(共19张PPT)
第二十七章 相 似
第80课时 位似图形与坐标变换
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．位似变换中对应点的坐标变化规律：
位似中心 以原点为位似中心
变换 位似比为2∶1，将线段AB放大得到A1B1和A2B2 位似比为1∶2，将线段AB缩小得到A1B1和A2B2
图形
位似中心 以原点为位似中心
点的坐标 （1）A（1,3），A1__________，A2__________； （2）B（2,1），B1__________，B2__________ （1）A（2,4），A1__________，A2__________；
（2）B（6,4），B1__________，B2__________
（2，6）
（-2，-6）
(4,2)
(-4,-2)
(1,2)
(-1,-2)
(3,2)
(-3,-2)
位似中心 以原点为位似中心
点的坐标变化规律 若点P（x,y）是线段AB上一点，则其对应点的坐标为_______________ _____________________ 若点P（x,y）是线段AB上一点，则其对应点的
坐标为______________________
_____________________
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，是它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
(2x,2y)或(-2x,-2y)
典型例题
知识点1：位似中心是原点
【例1】如图1-27-80-1，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1∶2，点B的坐标为（-2，4），则点B1的坐标为（ ）
A．（4，-8）
B．（2，-4）
C．（-1，8）
D．（-8，4）
A
变式训练
1. 如图1-27-80-2，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)，B(8,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原
来的 后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A. 2
B.
C. 3
D.
D
典型例题
知识点2：找位似中心
【例2】如图1-27-80-3，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2），点E的坐标为
（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为__________.
（2，0）
变式训练
2. 如图1-27-80-4，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（-4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是__________.
（0，2）
典型例题
知识点3：位似图形与坐标变换的综合运用
【例3】如图1-27-80-5， A，B两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．
解：（1）如答图27-80-1，△OA′B′即为所求.
（2）A′的坐标是（-6，2），B′的坐标是（-4，-2）．
变式训练
3. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1-27-80-6所示．
（1）以点O为位似中心，在第一象限内画△A1B1C1使得它与△ABC的位似比为 ；
（2）分别写出△A1B1C1的坐标．
解：（1）如答图27-80-2,△A1B1C11即为所求.
（2）A1（2,3），B1（1,1），C1（2,1）.
分层训练
A组
4. 如图1-27-80-7，已知点C（2，1），D（2，0），以原点O为位似中心，相似比为1∶3，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，则点A的坐标为（ ）
A．（6，0）
B．（3，6）
C．（6，3）
D．（4，2）
C
5. 如图1-27-80-8，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA∶OD=1∶3，若AB=3，则DE的长为（ ）
A．5
B．6
C．9
D．12
C
B组
6. 如图1-27-80-9，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A. （2，0）
B. （1，1）
C. （ ）
D. （2，2）
D
7.如图1-27-80-10，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是__________．
(2，2 )
C组
8. 如图1-27-80-11，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（ ）
A. (6,4)
B. (6,2)
C. (4,4)
D. (8,4)
A
9. 如图1-27-80-12，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．（-3，2）
B．（-3，1）
C．（2，-3）
D．（-2，3）
A(共24张PPT)
第二十七章 相 似
第74课时 相似三角形的判定（3）——两角法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．两角法：两角分别相等的两个三角形相似.
1. 如图1-27-74-1，写出用两角法判定相似三角形的几何语言：
∵______________________________，
∴△ABC∽△A′B′C′.
∠A=∠A′，∠B=∠B′
典型例题
知识点1：相似三角形的判定——两角法
【例1】如图1-27-74-2，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠ABC．
求证：△ADE∽△ACB．
证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB．
变式训练
2. 如图1-27-74-3，AC，BD相交于点O，且∠ABO=∠C．求证：△AOB∽△DOC．
证明：∵AC，BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC.
又∵∠ABO=∠C，
∴△AOB∽△DOC．
典型例题
知识点2：直角三角形中的相似
【例2】如图1-27-74-4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC．
证明：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠ACB.
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
变式训练
3. 如图1-27-74-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△CBD .
证明：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°.
又∵在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD.∴△ACD∽△CBD．
典型例题
知识点3：圆中的相似三角形
【例3】如图1-27-74-6，⊙O的弦AB,CD相交于点P，连接AC,BD，求证：△BDP∽△CAP.
证明：∵∠A与∠D都为BC所对的圆周角，∠B与∠C都为AD所对的圆周角，
∴∠A=∠D，∠B=∠C.
∴△BDP∽△CAP.
变式训练
4. 如图1-27-74-7，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°.
又∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠B=∠EDC.
∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△CDE.
分层训练
A组
5. 已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（ ）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
A
6. 如图1-27-74-8，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD=∠B．求证：△ACD∽△ABC．
证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
B组
7. 如图1-27-74-9，∠CAE=∠BAD，∠E=∠C．△ADE与△ABC相似吗？为什么？
解：△ADE与△ABC相似.
理由如下：
∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD，即∠DAE=∠BAC.
又∵∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC．
8. 如图1-27-74-10，正方形ABCD的边长为2，P是BC边上的一个动点（点P不与点B,C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．求证：AB·CQ=PB·PC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°.
又∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∠APB+∠BAP=90°.
∴∠BAP=∠QPC.
∴△ABP∽△PCQ.
∴ ∴AB·CQ=PB·PC．
C组
9. 如图1-27-74-11，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE=∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵∠BDE=∠CAD，∴△BDE∽△CAD.
