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第二部分期 末 复 习
第65课时 期末复习（3）——轴对称
目录
01
知识点导学
02
分层训练
【例1】下列图案是轴对称图形的是 （ ）
考点突破
考点一 轴对称图形
D
1. 如图65-1,其中是轴对称图形的共有 （ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
变式诊断
C
【例2】 如图65-2，在等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=____________.
考点突破
考点二 线段的垂直平分线
20°
2. 如图65-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，若BC=9，则DE的长为____________.
变式诊断
3
【例3】 点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A. （-2，3） B. （2，3）
C. （-2，-3） D. （2，-3）
考点突破
考点三 轴对称图形的坐标变换
B
【例4】如图65-4，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A，B，C的坐标分别为A（-2，1），B（-4，5），C（-5，2）.请你作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
解：作图略,
A1(2,1),B1(4,5),C1(5,2).
3. 点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，0） B. （-2，1）
C. （-2，-1） D. （2，-1）
变式诊断
B
4. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图65-5所示.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出点A′,B′，C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积.
解：（1）作图略，
A′(-2,-3),B′（-3，-2），C′（-1，-1）.
（2）S△ABC=
【例5】 如图65-6，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若△AEF的周长为9，BC=8，则△ABC的周长为 （ ）
A. 18 B. 17
C. 16 D. 15
考点突破
考点四 等腰三角形的性质和判定
B
【例6】如图65-8，在△ABC中，BC=8 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长.
解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE.∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE. ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE.
∴BD=PD，CE=PE.
∴△PDE的周长为PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8（cm）.
5. 如图65-7，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于点E，若AB=BC，则下列结论错误的是 （ ）
A. BD⊥AC
B. ∠A=∠EDA
C. 2AD=BC
D. BE=ED
变式诊断
C
6. 如图65-9，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°.
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试证明DB是∠ABC的平分线.
（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∴∠CAD=70°.
∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°.
∵∠BAC=70°，∴∠B=40°，BA=BC.
∴△ABC是等腰三角形.
（2）证明：∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC.
∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分线.
【例7】 如图65-10，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=65°，则∠ABE等于 ( )
A．15° B．25°
C．35° D．40°
考点突破
考点五 等边三角形的性质和判定
C
【例8】如图65-12，E是等边三角形ABC的边AC上一点，∠1＝∠2，CD=BE，试判断△ADE的形状,并说明理由.
7. 如图65-11，在△ABC中，点D，E在边上，DE∥BC，若△ADE是等边三角形，AD=2，BD=3，则△ABC的周长为( )
A．6
B．9
C．15
D．18
变式诊断
C
8. 如图65-13，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形.
【例9】如图65-14，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=2 cm，则AB的长度是 ( )
A．2 cm
B．4 cm
C．8 cm
D．16 cm
考点突破
考点六 含30°锐角的直角三角形的性质
C
9. 如图65-15，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点．若BC=6，则BD的长为 ( )
A．3
B．4
C．6
D．8
变式诊断
A
10. 用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是 （ ）
C
11. 如图65-16，在△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于 （ ）
A. 15°
B. 18°
C. 20°
D. 22.5°
A
12. 如图65-17，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且EC=1，则BC的长是____________.
4
13. 如图65-18，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=6，AD=4，则BD等于 （ ）
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
B
14.如图65-19，在△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD=1，则AC的长为____________．
2
15.如图65-20，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，连接CE，若∠A=34°，∠ACB=76°，则∠BCE=___________.
42°
16. 如图65-21，在△ABC中，∠BAC=90°．AD⊥BC于点D，若∠C=30°，BD=1，则线段CD的长为____________.
3
17. 如图65-22，等腰三角形ABC的顶角∠A是84°，求腰AC上的高BD与底边BC所成的角∠DBC的度数.
解：∵在△ABC中，
∠A＝84°，且AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－84°)÷2＝48°.
又∵BD是边AC上的高，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝90°－48°＝42°.
18. 如图65-23，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，DA⊥BA于点A，BC=6 cm，求AD的长．
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.
∴∠BAC=180°-2×30°=120°.
∵DA⊥BA，∴∠BAD=90°.
∴∠CAD=120°-90°=30°.
∴∠CAD=∠C.∴AD=CD.
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∠BAD=90°，∴BD=2AD.
∴BC=BD+CD=2AD+AD=3AD.
