(共20张PPT)
第二十四章 圆
第51课时 弧长
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．已知⊙O的半径为R.
图例
圆心角 360° 180° 90° 1° n°
半径为R，圆心角为n°的弧长公式为l= ·2πR(或 ).
弧长 2πR ·2πR（可看作 的圆的周长） ·2πR（可看作 的圆的周长） ·2πR（可看作 的圆的周长） ·2πR（可看作
的圆的周长）
典型例题
知识点1：利用公式求弧长
【例1】在半径为6 cm的圆中，求60°的圆心角所对的弧长.
解：弧长为 =2π (cm).
变式训练
1. 一个扇形的圆心角为120°，半径为2.求这个扇形的弧长.
解：弧长为 π.
典型例题
知识点2：已知弧长和圆心角，求半径
【例2】弧长为3π的弧所对的圆心角为120°，求该弧所在的圆的半径.
解：设该弧所在的圆的半径为R.
则 =3π.
解得R=
∴该弧所在的圆的半径为
变式训练
2. 150°的圆心角所对的弧长是5π，求此弧所在的圆的半径.
解：设此弧所在的圆的半径为R.
则 =5π.
解得R=6.
∴此弧所在的圆的半径为6.
典型例题
知识点3：已知弧长和半径，求圆心角
【例3】如果一个扇形的弧长为 π，半径是6，求此扇形的圆心角的度数.
解：设此扇形的圆心角的度数为n°.
则 π.
解得n=40.
∴此扇形的圆心角的度数为40°.
变式训练
3. 有一条弧的长为2π cm，半径为2 cm.求这条弧所对的圆心角的度数.
解：设这条弧所对的圆心角的度数为n°.
则 =2π.
解得n=180.
∴这条弧所对的圆心角的度数为180°.
分层训练
A组
4. 填空：
（1）若扇形的圆心角是45°，半径为2，则该扇形的弧长为
__________；
（2）若扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为
__________.
π
π
5. 如图1-24-51-1，已知扇形的圆心角为150°，半径为1，那么该扇形的弧长为__________.
π
B组
6. 如图1-24-51-2，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2 则AB的长是（ ）
A. π
B. π
C. 2π
D. π
A
7. 如图1-24-51-3，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则BC的长等于（ ）
A
8. 已知圆中108°圆心角所对的弧长为3π，求这个圆的半径.
解：设这个圆的半径为R.
则 =3π.
解得R=5.
∴这个圆的半径是5.
9. 一个扇形的半径为5 cm，弧长为8π cm.求这个扇形的圆心角的度数.
解：设这个扇形的圆心角的度数为n°.
则 =8π.
解得n=288.
∴这个扇形的圆心角的度数为288°.
C组
10. 如图1-24-51-4，在小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABO的顶点都在小正方形的顶点上，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1O.求点A运动的路径长.
解：在Rt△ABO中，AB=4,OB=2,
∴OA=
由旋转的性质可知OA=OA1，∠AOA1=90°，
∴点A运动的路径长为
11. 如图1-24-51-5所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2 cm，求弧三角形的周长.
解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴AB的长为 （cm）.
∴弧三角形的周长为 ×3=2π（cm）.(共29张PPT)
第二十四章 圆
第38课时 圆的有关性质（1）——与圆有关的概念
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆心角与弧、弦的关系：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等
圆的有关性质 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补
与圆有关的 位置关系 点和圆的位置关系：设圆的半径为r,点与圆的距离为d，则：①点在圆外? d>r；②点在圆上 ?d=r；③点在圆内? d直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：①直线l与⊙O相交? dr
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
与圆有关的 位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
三角形的外心 与内心 不在同一直线上的三个点确定一个圆
三角形的外心就是三角形的外接圆的圆心，也是三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，也是三角形三个内角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
与圆有关的计算 正多边形与圆：正n边形的一个内角=
一个外角= 一个中心角=
弧长公式：l= （其中n为圆心角度数，R为圆的半径）
与圆有关的计算 扇形面积公式：S扇形= ·πR2或S扇形= lR.（其中n为圆心角度数，l为扇形的弧长，R为圆的半径）
圆锥侧面积公式：S侧= ·2πr·l=πrl.（其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径）
知识点导学
A. 圆的有关概念
圆 弦 弧 等圆 等弧
定义 在一个平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 能够重合的两个圆叫做等圆 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧
A. 圆的有关概念
圆 弦 弧 等圆 等弧
图例
A. 圆的有关概念
圆 弦 弧 等圆 等弧
表示 圆O记作：⊙O 弦：AB，__________，其中______是直径 劣弧：AB，______________； 优弧：ACD，________________ ； 半圆：BAC，_______ ∵⊙O与⊙O′的半径相等， ∴⊙O与⊙O′是等圆. ∵AB与A′B′完全重合， ∴AB与A′B′是等弧
CD，EF
EF
AC，DC，DB，AD
CDB
CDA，DAC，ACB，
BCD
典型例题
知识点1：与圆有关的概念
【例1】图1-24-38-1如图1-24-38-1,在⊙O中：
（1）半径有__________；
（2）弦有_____________，其中_______是直径；
（3）劣弧有__________，优弧有__________，
__________是半圆.
OB，OC
AB，AC，BC
BC
AB,AC
ACB,CBA
BAC
变式训练
OA，OB，OC，OD
AB，BC
AB
CAD
1. 如图1-24-38-2，在⊙O中：
（1）半径有_____________________；
（2）弦有__________，其中__________是直径；
（3）CD对应的优弧是__________，BC对应的优
弧是__________，半圆有__________.
CAB
ACB，ADB
典型例题
知识点2：运用圆的相关概念计算
【例2】如图1-24-38-3，OA，OB是⊙O的半径，且∠AOB=90°，OA=2，则：
（1）∠A=__________°；
（2）AB=__________.
45
2
变式训练
2. 如图1-24-38-4，OA，OB是⊙O的半径，且∠A=60°，OA=2，则：
（1）∠AOB=__________°；
（2）△AOB的周长为__________.
60
6
典型例题
知识点3：运用圆的相关概念证明
【例3】如图1-24-38-5，在⊙O中，C，D分别是半径OA，OB的中点，连接BC,AD.求证：AD=BC.
证明：∵OA,OB是⊙O的两条半径，
∴AO=BO.
∵C,D分别是半径OA,OB的中点，
∴OC=OD.
在△ODA和△OCB中，
∴△ODA≌△OCB（SAS）.
∴AD=BC.
AO=BO,
∠O=∠O,
OD=OC,
变式训练
3. 如图1-24-38-6，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B=∠C．
求证：CE=BF．
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB=OC.
又∵∠B=∠C，∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA）.
∴OE=OF.
∵CE=OC+OE，BF=OB+OF，
∴CE=BF．
分层训练
A组
4. 如图1-24-38-7，在⊙O中：
（1）弦有__________；
（2）劣弧有__________.
AB
AB
5. 如图1-24-38-8，在⊙O中：
（1）相等的线段有__________；
（2）当∠AOB=__________°时，
△AOB是等腰直角三角形；
（3）当∠AOB=__________°时，
△AOB是等边三角形.
OA=OB
90
60
B组
6. 已知⊙O中最长的弦长8 cm，则⊙O的半径是（ ）
A. 2 cm B. 4 cm
C. 8 cm D. 16 cm
B
10
7. 如图1-24-38-9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为点D.已知CD=4，OD=3，则AB的长是__________.
C组
8. 如图1-24-38-10，AB，CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？请证明你的结论．
解：四边形ACBD是矩形．证明如下.
∵AB，CD是⊙O的两条直径，
∴AB=CD.
又∵O为圆心，
∴OA=OB=OC=OD.
∴四边形ACBD是矩形．
9. 如图1-24-38-11，⊙O的弦AB与半径OC延长相交于点D，且BD=OA.若∠AOC=105°，求∠D的度数.
解：如答图24-38-1，连接OB.
∵BD=OA，OA=OB，∴BD=BO.
∴△AOB和△BOD为等腰三角形.
设∠D=x°，则∠BOD=x°，∠OBA=2x°.
∵OB=OA，∴∠A=2x°.
∵∠AOC=105°，∴∠AOB=(105-x)°.