（2）∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED=∠CDA.
∴180°-∠BED=180°-∠CDA，即∠AED=∠ADB．
又∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD．
10. 如图1-27-74-12，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C在AB的延长线上．求证：△CAD∽△CDB．
证明：如答图27-74-1，连接OD.
∵OB=OD，∴∠ODB=∠ABD.
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°.
∴∠ODB+∠CDB=90°.
∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.∴∠CAD=∠CDB.
又∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CDB．(共19张PPT)
第二十七章 相 似
第70课时 相似多边形及其性质
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即ad=bc），我们就说这四条线段成比例，简称比例线段．
注意：对于四条线段，用最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，如果相等，那么这四条线段成比例，否则就不成比例.
1. 填空：
（1）对于2，3，4，5，
∵2×5__________3×4，
∴四条线段__________比例（填“成”或“不成”）；
（2）对于3，4，6，8，
∵________________________，
∴四条线段__________比例（填“成”或“不成”）.
≠
不成
3×8=4×6
成
B．如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形（判定方法）.
相似多边形对应边的比叫做相似比．
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例.
2. 若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，则这两个相似多边形的相似比是__________.
1∶2
典型例题
知识点1：成比例线段
【例1】给出下列各组线段，其中成比例的是（ ）
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
C. 0.3 m，0.6 m，0.5 m，0.9 m
D. 1 cm， cm，2 cm，2 cm
D
变式训练
3. 下列四组线段不成比例的是（ ）
A. 1 cm，2 cm，3 cm，6 cm
B. 2 cm，3 cm，4 cm，6 cm
C. 1 cm， cm， cm， cm
D. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
D
典型例题
知识点2：相似多边形的性质
【例2】如图1-27-70-1，四边形CDEF与四边形C′D′E′F′相似，求未知边x，y的长度和角β的度数.
解： ∵四边形CDEF与四边形C′D′E′F′相似，
∴
解得x=12,y=20.
∵∠E=∠E′=125°,
∴β=360°-80°-75°-125°=80°.
变式训练
4. 如图1-27-70-2，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
（1）α=__________；
（2）求边x，y的长度．
83°
解：（2）∵四边形ABCD与
四边形A′B′C′D′相似，
∴
解得x=12，y=
典型例题
知识点3：相似多边形的判定
【例3】网格中的两个矩形如图1-27-70-3所示.
求证：矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.
证明：∵
∴
又∵∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∠C=∠C′， ∠D=∠D′，
∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D ′.
变式训练
5. 如图1-27-70-4，三个矩形中相似的是（ ）
A．甲、乙和丙 B．甲和乙
C．甲和丙 D．乙和丙
C
分层训练
A组
6. 如图1-27-70-5，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，则∠H的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
D
7. 下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个五边形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
C
B组
8. 如图1-27-70-6，已知△ABC∽△DEF，求未知边x，y的长度.
解：∵
∴x=6，y=
9. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ）
A. 18 B. 12 C. 24 D. 30
A
C组
10. 如图1-27-70-7，在矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（ ）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
D
11. 如图1-27-70-8，一个矩形广场的长为90 m，宽为60 m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2 m，那么每条纵向小路的宽均为__________m.
1.8(共24张PPT)
第二十七章 相 似
第73课时 相似三角形的判定（2）——
三边法和两边及其夹角法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．三边法：三边成比例的两个三角形相似.
1. 如图1-27-73-1，写出用三边法判定相似三角形的几何语言：
∵__________=__________=__________，
∴△ABC∽△A′B′C′.
B．两边及其夹角法：两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.
2. 如图1-27-73-2，写出用两边及其夹角法判定相似三角形的几何语言：
∵__________=__________，∠_______=∠_____，
∴△ABC∽△A′B′C′.
A
A′
典型例题
知识点1：相似三角形的判定——三边法
【例1】已知△ABC与△A′B′C′的边长如图1-27-73-3所示，求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵
∴
∴△ABC∽△A′B′C′.
变式训练
3. 如图1-27-73-4，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE= AB，EF= BC，
DF= AC，即
∴△DEF∽△ABC.
典型例题
知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法
【例2】如图1-27-73-5，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，AD=2，BD=4，AE=1，EC=2.求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵AD=2，BD=4，AE=1，EC=2，
∴AB=AD+DB=6，AC=AE+EC=3.
∴
∴
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．
变式训练
4. 如图1-27-73-6，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，AB=2AE，AC=2AD．求证：△AED∽△ABC．
证明：∵ AB=2AE，AC=2AD,
∴
∴
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC．
分层训练
A组
5. 如图1-27-73-7，根据所给条件，判断△ABC和△DBE是否相似，并说明理由.
解：△ABC∽△DBE.理由如下：
∵
∴
∴△ABC∽△DBE.
6. 如图1-27-73-8，AC=20，BC=10，EC=16，CD=8，求证：△ABC∽△EDC.
证明：∵
∴
又∵∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC.
B组
7. 如图1-27-73-9，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵点 D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴EF,FD,DE为△ABC的中位线.
∴EF= BC，FD= AC，DE= AB.
∴
∴△DEF∽△ABC.
