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第三部分 专 题 探 究
专题二 分式方程及其应用专题
考点突破
考点一 分式方程的解法
【例1】解分式方程 去分母后变形正确的为
（ ）
A. 5-（x+2）=3（x-1）
B. 5-x+2=3（x-1）
C. 5-（x+2）=3
D. 5+（x+2）=3（x-1）
D
【例2】解下列分式方程：
（1）
解：x=1. 经检验，x=1是分式方程的解.
解：x=4. 经检验，x=4是分式方程的解.
解：x=3. 经检验，x=3是分式方程的解.
解：x=2. 经检验,x=2是分式方程的解.
变式诊断
1. 在解分式方程 时，去分母得（ ）
A. （x-1）（x-3）+2=x+5
B. 1+2（x-3）=（x-5）（x-1）
C. （x-3）+2（x-3）=x-5
D. （x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1）
D
2. 解下列分式方程：
解：x=-1.
经检验,x=-1是分式方程的解.
解：x=7.
经检验，分式方程无解.
解：x=-5.
经检验，x=-5是原分式方程的解.
解：x=-2.
经检验，原分式方程无解.
【例3】已知甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，且甲队比乙队每天多修10 m. 设甲队每天修路x m，则根据
题意可列方程为________________.
考点突破
考点二 分式方程的应用
【例4】某超市用4 000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量比第一次的2倍还多25件，问这种服装第一次进价是每件多少元？
解：设这种服装第一次进价是每件x元. 根据题意，得 解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解，且符合题意.
答：这种服装第一次进价是每件80元.
【例5】甲、乙两地相距120 km，一辆大巴车从甲地出发，行驶1 h后，一辆小汽车从甲地出发，小汽车和大巴车同时到达乙地，已知小汽车的速度是大巴车的2倍，求大巴车和小汽车的速度．
解：设大巴车的速度为x km/h，则小汽车的速度为2x km/h．
依题意，得 解得x=60.
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x=120．
答：大巴车的速度为60 km/h，小汽车的速度为120 km/h．
3. 全民齐心协力共建共享文明城区建设．某服装加工厂计划为环卫工人生产1 200套冬季工作服，在加工完480套后，工厂引进了新设备，结果工作效率比原计划提高了20%，结果共用54天完成了全部生产任务．如果设该加工厂原计划每天加工x套冬季工
作服，那么根据题意列方程为_____________________________.
变式诊断
4. 在防疫新型冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3 000元购进医用口罩若干个，第二次又用3 000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
解：设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩
（x-200）个.
依题意,得
解得x=1 000.
经检验，x=1 000是原分式方程的解，且符合题意.
∴x-200=1 000-200=800．
答：第一次购进医用口罩1 000个，第二次购进医用口罩800个．
5. 甲、乙两车由A地同时出发驶往B地，A，B两地的距离为600 km，若乙车比甲车每小时多行驶20 km，则乙车到达B地时，甲车离B地100 km．
求甲、乙两车的速度.
解：设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为（x+20）km/h.
依题意,得 解得x=100.
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意.
∴x+20=120．
答：甲车的速度为100 km/h，乙车的速度为
120 km/h．
D
6. 将分式方程 化为整式方程，正确的是
（ ）
A. x-2=3 B. x+2=3
C. x-2=3（x-2） D. x+2=3（x-2）
7. 分式方程 =0的解为________________.
解：x=27. 经检验,x=27是分式方程的解.
8. 解下列分式方程：
（1）
（2）
解：x=3. 经检验,x=3是分式方程的解.
9. 某工厂承担了加工1 200个机器零件的任务，原计划由甲车间独立完成，因任务紧急，实际由甲、乙两车间同时加工，结果比原计划提前10天完成任务. 已知乙车间的工作效率是甲车间的2倍，则甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件2x个.
依题意,得 解得x=80.
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意.
∴2x=160.
答：甲车间每天加工零件80个，乙车间每天加工零件160个.
10. 对于非零的两个实数a，b，规定a b= · ，若2 （2x-1）=1，则x的值为 （ ）
A
11. 对于分式方程 ，有以下说法：
①最简公分母为（x-3）2；②转化为整式方程为x=2+3，解得x=5；③原方程的解为x=3；④原方程无解. 其中，正确的说法有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
12. 某学校利用暑假在操场建塑胶跑道，承包单位派甲队进行施工，计划用45天时间完成整个工程，当甲队施工3天后，承包单位接到通知，有一场大型比赛要在该操场举行，要求比原计划提前14天完成这个工程，于是承包单位派遣乙队与甲队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）乙队单独施工完成整个工程需要多少天？
（2）若刚开始，由甲、乙两队同时进行施工，完成整个工程需要多少天？
解：（1）设乙队单独施工需要x天.