在△AOB中，2x+2x+（105-x）=180，
解得x=25.∴∠D=25°．(共24张PPT)
第二十四章 圆
第39课时 圆的有关性质（2）——垂径定理
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
1. 如图1-24-39-1，根据垂径定理写出几何语言：
∵CD经过圆心O，且CD⊥AB于点E，
∴AE=__________，AD=__________，
AC=__________.
BE
BD
BC
典型例题
知识点1：运用垂径定理计算
【例1】如图1-24-39-2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.若AB=10，CD=8，求线段AE的长．
解：如答图24-39-1，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OA=5.
∵CD⊥AB，
∴CE=DE= CD= ×8=4.
在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，
∴OE= =3.
∴AE=OA－OE=5－3=2．
变式训练
2. 如图1-24-39-3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若OC=10 cm，CD=16 cm，求AE的长．
典型例题
知识点2：垂径定理中的方程思想
【例2】如图1-24-39-4，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1.求⊙O的半径.
解：如答图24-39-2，连接OA.
∵AB⊥OD，
∴AD= AB=4.
设⊙O的半径为x，则OD=x-1.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，即x2=42+（x-1）2.
解得x=
∴⊙O的半径为
变式训练
3. 如图1-24-39-5，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD=2，AE=5，求⊙O的半径.
解：如答图24-39-4，连接OD.
设⊙O的半径为r.
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，AE=5，
∴DE=1，OE=5-r.
在Rt△ODE中，由勾股定理，得
OD2=OE2+DE2，即r2=（5-r）2+1.
解得r=2.6.
∴⊙O的半径是2.6．
典型例题
知识点3：运用垂径定理证明
【例3】如图1-24-39-6，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AC=BD．
证明：如答图24-39-3，过点O作OE⊥AB于点E，则OE⊥CD.
由垂径定理，得AE=BE，CE=DE.
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．
变式训练
4. 如图1-24-39-7，AB是⊙O的弦，C,D是直线AB上的两点，且AC=BD.求证：OC=OD.
证明：如答图24-39-5，过点O作OE⊥AB于点E，则AE=BE.
又∵AC=BD，
∴AC+AE=BD+BE,
答图24-39-5即CE=DE.
∴OE是CD的垂直平分线.
∴OC=OD.
分层训练
A组
5. 如图1-24-39-8，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A=30°，AC=2，则CD的长是（ ）
A．4 B．2
C．2 D．
C
6. 如图1-24-39-9，在⊙O中， OC⊥AB于点C.
（1）若半径为5， OC=3，则弦AB=
__________；
（2）若弦AB=12，OC=3，则半径为
__________；
（3）若半径为13，弦AB=24，则OC=
__________.
8
3
5
B组
7. 如图1-24-39-10，AB是⊙O的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F，且OE=OF. 求证：AE=BF.
证明：如答图24-39-6，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM.
∵OE=OF，OM⊥EF,
∴EM=FM.
∴AM-EM=BM-FM,
即AE=BF.
8. 如图1-24-39-11，一条公路弯道处是一段圆弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交AB于点C.已知AB=120 m，CD=20 m，求这段弯道的半径OC的长．
解：连接OA(图略).
∵OC⊥AB，AB=120 m，
∴AD= AB= ×120=60(m).
设OA=r，则OD=OC-CD=r-20.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，即r2=602+（r-20）2.
解得r=100 m．
∴这段弯道的半径OC的长为100 m.
C组
9. 如图1-24-39-12，⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，下列不在OP取值范围内的是（ ）
A．4
B．5
C．12
D．13
A
10. 已知⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，且AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1 cm B．7 cm
C．3 cm或4 cm D．1 cm或7 cm
D(共22张PPT)
第二十四章 圆
第45课时 点和圆的位置关系
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 设圆的半径为r,则：
①点A在圆内 ?OA②点B在圆上? OB=r；
③点C在圆外? OC>r.
1. 如图1-24-45-2，根据图形填空：
（1）点P在⊙O__________；
（2）点Q在⊙O__________；
（3）点R在⊙O__________.
内
上
外
B．三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点．三角形的外心到三个顶点的距离相等.
2. 如图1-24-45-3，点O是△ABC
的外心，∠A=65°，则∠BOC=__________.
130°
典型例题
知识点1：判断点和圆的位置关系
【例1】已知⊙O的半径为10 cm.
（1）当OA=8 cm时，点A在__________；
（2）当OB=10 cm时，点B在__________；
（3）当OC=12 cm时，点C在__________.
⊙O内
⊙O上
⊙O外
变式训练
3. 已知⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为6.
（1）当r=5时，点P在__________；
（2）当r=6时，点P在__________；
（3）当r=7时，点P在__________.
⊙O外
⊙O上
⊙O内
典型例题
知识点2：根据点和圆的位置关系，求d或r的取值范围
【例2】已知⊙O的半径为3，点A到圆心的距离为d.
（1）当点A在⊙O内时，d的取值范围是__________；
（2）当点A在⊙O上时，d的取值是__________；
（3）当点A在⊙O外时，d的取值范围是__________.
0≤d＜3
3
d＞3
变式训练
4. 已知⊙O的半径为r，OP=10.
（1）当点P在⊙O内时，r的取值范围是__________；
（2）当点P在⊙O上时，r的取值是__________；
（3）当点P在⊙O外时，r的取值范围是__________.
r＞10
10
0＜r＜10
典型例题
知识点3：三角形的外接圆
【例3】如图1-24-45-4，已知△ABC是锐角三角形.
（1）作△ABC 的外接圆⊙O；
（2）锐角三角形的外心在三角形的
__________（填“内部”或“外部”）；
（3）若∠C=60°，则∠AOB=__________.
内部
120°
解:（1）图略.
变式训练
5. 如图1-24-45-5，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）作Rt△ABC 的外接圆⊙O；
（2）直角三角形的外心是__________；
（3）若AC=6，BC=8，则OA=__________.
斜边中点
5
解:（1）图略.
分层训练
A组
6. 已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上
C. 点P在圆外 D. 无法确定
C
7. 三角形的外心是三角形的（ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三边的垂直平分线的交点
D. 三个内角角平分线的交点
C
8. 已知⊙O的直径为10，点A在圆内.若OA的长为d，则d应满足（ ）
A. 0≤d＜5 B. d＜5
C. 0≤d＜10 D. d＜10
A
9. 点P在半径为r的⊙O外，点P与点O的距离为5，则r的取值范围是（ ）
A．r＜5 B．r＜10
C．r＞5 D．r＞10
A
B组
10. 如图1-24-45-6，△ABC外接圆的圆心坐标是__________．
(4,6)
11. 如图1-24-45-7，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为__________．
4
C组
12. 如图1-24-45-8，已知△ABC是等边三角形.
（1）求作△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AB=4，求⊙O的半径.
解：（1）如答图24-45-1，⊙O即为所作.
（2）如答图24-45-1，AO⊥BC于点D，CO⊥AB于点E.
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AE=BE= AB=2，∠BAD= ∠BAC=30°.
设⊙O的半径为r，则OA=r，OE= r.
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
AE2+OE2=AO2，即22+ =r2.
解得r=
∴⊙O的半径为
13. 如图1-24-45-9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圆的直径.
（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB是圆的圆周角，
∴AD为△ACD外接圆的直径.
∴∠AED=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE，即CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴△ACD≌△AED（HL）.∴AC=AE.
AD=AD,
CD=DE,
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10.
∴BE=10-AE=10-AC=10-6=4.
设CD=DE=x，则BD=8-x.
在Rt△BDE中,BD2=DE2+BE2,
即（8-x）2=x2+42.
解得x=3，即CD=3.
在Rt△ACD中，AD=
∴△ACD外接圆的直径为3(共23张PPT)
第二十四章 圆
第43课时 圆的有关性质（6）——圆周角（2）
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 图1-24-43-1如图1-24-43-1，点A，B，C，D都在⊙O上，则四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.圆内接四边形的对角互补.
1. 根据左图写出几何语言：
∵四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，
∴∠A+__________=180°，
__________+__________=180°.
∠C
∠B
∠D
典型例题
知识点1：圆内接四边形性质的直接运用
【例1】如图1-24-43-2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠A=70°，∠B=80°，则∠C=__________，∠D=__________.
110°
100°
变式训练
2. 如图1-24-43-3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上.若∠ABC=110°，则∠ADE的度数为__________.
110°
典型例题
知识点2：运用圆内接四边形的性质计算
【例2】如图1-24-43-4，在⊙O中，AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在AB上，则∠ACB的度数为__________.