8. 如图1-27-73-10，AB·AE=AD·AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵AB·AE=AD·AC，∴
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
C组
9. 如图1-27-73-11，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）∠ABC=__________°，BC=__________；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，
请说明理由．
135
2
解：（2）△ABC∽△DEF．
理由如下：
∵AB=2，BC=2 DE= EF=2，
∴
∵∠ABC=∠DEF=135°，
∴△ABC∽△DEF．
10. 如图1-27-73-12，在△ABC中，∠C=90°，BC=16 cm，AC=12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA以1 cm/s的速度向点A移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，设运动时间为t s，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？
解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
∴
解得t=4.8；
当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
∴
解得t=
综上所述，当t=4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．(共21张PPT)
第二十七章 相 似
第75课时 相似三角形的性质与判定自测
限时：40 min 满分：100分
1. （3分）若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，AB=4，则DE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
D
2. （3分）如图1-27-75-1，△ADE∽△ABC，若DE∶BC=2∶5，且AD=4，则AB的长为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
B
3. （3分）如图1-27-75-2，△ABC∽△DCA，∠B=40°，∠D=115°，则∠BAD的度数是（ ）
A．150°
B．140°
C．135°
D．125°
B
4. （3分）如图1-27-75-3，△ABO∽△CDO，若BO=16，DO=8，CD=6，则AB的长是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
D
5. （4分）如图1-27-75-4，△ADE∽△ABC，AD=6，AE=8，BE=10，CA的长为__________.
24
6. （4分）如图1-27-75-5，在△ABC中，D是BC上一点，添加一个条件使得△ABC∽△DAC，则添加的条件可以是_______________________________________.
∠B=∠CAD（答案不唯一）
7. （4分）如图1-27-75-6，在△ABC中，AB=3，AC=4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得△ADE∽△ACB，则AE的长
为__________.
8. （4分） 如图1-27-75-7，点D在△ABC的AB边上，当=__________时，△ACD与△ABC相似.
①②③
9. （4分）如图1-27-75-8，△ABC∽△ACD，则下列式子中成立的是__________.（填序号）
③ AC2=AD·AB；
10. （4分）如图1-27-75-9，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形：____________________.
△BCE，△BDA
解：∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
又∵ AD=4,
∴AB=10.
∴BD=AB-AD=6.
12. （10分）如图1-27-75-11，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．求证：△BEC∽△DCF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，BE∥CD.
∴∠E=∠DCF.
∴△BEC∽△DCF．
13. （10分）如图1-27-75-12，AD与BC交于点O，∠A=∠C，AO=4，CO=2，CD=3，求AB的长.
解：∵∠A=∠C，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴
即
∴AB=6.
14. (10分)如图1-27-75-13，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD， AD=2，AB=5，求AC的长.
解：∵∠ABC=∠ACD，
∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD.
∴
∵AD=2，AB=5，
∴ ∴AC=
15. （12分）如图1-27-75-14，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，
求DF的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°.
∴∠AEB=∠DAE.
∵DF⊥AE，∴∠ABE=∠DFA=90°.
∴△ABE∽△DFA.
（2）解：∵AB=3，BE=4，
∴由勾股定理，得AE=5.
∵△ABE∽△DFA，
∴
∴DF=3.6.
16. （12分）如图1-27-75-15，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，BC=CD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6.
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）求AE的长.
（1）证明：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠CAD=∠CDE.
∵∠ACD=∠DCE，
∴△CDE∽△CAD.
（2）解：∵△CDE∽△CAD，
∴
解得CA=9.
∴AE=AC-CE=9-4=5.(共25张PPT)
第二十七章 相 似
第71课时 相似三角形的简单性质
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．当△ABC与△A′B′C′相似时，记作“△ABC∽
△A′B′C′”（字母对应写）.
相似比是带有顺序性和对应性的：当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，△A′B′C′与△ABC的相似比为
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，AB=8，A′B′=6，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
B
B．相似三角形中寻找对应元素的方法：
（1）最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；
（2）相等的角所对的边是对应边；
（3）用“∽”表示的两个三角形，相同位置上的字母是对应字母.
2. 如图1-27-71-1，已知△ABC∽△DEF.
（1）AB的对应边是__________；
（2）AC的对应边是__________；
（3）BC的对应边是__________.
DE
DF
EF
典型例题
知识点1：寻找相似三角形的对应元素
∠A与∠C，∠B与∠D，∠AOB与∠COD
【例1】如图1-27-71-2，已知△OAB∽△OCD．
（1）对应角有______________________________________；
（2）对应边的比例式为_________________________；
（3）若∠B=20°，∠AOB=130°，OC=2，OD=3，OB=6，求∠C的度数及OA的长度.
解：（3）∵∠B=20°，∠AOB=130°，
∴∠A=180°-∠B-∠AOB=30°.
∵△OAB∽△OCD,
∴∠C=∠A=30°.
∵ ∴OA=4.
变式训练
3. 如图1-27-71-3，已知△ADE∽△ABC，AD=2，BD=3.
（1）对应角有__________________________________________；
（2）对应边的比例式为___________________________________；
（3）△ADE与△ABC的相似比是________________；
（4）若DE=4，∠A=55°，∠B=75°，求∠AED
的度数和BC的长度.
∠A与∠A，∠ADE与∠ABC，∠AED与∠ACB
解：（4）∵∠A=55°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°.
∵△ADE∽△ABC,
∴∠AED=∠C=50°.
∵
∴BC=10.
典型例题
知识点2：相似三角形简单性质的直接运用
【例2】如图1-27-71-4，D,E分别是AC,AB边上的点，△ADE∽△ABC，且DE=4，BC=12，CD=9，AD=3，求AE,BE的长.