∵BC=6 cm，∴AD=2 cm．
19. 如图65-24,从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．
20. 如图65-25，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是 （ ）
A. AC=AD+BD
B. AC=AB+BD
C. AC=AD+CD
D. AC=AB+CD
B
21. 如图65-26，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=____________.
60°
22. 如图65-27，a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，∠1=20°，则∠2的度数为____________.
40°
23. 如图65-28，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为点E，CF⊥AB，垂足为点F，BE，CF交于点M，若CM＝4，FM＝5，则BE等于____________.
12
24. 如图65-29，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=4，OP+OM=16，则OM=_________.
4
25. 如图65-30，在△ABC中，CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC.
（1）求证：M为EF的中点；
（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度数.
（1）证明:∵CE,CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，
∴∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF.
∵EF∥BC，
∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF.
∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF.
∴EM=MC，MC=MF. ∴EM=MF.
∴M为EF的中点.
26. 如图65-31，设△ABC和△CDE都是等边三角形，并且∠EBD=90°．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求∠AEB的度数．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=∠BDC.
∵∠AEB+∠AEC+∠BEC=360°，
∴∠AEB=360°-（∠AEC+∠BEC）=360°-（∠BDC+∠BEC）.
在四边形BDCE中，∠EBD+∠BEC+∠ECD+∠BDC=360°，
其中∠EBD=90°，∠ECD=60°，
∴∠BEC+∠BDC=360°-（∠EBD+∠ECD）=360°-（90°+60°）=210°.
∴∠AEB=360°-210°=150°．
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第二部分期 末 复 习
第67课时 期末复习（5）——分式
【例1】当x满足什么条件时下列分式有意义？
考点突破
考点一 分式的概念
解：（1）x≠-2.
（3）x≠0.
【例2】 若分式 的值为0，则x=____________.
8
1. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
变式诊断
解：（1）a≠0.
（2）x≠1.
2. 若分式 的值为0，则x=____________.
3
【例3】计算：
考点突破
考点二 分式的混合运算及化简求值
【例4】计算：
解：原式=a2-a-2.
【例5】先化简，再求值： 然后从0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值.
解：化简，得原式=1-a， 当a=0或1时,原式无意义.当a=2时，原式=1-2=-1.
3. 计算：
变式诊断
-x5
4.计算：（xy－x2）÷
解：原式=-y.
5. 先化简，再求值：
其中m=1.
解：化简，得原式=
当m=1时，原式=
【例6】填空：（1）将5x-3y2写成只含有正整数指数幂的形
式是____________；
（2）（x-1）2·x3=____________；
（3）（-3）0-2-3=____________.
考点突破
考点三 整数指数幂及科学记数法
x
【例7】成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克．数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为
______________________.
4.6×10-6
变式诊断
6.填空：
（1）将2-1x-3y2化为只含有正整数指数幂的形式___________；
（2）（a-2b3）2=____________；
（3） +(2 021-π)0=____________.
4
7. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.000 000 000 34 m，用科学记数法表示是__________________________m.
3.4×10-10
考点突破
考点四 分式方程的解法
【例8】解分式方程：
解：方程两边同时乘x(x-2),得(x+3)(x-2)-2x=x(x-2).
去括号、移项，得x2+x-6-2x-x2+2x=0.
整理,得x-6=0.∴x=6.
当x=6时，x(x-2)≠0,
∴x=6是原方程的解.
变式诊断
8. 解分式方程：
解：方程两边同时乘(x-3),
得2-x-1=x-3.
整理，得-2x=-4.
解得x=2.
当x=2时，x-3≠0,
∴x=2是原方程的解.
【例9】某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，求第一组有多少人.
考点突破
考点五 分式方程的应用
解：设第一组有x人．根据题意，得
解得x=6．
经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意．答：第一组有6人.
9. 某中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同. 甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
变式诊断
解：设乙种图书每本的进价是x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元.
由题意,得 解得x=45.
经检验，x=45是原分式方程的解,且符合题意.
则x+20=65.
答：甲种图书每本的进价是65元，乙种图书每本的进价是45元.
10. 下列四个式子中是分式的是 ( )
D
11. 要使分式 有意义，则x的取值应满足 ( )
A．x≠4 B．x≠-2
C．x=4 D．x=-2
12. 下列分式是最简分式的是 ( )
A. B.
C. D.
A
C
13. 分式 的最简公分母是 ( )
A．a B．12a
C．8a2 D．12a2
14. 若（x-1）0=1成立，则x的取值范围是____________.