120°
变式训练
3. 如图1-24-43-5，在⊙O中，点C在AB上，∠ACB =110°，则AB所对的圆心角∠AOB的度数为__________.
140°
典型例题
知识点3：运用圆内接四边形的性质证明
【例3】如图1-24-43-6，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE，∴∠E=∠BCE.
∴∠A=∠E，即DA=DE.
∴△ADE是等腰三角形．
变式训练
4. 如图1-24-43-7，四边形ABCD内接于⊙O，∠F+∠EBC=180°. 求证：EF∥AD.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°.
又∵∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠EBC＝∠D.
又∵∠F＋∠EBC＝180°，
∴∠D＋∠F＝180°.
∴EF∥AD.
分层训练
A组
5. 如图1-24-43-8，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=85°，则∠ABC的度数是__________.
95°
6. 如图1-24-43-9，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠D=3∠B，则∠B的度数为（ ）
A. 30°
B. 36°
C. 45°
D. 60°
C
B组
7. 如图1-24-43-10，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC=120°.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°.
∵AB=AC，∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
8. 如图1-24-43-11，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD=130°.求∠ABD的度数.
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.
又∵∠BCD=130°，
∴∠A=180°-130°=50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°.
C组
9. 如图1-24-43-12，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD.
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠A=66°，求∠ADB的度数．
（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴AB=BC.
∵OC⊥BD，
∴BC=CD.
∴AB=CD.∴AB=CD.
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°－∠A=114°.
∵BC=CD，
∴BC=CD.
∴∠BDC= ×(180°－114°)=33°.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=33°．
10. 如图1-24-43-13，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=CD．求证：AD∥BC．
证明：∵AB=CD，
∴AB=CD.
∴AB+AD=CD+AD，
即BD=AC.
∴∠DCB=∠ABC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCB+∠BAD=180°.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∴AD∥BC.(共26张PPT)
第二十四章 圆
第47课时 切线的性质
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
方法口诀：有切线，圆心连切点，得垂直.
1. 如图1-24-47-1，根据图形写出切线性质的几何语言：
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴__________.
OA⊥AB
典型例题
知识点1：切线性质的直接运用
【例1】如图1-24-47-2，AB与⊙O相切于点A.
（1）若∠B=25°，则∠AOB=__________；
（2）若⊙O的半径为6，AB=8，则OB=
__________；
（3）若∠AOB=60°，OA=2，则AB=__________.
65°
10
2
变式训练
2. 如图1-24-47-3，AC与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，且AB=AC=2.
（1）求∠B的度数；
（2）求BC的长度.
解：（1）∵AC与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°.
又∵AB=AC，∴∠B=45°.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，
∴BC=
典型例题
知识点2：作辅助线运用切线性质
【例2】如图1-24-47-4，点A，B均在⊙O上，直线PC与⊙O相切于点C.若∠A=35°，求∠P的度数.
解：如答图24-47-1，连接OC.
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠OCP=90°.
∵OA=OC，且∠A=35°，
∴∠A=∠ACO=35°.
∴∠POC=2∠A=70°.
∴∠APC=90°-∠POC=20°．
变式训练
3. 如图1-24-47-5，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM=34°.求∠A的度数．
解：如答图24-47-3，连接OC.
∵MN切⊙O于点C，
∴OC⊥MN.
∴∠OCM=90°.
∵∠BCM=34°，
∴∠OCB=90°－∠BCM=56°.
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=56°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠A=90°－∠B=34°．
典型例题
知识点3：运用切线性质证明
【例3】如图1-24-47-6，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点F，连接AD．求证：AD平分∠BAC.
证明：如答图24-47-2，连接OD.
∵以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC,∠ODB=90°.
又∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C.
∴OD∥AC.
∴∠DAC=∠ODA.
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠DAC=∠OAD.
∴AD是∠BAC的平分线.
变式训练
4. 如图1-24-47-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．求证：∠A=∠ADE.
证明：如答图24-47-4，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°.
∴∠ADE+∠BDO=90°.
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.
∵OD=OB，∴∠B=∠BDO.
∴∠A=∠ADE．
分层训练
A组
5. 如图1-24-47-8，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A. 3 B. 3
C. 6 D. 9
A
6. 如图1-24-47-9，点A，C，D在⊙O上，AB是⊙O的切线，A为切点，OC的延长线交AB于点B，∠ABO=45°，则∠D的度数是（ ）
A. 22.5°
B. 20°
C. 30°
D. 45°
A
7. 如图1-24-47-10，AB是⊙O的弦，过点A作⊙O的切线AC．如果∠BAC=55°，那么∠AOB等于（ ）
A. 55°
B. 90°
C. 110°
D. 120°
C
8. 如图1-24-47-11，OA是⊙O的半径，AB与⊙O相切，BO交⊙O于点C. 若∠BAC=30°，则∠AOC=__________°.
60
B组
9. 如图1-24-47-12，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠CDA=118°，求∠C的度数.
解：如答图24-47-5，连接OD.
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=90°.
∵∠CDA=118°，
∴∠ODA=∠CDA-∠ODC=118°-90°=28°.
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=28°.
∴∠DOC=2∠ODA=56°.
∴∠C=90°-∠DOC=34°.
10. 如图1-24-47-13，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．求证：DF⊥AC.
证明：如答图24-47-6，连接OD.
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF.
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线.
∴OD∥AC.
∴∠CFD=∠ODF=90°.
∴DF⊥AC．
C组
11. 如图1-24-47-14，AD是⊙O的弦，AC是⊙O的直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC=30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC= ，求AD的长.
（1）证明：如答图24-47-7，连接OD.
∵OA=OD，∠DAC=30°，∴∠ADO=∠DAC=30°.
∴∠DOC=2∠DAC=60°.
∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，即∠ODB=90°.
∴∠B=90°-∠DOC=30°.
∴∠DAC=∠B，即DA=DB.
∴△ADB是等腰三角形．
（2）解：如答图24-47-7，连接DC.
由（1）可知∠DOC=60°，OD=OC，
∴△DOC是等边三角形.∴∠ODC=60°.
∵BD是⊙O的切线，∴∠ODB=90°.
∴∠CDB=90°-∠ODC=30°.
∴BC=DC=OC=3.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°,AC=2OC=23.
在Rt△ADC中，DC= ,AC=2 ,
∴AD= ＝3.(共22张PPT)
第二十四章 圆
第49课时 切线长定理
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
图1-24-49-1几何语言：
∵PA，PB与⊙O相切，
切点为A，B，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
1. 如图1-24-49-2， PA，PB与⊙O相切，切点为A，B.
（1）△PAO__________△PBO，它们是__________三角形；
（2）若∠APB=60°，
OA=1，则∠APO=_______，
PA=________；
（3）若∠AOB=120°，则△PAB是
__________三角形.
≌
直角
30°
等边
B．三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等．
2. 如图1-24-49-3，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC=__________.
125°
典型例题
知识点1：切线长定理的简单运用
【例1】如图1-24-49-4，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA=10 cm，C是劣弧AB上的点（不与点A，B重合），过点C的切线分别交PA，PB于点E，F．则△PEF的周长为（ ）
A．10 cm
B．15 cm
C．20 cm
D．25 cm
C
变式训练
3. 如图1-24-49-5，⊙O是四边形ABCD的内切圆，且BC=12，AD=10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A. 42
B. 44
C. 46
D. 47
B
典型例题
知识点2：切线长定理的综合运用
【例2】如图1-24-49-6，⊙O分别切△ABC的三条边AB,BC,CA于点D,E,F.若AB=6，AC=5，BC=7，求AD,BE和CF的长度.
解：设AD=x，
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB,BC,CA于点D,E,F,
∴AF=AD=x.
∵AB=6,AC=5,BC=7,
∴BE=BD=AB-AD=6-x，CE=CF=AC-AF=5-x.
∵BE+CE=BC=7,
∴6-x+5-x=7.解得x=2.
∴AD=2,BE=4,CF=3.
变式训练
4. 如图1-24-49-7，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C=90°，AB=13，BC=12．
（1）求BF的长；
（2）⊙O的半径r=__________．
2
解：（1）在Rt△ABC中，
∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC= = =5.
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD=BF，AD=AE，CF=CE.
设BF=BD=x，
则AE=AD=13-x，CE=CF=12-x.
∵AE+EC=AC=5，∴13-x+12-x=5.