解：∵△ADE∽△ABC，
∴
∵DE=4，BC=12，
CD=9，AD=3，
∴AC=12.
∴AE=4，AB=9.
∴BE=AB-AE=5.
变式训练
4. 如图1-27-71-5，已知Rt△ACB∽Rt△ADE，∠C=∠ADE=90°，AE=2，DE=CE=1.求BC和AB的长.
解：在Rt△ADE中，由勾股定理得
AD=
∵Rt△ACB∽Rt△ADE，
∴
∴
∴BC= AB=2
分层训练
A组
5. 如图1-27-71-6，已知△ABO∽△CDO，∠A=∠C．
（1）∠B=∠__________；
（2）对应边的比例式为
___________________．
D
6. 如图1-27-71-7，△ABO∽△CDO，若BO=8，DO=4，CD=3.
（1）△ABO与△CDO的相似比为__________；
（2）求AB的长.
2
解：（2）∵△ABO∽△CDO，
∴
∵BO=8，DO=4，CD=3，
∴
∴AB=6．
B组
7. 如图1-27-71-8，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=3，BC=6，∠BAC=∠C=40°．
（1）∠AED=__________，
∠ADE=__________；
（2）求DE的长．
40°
100°
解：（2）∵△ABC∽△ADE，
∴
∵AE=6,EC=3,BC=6,
∴AC=9.
∴DE＝4.
8. 如图1-27-71-9，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，且△ABC∽△DAC.
（1）求∠BAD的大小；
（2）求DC的长.
解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC=∠B=36°，
∠BAC=∠D=117°.
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°.
（2）∵△ABC∽△DAC，∴
又∵AC=4，BC=6，∴DC=
C组
9. 如图1-27-71-10，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
解：∵△ABE∽△DEF，
AB=6，AE=9，DE=2，
∴
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°.
∴EF=
10. 如图1-27-71-11，点D在边AC上，若△ABC∽△ADB，AD=4，DC=3，∠A=60°，∠ADB=70°．
（1）求∠C的度数；
（2）求AB的长．
解：（1）∵∠A=60°，∠ADB=70°，∴∠ABD=50°.
∵△ABC∽△ADB，
∴∠C=∠ABD=50°.
（2）∵△ABC∽△ADB，∴
∴AB2=AD·AC.
∵AD=4，DC=3，∴AC=AD+DC=7.
∴AB2=4×7=28.∴AB=2(共23张PPT)
第二十七章 相 似
第72课时 相似三角形的判定（1）——平行线法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
1. 如图1-27-72-1，写出平行线分线段成比例定理的几何语言：∵a∥b∥c，
∴_____________________________.
B．平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 如图1-27-72-2，写出用平行线法判定相似三角形的几何语言：
∵__________∥__________，
∴__________∽__________.
DE
BC
△ADE
△ABC
典型例题
知识点1：平行线分线段成比例
【例1】如图1-27-72-3，已知AC∥EF∥BD．如果AE∶EB=2∶3，CF=6．那么FD的长等于__________.
9
变式训练
3. 如图1-27-72-4，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1,l2,l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，若
AB=3，BC=5，则 =__________.
典型例题
知识点2：相似三角形的判定——平行线法
【例2】如图1-27-72-5，DE是△ABC的中位线. 那么△ADE和△ABC是否相似？说明理由.
解：△ADE和△ABC相似. 理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
变式训练
4. 如图1-27-72-6，已知AB∥CD∥EF，请你找出图中所有的相似三角形.
解：△AOB∽△DOC，
△AOB∽△FOE，
△DOC∽△FOE.
典型例题
知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用
【例3】如图1-27-72-7，DE∥BC，且AD=3，AB=5，CE=3，求AE的长.
解：设AE的长为x.
∵DE∥BC,∴ADE∽△ABC.
∴
∴
∴AE的长为
变式训练
5. 如图1-27-72-8，AD与BC相交于点O，AB∥CD．若AO=2，DO=3，BC=6，求CO的长度.
解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△ODC.
∴
∵AO=2，DO=3，BC=6，
∴ 解得OC=3.6．
分层训练
A组
6. 如图1-27-72-9，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB,AC相交于点D,E，若AD=4，DB=2，则EC∶AE的值为（ ）
A
7. 如图1-27-72-10，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO∶DO=1∶2，那么下列式子正确的是（ ）
A．BO∶BC=1∶2
B．CD∶AB=2∶1
C．CO∶BC=1∶2
D．AD∶DO=3∶1
B
B组
8. 如图1-27-72-11，AB与CD相交于点O，AC∥BD，
AC=9，求BD的长.
解：∵AC∥BD,
∴△AOC∽△BOD.
∴
∴ 解得BD=15.
9. 如图1-27-72-12，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．求证：△DCE∽△BCA.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD.
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE.
∴AB∥DE.
∴△DCE∽△BCA.
C组
10. 如图1-27-72-13，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，求FC的长．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形.
∴EF=BD=3.
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.
∴
∴FC=
11. 如图1-27-72-14，用三个完全一样的菱形ABGH，BCFG，CDEF拼成平行四边形ADEH，AE与BG，CF分别交于点P，Q. 若AB=6，求线段BP的长.
解：由菱形的性质可知，AD=3AB=18，DE=6.
∵BP∥DE，
∴△ABP∽△ADE.
∴
解得BP=2.(共24张PPT)
第二十七章 相 似
第81课时 相似单元复习
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
知识点1：相似三角形的性质
【例1】若两个相似三角形的对应边之比为3∶5，则
（1）它们的相似比为__________；
（2）它们的对应高之比为__________；
（3）它们的面积之比为__________.
