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第十二章 全等三角形
第18课时 全等三角形单元复习
【例1】如图18-1，若△ABC≌△DEF，点B,E,C,F在同一直线上，BC=7，EC=4，则CF的长是____________.
典型例题
知识点1 全等三角形的性质
3
1. 图18-2中的两个三角形全等，则∠1等于____________.
变式训练
73°
【例2】 如图18-3，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求证：AD=BC．
典型例题
知识点2 全等三角形的判定和性质
2. 如图18-4，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E，请判断 AC和DF的关系并说明理由．
变式训练
【例3】如图18-5，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD=4，则点P到边OA的距离是____________.
典型例题
知识点3 角的平分线的性质和判定
4
3. 如图18-6，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M,N．PM=PN，若∠BOC=30°，则∠AOB=____________.
变式训练
60°
【例4】 如图18-7，已知∠AOB，求作一个角，使它等于2∠AOB.（不写作法，保留作图痕迹）
典型例题
知识点3 尺规作图——作一个角等于已知角，作角平分线
略.
4. 如图18-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°．
（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D;（要求：保留作图痕迹,不写作法）
（2）∠ADC的度数为____________．
变式训练
解：（1）略.
65°
A组
5. 如图18-9，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若AB=12，CD=4，则△ABD的面积为____________.
24
6. 如图18-10，△ACE≌△DBF，如果∠E=∠F，DA=12，CB=2，那么线段AB的长是____________.
5
B组
7.如图18-11，点C,F在线段BE上，∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF．
（1）根据“ASA”，需添加的条件是____________,
根据“HL”，需添加的条件是____________；
（2）请从（1）中任意选择一种，加以证明．
解：（1）∠ACB=∠DFE
AC=DF
8. 如图18-12，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE=DB，∠DEC=∠B．求证：AD平分∠BAC．
C组
9. 如图18-13，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．求证：AD=AE+AB．
10. 如图18-14，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，点C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=120°时，∠EDC=____________，点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变____________（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，
请说明理由.
10°
小
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第十二章 全等三角形
本章知识结构图
全等三角形 的相关概念 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上
对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角
核心内容
全等三角形 的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等
三角形全 等的判定 SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等
SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
AAS——两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
HL——斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
三角形全 等的判定 三角形全等的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对应边;若已知一边一角对应相等，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边
角的平分线 的性质和判定 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言:如图①，∵点P是∠AOB的平分线上的一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，∴PD=PE
角的平分线 的性质和判定 角的平分线的判定：(1)定义法；(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言:如图②，
∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴点P在∠AOB的平分线上
三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等；三角形内到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点
尺规作图 作一个角等于已知角
作一个角的平分线
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第十二章 全等三角形
第16课时 角的平分线（1）——性质
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 1. 根据左图16-1角平分线性质写出几何语言：
∵点P是∠AOB平分线上的一点，_______⊥________，_________⊥____________，
∴________=____________.
PD
OA
PE
OB
PD
PE
【例1】如图16-2,点P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
典型例题
知识点1 角的平分线的性质的直接运用
B
1. 如图16-3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB边的距离是 （ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
变式训练
D
【例2】如图16-4，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：EB=FC.
典型例题
知识点2 运用角的平分线的性质进行证明
2. 如图16-5，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E,D为垂足，CF=CB．求证：BE=FD.
变式训练
【例3】如图16-6，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若S△ABD=20，AB=10，求DC的长.
典型例题
知识点3 角平分线的性质和面积问题
3. 如图16-7，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB=16，BC=14，求DE的长.
变式训练
典型例题
知识点4 尺规作图——作角平分线
【例4】 如图16-8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
解：如答图16-2，AD即为所求．
变式训练
4. 如图16-9，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
解：如答图16-4，点P为所作．
A组
5. 如图16-10，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C,D，则下列结论错误的是 （ ）
A. PC=PD
B. OC=OD
C. OC=OP
D. ∠CPO=∠DPO
C
16. 如图16-11，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=10，DC=3，则△ABD的面积为____________.
15
B组
7. 如图16-12，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M,N．求证：PM=PN．
8. 如图16-13，在△ABC中，AB=AC．
（1）作△ABC中∠BAC的平分线AD;(保留作图痕迹，不写作法)
（2）求证：BD=CD.