依题意,得 ×(45－3－14)=1.
解得x=90.
经检验，x=90是原分式方程的解.
答：乙队单独施工完成整个工程需要90天．
（2）由题可得1÷ =30（天），
∴若刚开始,由甲、乙两队同时进行施工，完成整个工程需要30天．
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第三部分 专 题 探 究
专题四 几何证明专题
【例1】如图Z4-1，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H，若AE=CE，求证：△AEH≌△CEB.
考点突破
考点一 证明三角形全等
1. 如图Z4-2，点D，F，E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，求证:△ADE≌△CFD.
变式诊断
【例2】如图Z4-3,△ABC内部一点O到两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC. 求证：AB=AC.
考点突破
考点二 证明线段相等
2. 如图Z4-4,AB=AC，BD=CD，DE垂直AB的延长线于点E，DF垂直于AC的延长线于点F，求证：DE=DF.
变式诊断
【例3】如图Z4-5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，E是线段AD上的点，且AD=BD，DE=DC. 求证：∠BED=∠C.
考点突破
考点三 证明角相等
3. 如图Z4-6，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F. 求证：∠BEF=∠DEF.
变式诊断
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD.
∴∠ABD=∠EDB. ∴EB=ED.
又∵EF⊥BD，
∴∠BEF=∠DEF.
【例4】如图Z4-7,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线.
（1）如图Z4-7①，若AD=BD，求∠A的度数；
（2）如图Z4-7②，在（1）的条件下，作DE⊥AB于点E，连接EC. 求证：△EBC是等边三角形.
考点突破
考点四 证明等腰或等边三角形
（1）解：∵AD=BD，∴∠A=∠DBA.
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA=∠DBC.∴∠A=∠DBA=∠DBC.
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°.
∴∠A=30°.
4. 如图Z4-8，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至点E，使CE=AC.
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，
并说明理由.
变式诊断
（2）解：△ABE是等边三角形. 理由如下：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形.
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形.
【例5】如图Z4-9，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为点A，B，试说明线段AD，AB，BE之间的数量关系，并证明.
考点突破
考点五 证明线段的和、差、倍关系
5. 如图Z4-10,在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF=EF.
变式诊断
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC.
∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EDB=∠EBD.
∴DE=BE.
同理，CF=DF.
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF.
6. 如图Z4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上，且AE=CF. 试证明：△BCF≌△DAE.
7. 如图Z4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F. 求证：DE=BF.
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AC，∠ABC=90°,
∴DE=BD.
可证△BCD≌△ECD（AAS）,
∴∠3=∠4.
∵BF∥DE，∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∴BD=BF. ∴DE=BF.
8. 如图Z4-13，若△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD+CD=AD.
9. 如图Z4-14，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ. 判断△APQ的形状，并说明理由.
10. 如图Z4-15，在△ABC中，AB=AC，若∠BAC=90°，EC⊥BC，EC=BD，DF=EF. 求证：AF⊥DE.
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第三部分 专 题 探 究
专题三 几何计算专题
【例1】已知一个三角形的两边长分别为2和12，且第三边长为偶数，则第三边的长为 （ ）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
【例2】已知三角形三边长分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是________________________.
考点突破
考点一 三角形的边
C
-5＜a＜-2
1. 在下列所给的条件中，能组成三角形的是（ ）
A. 三条线段的比为2∶3∶4
B. 三条线段的比为1∶2∶3
C. 三条线段的比为4∶5∶9
D. 三条线段的比为7∶4∶3
变式诊断
A
2. 若三角形的两条边长分别为6 cm和8 cm，且第三边的边长为偶数，则第三边的长为____________________
____________________.
4 cm或6 cm或8 cm或
10 cm或12 cm
【例3】若一个三角形的三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形的最小内角的度数为 （ ）
A. 45° B. 60°
C. 75° D. 90°
考点突破
考点二 三角形的内角与外角
A
【例4】如图Z3-2，已知∠ACF=150°，∠BAC=110°，则∠B=____________度.
40
【例5】如图Z3-4，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=25°，∠E=30°，求∠BAC的度数．
解：∵∠B=25°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=55°．
∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD=55°．
∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°．
3. 如图Z3-1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若∠ADE=40°，∠C=80°，则∠A的度数是（ ）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 120°
变式诊断
B
4. 如图Z3-3，已知AB∥CD，∠EBA=45°，则∠E+∠D的度数为 ( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°
D
5. 如图Z3-5，在△ABC中，AD是高，CE是角平分线，AD交CE于点P，若∠APE=55°，∠AEP=100°，求△ABC的各个内角的度数.
