8个，
∴两次摸出的小球标号数字之和是正数的概率为
7. 甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情，若从支援的4名医护人员中随机选2名，求这2名医护人员来自同一所医院的概率.
解：画树状图如答图25-59-6（a，b表示甲医院的男女医护人员，c，d表示乙医院的男女医护人员）:
∵共有12个等可能的结果，其中这两名医护人员来自同一所医院的结果为4个，
∴这2名医护人员来自同一所医院的概率为
C组
8. 一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1．小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点M的坐标为（x，y）．
（1）请写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在一次函数y=-x图象上的概率．
解：（1）画树状图如答图25-59-7：
共有6种等可能的结果，则点M所有可能的坐标为（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，1），（1，-1），（1，0）.
（2）∵点M（x，y）在函数y=-x图象上的结果数为2，
∴点M（x，y）在函数y=-x图象上的概率为(共27张PPT)
第二十五章 概率初步
第55课时 随机事件
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
概率 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件. 必然事件与不可能事件统称确定性事件
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么
事件A发生的概率P（A）=
用列举法求概率 列表法：
(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.
(2)列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率
用列举法求概率 画树状图法：
(1)用列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
（2）画树状图法一般是选择一个元素，再与其他元素分别组合，依次列出所有可能的结果，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果数n
用频率 估计概率 当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率
知识点导学
A．在一定条件下：
①可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；
②一定会发生的事件称为必然事件；
③一定不会发生的事件称为不可能发生事件．
事件
确定性事件
随机事件
必然事件
不可能事件
1. 下列事件：
①通常加热到100℃，水沸腾；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；
③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°；
④购买1张彩票，中奖；
⑤掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零；
其中是随机事件的是__________，必然事件是__________，不可能事件是__________.（只填写序号即可）
②④
①⑤
③
典型例题
知识点1：必然事件
【例1】下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，它正在播放新闻节目
B. 打开数学书就翻到第10页
C. 任意两个有理数的和是正有理数
D. 地球上，太阳东升西落
D
变式训练
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签
B．三角形内角和是180°
C．打开“学习强国App”，正在播放歌曲《让爱暖人间》
D．用长度分别是3 cm，4 cm，8 cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B
典型例题
知识点2：不可能事件
【例2】下列事件属于不可能事件的是（ ）
A. 明天某地区早晨有雾
B. 抛掷一枚质地均匀的六面体骰子，向上一面的点数是6
C. 声音可以在真空中传播
D. 明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数字将是偶数
C
变式训练
3. 下列事件中，不可能事件（ ）
A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
D．射击运动员射击一次，命中10环
C
典型例题
知识点3：随机事件
【例3】下列事件是随机事件的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．投一枚正方体骰子，朝上一面点数小于7
C．在只装了红球的不透明袋子里，摸出白球
D．射击运动员射击一次，命中靶心
D
变式训练
4. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．13个同学参加聚会，他们中至少有2个同学的生日在同一个月
C．三角形的内角和是180°
D．两个负数的和大于0
A
典型例题
知识点4：事件发生的可能性的大小
【例4】桌子上有6个同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯过氧化氢，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列：______________．（填序号即可）
①取到75%的酒精； ②取到过氧化氢； ③没有取到矿泉水；
④取到84消毒液．
③②①④
变式训练
5. 如图1-25-55-1是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，图1-25-55-12个是绿色，3个是黄色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准__________颜色区域的可能性最小，对准__________颜色区域的可能性最大．
红
黄
分层训练
A组
6. 长为3 cm，4 cm，7 cm的三条线段围成三角形的事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上都不是
B
7. 下列事件是随机事件的是（ ）
A．数学考试81分
B．春天过后是夏天
C．月球绕地球转
D．投掷一枚骰子点数为7
A
8. 下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．太阳从东方升起
B．1+1＞3
C．1分钟=60秒
D．下雨的同时有太阳
B
9. 下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
C
B组
10. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆到达一个路口，遇到红灯
D. 明天一定会下雨
B
11. 下列事件属于不可能事件的是（ ）
A. 掷一枚均匀的正方形骰子，朝上一面的点数是5
B. 任意选择某个电视频道，正在播放动画片
C. 明天太阳从西边升起
D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上
C
12. 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于7
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和等于5
D
13. 下列说法不正确的是（ ）
A. “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件
B. “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件
C. “在标准大气压下，当温度降到-1 ℃时，水结成冰”属于随机事件
D. “某袋子中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一个球是白球”属于不可能事件
C
C组
14. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A. 水能载舟，亦能覆舟
B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成
D. 心想事成，万事如意
D
15. 质地均匀的骰子6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列____________________．（填序号）
①向上一面的点数大于0
②向上一面的点数是7
③向上一面的点数是3的倍数
④向上一面的点数是偶数
②③④①(共24张PPT)
第二十五章 概率初步
第61课时 概率初步单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：随机事件、不可能事件、必然事件
【例1】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖
B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D．任选三角形的两边，其和大于第三边
B
变式训练
1. 下列事件为必然事件的是（ ）
A．打雷后会下雨
B．明天是晴天
C．哥哥的年龄比弟弟的年龄大
D．下雨后会有彩虹
C
典型例题
知识点2：概率公式
【例2】从拼音“lishui”中随机抽取一个字母，抽中字母i的概率为（ ）
A
变式训练
A
2. 一个盒子装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是红球的概率为（ ）
典型例题
知识点3：用列表法或画树状图法求概率
【例3】一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．首先从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球．
（1）第一次从中任意摸出一个球，该球编号为3的倍数的概率为__________；
（2）用列表或画树状图法求两次摸出的球的编号之和为偶数
的概率．
解：（2）画树状图如答图25-61-1:
∵共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，
∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是
变式训练
3. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在新冠肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率．
解：画树状图如答图25-61-2:
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选到“1男1女”的有6种结果，
∴恰好选到“1男1女”的概率是
典型例题
知识点4：用频率估计概率
【例4】某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右. 若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为（ ）
C
变式训练
4. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有12个黄球. 每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
D
分层训练
A组
5. “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A. 随机事件 B. 必然事件
C. 不可能事件 D. 确定性事件
A
6. 不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为__________.