15. 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm，将数据0.000 7 mm用科学记数法表示为________________m.
D
x≠1
7×10-7
16. 计算：
-m
1
-2
17.用式子表示：
（1）小明t h走了s km的路，则小明的速度是__________km/h；
（2）一箱苹果售价p元，总重m kg，箱重n kg，则每千克苹果的售价是____________元．
18.解方程：
解：x=1.
经检验，x=1是分式方程的解.
19. 先化简，再求值： 其中x＝
解：化简,得原式=
当x＝ 时，原式=-4.
20. 某化工厂要在规定时间内搬运1 200 t化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 t，A型机器人搬运900 t所用的时间与B型机器人搬运600 t所用的时间相等．两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料
解：设B型机器人每小时搬运x t化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）t化工原料，
根据题意，得 解得x=60．
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
当x=60时，x+30=90．
答：A型机器人每小时搬运90 t化工原料，B型机器人每小时搬运60 t化工原料.
21. 关于x的方程 化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k的值为 （ ）
A. 3 B. 0
C. ±3 D. 无法确定
A
22. 现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了3天完成任务，求原来每天装配机器的台数x，下列所列方程正确的是 （ ）
A
23. 不改变分式的值，使下面分式的分子、分母中各项系
数都为整数： =______________________.
24. 若 =2,则 =____________.
25. 若 ，则 的值是__________.
26. 若 则A为____________.
27. 已知 （其中A,B为常数），
则A=____________，B=___________.
3x+1
a<2且a≠－4
28. 若分式方程 =－1的解是正数，则a的取值范围是___________________.
29. 计算：
a-b
30. 先化简，再求值： 其中x是不等式3a+7＞1的负整数解.
解：化简,得原式=
∵不等式3a+7＞1的解为a＞-2,
∴其负整数解为a=-1.
当x=-1时，原式=3.
31. 某国产手机销售店去年A型手机的销售总额为6万元，今年每个A型手机的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年每个A型手机的售价;
（2）该国产手机销售店计划新进一批A型手机和B型手机共45个，已知A,B型手机的进货价格分别是1 100元、1 400元，今年B型手机的销售价格是2 000元，要使这批手机获得的利润超过25 000元，则需最多购进A型手机多少个．
解：（1）设今年每个A型手机的售价为x元，则去年每个A型手机的售价为（x+400）元.
根据题意得
解得x=1 600.
经检验，x=1 600是原分式方程的解，且符合题意.
答：今年每个A型手机的售价为1 600元.
（2）设今年购进A型手机y个，则购进B型手机（45-y）个.
由题意得（1 600-1 100）y+（2 000-1 400）（45-y）＞
25 000.
解得y＜20.
∵y是整数,
∴y的最大值为19.
答：需最多购进A型手机19个．
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第二部分期 末 复 习
第66课时 期末复习（4）
——整式的乘法与因式分解
【例1】计算：
（1）10·102·104＝____________；
（2）（－a2b）3＝____________；
（3）a4÷a2＝____________；
（4） （____________）2＝a4b2；
（5） （xn）2＋5xn－2·xn＋2＝____________.
考点突破
考点一 幂的运算
107
－a6b3
a2
±a2b
6x2n
1. 计算：
（1）（-2）×（-2）3×（-2）5=____________；
（2）（x3）6=____________；
（3）（-3a3）2=____________；
（4）（xy）6÷（xy）2=____________；
（5）（x3）3·（x2）4=____________.
变式诊断
-29
x18
9a6
x4y4
x17
【例2】计算：（1）（-5a2b）·2ab2c；
（2）-12a4b3c÷3ab2.
考点突破
考点二 单项式与单项式的乘除法
解：原式=-10a3b3c.
解：原式=-4a3bc.
2. 计算：
（1）（3x2y）3·（-4x）；
（2）-5a5b3c÷15a4b.
变式诊断
解：原式=-108x7y3.
考点突破
考点三 单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以 单项式
【例3】计算：
（1）
解：原式= a2b3-a2b2.
（2）（3x+1）（x+2）；
（3）（15x2y-10xy2）÷5xy.
解：原式=3x2+7x+2.
解：原式=3x-2y.
3. 计算：
（1）2ab2·（3a2b-2ab-1）；
（2）（m-3）（m+4）；
变式诊断
解：原式=6a3b3-4a2b3-2ab2.