解：在△AEP中，∠EAP=180°-
∠APE-∠AEP=180°-55°-100°=25°，
∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴∠B=90°-∠BAD=65°.
∴∠BCE=∠AEP-∠B=35°.
∵CE是角平分线，∴∠ACB=2∠BCE=70°.
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=45°.
【例6】正十二边形的每一个内角的度数为 （ ）
A. 120° B. 135°
C. 150° D. 1 080°
【例7】如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为_________________.
考点突破
考点三 多边形的内角和与外角和
C
1 800°
6. 若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7. 若一个正n边形的每个内角度数为156°，则这个正n边形的边数是____________.
变式诊断
D
15
【例8】如图Z3-6，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=4，则AB的长为 （ ）
A. 14 B. 16
C. 8 D. 12
考点突破
考点四 30°角所对的直角边与斜边的关系
B
【例9】如图Z3-8，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥AB于点E，若DE=3 cm，则AC=____________cm.
9
【例10】如图Z3-10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠ABC=45°，∠BAC=75°，CD=5 cm，求BF的长.
8. 如图Z3-7，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，且△ABC的面积是4，则AB的长为 （ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 6
变式诊断
B
9. 如图Z3-9，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，若BD=10，则CD=____________.
5
10.如图Z3-11，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CE⊥AB于点E，D是AB的中点，CD=AD．
（1）求证：AE=DE；
（2）若AC=2，求DE的长．
11. 现有两根木棒，它们的长分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取 （ ）
A. 10 cm的木棒 B. 40 cm的木棒
C. 90 cm的木棒 D. 100 cm的木棒
B
55°
13. 如图Z3-13，在△BCD中，BC=4，BD=5.
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数.
解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴5-4＜CD＜5+4.
∴CD的取值范围是1＜CD＜9.
（2）∵AE∥BD,
∴∠AEF=∠BDE=125°.
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠C=∠AEF-∠A=125°-55°=70°.
14. 如图Z3-14，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，BC=12. 求：
（1）∠1和∠ADC的度数；
（2）DE的长.
解：（1）∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC，
∠BAC=120°.
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
∴∠1=60°，∠ADC=90°.
15. 如图Z3-15，在△ABC中，AB=7，BC边上的中线AD的长为5，则AC的长可能是 （ ）
A. 3
B. 10
C. 17
D. 20
B
16. 一个多边形少加了一个内角时，它的度数和是
1 310°，则这个内角的度数为 （ ）
A. 120° B. 130°
C. 140° D. 150°
B
17. 如图Z3-16，若∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1=20°，则∠2的度数为____________.
100°
18. 如图Z3-17，在△ABC中，∠C=90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD，BD相交于点D，求∠D的度数.
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第三部分 专 题 探 究
专题一 代数计算专题
【例1】下列计算结果正确的是 （ ）
A. （x3）3=x6 B. a6·a4=a10
C. （ab4）4=ab8 D. （-3pq）2=-6p2q2
考点突破
考点一 整数指数幂的运算
B
【例2】计算： －(π－3)0.
解：原式=4+2-1=5.
1. 下列等式正确的有 （ ）
①a4b2=（ab）6； ②（10n+1）2=102n+2；③25+25=210；
④（xn）n·xn＝xn2+n.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式诊断
B
2. 计算：（－2）2+2×（－3）－ －(3.14－π)0.
解：原式=4+(-6)+3-1
=0.
【例3】将591 000 000用科学记数法表示为 （ ）
A. 0.591×109 B. 59.1×107
C. 5.91×107 D. 5.91×108
考点突破
考点二 科学记数法
D
【例4】叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.000 05 m. 其中，0.000 05用科学记数法表示为 （ ）
A. 0.5×10-4 B. 5×10-4
C. 5×10-5 D. 50×10-3
C
3. 小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜到相关的结果的条数约为617 000 000，这个数用科学记数法表示为 （ ）
A. 0.617×109 B. 6.17×108
C. 61.7×107 D. 617×106
变式诊断
B
4. 将0.000 102用科学记数法表示为 （ ）
A. 1.02×10-4 B. 1.02×10-5
C. 1.02×10-6 D. 102×10-3
A
【例5】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是
（ ）
A. a（x+y）=ax+ay
B. x2-4x+4=x（x-4）+4
C. x4-16=（x2+4）（x2-4）
D. 10x2-5x=5x（2x-1）
考点突破
考点三 因式分解
D
【例6】分解因式：
（1）3m2-6mn+3n2=_____________________；
（2）a-4ab2=__________________________.