3∶5
3∶5
9∶25
变式训练
1. 若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则：
（1）它们的相似比为__________；
（2）它们对应角平分线之比为__________；
（3）它们周长之比为__________.
1∶3
1∶3
1∶3
典型例题
知识点2：相似三角形的判定与性质
【例2】如图1-27-81-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求BD的长.
解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
∴
解得AD=4．
∴BD=AB-AD=6．
变式训练
2. 如图1-27-81-2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：AC2=AB·AD.
证明：∵在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽∠ABC.
∴
∴AC2=AB·AD.
典型例题
知识点3：相似三角形的应用
【例3】如图1-27-81-3，路灯距离地面7.5 m.若身高1.5 m的小明在距离路灯的底部（点O）8 m的A处，则小明的影子AM的长为__________m.
2
变式训练
3. 如图1-27-81-4，已知零件的外径25 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB，若OC∶AC=1∶3，量得CD=10 mm，则零件的厚度为__________mm.
2.5
典型例题
知识点4：位似
【例4】如图1-27-81-5，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位
似中心为点O，且OE=EA，则 =__________.
变式训练
4. 如图1-27-81-6，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，则点B对应点B′的坐标为（ ）
A．（-4，-8）
B．（-8，-4）
C．（-6，-4）
D．（8，4）
B
分层训练
A组
5. 如图1-27-81-7，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，
OB=6，S△AOC=50.
（1）AO的长为__________；
（2）S△BOD的面积是__________.
10
18
6. 如图1-27-81-8，已知D（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为__________.
（6，2）
B组
7. 如图1-27-81-9，每个小正方形的边长均为1，则右边选项中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（ ）
B
8. 如图1-27-81-10，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC= AO．连接BO并延长到点D，使OD= BO，测得C,D间距离为30 m，则A，B两地之间的距离为__________.
60 m
9. 如图1-27-81-11，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若BC=12， 求线段BE的长．
（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB=∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE=∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
（2）解：∵EF∥AB，∴
∵EC=BC-BE=12-BE，∴
解得BE=4．
10. 如图1-27-81-12，AD是△ABC的角平分线，延长AD到点E，使CE=AC.
（1）求证：△ABD∽△ECD；
（2）若AB=2，AC=4，BD=1，求BC的长.
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∵CE=AC，
∴∠CAD=∠E.
∴∠BAD=∠E.
∴AB∥CE.
∴△ABD∽△ECD.
（2）解：∵△ABD∽△ECD，
∴
∵CE=AC=4，∴
∴CD=2.∴BC=BD+CD=1+2=3.
C组
11. 如图1-27-81-13，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，
∠ADE=∠C，
∴∠BDE=∠CAD．
∴△BDE∽△CAD．
（2）解：由（1）知，△BDE∽△CAD,
∴
∵BC=8,AC=5,CD=2，
∴
12. 如图1-27-81-14，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC.
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PA·PC.
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90°.
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°.
∴∠BAC=∠CBP.
（2）∵∠ABP=∠PCB=90°，∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP.
∴
∴PB2=PA·PC.(共20张PPT)
第二十七章 相 似
第79课时 位似
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
位似图形的性质：
①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行或在同一条直线上．
1. 下列每组的两个图形，是位似图形的是（ ）
D
典型例题
知识点1：位似图形及其性质
【例1】如图1-27-79-1，已知△ABC和△A′B′C′位似， OA∶OA′=3∶4.
（1）位似中心是__________；
（2）△ABC与△A′B′C′周长之比是__________.
点O
3∶4
变式训练
2. 如图1-27-79-2，已知△DEF与△ABC位似， OF=FC.
（1）位似中心是__________；
（2）△DEF与△ABC的面积之比是__________.
点O
1∶4
典型例题
知识点2：位似图形的画法
【例2】如图1-27-79-3，以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 (只需画出一种即可)
略.
变式训练
3. 如图1-27-79-4，以点O为位似中心，将四边形ABCD放大到原来的2倍. （只需画出一种即可）
略.
典型例题
知识点3：网格中的位似作图
【例3】如图1-27-79-5，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点及点O在格点上，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍.（只需画出一种即可）
略.
变式训练
4. 如图1-27-79-6，在10×10的网格中，每个小方格边长为1，四边形ABCD是格点四边形（顶点在网格线的交点上），以点O为位似中心，在网格中把四边形ABCD放大为原来的3倍.（只需画出一种即可）
略.
分层训练
A组
5. 如图1-27-79-7，△ABC与△DEF位似，且OD=2AD．
（1）位似中心是__________；
（2）位似比是__________.
点O
6. 如图1-27-79-8，△A＇B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积的比是4∶9，则OB′∶OB为（ ）
A. 2∶3
B. 3∶2
C. 4∶5
D. 4∶9
A
B组
7. 如图1-27-79-9，△AOB与△COD是位似图形，它们的对应线段之比是1∶3．
（1）判断AB和CD的位置关系，说明理由；
（2）如果AC=12，求OC,OA的长．
解：（1）AB∥DC，理由如下.
∵△AOB与△COD是位似图形，
∴∠A=∠C.
∴AB∥DC.
（2）∵△AOB与△COD是位似图形，它们的对应线段之比是1∶3，
∴AO∶CO=1∶3.