解得x=10.∴BF=10．
典型例题
知识点3：三角形的内心
【例3】如图1-24-49-8，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F.
（1）若∠A=70°，连接BO，OC，
则∠BOC=__________；
（2）若∠A=α，则∠BOC=__________________.
（结果用含α的表达式表示）
125°
90°+ α
变式训练
5. 如图1-24-49-9，边长为2 的等边三角形ABC的内切圆的半径为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 2
A
分层训练
A组
6.如图1-24-49-10，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点
B
7. 如图1-24-49-11，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=__________°．
76
B组
8. 如图1-24-49-12，直线AB,CD,BC分别与⊙O相切于点E,G,F，且AB∥CD，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE+CG的长等于（ ）
A. 13 cm
B. 12 cm
C. 11 cm
D. 10 cm
D
9. 如图1-24-49-13，在△ABC中，∠A=66°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的大小为（ ）
A. 114°
B. 122°
C. 123°
D. 132°
C
C组
10. 如图1-24-49-14，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.
求：（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
解：（1）∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA=CE.
同理可得DE=DB，PA=PB.
∴△PCD的周长为PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12.
∴PA=6.
（2）∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA，CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=∠OCA= ∠ACD.
同理可得∠ODE= ∠CDB.
∴∠OCE+∠ODE= （∠ACD+∠CDB）=120°.
∴∠COD=180-120°=60°.
11. 如图1-24-49-15，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，则DB与DI相等吗？为什么？
解：DB=DI. 理由如下.
如答图24-49-1,连接BI.
由三角形的外角的性质可知,
∠1+∠2=∠BID,
∵点I是△ABC的内心，
∴∠1=∠4，∠2=∠3.
又∵∠4=∠5，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5，
即∠BID=∠IBD.
∴DB=DI.(共20张PPT)
第二十四章 圆
第53课时 圆锥的侧面展开图、侧面积和全面积
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．如图1-24-53-1，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
图1-24-53-1圆锥的侧面积：
S侧= ·2πr·l=πrl；
圆锥的全面积：
S全=S底+S侧=πr2+πrl .
1. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则：
（1）圆锥的高为__________；
（2）底面周长为__________；
（3）若侧面展开扇形的圆心角为n°，则弧长可用含n的式子表示为__________，
∵底面周长=展开扇形的弧长，
∴__________=_________.
由此得到展开扇形的圆心角度数为__________.
2π
2π
180°
典型例题
知识点1：已知底面半径和母线，求侧面积和全面积
【例1】图1-24-53-2如图1-24-53-2，圆锥底面半径OB=4，母线长BC=9，则：
（1）圆锥的侧面积是__________；
（2）圆锥的全面积是__________.
36π
52π
变式训练
2. 如图1-24-53-3，圆锥底面半径为10 cm，侧面展开扇形的半径为40 cm，则：
（1）圆锥的侧面积是__________；
（2）圆锥的全面积是__________.
400π cm2
500π cm2
典型例题
知识点2：已知底面半径和高，求侧面积和全面积
【例2】已知圆锥的高为12，底面圆的半径为5，则：
（1）圆锥的侧面积是__________；
（2）圆锥的全面积是__________.
65π
90π
变式训练
3. 已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则：
（1）圆锥的侧面积是__________；
（2）圆锥的全面积是__________.
60π
96π
典型例题
知识点3：圆锥侧面积和表面积的应用
【例3】如图1-24-53-4，现有一圆心角为90°，半径为80 cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒.如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封 （接缝都忽略不计），求：
（1）该圆锥盖子的半径为多少厘米？
（2）制作这个密封量筒，共用铁片
多少平方厘米？
解：（1）圆锥的底面周长为 =40π（cm）.
设圆锥底面圆的半径为r cm.
则2πr=40π.
解得r=20.
∴该圆锥盖子的半径为20 cm.
（2）S=S侧+S底= ×π×802+π×202=2 000π（cm2）.
∴共用铁片2 000π cm2.
变式训练
4. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成（如图1-24-53-5）.如果想用毛毡搭建20个底面半径为4 m，总高为4.5 m，外围（圆柱）高为1.5 m的蒙古包（不包含底面圆），至少需要多少平方米的毛毡？
解：由题意，得r=4 m，h1+h2=4.5 m，h2=1.5 m.
∴h1=4.5-1.5=3（m）.
∴圆锥的母线长为 =5（m）.
∴圆锥的侧面积为 ×2π×4×5=20π（m2）.
圆柱的侧面积为2π×4×1.5=12π(m2).
∴至少需要毛毡20×（20π+12π）=640π（m2）．
分层训练
A组
5. 已知圆锥的底面半径为2 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 20π cm2 B. 20 cm2
C. 40π cm2 D. 40 cm2
A
6. 已知圆锥的侧面展开图的面积是15π cm2，母线长是5 cm，则圆锥的底面半径为（ ）
A. cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm
B
7. 一个圆锥的底面半径为10 cm，母线长为20 cm，则:
（1）圆锥的高为__________ cm；
（2）侧面展开图的圆心角的度数为__________.
10
180°
8. 用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为__________．
12
B组
9. 如图1-24-53-6，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2 若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．
10. 如图1-24-53-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.将△ABC绕直角边所在直线旋转一周，求得到的几何体的全面积.
解：由勾股定理，得AB=5.
当绕AC旋转一周时，
S全= ×2π×3×5+π×32=24π;
当绕BC旋转一周时，
S全= ×2π×4×5+π×42=36π.
C组
11. 如图1-24-53-8，有一直径是 m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为__________m；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得
圆锥的底面圆的半径为__________m.
1
12. 如图1-24-53-9是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.
（1）这个圆锥的高是__________，
其侧面展开图中∠ABC的度数是__________；
（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉
一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，这
根绳子的最短长度为__________.
4
120°
6(共19张PPT)
第二十四章 圆
第50课时 正多边形和圆
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．正多边形与圆
（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；
（2）正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
（3）正n边形的一个内角= 一个外角=
一个中心角=
正多边形 每个内 角度数 每个外角度数 中心角 度数 半径 边长 边心距 周长 面积
______ ______ ______ OA=2 ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ OA=2 ______ ______ ______ ______
60°
120°
120°
2
1
6
3
90°
90°
90°
2
8
8
正多边形 每个内 角度数 每个外角度数 中心角 度数 半径 边长 边心距 周长 面积
______ ______ ______ OA=2 ______ ______ ______ ______
120°
60°
60°
2
12
6
典型例题
知识点1：正多边形和圆
【例1】如图1-24-50-1，已知⊙O的半径是5.
（1）尺规作图作⊙O的内接正方形ABCD；
（2）则正方形ABCD的边长是__________.
5
解：（1）图略.
变式训练
1. 如图1-24-50-2，已知⊙O的半径是3.
（1）尺规作图作⊙O的内接正三角形ABC；
（2）则正三角形ABC的边长是__________.
3
解：（1）图略.
典型例题
知识点2：正多边形的有关计算
【例2】 如图1-24-50-3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A. cm
B. 2 cm
C. cm
D. 1 cm
B
变式训练
2. 如图1-24-50-4，在正六边形ABCDEF中，AC=2 则它的边长是（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
D
分层训练
A组
3. 填空：
（1）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是__________；
（2）正五边形的中心角度数是__________；
（3）中心角为30°的正多边形边数为__________.
60°
72°
12
4. 如图1-24-50-5，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD,则∠CBD的度数是（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
A
B组
5. 如图1-24-50-6，已知⊙O的半径是4.
（1）尺规作图作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）求正六边形ABCDEF的边长和面积.
解：（1）如答图24-50-1，正六边形ABCDEF即为所作.
（2）如答图24-50-1，连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF.
∴∠EOF= =60°.
又∵OE=OF,
∴△OFE是等边三角形.
∴EF=OF=4.
∵OH⊥EF,∴FH= EF=2.
∴OH=
∴S正六边形ABCDEF=6S△OEF=6× ×4×2 =24 .
6. 如图1-24-50-7，在正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM．
（1）求证：△BCF≌△CDM；
（2）求∠BPM的度数．
（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCF=∠CDM.
在△BCF和△CDM中，
∴△BCF≌△CDM (SAS).
BC=CD，
∠BCF=∠CDM，
CF=DM,
（2）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCF= =108°.
∴∠CBF+∠CFB=180°－∠BCF=72°.