（1）解：如答图16-5，AD即为所求.
C组
9. 如图16-14，△ABC两个外角的平分线CE,BD相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等.
证明：如答图16-6，过点P作PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AB于点H.
∵CE平分∠FCG,BD平分∠GBH,
∴PF=PG，PG=PH.
∴PF=PG=PH.
∴点P到三边AB,BC,
CA所在的直线的距离相等.
10. 如图16-15，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DB=DC.
（1）求证：BE=CF；图16-15
（2）请直接写出图中线段AB，AC，AE之间的数量关系.
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第十二章 全等三角形
第13课时 三角形全等的判定（3）
——ASA和AAS
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A.两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（ASA）．
B.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
∠A
∠D
∠B
∠E
BC
EF
【例1】如图13-3，点D，E分别在AB，AC上，∠B=∠C，AB=AC．求证：△AEB≌△ADC．
典型例题
知识点1 已知一组对应边相等
1. 如图13-4，已知线段AC，BD相交于点E，∠A=∠D，BE=CE，求证：△ABE≌△DCE．
变式训练
【例2】 如图13-5，若AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2. 求证：△ABC≌△ADE.
典型例题
知识点2 利用等式的性质转化为一组对应角相等
2. 如图13-6，AC,BD相交于点O，∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，求证：AB=DC．
变式训练
【例3】 如图13-7，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点， AC∥BD.求证：AC=BD．
典型例题
知识点3 利用其他条件转化为一组对应角相等
3. 如图13-8，点B,F,C,E在同一条直线上，点A,D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，求证：AC=DF.
变式训练
A组
4. 如图13-9，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD．求证：△BAC≌△DAE．
5. 如图13-10，点C,F在BE上，BF=CE，∠A=∠D，∠B=∠DFE．求证：△ABC≌△DFE．
B组
6. 如图13-11，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
7. 如图13-12，AE=AB，∠1=∠2，∠E=∠B．求证：AD=AC．
C组
8. （1）如图13-13①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B,C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：BD=DE+CE;
（2）若直线AE绕点A旋转到如图13-13②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，BD与DE,CE的关系如何？请予以证明．
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第十二章 全等三角形
第15课时 全等三角形的性质
与三角形全等的判定自测
1. （3分）如图15-1，已知△ABC≌△ADC，若∠B=30°，∠BAC=23°，则∠ACD的度数为 ( )
A．120°
B．125°
C．127°
D．104°
C
2. （3分）如图15-2，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且BC=5 cm，BF=7 cm，则EC长为 （ ）
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
C
3. （3分）已知图15-3中的两个三角形全等，则∠1等于
( )
A．70°
B．50°
C．60°
D．120°
C
4. （3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成如图15-4的3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是 ( )
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①②③去
C
5. （3分）如图15-5，AB，CD相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，下列结论：①△AOD≌△COB；②AD=CB；③AB=CD．其中正确的有 ( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
D
6. （3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图15-6，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边到相同的刻度并分别与点M,N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是 ( )
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
A
7. （3分）如图15-7，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E．
（1）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF全等的根据是____________；
（2）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等的根据是____________；
（3）若AC=DF，BC=EF，则△ABC与
△DEF全等的根据是____________.
SAS
ASA
HL
8.(10分)如图15-8，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则线段AB与CD有怎样的关系？请说明理由．
9. （10分）如图15-9，AD=CB，∠1=∠2．求证：△ADC≌△CBA．
10. （11分）如图15-10，在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE．
11. （11分）如图15-11，已知△ABC≌△ADE，∠CAE=40°，∠C=50°，则AC与DE有何位置关系？请说明理由．
解：AC⊥DE.理由如下：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C=50°.
∴∠CAE+∠E=40°+50°=90°.
∴∠AFE=90°.