又∵AC=12,
∴AO=3，CO=9．
8. 如图1-27-79-10，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2．
（1）请在图1-27-79-10中画出位似中心；
（2）若AB=2 cm，求A′B′的长.
解：（1）如答图27-79-1，点O即为位似中心.
（2）∵ 且AB=2 cm，
∴A′B′=2AB=4 cm．
C组
9. 如图1-27-79-11，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均在格点上.
（1）以点O为位似中心，在网格图中作四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形
ABCD位似，且 =2；
（2）求 的值.
解：（1）如答图27-79-2.
（2）如答图27-79-2，∵A′B′2=22+22=8,
B′O2=42+42=32,A′O2=22+62=40，
∴A′B′2+B′O2=A′O2. ∴△A′B′O是直角三角形.
∴S△A′B′O= A′B′·B′O= ×2 ×4 =8.
∵S△A′C′O= A′C′·C′O= ×6×2=6，
∴
10. 如图1-27-79-12，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（-2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心是点M.
（1）在图中画出点M；
（2）求出点M的坐标.
解：（1）如答图27-79-3，连接DA，并延长交x轴于点M，则点M即为所求.
（2）如答图27-79-3，过点D作DH⊥OE于点H.
由题意,得BC=3，OE=6，△ABC∽△DOE，
则△ABC与△DOE的相似比为1∶2.
故OH=2OB=4，DH=2OA=6.
则点D的坐标为（4，6）.
∵MO∶MH=OA∶DH=1∶2，
MH=MO+4，
∴MO∶（MO+4）=1∶2.
解得MO=4，则点M的坐标为（-4，0）.(共24张PPT)
第二十七章 相 似
第76课时 相似三角形的周长和面积
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．相似三角形的性质：
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）相似比k=对应边之比=对应中线之比=对应角平分线之比=对应高之比=周长之比；
（3）面积比=k2.
1. 已知两个三角形相似比是
（1）对应边之比=__________；（2）对应高之比=__________；
（3）对应中线之比=__________；（4）对应角平分线之比=__________；（5）周长之比=__________；（6）面积之比=__________.
典型例题
知识点1：相似三角形的对应线段之比，周长之比和面积之比
【例1】已知△ABC∽△A1B1C1，对应中线之比为1∶2，则下列说法错误的是（ ）
A．相似比为1∶2 B．周长之比为1∶2
C．面积之比为1∶2 D．对应高之比为1∶2
C
变式训练
2. 已知△ABC∽△A1B1C1，面积之比为1∶16，则下列说法正确的是（ ）
A．对应边之比为1∶16
B．对应高之比为1∶16
C．对应角平分线之比为1∶16
D．周长之比为1∶4
D
典型例题
知识点2：利用相似三角形的性质求周长
【例2】已知△ABC与△DEF的相似比为2∶3．若△ABC周长为12，求△DEF周长.
解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2∶3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2∶3.
∵△ABC的周长是12，
∴△DEF的周长是18．
变式训练
3. 如图1-27-76-1，DB=2AD，EC=2AE.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若△ABC的周长为27 cm，求△ADE
的周长.
（1）证明：∵DB=2AD,EC=2AE,
∴
∴
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
（2）解：∵△ADE∽△ABC,
∴△ADE的周长：△ABC的周长=
∴△ADE的周长= ×27=9(cm).
典型例题
知识点3：利用相似三角形的性质求面积
【例3】若△ABC∽△DEF，且相似比为3∶1，△ABC的面积为54，求△DEF的面积.
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，
∴△ABC与△DEF的面积之比=9∶1.
∴S△ABC∶S△DEF=9∶1，即54∶S△DEF=9∶1，
解得S△DEF=6.
变式训练
4. 如图1-27-76-2，在△ABC中，DE∥BC， S△ABC=25，求△ADE的面积.
解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
∵
∴
又∵S△ABC=25，
∴
∴S△ADE=9.
分层训练
A组
5. 已知△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶2
A
6. 已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为（ ）
A．1∶1 B．3∶2 C．6∶2 D．9∶4
7. 若△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，AB=4，则DE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
B
C
8. 填空：
（1）两个相似三角形的相似比为4∶3，那么这两个相似三角形的面积比为__________；
（2）两个相似三角形的面积比为1∶16，则它们对应边的比是__________.
16∶9
1∶4
B组
9. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若 且△ABC的周长为20 cm，求△A′B′C′的周长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′, 且△ABC的周长为20 cm,
∴
∴△A′B′C′的周长为40 cm.
10. 已知△ABC的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.
解：∵52+122=132,
∴△ABC是直角三角形.
∴S△ABC= ×5×12=30.
由题意，得△ABC与△A′B′C′的相似比为
则
∴S△A′B′C′=120.
C组
11. 如图1-27-76-3，在△ABC中，DE∥BC，S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBCE的面积，若D是AB边的中点，则
S1∶S2=__________；若S1=S2，则AD∶AB=__________.
1∶3
12. 如图1-27-76-4，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1__________S2+S3；
（填“＞”“＜”或“=”）
（2）若CE=3，DE=4，求S2的值.
=
解：(2)在Rt△DCE中，
DC= =5,
S3= CE·DE= ×3×4=6.
∵∠DBC+∠BDC=90°,
∠EDC+∠BDC=90°,
∴∠DBC=∠EDC.
又∵∠BCD=∠E=90°,
∴△BCD∽△DEC.