解：原式=m2+m-12.
（3）（27x3-15x2+3x）÷3x.
解：原式=9x2-5x+1.
【例4】计算：
（1）（2x+5）（2x-5）=_________________；
（2）（2y+x）（x-2y）=____________；
（3）（3x-1）2=___________________；
（4）（2m+5n）2=___________________.
考点突破
考点四 乘法公式
4x2-25
x2-4y2
9x2-6x+1
4m2+20mn+25n2
4. 计算：（2x+1）2-（2x+1）（2x-1）.
变式诊断
解：原式=4x+2.
【例5】计算：（4ab3-8a2b2）÷4ab-b2.
考点突破
考点五 整式的混合运算及化简求值
解：原式=-2ab.
【例6】先化简，再求值：（2x+y）（2x-y）-3（2x-y）2，其中x=1，y=-2.
解：原式=4x2-y2-3（4x2-4xy+y2）
=-8x2+12xy-4y2，
当x=1，y=-2时，原式=-8-24-16=-48.
5. 计算：［（x-y）2+（x+y）（x-y）］÷2x.
6. 化简求值：（a+b）2-2a（b+1）-a2b÷b，其中a=-2，b=2.
变式诊断
解：原式=x-y.
解：原式=a2+2ab+b2-2ab-2a-a2
=b2-2a，
当a=-2，b=2时，原式=8.
【例7】把下列各式因式分解：
（1）4ax2-9ay2；
（2）-3m2+6mn-3n2；
（3）x（x-y）2-2（y-x）2.
考点突破
考点六 因式分解
解：原式=a（2x+3y）（2x-3y）.
解：原式=-3（m-n）2.
解：原式=（x-y）2（x-2）.
7. 把下列各式因式分解:
（1）4a2-16；
（2）x2-10xy+25y2；
（3）a2（m-n）+b2（n-m）.
变式诊断
解：原式=4（a+2）（a-2）.
解：原式=（x-5y）2.
解：原式=（m-n）（a+b）（a-b）.
8. 计算a·a2的结果是 （ ）
A. a3 B. 2a2 C. 3a D. 2a
9. 下列计算错误的是 （ ）
A. a·a2＝a3 B. a6÷a2＝a4
C. （x2）3＝x5 D. （ab2）3＝a3b6
A
C
10. 计算8a3÷（－2a）的结果是 （ ）
A. 4a B. －4a
C. 4a2 D. －4a2
11. 若x+y=5，xy=6，则（x-4）（y-4）的值是 （ ）
A. -11 B. -3
C. 2 D. 13
D
C
12. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是 （ ）
A. x2-4x+5=x（x-4）+5
B. x2-2xy+y2=（x-y）2
C. x2+y2=（x+y）2-2xy
D. （x+3）（x-1）+1=x2+2x-2
13. 多项式2ab2-8a2b各项的公因式是____________.
B
2ab
14. 计算：
（1）（-p）2·p3=____________；
（2）（-3m3n）2=______________；
（3）（a5）3÷a6=____________；
（4）3x3y·（-2x3y2）=____________；
（5）-3xy（2x-3y）=_________________；
（6）（x-7）（x+2）=__________________.
p5
9m6n2
a9
-6x6y3
-6x2y+9xy2
x2-5x-14
15.找出下列多项式各项的公因式：
（1）多项式6a2c-8a各项的公因式是____________；
（2）多项式8a2b3+6ab2各项的公因式是____________；
（3）多项式x2y-2x2y3+3x3y各项的公因式是____________；
（4）多项式12x（a+b）-4y（a+b）各项的公因式是_____________________.
2a
2ab2
x2y
4（a+b）
16. 因式分解：
（1）3ab-6a=________________；
（2）6（x-3）+x（3-x）=________________；
（3）2m2-8n2=_________________________；
（4）2x2-12x+18=________________.
3a（b-2）
（x-3）（6-x）
2（m+2n）（m-2n）
2（x-3）2
解：原式=9a3b7.
解：原式=x4y4-2x3y3.
解：原式=-2x3y2.
解：原式=9a3b3.