7. 如图1-25-61-1是一个等分成8个扇形区域的转盘，自由转动，指针停止后落在红色区域的概率是________________.
8. 为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1 000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是________.
95%
B组
9. 甲、乙两人分别从《流浪地球》《原始时代》《战狼2》三部电影中任意选择一部观看．求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率．
解：《流浪地球》《原始时代》《战狼2》三部电影分别用A，B，C表示，画树状图如答图25-61-3：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同的电影观看的有6种，
∴甲、乙两人选择不同的电影观看的概率是
10. 两个同学玩“石头、剪刀、布”游戏，两人随机同时出手
一次，平局的概率为__________.
11. 为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲会被抽调到防控小组的概率是______________.
12. 在1，2，3三个数中任取两个组成一个两位数，组成的两位数大于15的概率是__________.
C组
13. 在长度分别为3，4，7，9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，求能组成三角形的概率.
解：画树状图如答图25-61-4：
∵共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，
∴能组成三角形的概率为
14. 如图1-25-61-2，经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同. 三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
（1）三辆汽车继续直行的概率；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）至少有两辆车向左转的概率.
解：画树状图如答图25-61-5：
一共有27种等可能的情况.(共24张PPT)
第二十五章 概率初步
第58课时 用列举法求概率（2）——
放回型或独立型
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．
1. 为了求抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率，某人列出如下表格，请补充完整：
第2次 第1次
正 反
正 （正，正） （反，正）
反 （正，反） （反，反）
共有__________个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有__________个，所以“朝上的面不同”的概率为______________.
4
2
典型例题
知识点1：放回型
【例1】一个口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，求两次摸出的球都是白球的概率.
解：画树状图如答图25-58-1:
∵共有9种等可能的结果，摸出两个白球的有4种结果，
∴两次摸出的球都是白球的概率为
变式训练
2. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”“2”
“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字.
（1）用恰当的方法列举出所有等可能的结果；
（2）求两次记录的数字之和为4的概率.
解：（1）画树状图如答图25-58-3：
（2）由树状图知，和有2,3,4,3,4,5,4,5,6，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球所标数字之和为4的有3种结果，
∴两次记录的数字之和为4的概率是
典型例题
知识点2：独立型
【例2】甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，求取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率.
解：画树状图如答图25-58-2：
∵共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为
变式训练
3. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F两种款式的围巾，小赵任意选一顶帽子和一条围巾．
（1）用恰当的方法列举出所有可能选中的结果；
（2）求小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款围巾的概率．
解：（1）列表如下：
帽子 围巾
E F
A （A，E） （A，F）
B （B，E） （B，F）
C （C，E） （C，F）
（2）由（1）可得共有6种等可能的结果，小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款围巾的结果有1种，
∴小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款围巾的概率为
分层训练
A组
4. 布袋中有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色．求摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率．
解：画树状图如答图25-58-4：
∵共有9种等可能的结果，其中“一红一黄”的有2种，
∴摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率为
5. 在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1，2，3的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，先随机抽取1个小球，记下数字后放回盒子，搅匀后再随机取出1个小球，记下小球上的数字．用列表法或画树状图法求两次取出的小球上的数字之和为偶数的概率．
解：画树状图如答图25-58-5：
∵共有9个等可能的结果，两次取出的小球上的数字之和为偶数的共有5个，
∴两次取出的小球上数字之和为偶数的概率为
B组
6. 某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率.
小丽 小聪
A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的结果有6种.
∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为
7. 现有三张正面分别标有数字-1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，求点P（m，n）在第二象限的概率.
m n
-1 2 3
-1 （-1，-1） （-1，2） （-1，3）
2 （2，-1） （2，2） （2，3）
3 （3，-1） （3，2） （3，3）
解：列表如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2，
∴点P（m，n）在第二象限的概率是
C组
8. 在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图1-25-58-1的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）. 游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针
指向某一扇形内为止）.