3（m-n）2
a（1+2b）（1-2b）
5. 下列从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A. （-a+b）2=a2-2ab+b2
B. m2-4m+3=（m-2）2-1
C. -a2+9b2=-（a+3b）（a-3b）
D. （x-y）2=（x+y）2-4xy
变式诊断
C
6. 分解因式：
（1）x3-16x=______________________________；
（2）4x3-8x2y+4xy2=_____________________.
x（x-4）（x+4）
4x（x-y）2
【例7】计算：x2（x+1）-（x2-1）（x+2）.
考点突破
考点四 整式的计算
解：原式=x3+x2-(x3-x+2x2-2)
=x3+x2-x3+x-2x2+2
=-x2+x+2.
7. 计算:4（a-1）2-（2a+1）（2a-1）.
变式诊断
解：原式=4×(a2-2a+1)-(4a2-1)
=4a2-8a+4-4a2+1
=-8a+5.
8. 先化简，再求值：（3x-y）2+（3x+y）（3x-y），其中x=1，y=-2.
解：原式=9x2-6xy+y2+(9x2-y2)
=9x2-6xy+y2+9x2-y2
=18x2-6xy，
当x=1，y=-2时，
原式=18×1-6×1×（-2）=30.
考点突破
考点五 分式的计算
【例9】计算：
解：原式
【例10】先化简，再求值：
其中x=3.
解：原式=
=x-2，
当x=3时，原式=1.
变式诊断
9. 计算：
解：原式
10. 先化简 再从1，-1，0，2中选择一个合适的数代入求值.
解：原式
∵x=1,-1,0时，分式无意义，∴x=2.
当x=2时，原式=1.
11. 下列计算正确的是 （ ）
A. x3·x=x3
B. （x+y）2=x2+y2+2xy
C. x（x-2）=-2x-x2
D. 3x3y2÷xy2=3x4
B
12. 自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”，已知1 nm=0.000 000 001 m，则2.25 nm用科学记数法表示为 （ ）
A. 3.25×109 m B. 2.25×108 m
C. 2.25×10-9 m D. 2.25×10-8 m
C
13. 因式分解:
（1）x3-9xy2=___________________________；
（2）2x3-4x2+2x=_______________________.
x（x-3y）（x+3y）
2x（x-1）2
14. 计算：
（1）（ab2）2·（-a3b）3÷（-5ab）；
（2）
解：原式=
15. 先化简，再求值：
其中x=4.
解：化简，得原式=
当x=4时，原式=
16. 若方程 则
A+B=____________.
2
17. 已知ax=-2，ay=3. 求：
（1）ax+y的值；
（2）a3x的值；
（3）a3x+2y的值.
解：（1）∵ax=-2，ay=3，
∴ax+y=ax·ay=-2×3=-6.
（2）∵ax=-2，∴a3x=（ax）3=（-2）3=-8.
（3）∵ax=-2，ay=3，
∴a3x+2y=a3x·a2y=（ax）3·（ay）2=（-2）3×32=-8×9=-72.
18. 先化简，再求值： 其中x的值从
不等式组 的整数解中选一个.
解：化简，得原式=
解不等式组，得-2＜x≤2，
∵x为整数,∴x=-1，0，1，2.
∵x=-1，0，1时，分式无意义，∴x=2.
∴原式=
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第三部分 专 题 探 究
专题五 作 图 专 题
【例1】如图Z5-1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°.
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，∠BDC=____________.
考点突破
考点一 作角平分线及综合运用
75°
解：（1）如答图Z5-1，BD即为所求.
1. 如图Z5-2，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D. 求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP=AQ. （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
变式诊断
解：如答图Z5-5，BQ就是所求的∠ABC的平分线，P，Q就是所求作的点. 证明AP=AQ如下:
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.
∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP. ∴AP=AQ.
【例2】如图Z5-3，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.
（1）利用尺规作图作出点D；（不写作法,但保留作图痕迹）
（2）若△ABC的底边长为5，周长为21，
求△BCD的周长.图
考点突破
考点二 作垂直平分线及综合运用
解：（1）如答图Z5-2,点D即为所求.
（2）∵DE垂直平分线段AC，∴AD=DC. ∴△CDB的周长为BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB.
∵AB+AC+BC=21，BC=5，∴AB=AC=8.
∴△BCD的周长为13.
2. 如图Z5-4，在△ABC中，∠A＞∠B.
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AE，
若∠B=50°，求∠AEC的度数.
变式诊断
解：（1）如答图Z5-6，DE即为所求.
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∴∠EAB=∠B=50°.
∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°.
【例3】如图Z5-5，已知点P在直线l上，请过点P作直线l的垂线PA.