19. 化简（a－1）（a＋1）（a2＋1）－（a4－1）的结果为
（ ）
A. 0 B. 2
C. －2 D. 2a4
A
20. 因式分解x2－ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是（x＋6）（x－1），乙看错了b的值，分解的结果为（x－2）（x＋1），那么x2-ax＋b因式分解的正确结果为 （ ）
A. （x－2）（x＋3） B. （x＋2）（x－3）
C. （x－2）（x－3） D. （x＋2）（x＋3）
B
21. 若3m=2，3n=5，则3m+n的值是 （ ）
A. 7 B. 90 C. 10 D. a2b
22. 若x2+mx+1是完全平方式，则m的值为____________.
23. 计算： =____________.
C
±2
24. 如图66-1所示为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是可以按规律写出形如（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数.
（a+b）＝a+b，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+______a3b+________a2b2+________ab3+b4.
4
6
4
25. 把4个数a，b，c，d排列成 ，我们称之为二阶行列式. 规定它的运算法则为 ＝ad－bc. 若
＝12，则x＝____________.
1
26. 分解因式：
（1）2（a－1）2－12（a－1）＋18；
（2）x2（x－y）＋（y－x）.
解：原式=2(a－4)2.
解：原式=(x＋1)(x－1)(x－y).
27. 若x2－5x＝14，求（x－1）（2x－1）－（x＋1）2＋1的值.
解：原式＝x2－5x＋1,
当x2－5x＝14时，原式＝14＋1＝15.
28. 已知a（x2+x-c）+b（2x2-x-2）=7x2+4x+3，求a,b,c的值.
解：∵a（x2+x-c）+b（2x2-x-2）=7x2+4x+3，
∴（a+2b）x2+（a-b）x-（ac+2b）=7x2+4x+3.
∴a+2b=7， a-b=4， -（ac+2b）=3.
解得a=5，b=1，c=-1.
29. 若x，y满足x2+y2=8，xy=2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x-y．
解：（1）∵x2+y2=8，xy=2，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy
=8+2×2
=12.
（2）∵x2+y2=8，xy=2，
∴x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2
=82-2×22
=64-8
=56.
（3）∵x2+y2=8，xy=2，
∴（x-y）2=x2+y2-2xy=8-2×2=4.
∴x-y=±2．
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第二部分期 末 复 习
第64课时期末复习（2）——全等三角形
【例1】如图64-1，△ACF≌△DBE，AD＝9 cm，BC＝5 cm，则AB的长是____________.
【例2】如图64-3，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为____________.
考点突破
考点一 全等三角形的性质
2 cm
4
1. 如图64-2，已知△ABC≌△FED，若∠A=40°，∠B=80°，则∠EDF=____________.
2. 如图64-4，△ABC≌△A′B′C′，若BC′=9，B′C=2，则BB′的长度是____________.
变式诊断
60°
3.5
【例3】如图64-5，AD=AE，请你添加一个条件_________________________________________，使得△ADC≌△AEB.
考点突破
考点二 三角形全等的判定
AC=AB(或∠ADC=∠AEB或∠ACD=∠ABE)
【例4】如图64-7，点C为AB的中点，CD∥BE，AD∥CE. 求证：△ACD≌△CBE.
3. 如图64-6，∠B=∠D，BC=DC，要判定△ABC≌△EDC，可添加的条件是
_______________________________________________.
变式诊断
∠A=∠E（或∠BCA=∠DCE或AB=ED）
4. 如图64-8，点E,F在线段BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O. 求证：△ABF≌△DCE.
【例5】如图64-9，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC. 求证：∠B=∠C.
考点突破
考点三 三角形全等的判定与全等三角形性质的综合运用
5. 如图64-10，已知点E,F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE.
变式诊断
【例6】如图64-11，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，过点D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20 m，求河宽AB长.
考点突破
考点四 全等三角形的应用
6. 如图64-12,小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P. 测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底的距离PB与旗杆CD高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m，
因此小强计算出了楼高，
楼高AB是多少米？
变式诊断
【例7】如图64-13，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是点E，AC=DE+BD.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若△DBE的周长为4 cm，
则AB=____________cm.
考点突破
考点五 角平分线的性质
4
【例8】如图64-15,P为∠ABC平分线上的一点，且PE=PF，结合所学知识，你认为∠1，∠2有什么关系？并说明理由．
7. 如图64-14，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE.
（1）∠B=____________°;
（2）如果AC=3 cm，CD=2 cm，
求△ABD的面积.