∵△BCF≌△CDM，∴∠MCD=∠CBF.
∴∠MCD+∠CFB=72°，
∴∠BPM=∠CPF=180°－(∠MCD+∠CFB)=108°．
C组
7. 如图1-24-50-8，图①,图②,图③,…,图 n 分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCD…，点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动.
（1）图1-24-50-8①中，∠APN的度数是__________，图1-24-50-8②中，∠APN的度数是__________，图1-24-50-8③中，∠APN的度数是__________；
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系. （直接写出答案）
60°
90°
108°
解：（2）∠APN=(共39张PPT)
第二十四章 圆
第54课时 圆单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：垂径定理
【例1】如图1-24-54-1，在⊙O中，弦AB长为8，点O到AB的距离OD是2，则⊙O的半径OA=__________.
2
变式训练
1. 如图1-24-54-2，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于点E，如果AB=8，CE=2，那么⊙O的半径为__________.
5
典型例题
知识点2：弧、弦、圆心角
【例2】如图1-24-54-3，在⊙O中，AB=AC，AB=3，则AC= __________.
3
变式训练
2. 如图1-24-54-4，AB为半⊙O的直径，C，D，E为半圆弧上的点，CD=DE=EB，∠BOE=55°，则∠AOC的度数为__________．
15°
典型例题
知识点3：圆周角定理及其推论
【例3】如图1-24-54-5，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上.如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）
A. 26°
B. 30°
C. 32°
D. 64°
C
变式训练
3. 如图1-24-54-6，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且∠ABD=58°，则∠BCD的度数为__________.
32°
典型例题
知识点4：点和圆、直线和圆的位置关系
【例4】⊙O的半径为8，线段OP=5，则点P与⊙O的位置关系是__________________.
点P在⊙O内
变式训练
4. 已知圆的直径是13 cm，圆心到某条直线的距离是6 cm，那么这条直线与该圆的位置关系是__________.
相交
典型例题
知识点5：外接圆与内切圆、外心与内心
【例5】如图1-24-54-7，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=30°，则∠C=__________.
60°
变式训练
5. 如图1-24-54-8，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD. 若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是__________.
70°
典型例题
知识点6：正多边形和圆
【例6】边长为6的正六边形的边心距为__________.
3
变式训练
6. 已知正方形的外接圆的半径为2 则正方形的周长是__________.
16
典型例题
知识点7：切线的判定与性质
【例7】如图1-24-54-9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，CA=CP，∠A=30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA=1，求弦AC的长．
（1）证明：如答图24-54-1，连接OC.
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°.
∵CA=CP，
∴∠A=∠P=30°.
∴∠ACP=180°-∠A-∠P=180°-30°-30°=120°.
∴∠OCP=∠ACP-∠ACO=120°-30°=90°.
∴OC⊥CP.
∴CP是⊙O的切线.
（2）解：如答图24-54-1，连接BC.
∵OA=OB=1，
∴AB=2.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
又∵∠A=30°，
∴BC= AB=1.
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1,
∴AC=
7. 如图1-24-54-10，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长.
变式训练
(1)证明：如答图24-54-2，连接OD.
∵D为BC的中点，∴BD=CD.
∴∠BOD=∠BAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°.
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：如答图24-54-2，过点O作OF⊥AC于点F.
∵AC=10，OF⊥AC,
∴AF=CF= AC=5.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED为矩形.
∴FE=OD= AB.
∵AB=12，∴FE=6.
∴AE=AF+FE=5+6=11.
典型例题
知识点8：切线长定理
【例8】如图1-24-54-11，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点.若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于__________.
1
变式训练
8. 如图1-24-54-12，PA,PB分别切⊙O于点A，B，并与⊙O的切线分别相交于点D,C.已知△PCD的周长等于10 cm，则PA=__________cm.
5
典型例题
知识点9：弧长
【例9】已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为_________．
6
变式训练
9. 如图1-24-54-13，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则AB的长
为__________．
典型例题
知识点10： 扇形面积、圆锥的计算
【例10】若圆锥的底面半径长是4，母线长是15，则该圆锥的侧面面积是（ ）
A. 60 B. 60π
C. 30 D. 30π
B
变式训练
10. 如图1-24-54-14，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__________．
2
分层训练
A组
11. 如图1-24-54-15，在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于点P.若OP= 则弦CD的长为__________.
2
12. 如图1-24-54-16，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数为__________.
150°
13. 如图1-24-54-17，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=2，∠P=60°，则AB=（ ）
A．
B．2
C．2
D．3
B
14. 填空：
（1）在半径为2的圆中，30°的圆心角所对的弧长为_______；
（2）若扇形的半径为6，圆心角为60°，则扇形的面积为__________；
（3）若扇形的弧长为π cm，半径为2 cm，则扇形的面积是__________cm2．
6π
π
B组
15. 如图1-24-54-18，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8 cm，CD=24 cm，求⊙O的半径．
（1）证明：∵AB⊥CD，
∴BC=BD.
∴∠A=∠BCD.
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠ACO=∠BCD.
（2）解：设⊙O的半径为r cm，
则OC=r cm，OE=OB-EB=（r-8） cm.
∵AB⊥CD,CE= CD= ×24=12(cm).
在Rt△CEO中，由勾股定理，得
OC2=OE2+CE2，即r2=（r-8）2+122.
解得r=13．
∴⊙O的半径为13 cm．
16. 如图1-24-54-19，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD,CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CDA=30°，AC=2，求CE的长．
（1）证明：如答图24-54-3，连接OD.
∵D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA.
∴∠CAD=∠ODA.∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：如答图24-54-3，连接OC.
∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°.
又∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.
∴AC=OA=OD,∠CAO=60°.
又由（1）可得，AC∥OD,
∴四边形ACDO是菱形.
∴CD=AC=2，∠CDO=∠CAO=60°.
∵OD⊥ED,即∠ODE=90°,
∴∠CDE=30°.
∴CE= CD=1．
C组
17. 如图1-24-54-20，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB=BF，EF=4，求AD的长．
解：（1）如答图24-54-4，连接OD，BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，BE=EC，
∴DE=EC=BE.
∴∠1=∠3.
∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4=90°.
∴∠1+∠4=90°.
又∵OB=OD,即∠2=∠4，
∴∠1+∠2=90°.
∴∠ODF=90°,即OD⊥OF.
∴DF为⊙O的切线.
（2）∵OB=BF，∴OF=2OD.
由（1）可知∠ODF=90°,∴∠F=30°.
∵BC是⊙O的切线,∴∠FBE=90°.
∴BE= EF=2.
∵DF,BC分别是⊙O的切线，
∴DE=BE=2.
∴DF=DE+EF=2+4=6.
∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠FOD=60°.
∵OD=OA，∴∠A=∠ADO= ∠FOD=30°.
∴∠A=∠F.
∴AD=DF=6．(共21张PPT)
第二十四章 圆
第52课时 扇形面积
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．已知⊙O的半径为R.
图例
圆心角 360° 180° 90° 1° n°
A．已知⊙O的半径为R.
扇形 面积 πR2 ·πR2（可看作 的圆的面积） ·πR2（可看作 的圆的面积） ·πR2（可看作 的圆的面积） ·πR2（可看作 的圆的面积）
半径为R，圆心角为n°的扇形面积公式为S=
∵l= ∴S= ·πR2= ·R= lR.
∴扇形的面积也可以记为S= lR.
典型例题
知识点1：已知半径和圆心角，求扇形面积
【例1】若扇形的圆心角为120°，半径长为2，则该扇形的面积是__________________.
π
变式训练
1. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3 cm，则这个扇形的面积为_______________cm2.
π
典型例题
知识点2：已知弧长和半径，求扇形面积
【例2】一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（ ）
A. 4π B. 6π
C. 8π D. 12π
C
变式训练
2. 已知扇形的半径长为4，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是__________．
典型例题
知识点3：扇形面积公式的变形
【例3】已知扇形所在的圆的半径为6 cm，扇形的面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为__________.
60°
变式训练
3. 扇形的弧长为20π cm，面积为120π cm2，那么这个扇形的半径是（ ）
A. 6 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 28 cm
B
典型例题
知识点4：已知圆心角和弧长，求扇形面积
【例4】一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长等于4π，则该扇形的面积为（ ）
A．2π B．π
C．12π D．24π
C
变式训练
4. 一个扇形的圆心角是60°，扇形的弧长是2π，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π
C．6π D．8π
C
分层训练
A组
5. 已知扇形的圆心角为45°，半径为3 cm，则该扇形的面积为
__________cm2.
6.一个扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则此扇形的面积为__________cm2.