（1）请用列表法表示出上述游戏中两数
和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
解：（1）根据题意，列表如下：
甲 乙
6 7 8 9
3 9 10 11 12
4 10 11 12 13
5 11 12 13 14
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中两数和小于12的结果有6种，两数和大于12的结果有3种，
∴李燕获胜的概率为 刘凯获胜的概率为(共20张PPT)
第二十五章 概率初步
第56课时 概率的意义
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为 P（A）.
1. 口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到白球的可能性的大小是_____________，所以摸到白球的概率是_____________.
典型例题
知识点1：概率的意义
【例1】 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”, 下列说法正确的是（ ）
A. 抽10次奖必有一次抽到一等奖
B. 抽一次不可能抽到一等奖
C. 抽10次也可能没有抽到一等奖
D. 抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
C
变式训练
2. 气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（ ）
A．明天30%的地区不会下雨
B．明天下雨的可能性较大
C．明天70%的时间会下雨
D．明天下雨是必然事件
B
典型例题
知识点2：求简单事件的概率
【例2】一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其他都是黄球，从中任摸一个:
（1）摸中哪种球的可能性最大？__________；
（2）P（摸出白球）=__________；
（3）P（摸出不是黑球）=______________；
（4）P（摸出蓝球）=__________.
黄球
0
变式训练
3. 一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个. 从袋中任意摸出一球，则：
（1）“摸出的球是白球”是__________事件.它的概率是__________；
（2）“摸出的球是黄球”是__________事件.它的概率是__________；
（3）“摸出的球是红球或黄球”是__________事件.它的概率是__________.
不可能
0
随机
0.4
必然
1
典型例题
知识点3：几何概率
【例3】如图1-25-56-1，一儿童行走在每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）
B
变式训练
4. 如图1-25-56-2，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，OA为可绕O点自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在阴影区域内的概率为（ ）
B
分层训练
A组
5. 在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球，它们除颜色外其余都相同. 现随机从袋里摸出1个球是白球的概率为（ ）
B
6. 如图1-25-56-3，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（ ）
D
7. 下列说法中错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1
B．概率很小的事件不可能发生
C．随机事件发生的概率大于0，小于1
D．不可能事件发生的概率为0
B
8. 随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（ ）
B
B组
9. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据的统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A. 小亮明天的进球率为10%
B. 小亮明天每射球10次必进球1次
C. 小亮明天有可能进球
D. 小亮明天肯定进球
C
10. 如图1-25-56-4，从四个图形中任取一个是中心对称图形的概率是（ ）
A
11. 连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币100次，出现了100次正面朝上，则第101次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是
_________.
12. 在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 那么n的值为__________．
4
C组
13. 下列说法正确的是（ ）
A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一样的
B．天气预报说明天下雨的概率是50%，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖
B
14. 某竞猜游戏规则如下：在20个商标牌中，有6个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ）
D. 不能确定
B(共20张PPT)
第二十五章 概率初步
第60课时 用频率估计概率
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定在某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=p.
1. 在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的
频率稳定在25%左右，所以摸到红球的概率为__________.
典型例题
知识点1：频率与概率
【例1】抛一枚质地均匀的硬币100次，若出现正面的次数为48次，则出现正面的频率是__________，出现正面的概率是
__________.
0.48
变式训练
2. 某次掷质地均匀的骰子试验中，共投掷600次，出现6点朝上的次数正好是110次，则6点朝上的频率是__________，6点朝上的概率是__________.
典型例题
知识点2：通过用频率估计概率进行相关计算
【例2】将含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有__________张.
9
变式训练
3. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为__________．
30
典型例题
知识点3：用频率估计概率的模拟实验
【例3】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是多次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.254 0.251
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是__________；（精确到0.01）
0.25
（2）估计袋中白球的个数．
解：(2)估计袋中白球有1÷0.25-1=3(个）.
变式训练
4. 在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球质地、大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球. 下表是多次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数n 150 200 500 900 1 000 1 200
摸到白球的次数m 51 64 156 275 303 361
摸到白球的频率 0.34 0.32 0.312 0.306 0.303 0.301
（1）请估计：当次数n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；假设你去摸一次，你摸到红球的概率是__________;（精确到0.1）
（2）试估计口袋中红球有多少个？
0.3
0.7
解：（2）估计口袋中红球有30÷0.3-30=70(个).
分层训练
A组
5. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
D
6. 做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次．经过统计，得“凸面向上”的次数为440次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ）
A. 0.22 B. 0.44
C. 0.50 D. 0.56
B
B组
7. 在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A. 经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B. 抛掷硬币10 000次与抛掷硬币12 000次“正面向上”的频率相同
C. 抛掷硬币50 000次，可得“正面向上”的频率为0.5
D. 若抛掷硬币2 000次，“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
A
8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球.每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球__________个．
3
9. 袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程.摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有__________个．
3
10. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右.若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为（ ）
C
C组
11. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同. 为了估计红球和黑球的个数，九（2）班的数学学习小组做了摸球实验. 他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1 000 2 000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近__________；（精确到0.1）
（2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为__________；
（3）试估算盒子里红球的数量为__________个，黑球的数量为__________个.
0.3
0.3
18
42