∴AC⊥DE．
12. （11分）如图15-12，AB=AC，F，E分别是AB，AC的中点．求证：∠B=∠C．
13. （12分）如图15-13，AB⊥CB，DC⊥CB，点 E,F在BC上，BE=CF，请添加一个条件：____________.求证：AF=DE．
14. （14分）如图15-14，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：（1）△ABC≌△CDA；
（2）DF=BE．
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第十二章 全等三角形
第12课时 三角形全等的判定（2）——SAS
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（SAS）．
【例1】如图12-2，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE，求证：△ABE≌△DCE．
典型例题
知识点1 已知一组对应角相等
1. 如图12-3，AB=AC，点D，E分别为AB和AC的中点，求证：∠B=∠C．
变式训练
【例2】如图12-4，已知∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE．求证：∠B=∠D．
典型例题
知识点2 利用等式的性质转化为一组对应角相等
2.如图12-5，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC.求证：BC=DE.
变式训练
【例3】如图12-6，点E,F在AC上，AB∥CD，AB=
CD，AE=CF，求证：∠B=∠D．
典型例题
知识点3 利用其他条件转化为一组对应角相等
3. 如图12-7，点B，C，D，E在一条直线上，AB∥FC，AB=FC，BC=DE．求证：AD=FE．
变式训练
A组
4. 如图12-8，AD=CB，∠1=∠2．求证：△ADC≌
△CBA．
5. 如图12-9，∠1=∠2，AD=AB，求证：CD=CB．
B组
6. 如图12-10，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，求证：BE=CD．
7. 如图12-11，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为点B，DE⊥BE，垂足为点E，且AB=DE，BF=CE.求证：AC=DF.
C组
8. 如图12-12，AD是△ABC的高，E是AD上一点．若BD=AD，DE=DC，求证：
（1）∠1=∠C;（2）BE⊥AC．
（2）如答图12-1，延长BE交AC于点F.
∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD.
∵∠CAD+∠C=90°，∴∠CBF+∠C=90°.
∴∠BFC=90°.∴BF⊥AC.∴BE⊥AC．
9. 如图12-13，已知AE⊥AB，AC⊥AF，AE=AB，AF=AC，AB与EC交于点D．则EC与BF有怎样的关系？请说明理由．
∴△AEC≌△ABF（SAS）.∴EC=BF.
∴∠AEC=∠ABF.
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°.
∴∠AEC+∠ADE=90°.
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°.
在△BDM中，∠BMD=180°-(∠ABF+∠BDM)=180°-90°=90°.
∴EC⊥BF．
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第十二章 全等三角形
第10课时 全等三角形的相关概念及性质
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．如图10-1，△ABC≌△A′B′C′．
(1)用“≌”表示全等时，对应顶点写在对应位置上；
(2)重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，重合的角
叫做对应角；
(3)经过平移、翻折、旋转后
的两个图形全等.
B．全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等.
1. 如图10-2，△ABC经过平移得到△DEF.
（1）△ABC≌____________；
（2）AB的对应边是____________，BC的对应边是
____________，AC=____________；
（3）∠A=____________，
∠B的对应角是____________，
∠ACB的对应角是____________.
△DEF
DE
EF
DF
∠D
∠DEF
∠F
【例1】如图10-3，将△ABC沿着BC向上翻折得到△DBC.
（1）△ABC≌____________；
（2）对应边分别为_______________________________；
（3）对应角分别为______________
___________________________.
典型例题
知识点1 寻找全等三角形的对应元素
△DBC
AB与DB，BC与BC，AC与DC
∠A与∠D，
∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB
1.如图10-4，已知△ABC≌△ADE.
（1）对应边分别为______________________________；
（2）对应角分别为___________________________________.
变式训练
AB与AD，BC与DE，AC与AE
∠BAC与∠DAE，∠B与∠D，∠C与∠E
【例2】 如图10-5，已知△ABC≌△DEF，B,E,C,F在同一直线上．求证：
（1）AC∥DF；
（2）BE=CF.
典型例题
知识点2 运用全等三角形的性质证明线段的关系
证明：（1）∵△ABC≌
△DEF，∴∠ACB=∠F.∴AC∥DF.
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC.∴BE=CF.
2. 如图10-6，已知△ABC≌△FED，A,E,B,F在同一直线上．求证：（1）AC∥DF；（2）AE=FB.