π
3π
7. 扇形弧长为5π cm，面积为60π cm2，则扇形半径为__________.
8. 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm，则此扇形的面积是__________cm2．
24 cm
6π
B组
9. 如图1-24-52-1，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
A.
B.
C. π
D. 2π
B
10. 如图1-24-52-2，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30 cm，扇面的宽度BD的长为20 cm，那么这把折扇的扇面面积为（ ）
A. cm2
B. cm2
C. cm2
D. 300π cm2
C
11. 如图1-24-52-3，在矩形ABCD中，BC=2，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE=60°，则图中阴影部分的面积为__________________.
12. 如图1-24-52-4，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 8－π
B. 16－2π
C. 8－2π
D. 8－ π
C
C组
13. 如图1-24-52-5，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4 cm，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转90°到△EBD的位置，则：
（1）线段BC扫过的面积为__________；
（2）线段AB扫过的面积为__________.
π cm2
4π cm2
14. 如图1-24-52-6，以三角形各顶点为圆心，1为半径画弧（每两条弧都相离），则图中三个扇形的面积和为 ;以四边形各顶点为圆心，1为半径画弧（每两条弧都相离），则图中四个扇形的面积和为π；以2 020边形的每一个顶点为圆心，1为半径画弧（每两条弧都相离），则2 020边形中扇形的面积和为__________.
1 009π(共25张PPT)
第二十四章 圆
第40课时 圆的有关性质（3）——垂径定理的推论
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
B. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的题设和结论可分为五个部分：
①CD过圆心；②CD⊥AB；③CD平分AB；④AD=BD；⑤AC=BC.
若其中的两个成立，则其余三个也成立（由圆的轴对称性可证），习惯上说为“知二推三”.
1. 如图1-24-40-1，根据垂径定理的推论写出几何语言：
∵直径CD与弦AB交于点E，
AE=BE，
∴CD⊥__________，AD=__________，
AC=__________.
AB
BD
BC
典型例题
知识点1：垂径定理推论的简单运用
【例1】如图1-24-40-2， CD是⊙O的直径，与弦AB交于点E，且AE=BE．若CD=10，CE=2，求AB的长．
解：如答图24-40-1，连接OA.
∵CD是⊙O的直径，AE=BE，∴ CD⊥AB.
∵OA=OC= CD=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3.
在Rt△AOE中，OA=5，OE=3，
∴AE= =4.
∴AB=2AE=8．
变式训练
2. 如图1-24-40-3，点A，B，C在⊙O上，OC平分AB，交AB于点D.若⊙O的半径是10 cm，AB=12 cm，求CD的长度.
解： ∵⊙O的半径是10 cm，AB=12 cm，OC是⊙O的半径且OC平分AB，
∴OA=OC=10 cm，OC⊥AB，
AD= AB= ×12=6(cm）.
在Rt△AOD中，OA=10 cm，AD=6 cm，
∴OD= =8(cm).
∴CD=OC-OD=10-8=2(cm).
典型例题
知识点2：垂径定理推论的应用
【例2】如图1-24-40-4，一圆弧形拱桥，跨度AB=16 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为4 m.求半径OA的长．
解：如答图24-40-2，取AB的中点C，连接OC，交AB于点D.
根据垂径定理推论可知，OC⊥AB，∴CD=4 m.
∵AB=16 m，OC⊥AB，
∴AD= AB=8(m).
设OA=r，则OD=r-4.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，即r2=82+（r-4）2.
解得r=10 m.
∴半径OA的长是10 m．
变式训练
3. 如图1-24-40-5，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC=8 cm，DE=2 cm，求OD的长．
解：∵E是弧AC的中点，
∴OE⊥AC.
∴AD= AC=4（cm）.
设OA=r，则OD=r-2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42.
解得r=5 cm.
∴OD=5-2=3(cm)．
分层训练
A组
4. 如图1-24-40-6，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3.求⊙O的直径.
解：如答图24-40-3，连接OA.
∵AB=8，M是AB的中点，
∴OM⊥AB，AM= AB= ×8=4.
在Rt△OAM中，OM=3，AM=4，
∴OA= =5.
∴⊙O的直径为2OA=10．
5. 如图1-24-40-7，在⊙O中，C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，OC=13，AB=10.求CD的长．
解：如答图24-40-4，连接AO.
∵C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB.
∵AB=10，
∴AD= AB=5.
在Rt△AOD中，OA=13，AD=5，
∴OD= =12.
∴CD=OC-OD=13-12=1.
B组
6. 如图1-24-40-8是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4，EM=6.求⊙O的半径．
解：如答图24-40-5，连接OC.
∵M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O，
∴EM⊥CD.
又∵CD=4，∴CM= CD=2.
设OC=r，则OM=6-r.
在Rt△COM中，由勾股定理，得
OC2=CM2+OM2，即r2=22+（6-r）2.
解得r= ∴⊙O的半径长是
7. 如图1-24-40-9，M是AB的中点，OM是⊙O的半径且交弦AB于点N，AB=4 MN=2.求圆心O到AB的距离．
解：如答图24-40-6，连接OA.
∵M是AB的中点，AB=4
∴OM⊥AB，AN= AB=2
设OA=r，则ON=r-2.
在Rt△AON中，由勾股定理，得
AN2+ON2=OA2，即（2 ）2+（r-2）2=r2.
解得r=4.
∴ON=4-2=2，即圆心O到AB的距离为2．
C组
8. 如图1-24-40-10，在⊙O中，相等的弦AB，AC互相垂直，E是AC的中点，OD⊥AB于点D．求证：四边形AEOD是正方形．
证明：∵OD⊥AB于点D，
∴AD= AB.
∵E是AC的中点，
∴OE⊥AC.
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°.
∴四边形AEOD是矩形.
∵AB=AC，∴AD=AE.
∴四边形AEOD是正方形．
9. 如图1-24-40-11，已知AB是⊙O的弦，C是AB的中点，AB=8，AC=2 求⊙O半径的长.
解：如答图24-40-7，连接OA，连接OC交AB于点D.
∵C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB.
∴AD=BD= AB=4.
在Rt△ACD中，AC=2 AD=4，
∴CD=
=2.
设OA=r，则OD=r-2.
在Rt△ADO中，由勾股定理，得
OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42.
解得r=5.
∴⊙O的半径为5.(共28张PPT)
第二十四章 圆
第48课时 切线的判定
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．切线的判定
判定 方法一：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 方法二：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线
图形
A．切线的判定
辅助线 点A在圆上，连接OA 作OA⊥l，垂足为点A（点A在直线l上）
几何语言 ∵半径OA⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线 ∵OA等于半径，
∴直线l是⊙O的切线
典型例题
知识点1：判定方法一的直接运用
【例1】如图1-24-48-1，已知OA是⊙O的半径，∠B=30°，∠AOB=60°.求证：AB是⊙O 的切线.
证明：∵∠B=30°，∠AOB=60°，
∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°.
∴半径OA⊥AB.
∴AB是⊙O 的切线.
变式训练
1. 如图1-24-48-2，已知AB是⊙O的直径，AB=AC，∠C=45°. 求证：AC是⊙O 的切线.
证明：∵ AB=AC，∠C=45°，
∴∠B=∠C=45°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°.
∴直径AB⊥AC.
∴AC是⊙O 的切线.
典型例题
知识点2：连半径，证垂直，得切线
【例2】如图1-24-48-3，在△ABC中，∠A=∠B=30°，D是AB 边上一点，以AD为直径作⊙O恰好经过点C．求证：BC所在直线是⊙O的切线.
证明：如答图24-48-1，连接OC．
∵OC=OA，∴∠ACO=∠A=30°．
在△ABC中，∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=120°．
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.
∴OC⊥BC．
∴BC所在直线是⊙O的切线.
变式训练
2. 如图1-24-48-4，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC. ∠PCA=∠B.求证：PC是⊙O的切线.
证明：如答图24-48-3，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°.
∵OB=OC，
∴∠2=∠B.
又∵∠PCA=∠B，
∴∠PCA=∠2.
∴∠1+∠PCA=∠1+∠2=90°，
即PC⊥OC.