变式诊断
30
8.如图64-16，∠BAC=60°，O是∠BAC平分线上的一点，点E,F分别在AB,AC上，若∠EOF=120°，求证：OE=OF．
9. 如图64-17，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A
10. 如图64-18，△ABC≌△ABD，若∠ABC=30°，∠D=100°，则∠BAC的度数是 ( )
A．30°
B．100°
C．50°
D．80°
C
11. 如图64-19，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
12. 如图64-20，E，D是AB，AC上的两点，BD，CE交于点O，且AB=AC，要使△ACE≌△ABD，应补充的一个条件是_______________________________________________.
AE=AD（或CD=BE或∠C=∠B或∠AEC=∠ADB）
13. 如图64-21，有一块三角形镜子，小明不小心将其摔裂成1,2两块，现需配成同样大小的一块. 为了方便起见，只需带上第________块，其理由是____________________________
_____________________.
1
根据SAS可以确定这个三角
形的形状
14. 如图64-22，在等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A,B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D,E．求证：△ADC≌△CEB．
15. 如图64-23,在△ABC中，已知∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且DC=DE，若∠A=40°，求∠CBD的度数.
16. 如图64-24，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C,B作射线AD的垂线段，垂足分别为点E,F．求证：BF=CE．
17. 如图64-25,已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有 （ ）
A. △ABD≌△AFD
B. △AFE≌△ADC
C. △AEF≌△DFC
D. △ABC≌△ADE
D
18. 如图64-26，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件，其中不能使△ABC≌△AED的条件是 （ ）
A. AB=AE
B. BC=ED
C. ∠C=∠D
D. ∠B=∠E
B
19. 如图64-27，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=____________.
150°
20.如图64-28是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1= ____________°．
54
21.如图64-29，AB=12，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4 m，点P从B向A运动，每分钟走1 m，点Q从B向D运动，每分钟走2 m，P,Q两点同时出发，运动____________min后△CAP与△PQB全等．
4
22.如图64-30，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD=8，则点C到AE，BF的距离之和为____________.
16
23. 如图64-31，AD=AB，AE=AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
24. 如图64-32，在四边形ABCD中，E是AD的中点，CE交BA的延长线于点F，此时E也是CF的中点.判断CD与FB的位置关系，并说明理由.
谢 谢(共33张PPT)
第二部分 期 末 复 习
第63课时 期末复习（1）——三角形
【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11
C. 6，6，6 D. 9，9，19
【例2】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 （ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 9 或 12
考点突破
考点一 三角形的边
C
C
1. 若三角形的两边长分别是10和8，则第三边x的边长的取值范围是______________________.
2. 一个等腰三角形的一边长为5，周长为20，则另外两边长分别为 （ ）
A. 7.5，7.5 B. 10，10
C. 5，10 D. 5，5
变式诊断
2＜x＜18
A
【例3】图63-1如图63-1，在△ABC中，BC边上的高是____________；在△AEC中，AE边上的高是____________，EC边上的高是____________，
AC边上的高是____________．
考点突破
考点二 三角形的高、中线与角平分线
AB
CD
AB
EF
【例4】如图63-3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABD和△ACD周长之差为____________.
2 cm
3. 如图63-2，在△ABC中，边BC上的高是线段 （ ）
A. BE B. AD C. CF D. BF
4. 如图63-4，在△ABC中，AC=3 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA=____________cm．
变式诊断
B
5
【例5】如图63-5，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E,若∠C=60°，∠BED=70°. 求∠ABC和∠BAC的度数.
考点突破
考点三 三角形的内角
解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°. ∵∠BED=70°，∴∠DBE=90°-∠BED=20°. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°.
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°.
5. 如图63-6，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=38°，∠BDC=55°. 求△BED各内角的度数.
变式诊断
解：设∠DBE=x.
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠DBE=x.
∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=x.
∴∠AED=∠DBE+∠BDE=2x.
∵∠CDE=∠A+∠AED，∠CDE=∠BDE+∠BDC，
∴∠A+∠AED=∠BDE+∠BDC，
即38°+2x=x+55°. 解得x=17°.
∴∠BDE=∠DBE=17°，
∠BED=180°-17°-17°=146°.
【例6】将一副常规的三角板按如图63-7所示的方式放置，则图中∠AOB的度数为____________.
考点突破
考点四 三角形的外角
105°
【例7】如图63-9，BD是△ABC的角平分线，已知∠1=∠A，∠2=∠3，求△ABC的各个内角的度数.