考点突破
考点三 过一点作直线的垂线
略.
3.如图Z5-6,已知点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PA.
变式诊断
略.
【例4】如图Z5-7，作一个角等于∠AOB.
考点突破
考点四 作一个角等于已知角
解： 如答图Z5-3,
∠A′O′B′即为所求.
4. 如图Z5-8，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC. 用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC.（不要求写作法，保留作图痕迹）
变式诊断
解:如答图Z5-7，射线CM即为所求.
【例5】如图Z5-9，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，请作出点C的位置.
考点突破
考点五 最短路径问题作图
解：如答图Z5-4，点C即为所求点.
5. 如图Z5-10，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹.
变式诊断
解：如答图Z5-8，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于点P1，交OB于点P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求.
∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长为PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF.
根据两点之间线段最短，
可知此时△PP1P2的周长最短.
【例6】如图Z5-11,在平面直角坐标系中，作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
（1）写出△A1B1C1三个顶点的坐标：
A1____________，
B1____________，
C1____________；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
考点突破
考点六 网格作图
（-3，4）
（-1，2）
（-5，1）
解:(2)画图略.
6. 如图Z5-12，已知△ABC.
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标.
变式诊断
解：（1）画图略.
（2）A1（0，2），
B1（2，4），
C1（4，1）.
7. △ABC在方格纸中的位置如图Z5-13：
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，-1），B（1，-4），
并求出点C的坐标；
（2）画出△ABC关于x轴对称
的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
解：（1）建立的平面直角坐标系如答图Z5-9,
C（3，-3）.
（2）如答图Z5-9，
A1（2，1），
B1（1，4），
C1（3，3）.
8. 如图Z5-14，在平面直角坐标系中，先描出点A（1，3），B（4，1）.
（1）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小; （保留作图痕迹）
（2）用尺规在x轴上找一点P，
使PA=PB.（保留作图痕迹）
解：（1）如答图Z5-10,点C即为所求.
（2）如答图Z5-10，点P即为所求.
9. 如图Z5-15，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. （不要求写作法，但要保留作图痕迹）
解：如答图Z5-11，过点O作∠AOB的平分线，与直线MN交于点P，点P即为所求作的点.
10. 如图Z5-16,已知四边形ABCD．求作点P，使∠PCB=∠B，且点P到点C和点D的距离相等． (用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
解：如答图Z5-12，点P即为所求．
11.如图Z5-17，已知△ABC，∠BAC=90°.
（1）尺规作图：作BC边的高AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：∠C=∠BAD.
（1）解：如答图Z5-13,
AD即为所求.
（2）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°.
∵AD是△ABC的高，AD⊥BC，
∴∠CDA=90°.
在Rt△CAD中，
∠C+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
12. 如图Z5-18,已知甲村和乙村靠近公路a,b，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等.
你能帮忙确定工厂的位置吗？
谢 谢(共27张PPT)
第三部分 专 题 探 究
专题六 辅助线作法专题
【例1】如图Z6-1，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD. 求证：∠B=∠C.
考点突破
考点一 构造全等三角形或等腰三角形
1. 如图Z6-2，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，若DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH.
变式诊断
证明：如答图Z6-5，连接BD,CD.
∵D是线段BC的垂直平分线上的点，
∴BD=DC.
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°.
∴Rt△BDG≌Rt△CDH(HL). ∴BG=CH.
【例2】如图Z6-3，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC．
（1）如图Z6-3①，若AD=AE，求证：BD=CE;
（2）如图Z6-3②,若BD=CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC．
考点突破
考点二 利用 “三线合一”构造辅助线
证明:（1）如答图Z6-2，过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF. ∴BD=CE.
（2）∵BD=CE，F为DE的中点，
∴BD+DF=CE+EF. ∴BF=CF.
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
2. 如图Z6-4，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点.
变式诊断
【例3】如图Z6-5,在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF.
考点突破
考点三 倍长中线
3. 如图Z6-6，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC.
变式诊断
【例4】如图Z6-7，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度数.
考点突破
考点四 截长补短法
4. 如图Z6-8，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D. 求证：AB=AD+BC.
变式诊断
5. 如图Z6-9，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点. 求证：AF⊥CD.
6. 如图Z6-10，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD交其延长线于点E. 求证：BD=2CE.
7.如图Z6-11，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM,MN,CN之间的数量关系，并给出证明．
8. 已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°.
(1)如图Z6-12①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC；
(2)如图Z6-12②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.
(2)解：仍然成立．
理由：如答图Z6-12，过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB的延长线于点F，垂足分别为点E，F.
∵AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF.
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠D=∠CBF.
谢 谢