∴
∴S1=
由（1）得S2=S1-S3=(共21张PPT)
第二十七章 相 似
第78课时 相似三角形的应用举例（2）——
盲区及其他问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．利用相似三角形对应边之比相等的性质求物体的高度．
1. 如图1-27-78-1，是一个照相机成像的示意图．如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，则拍摄点离景物有__________m．
7
典型例题
知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题
【例1】如图1-27-78-2，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m时，影长为1.2 m，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB靠近另一个建筑物CE，所以AB的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC为7.2 m，又测得墙上部分的影子高CD为1.2 m，请你帮他计算建筑物AB的高度.
解：如答图27-78-1，过点D作DH⊥AB于点H，则DH=BC=7.2 m，BH=CD=1.2 m.
∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m时，影长为1.2 m，
∴
∴AH=6(m).
∴AB=AH+BH=6+1.2=7.2（m）.
答：建筑物AB的高度为7.2 m.
变式训练
2. 如图1-27-78-3，现要测量旗杆的高CD，在B处立一标杆AB=2.5 m，人在F处，眼睛为E,与标杆顶点A,旗杆顶点C在一条直线上. 已知BD=3.6 m，FB=2.2 m，EF=1.5 m，求旗杆的高度.
解：如答图27-78-2，
过点E作EH∥FD分别交AB，CD于点G，H.
∵EF∥AB∥CD，
∴EF=GB=HD.
∴AG=AB-GB=2.5-1.5=1（m），EG=FB=2.2（m），
GH=BD=3.6（m），CH=CD-1.5.
又∵
∴CD= (m).
∴旗杆的高度为 m.
典型例题
知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题
【例2】《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图1-27-78-4，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．
解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF.
设ED=x，则CD=x，AD=5-x.
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B.
∴△ADE∽△ACB.
∴
∴正方形CDEF的边长为
变式训练
3. 如图1-27-78-5，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13 cm，BC边上的高AD为6 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E,F分别在AB,AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
（1）证明：∵四边形EGHF为正方形，点G，H在BC上，
∴EF∥BC.
∴△AEF∽△ABC.
（2）解：设EG=EF=x cm.
∵△AEF∽△ABC，
∴
解得x=
∴正方形零件的边长为 cm．
分层训练
A组
4. 学校门口的栏杆如图1-27-78-6所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC的位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A. 0.2 m
B. 0.3 m
C. 0.4 m
D. 0.5 m
C
5. 如图1-27-78-7，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．3 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．9 cm
B
B组
6. 如图1-27-78-8，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P，A，C在一条直线上，点P，B，D在一条直线上），不难发现AB∥CD．已知AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到横杆AB的距离是1 m，求点P到地面的距离.
解：如答图27-78-3，作PF⊥CD于点F，交AB于点E.
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB.
∴
解得PF=3 m．
答：点P到地面的距离为3 m.
7. 如图1-27-78-9，在阳光下，旗杆AB在地面上的影长BC为20 m，在建筑物墙面上的影长CD为4 m，同一时刻，测得直立于地面长1 m的木杆的影长为0.8 m，求旗杆AB的高度．
解：如答图27-78-4，作DE⊥AB于点E.
∵DC⊥BC于点C，AB⊥BC于点B，
∴四边形BCDE为矩形.
∴DE=BC=20 m，BE=DC=4 m.
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴ 解得AE=25 m.
∴AB=25+4=29（m）．
答：旗杆的高度为29 m．
C组
8. 如图1-27-78-10，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成影．设桌面的半径AC=0.8 m，桌面与地面的距离AB=1 m，灯泡与桌面的距离OA=2 m，求地面上形成的影的面积．
解：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD.
∴
解得BD=1.2（m）.
∴S阴影=（1.2）2π=1.44π（m2）.
答：地面上形成的影的面积为1.44πm2．
9. 如图1-27-78-11，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC边上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC边上，求这个长方形零件PQMN的面积S的最大值.
解：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x.
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴
解得a=120- x.
∴S=xa=x = x2+120x= (x-40)2+2 400.
当x=40时，S值最大，S最大值=2 400（mm2）.
∴这个长方形零件PQMN的面积S的最大值是2 400 mm2.(共21张PPT)
第二十七章 相 似
第77课时 相似三角形的应用举例（1）——
高度与河宽问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．在同一时刻，物体的高与其影长的比相等.
1. 在同一时刻，高2 m的竹竿在阳光下的影长为1 m，一棵大树的影长为5 m，则树的高度为__________m.
10
典型例题
知识点1：利用相似测量物体的高度
【例1】《孙子算经》中有首歌谣，翻译成现代汉语的意思是：如图1-27-77-1，有一根竹竿OB不知道有多长，量得它在太阳下的影子BA长15尺，同时立一根1.5尺的小标杆O′B′，它的影子B′A′长0.5尺，求竹竿OB的长度.
变式训练
2. 放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，如图1-27-77-2,若光源A到幻灯片的距离AE长为20 cm，幻灯片到屏幕的距离EC长为40 cm，且幻灯片中的图形ED的高度为6 cm，求屏幕上图形BC的高度．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴
∵AE=20 cm，EC=40 cm，
∴AC=60 cm.
设屏幕上图形BC的高是x cm，则
解得x=18.
∴屏幕上图形BC的高度为18 cm．
典型例题
知识点2：利用相似测量河的宽度（测量距离）
【例2】如图1-27-77-3是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD=150 m，DC=75 m，EC=60 m，求河宽AB．
解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE.
∴△ABD∽△ECD.