解：设∠1=x，则∠DBC=x，∠A=x，
∠2=2x，∠3=2x. ∵∠1+∠DBC+∠A+∠3=x+x+x+2x=180°， ∴x=36°.
∴2x=72°.
答：△ABC的内角分别为36°，72°，72°.
6. 如图63-8，点B，C，D在同一条直线上，∠A=70°，∠B=60°，∠D=20°，则∠CED=____________.
变式诊断
30°
7. 如图63-10，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，CE平分∠ACB. 求∠A和∠BEC的度数.
解：∵∠B=40°，∠BCD=100°，
∴∠A=∠BCD-∠B=100°-40°=60°,
∠ACB=180°-100°=80°.
而CE平分∠ACB，
∴∠BCE=40°.
∴∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-40°-40°=100°.
【例8】如图63-11所示的图形中，具有稳定性的有（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
考点突破
考点五 三角形的稳定性
A
8. 我们用如图63-12所示的方法来修理一条摇晃的凳子的根据是 （ ）
A. 两点之间线段最短
B. 矩形的对称性
C. 矩形的四个角都是直角
D. 三角形具有稳定性
变式诊断
D
考点突破
考点六 多边形及其内角和
【例9】一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是 （ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【例10】若某n边形的每个内角都比其外角大120°，则n等于 （ ）
A. 15 B. 12 C. 10 D. 6
D
B
变式诊断
9. 下列多边形中，内角和是外角和的3倍的是 （ ）
A. 四边形 B. 六边形
C. 八边形 D. 十边形
10. 若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是
（ ）
A. 正七边形 B. 正八边形
C. 正九边形 D. 正十边形
C
C
11. 现有两根木棒，它们的长分别是20 cm和30 cm. 若要钉一个三角形木架，则下列四根木棒的长度应选 （ ）
A. 10 cm B. 30 cm
C. 50 cm D. 70 cm
B
12. 如图63-13，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是
( )
A．AD⊥BC B．∠BAD=∠CAD
C．AB=AC D．BD=CD
D
13. 如图63-14，若∠A=35°，∠B=40°，则∠1的度数为 ( )
A．65° B．70°
C．75° D．80°
14. 某正多边形的一个外角的度数为60°，则这个正多边形的边数为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
C
A
15. 木工师傅在做完门框后为防止变形，常像图63-15中所示的那样，钉上两根斜的木条，即图中的AB，CD两根木条，这里应用的数学原理是 ________________________.
三角形具有稳定性
16. 如图63-16，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB，若∠1=50°，则∠B的度数是____________度．
17. 如图63-17，若H是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中,边BH上的高是____________.
40
AE
18. 已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数为____________.
8
19. 如图63-18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若∠B=40°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求∠ADB的度数．
（2）∵∠CAD=25°，∠C=90°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=25°+90°=115°．
20. 如图63-19，已知AD是△ABC的中线，若∠B=33°，∠BAD=21°，△ABD的周长比△ADC的周长大2，且AB=5.求：
（1）∠ADC的度数；（2）AC的长.
解：（1）∵∠B=33°，∠BAD=
21°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=
33°+21°=54°.
（2）∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.
∴△ABD的周长-△ADC的周长=AB-AC.
∵△ABD的周长比△ADC的周长大2，且AB=5,
∴5-AC=2，即AC=3.
B
C
23. 如图63-21，在五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是
（ ）
A. 75 B. 65 C. 60 D. 55
24. 已知Rt△ABC中有一个角比另一个角的2倍小60°，则该直角三角形中最小的角的度数为____________________.
A
40°或15°
25. 如图63-22，若∠1=60°，则∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B=____________.
240°
26. 如图63-23，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，…，按照此规律，
若∠A1=α，则∠A2 020的度数为____________.
27. 如图63-24，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD是∠ABC的平分线，且∠BDE=∠BED，∠A=100°，求∠DEC的度数.
28. 如图63-25，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=70°.
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC=118°，求∠ABC
的度数.
解：（1）在△ABC中，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵∠A=70°，
∴∠ABD=90°-∠A=20°.
（2）∵∠BEC=∠BDC+∠DCE，
且∠BEC=118°，∠BDC=90°，
∴∠DCE=28°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB=2∠DCE=56°.
∴∠ABC=180°-∠A-∠DCB=180°-70°-56°=54°.
谢 谢