∴PC是⊙O的切线.
典型例题
知识点3：作垂直，证半径，得切线
【例3】如图1-24-48-5，在△APE中，∠PAE=90°，PO是∠APE的平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G. 求证：直线PE是⊙O的切线.
证明：如答图24-48-2，过点O作OH⊥PE于点H.
∴∠OHP=90°.
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP.
又∵PO是∠APE的平分线，
∴OA=OH.
∵OA是⊙O的半径，
∴OH是⊙O的半径.
∴直线PE是⊙O的切线.
变式训练
3. 如图1-24-48-6，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
证明：如答图24-48-4，过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA.
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵AB=AC，O是BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
又∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
∴AC是⊙O的切线.
分层训练
A组
4. 如图1-24-48-7，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A. 以PA为半径的圆
B. 以PB为半径的圆
C. 以PC为半径的圆
D. 以PD为半径的圆
C
5. 如图1-24-48-8，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A. OP=5
B. OE=OF
C. O到直线EF的距离是4
D. OP⊥EF
D
6. 如图1-24-48-9，已知AB=AC，BD=CD，点D在BC上，以A为圆心的圆恰好经过点D.求证：BC为⊙A的切线．
证明：如答图24-48-5，
连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
又∵AD是⊙A的半径，
∴BC为⊙A的切线．
7. 如图1-24-48-10，已知∠AOB=30°，点M在OB边上，⊙M的半径为3，OM=6.求证：⊙M与OA相切．
证明：如答图24-48-6，过点M作MN⊥OA于点N.
∵MN⊥AO，∠AOB=30°，OM=6，
∴MN= OM= ×6=3．
∵⊙M的半径为3，
∴⊙M与OA相切.
B组
8. 如图1-24-48-11，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线
证明：如答图24-48-7，连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC.
∴∠CED=∠ODE．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．
∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
9. 如图1-24-48-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别交AB，AC于点E，F．判断BC与⊙O的位置关系并证明.
解：BC与⊙O相切．证明如下：
如答图24-48-8，连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
C组
10. 如图1-24-48-13,AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC=MD.求证：MC为⊙O的切线．
证明：如答图24-48-9,连接OC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
∵OM⊥AB，∴∠AOD=90°.
∴∠A+∠ADO=90°.
∴∠ADO=∠B.
∵∠ADO=∠CDM，∴∠CDM=∠B.
∵MC=MD，∴∠MDC=∠MCD.
∴∠MCD=∠B.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.
∴∠MCD+∠ACO=90°.
∴∠MCO=90°.
∴MC为⊙O的切线．(共21张PPT)
第二十一章 圆
第44课时 圆的有关性质自测
限时：40 min 满分：100分
1. （3分）已知⊙O的半径是5 cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．20 cm
B
2. （3分） 下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
D
3. (3分)如图1-24-44-1，⊙O中弦AB垂直直径CD于点E，有下列结论：①AE=BE；②AD=BD；③AC=BC；④EO=ED. 其中正确的有（ ）
A. ①②③④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①④
B
4. （3分）如图1-24-44-2，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点C，OC=3，则弦AB=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．5
C
5. （3分）如图1-24-44-3，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC.若∠ACO=25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
B
6. （3分）如图1-24-44-4，A,B,C是半径为3的⊙O上的三点，已知∠C=30°，则弦AB的长为（ ）
A. 3
B. 6
C. 3.5
D. 1.5
A
7. (3分)如图1-24-44-5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD.若∠C=70°，则∠ABD的度数是（ ）
A.35°
B.55°
C.70°
D.110°
A
8. （3分）如图1-24-44-6，在⊙O中，半径OA⊥BC，点D在圆上且∠ADC=30°，则∠AOB的度数为__________．
60°
9. （4分）如图1-24-44-7，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为__________.
105°
10. （4分）如图1-24-44-8，∠B=58°，则∠OCA=__________.
32°
11. （10分）如图1-24-44-9，在⊙O中，AC=BD，∠AOB=45°.求∠COD的度数.
解：∵AC=BD,
∴AB+BC=BC+CD.
∴AB=CD.
∴∠AOB=∠COD.
∵∠AOB=45°，
∴∠COD=45°.
12. （10分）如图1-24-44-10，已知在⊙O中，BC是直径，AB=CD，∠AOD=80°，求∠ABC的度数.
解：∵AB=CD，
∴∠AOB=∠DOC.
∵∠AOD=80°，
∴∠AOB=∠DOC=50°.
∵OA=OB，
∴∠ABC= =65°.
13. （10分）如图1-24-44-11，∠A是⊙O的圆周角,且∠A=50°.求∠OBC的度数.
解：如答图24-44-1，连接OC.
∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°.
∵OB=OC，
∴∠OBC= ×(180°-∠BOC)= ×(180°－100°)=40°.
14. （10分） 如图1-24-44-12，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的圆，分别交AB，BC于点D，E．求证：BE=CE.
证明：如答图24-44-2，连接AE.
∵AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°.
∴AE⊥BC.
∵AB=AC，
∴BE=CE.
15. （14分）如图1-24-44-13，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M．若MD=2，AB=8，求CM的长．
解：如答图24-44-3,连接OA.
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=BM.
∵AB=8，∴AM=4.
设⊙O的半径为r，则OA=OC=OD=r.
∵MD=2，∴OM=r－2.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得
AM2+OM2=AO2，即42+(r－2)2=r2.
解得r=5.
∴CM=2r-MD=10－2=8．
16. （14分）如图1-24-44-14，在□ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD，BC于点F，G，交BA的延长线于点E.求证：EF=FG.
证明：如答图24-44-4，连接AG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠ABC，
∠DAG=∠AGB.
∵AB=AG，
∴∠ABC=∠AGB.
∴∠EAD=∠DAG.
∴EF=FG.(共23张PPT)
第二十四章 圆
第42课时 圆的有关性质（5）——圆周角（1）
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
1. 判断下列图形中的角是否是圆周角，是的打“√”，不是的打“×”.
×
×
√
×
B. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半.
2. 如图1-24-42-1，根据图形写出几何语言：
∵AB=AB，
∴____________________________________.
∠AOB=2∠C（或∠C= ∠AOB）
C. 圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
3. 如图1-24-42-2，根据图形写出几何语言：
（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=__________.
（2）∵∠ACB=90°，
∴______________.
90°
AB是直径
典型例题
知识点1：圆周角定理
【例1】如图1-24-42-3，根据图中条件求∠α的度数.
①α=__________；②α=__________；③α=__________.
45°
30°
50°
变式训练
4. 如图1-24-42-4，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是（ ）
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
A
典型例题
知识点2：圆周角定理的推论
【例2】如图1-24-42-5，AB是⊙O的直径，∠B=60°，AB=4.求BC的长度.
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°.
∵∠B=60°，∴∠A=30°.
又∵AB=4，
∴BC= AB=2.
变式训练
5. 如图1-24-42-6，在⊙O中，∠A=∠B=45°.求证：AB是⊙O的直径.
证明：∵∠A=∠B=45°，
∴∠C=90°.
∴AB是⊙O的直径.
【例3】如图1-24-42-7，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，求∠ABD的度数.
典型例题
解：如答图24-42-1,连接AD.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，∴∠A=∠BCD=40°.
∴∠ABD=90°－40°=50°.
变式训练
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵同弧所对的圆周角相等，且∠ACD=25°,
∴∠B=25°.
∴∠BAD=90°－∠B=65°.
6. 如图1-24-42-8，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
分层训练
A组
7. 如图1-24-42-9，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A. 156° B. 78°
C. 39° D. 12°
C
8. 如图1-24-42-10，已知∠ACB=30°，则∠AOB=__________，∠ADB=__________．
60°
30°
B组
9. 如图1-24-42-11，△ABC的三个顶点在⊙O上，P为劣弧BC上任意一点，∠APB=∠APC=60°.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°.
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.
10. 如图1-24-42-12，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D．请判断△ABD的形状，并说明理由．
解: △ABD为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD.
∴AD=BD.
∴△ABD为等腰直角三角形.
C组
11. 如图1-24-42-13，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD=6 cm，∠DAC=2∠B，求AC的长．
解：如答图24-42-2，连接OC.
∵∠AOC=2∠B，∠DAC=2∠B，
∴∠AOC=∠DAC.
∴OC=AC.
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形.