∴
∴AB=120（m）．
答：河宽AB为120 m．
变式训练
3. 如图1-27-77-4，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B,C,D,E，使点A,B,D在一条直线上，且AD⊥DE,点A,C,E也在一条直线上，且DE∥BC，如果BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，求河的宽度AB.
解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE.
解得AB=18(m)．
∴河的宽度AB为18 m．
分层训练
A组
4. 如图1-27-77-5是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，则河宽AB=__________m．
100
5. 如图1-27-77-6，小明想测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E，C，A在一直线上），量得ED=3 m，DB=6 m，CD=1.8 m，则电线杆AB长=__________m.
5.4
B组
6. 如图1-27-77-7，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B到墙距离BC是1.6 m，梯上的点D到墙距离DE是1.4 m，BD的长是0.55 m，求梯子的长.
解：由题意，得DE⊥AC,BC⊥AC.
∴△ADE∽△ABC，则
设梯子长为x m，则
解得x=4.4．
答：梯子的长为4.4 m.
7. 如图1-27-77-8，小明为了测量楼MN的高度，在离MN20 m的A处放了一块平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC=2 m，小明的眼睛离地面的高度BC为1.8 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度.
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C=∠N=90°.
根据题意，可知∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA.
∴
解得MN=18（m）.
∴楼房的高度为18 m.
C组
8. 如图1-27-77-9，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得DC=10 m,边DF离地面的高度AC=1.5 m，求树高AB.
解：∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,
∴△DEF∽△DCB.
∴
∵DE=40 cm=0.4 m，EF=20 cm=0.2 m，
AC=1.5 m，DC=10 m，
∴ 解得CB=5（m）.
∴AB=AC+CB=1.5+5=6.5(m).
∴树高AB为6.5 m．
9. 某人利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图1-27-77-10，当在点A处放置标杆时，测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.2 m，已知标杆直立时的高为1.8 m，求路灯高CD的长．
解：设CD长为x m.
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA∥CD∥BN.
∴EC=CD=x m.
∴△ABN∽△ACD.
∴
解得x=5.4．
∴路灯高CD为5.4 m．(共25张PPT)
第二十七章 相 似
第69课时 图形的相似
目录
01
本章知识结构图
02
核心内容
03
知识点导学
04
典型例题
05
变式训练
06
分层训练
本章知识结构图
核心内容
图形的 相似 1. 形状相同的图形称为相似图形，用符号“∽”表示相似，如△ABC∽△A′B′C′.
2. 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形.
3. 相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似比是具有顺序性和对应性的：当△ABC与△A′B′C′的相似比为
k时，则△A′B′C′与△ABC的相似比为
相似三角形的判定 1. 平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边法：三边成比例的两个三角形相似.
3. 两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4. 两角法：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角 形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形（多边形）周长的比等于相似比.
3. 相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比.
4. 相似三角形（多边形）面积的比等于相似比的平方
相似三角 形的应用 1. 利用影长测量物体的高度.
2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）.
3. 利用视点和盲区的知识构建相似三角形
位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2. 位似图形的性质：①两个图形是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行或在同一条直线上.
3. 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 （x，y） 对应的位似图形上的点的坐标为 （kx，ky） 或 （-kx，-ky）
知识点导学
A．形状相同的图形称为相似形．
对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
相似
1. 如图1-27-69-1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是__________.
典型例题
知识点1：相似图形的识别
【例1】判断，对的打“√”，否则打“×”：
（1）任意两个矩形都相似.（ ）
（2）任意两个正方形都相似.（ ）
（3）任意两个等腰三角形都相似.（ ）
（4）任意两个等边三角形都相似.（ ）
（5）任意两个菱形都相似.（ ）
（6）任意两个等腰直角三角形都相似.（ ）
×
√
×
√
×
√
变式训练
2. 下列四组图形不是相似图形的是（ ）
D
典型例题
知识点2：比例尺的计算
【例2】在比例尺为1∶1 000 000的地图上量得A，B两地的距离是20 cm，那么A,B两地的实际距离是（ ）
A. 2 000 000 cm B. 2 000 m
C. 200 km D. 2 000 km
C
变式训练
3. 在一幅地图上，量得A,B两城市之间的距离是4 cm，这幅地图的比例尺是1∶5 000 000，那么A,B两城市之间的实际距离是（ ）
A. 20 000 000 km B. 200 km
C. 12 500 km D. 12.5 km
B
典型例题
知识点3：画相似图形
【例3】如图1-27-69-2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.
略.
变式训练
4. 如图1-27-69-3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.
略.
分层训练
A组
5. 如图1-27-69-4是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”可由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的？（ ）
A．轴对称
B．平移
C．旋转
D．相似
D
6. “相似的图形”是指（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形
C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形
A
7. 下列各组图形相似的是（ ）
B
8. 下面不是相似图形的是（ ）
A
B组
9. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变
B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变
C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
D
10. 下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中一定相似的是______________.（填序号）
①②④⑤
11. 下列说法正确的是（ ）
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
B
12. 一幅地图的比例尺是1∶6 000 000，在地图上，上海到杭州的距离是3.5 cm，则上海到杭州的实际距离是_________km．
210
C组
13. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
D
14. 如图1-27-69-5，将一个大正方形分割成几个相同的小正方形，小正方形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形，请在图①，②中分别画出两个互不全等的格点三角形，要求所画三角形与格点三角形△ABC相似但与△ABC不全等．
解：如答图27-69-1.