变式训练
证明：（1）∵△ABC≌△FED，
∴∠A=∠F．∴AC∥DF．
（2）∵△ABC≌△FED，
∴AB=FE．
∴AB-EB=FE-EB．
∴AE=FB．
【例3】 如图10-7，已知△ABC≌△DBE,求证：∠CBE=∠ABD.
典型例题
知识点3 运用全等三角形的性质证明角的关系
证明：∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE.
∴∠CBE=∠ABD.
3. 如图10-8，已知△ABC≌△ADE,求证：∠CAE=
∠BAD.
变式训练
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB=∠EAD.
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE.
∴∠CAE=∠BAD.
A组
4. 如图10-9，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，写出这两个三角形中相等的边和角．
对应边：_________________________________；
对应角：_____________________________________．
OC和OB，OA和OD，AC和DB
∠C和∠B，∠A和∠D，∠AOC和∠DOB
5. 如图10-10，△ABC≌△DBC，∠A=45°，∠DCB=
35°，则∠ABC=____________.
6. 已知△ABC≌△DEF.
（1）若AB=6，BC=4，AC=5，则△DEF的周长为____________；
（2）若△ABC的周长为12，AB=3，EF=4，则AC= ____________.
100°
15
5
7. 如图10-11，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=____________.
20
B组
8.如图10-12，已知△ADE≌△ACF，求证：CE=DF.
证明：∵△ADE≌△ACF，
∴AE=AF，AD=AC.
∴AC-AE =AD-AF.
∴CE=DF.
9.如图10-13,已知△ABE≌△ACD，求证：∠BAD=
∠CAE．
证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD.
∴∠BAE-∠DAE=
∠CAD-∠DAE.
∴∠BAD=∠CAE．
C组
10. 如图10-14，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD=CE+DE．
证明：∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE.
∴BD=AE=AD+DE=
CE+DE，
即BD=CE+DE．
11. 如图10-15，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB=2 cm，BC=3 cm.
（1）求DE的长；
（2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=3 cm，AB=EB=2 cm.
∴DE=BD-BE=1 cm.
（2）直线AD与直线CE垂直. 理由如下:
如答图10-1，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC，∴∠D=∠C.
∵在Rt△ABD中，∠A+∠D=90°，
∴∠A+∠C=90°.
∴∠AFC=90°，即AD⊥CE.
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第十二章 全等三角形
第11课时 三角形全等的判定（1）——SSS
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
【例1】如图11-2，AM=AN，BM=BN，求证：△AMB≌△ANB.
典型例题
知识点1 运用SSS证明三角形全等
1. 如图11-3，已知BD=AC，AD=BC，求证：△ABD≌△BAC．
变式训练
【例2】如图11-4，点A，D，B，E在同一条直线上，AC=EF，AD=EB，BC=DF．求证：（1）△ABC≌△EDF；（2）∠C=∠F.
典型例题
知识点2 三角形全等的判定（SSS）与性质的综合运用
(2)由(1)得△ABC≌△EDF,∴∠C=∠F．
2. 如图11-5，点A,B,D,E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，CB=FE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AC∥DF．
变式训练
（2）由（1）得△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE.
∴AC∥DF.
【例3】 如图11-6，用直尺和圆规作一个角等于已知角，已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．
典型例题
知识点3 尺规作图——作一个角等于已知角
略.
3. 如图11-7，用尺规作一个角等于已知角的和，已知∠1，∠2，求作∠AOB，使∠AOB=∠1+∠2．
变式训练
略.
A组
4. 如图11-8，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：△ABD≌△ACD．
5.如图11-9，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证：△ACD≌△CBE.
B组
6. 如图11-10，点C，E，B，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，CE=FB，求证：△ABC≌△DEF．
7. 如图11-11，AB=AE，BC=EC，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各内角的度数．
8. 如图11-12，点A,C,F,D在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：BC∥EF．
9.如图11-13,已知线段a，∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.（ 不写作法，保留作图痕迹）
解：如答图11-1，△ABC即为所求．
C组
10. 如图11-14，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE．求证：AD⊥AE．
11. 如图11-15，已知AC=BD，AD=BC．求证：∠A=∠B．
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第十二章 全等三角形
第17课时 角的平分线（2）——判定
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 1.根据左图17-1写出几何语言：
∵____________=____________，
____________⊥____________，
____________⊥____________，
∴点P在∠AOB的平分线上.