∴AC=AO= AD=3(cm)．(共28张PPT)
第二十四章 圆
第41课时 圆的有关性质（4）——弧、弦、圆心角
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．在同圆或等圆中：
1. 如图1-24-41-1，根据图形写出几何语言：
（1）∵ AB=CD，∴AB=CD，∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，
∴__________，
____________；
（3）∵AB=CD，
∴__________，
__________.
AB=CD
AB=CD
∠1=∠2
AB=CD
典型例题
知识点1：弧、弦、圆心角之间关系的简单运用
【例1】如图1-24-41-2，已知在⊙O中，点B为AC的中点，∠AOB=35°，则∠BOC=__________.
35°
变式训练
2. 如图1-24-41-3，在⊙O中，AB=AC，∠B=30°，则∠C=__________，∠A=__________.
30°
120°
典型例题
知识点2：运用弧、弦、圆心角的关系计算
【例2】如图1-24-41-4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°.求∠AEO的度数.
解： ∵BC=CD=DE，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠COD=∠EOD=34°.
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE.
∴∠AEO= ×(180°-∠AOE)= ×（180°-78°）=51°.
变式训练
3. 如图1-24-41-5，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB分别交⊙O于点C，D．若AC=CD=DB，求∠P的度数.
解：如答图24-41-1，连接OC，OD.
∵AC=CD=DB，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形.
∴∠A=60°，∠B=60°.
∴∠P=60°.
典型例题
知识点3：运用弧、弦、圆心角的关系证明
【例3】如图1-24-41-6，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB=CD，连接AD，BC. 求证：AD=BC．
证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，即BC+AC=AD+AC.
∴AD=BC.
变式训练
4. 如图1-24-41-7，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD=BE．
证明：如答图24-41-2,连接OC.
∵AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO=∠CEO=90°.
在△COD与△COE中，
∴△COD≌△COE(AAS).
∠CDO=∠CEO,
∠DOC=∠EOC,
CO=CO，
∴OD=OE.
又∵AO=BO，
∴AO-OD=BO-OE,
即AD=BE．
分层训练
A组
5. 如图1-24-41-8,在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC=45°，则∠AOB=（ ）
A. 45°
B. 80°
C. 85°
D. 90°
D
6. 如图1-24-41-9，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD.若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（ ）
A. 32°
B. 60°
C. 68°
D. 64°
D
7. 如图1-24-41-10，在⊙O中，AB=AC.若∠B=60°，则∠A=__________，∠C=__________.
60°
60°
8. 如图1-24-41-11，在⊙O中，AB=CD，∠1=30°，则∠2=__________.
30°
B组
9. 如图1-24-41-12，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O.若BC=CD=DA=4 cm，求⊙O的周长.
解：如答图24-41-3，连接OD，OC．
∵BC=CD=DA，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形.
∴OA=AD=4 cm.
∴⊙O的周长为2π×4=8π （cm）．
10. 如图1-24-41-13，在⊙O中，AB，CD是直径，CE∥AB且交圆于点E.求证：BD=BE．
证明：如答图24-41-4，连接OE.
∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E.
∵OC=OE，
∴∠C=∠E.
∴∠DOB=∠BOE.
∴BD=BE．
C组
11. 如图1-24-41-14，∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E,F，求证：AE=CD.
证明：如答图24-41-5,连接AC.
∵∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，
∴∠AOC=∠COD= ×90°=30°.
∴AC=CD.
又∵OA=OC，
∴∠ACE= ×(180°-∠AOC)= ×(180°-30°)=75°.
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°.
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°.
∴∠ACE=∠AEC.
∴AE=AC.
∴AE=CD.
12. 如图1-24-41-15，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，CE⊥OA交⊙O于点E，连接AE．求证：AE=AO．
证明：如答图24-41-6,设EC⊥OA于点F,连接OC,AC.
∵AC=BC,
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB= ×120°=60°.
又∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形.
∴AC=AO.
∵OA⊥CE，
∴EF=FC.
∴OA所在直线是EC的垂直平分线.
∴AE=AC.
∴AE=AO．(共18张PPT)
第二十四章 圆
第46课时 直线和圆的位置关系
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A. 直线与圆的位置关系（r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离）：
图形
公共点个数 __________ __________ __________
0
1
2
A. 直线与圆的位置关系（r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离）：
直线与圆的 位置关系 __________ __________ __________
d与r的大小 关系 _________ ___________ __________
相离
相切
相交
d＞r
d=r
d＜r
典型例题
知识点1：判断直线和圆的位置关系
【例1】已知圆的半径为2 cm，圆心到直线l的距离为d.
（1）若d=1 cm，则直线l与圆的位置关系是__________，直线与圆有__________个公共点；
（2）若d=__________ cm，则直线l与圆的位置关系是相切，直线与圆有__________个公共点；
（3）若d=5 cm，则直线l与圆的位置关系是__________，直线与圆有__________个公共点.
相交
2
2
1
相离
0
变式训练
1. 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为3.
（1）若r=2，则直线l与圆的位置关系是__________；
（2）若r=__________，则直线l与圆的位置关系是相切；
（3）若r=5，则直线l与圆的位置关系是__________.
相离
3
相交
典型例题
知识点2：根据位置关系，求d或r的取值范围
【例2】已知⊙O的半径为3，圆心到直线l的距离为d.
（1）若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是__________；
（2）若直线l与⊙O相切，则d的取值是__________；
（3）若直线l与⊙O相交，则d的取值范围是__________.
d＞3
3
0≤d＜3
变式训练
2. 已知⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为10.
（1）若直线l与⊙O有1个公共点，则r的取值是__________；
（2）若直线l与⊙O没有公共点，则r的取值范围是__________；
（3）若直线l与⊙O有2个公共点，则r的取值范围是__________.
10
0＜r＜10
r＞10
典型例题
知识点3：直线和圆位置关系的综合运用
【例3】如图1-24-46-1，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5.
（1）以点A为圆心，作一个半径为2的圆，则直线BC与⊙A的位置关系是__________；
（2）以点A为圆心，作一个半径为3的圆，
则直线BC与⊙A的位置关系是__________；
（3）以点A为圆心，作一个半径为5的圆，
则直线BC与⊙A的位置关系是__________；
（4）以点C为圆心，作一个半径为r的圆.
若直线AB与⊙C相切，则r=__________.
相离
相切
相交
变式训练
3. 如图1-24-46-2，在Rt△ABC中，AB=4，∠B=30°.
（1）以点A为圆心，作一个半径为3的圆，则直线BC与⊙A的位置关系是__________；
（2）以点A为圆心，作一个半径为2的圆，
则直线BC与⊙A的位置关系是__________；
（3）以点C为圆心，作一个半径为3的圆，
则直线AB与⊙C的位置关系是__________；
（4）以点B为圆心，作一个半径为r的圆.若直
线AC与⊙B相切，则r=__________.
相交
相切
相交
2
分层训练
A组
4. 已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
B
5. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与圆O相交，则d的取值范围（ ）
A．0≤d＜5 B．0＜d＜5
C．d=5 D．d＞5
A
6. ⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，直线l和⊙O大致的位置关系是（ ）
B
7. 如图1-24-46-3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是__________.
相离
B组
8. 如图1-24-46-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm.以点C为圆心，2 cm的长为半径作圆，则直线AB与⊙C的位置关系是__________．
相离
9. 如图1-24-46-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（ ）
A. 3≤r≤5
B. 3C. r=3或r=5
D. 05
D
C组
10. 如图1-24-46-6，在平面直角坐标系xOy中，以圆心P的坐标为（-3，4），半径为r在坐标平面内作圆，则：
（1）当__________时，⊙P与坐标轴有1个交点；
（2）当__________时，⊙P与坐标轴有
2个交点；
（3）当__________时，⊙P与坐标轴有
3个交点；
（4）当____________时，⊙O与坐标轴有
4个交点.
r=3
3＜r＜4
r=4或5
r＞4且r≠5
11. 如图1-24-46-7，已知∠AOB=30°，M为OB上一点.若以点M为圆心，5 cm的长为半径作圆，则：
（1）当OM满足________________时，
⊙M与OA所在的直线相离；
（2）当OM满足_________________时，
⊙M与OA所在的直线相切；
（3）当OM满足__________________时，
⊙M与OA所在的直线相交.
OM＞10 cm
OM=10 cm
0 cm≤OM＜10 cm