PD
PE
PD
OA
PE
OB
【例1】 如图17-2，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，DC=2，S△ABD=8.求证：AD平分∠BAC.
典型例题
知识点1 结合面积进行判定
1. 如图17-3，D,E,F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
变式训练
证明：如答图17-3，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵△DCE和△DBF的面积相等，且CE=BF，
∴DN=DM.
∴AD平分∠BAC.
【例2】如图17-4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
典型例题
知识点2 结合全等进行判定
2. 如图17-5，BD=CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E. 求证：点D在∠BAC的平分线上.
变式训练
【例3】 如图17-6，要在河流与公路围成的I区建一个工厂，使该工厂的位置A到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点B处的距离为1 cm（指图上的距离），在图中作出点A的位置，并给出简单的文字说明．
典型例题
知识点3 角平分线判定的应用
解：作图略.根据角的平分线的判定定理可知，点A在此夹角的平分线上且距离点B处1 cm.即可得出A点位置．
3. 如图17-7，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
变式训练
解：作图略.
小亭中心的位置在任两条公路夹角的平分线的交点处.
典型例题
知识点4 运用角平分线的判定进行证明
【例4】如图17-8，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上.
证明：如答图17-2，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM. 同理，PM=PN. ∴PD=PN. ∴点P在∠A的平分线上.
4. 如图17-9，△ABC两个外角的平分线BP，CP相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上.
变式训练
证明：如答图17-4，过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE，垂足分别为点F,G,H.
∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PF=PG，PG=PH.
∴PF=PH.
∴点P在∠A的平分线上
（角的内部到角的两边
的距离相等的点在角的平分线上）.
A组
5. 已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M ( )
A．在AC边的高上
B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上
D．在∠BAC的平分线上
C
6. 如图17-10，PA=PB，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A,B．若∠MON=60°，则∠MOP为 （ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
B
B组
7. 如图17-11，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：AP是∠BAC的平分线．
8.如图17-12，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
C组
9. 如图17-13，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．
证明：如答图17-5，过点M作ME⊥AD于点E.
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，
ME⊥AD，
∴MC=ME.
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME.
又∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB.
10. 如图17-14，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AB=AC，DE=DF．求证：BD=CD．
谢 谢(共16张PPT)
第十二章 全等三角形
第14课时 三角形全等的判定（4）——HL
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）．
【例1】 如图14-2，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足分别为B，C，OB=OC，求证：∠OAB=∠OAC．
典型例题
知识点1 利用全等证明角或线段相等
1. 如图14-3，点C,E,B,F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
变式训练
【例2】如图14-4，AD=BC，AB⊥AC，AC⊥DC．求证：AD∥BC．
典型例题
知识点2 利用全等证明平行
2. 如图14-5，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AC=BD，CE=DF，求证：AC∥BD．
变式训练
【例3】如图14-6，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，BC=CE，求证：BC⊥CE.
典型例题
知识点3 利用全等证明垂直
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°．又∵BC=CE，AB=CD，∴△ABC≌△DCE(HL)．
∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，即BC⊥CE.
3. 如图14-7， AB⊥AD，ED⊥AD，BD=CE，AD=DE，求证：BD⊥CE.
变式训练
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠CDE=90°．
又∵BD=CE，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE（HL）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°,即BD⊥CE．
A组
4. 如图14-8，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．求证：BD=CD，∠1=∠2．
5. 如图14-9，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．求证：∠CBA=∠DAB.
B组
6. 如图14-10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．
（2）由（1）知△ABF≌△CDE,
∴∠DCE=∠BAF.
即∠ACD=∠CAB.
∴AB∥CD．
7. 如图14-11, AD为△ABC上的高，E为AC上一点,BE交AD于点F,BF=AC，FD=CD．求证：
（1）△ADC≌△BDF；（2）BE⊥AC．
证明：（1）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．
（2）∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC．
C组
8. 如图14-12，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．
证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．
9. 如图14-13，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD．求证：点F是CD的中点．
谢 谢
