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第十三章 轴对称
第30课时 最短路径问题
A组
1. 如图F30-1，点A,B在直线l的同侧，AB=4 cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=6 cm，则△ABD的周长为______________cm.
10
2. 如图F30-2，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童牵牛到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走路程最短？请在图上作出来.
解：如答图F30-1,在D处饮水所走路程最短.
B组
3. 已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A，B，使△PAB周长最小的是 （ ）
D
4. 如图F30-3，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于 （ ）
A. BD B. CD
C. CE D. AC
A
5.如图F30-4，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠DCB=60°，CD=2AD，AB=4.
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；
（2）求出（1）中PC+PD的最小值.
解：（1）如答图F30-2,作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点P，点P即为所求.
（2）∵∠BAD=∠ABC=90°,∠DCB=60°,
∴∠ADC=120°.由作图得AD=AD′,
又CD=2AD,∴CD=DD′.
∴∠DCD′=DD′C=30°.
∴∠PCB=∠DCB-
∠DCD′=30°.
在Rt△PAD′和Rt△PBC中，可得PD′=2PA,PC=2PB,
∴CD′=PD′+PC=2(PA+PB)=2AB=8,即PC+PD的最小值为8.
C组
6. 如图F30-5，在平面直角坐标系中，A（-5，4），C（2，3），在x轴上标出点E的位置，使AE+CE最短，直接写出点E的坐标：______________.
（-1，0）
解：点E的位置如答图F30-3.
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第十三章 轴对称
第21课时 线段的垂直平分线（2）——判定
A组
1. 如图F21-1，AC=AD，BC=BD，则有 （ ）
A. AB与CD互相垂直平分
B. CD垂直平分AB
C. AB垂直平分CD
D. CD平分∠ACB
C
2. 如图F21-2，在△ABC中，AB＞AC.
（1）用直尺和圆规作BC的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若直线MN交AB于点D，连接CD，若AB=6，AC=4，求△ACD的周长.
解：（1）如答图F21-1,MN即为所求.
（2）由题意可得直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB.
∴△ACD的周长为AC+
CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB.
∵AB=6，AC=4，
∴△ACD的周长为10.
3. 如图F21-3，AC=AD，线段AB经过线段CD的中点E，求证：BC=BD.
证明：∵AC=AD，E是CD中点，
∴AB垂直平分CD.
∴BC=BD.
B组
4. 如图F21-4，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则
（ ）
A. 点P在∠ABC的平分线上
B. 点P在∠ACB的平分线上
C. 点P在边AB的垂直平分线上
D. 点P在边BC的垂直平分线上
D
5. 如图F21-5，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E. 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC.
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD.（AAS）
∴AE=AC,DE=DC.
∴点A,D都在线段CE的垂直平分线上,即直线AD是线段CE的垂直平分线.
C组
6. 如图F21-6，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，EB=ED.
（1）求证：OB=OD；
（2）求证：OE垂直平分BD.
（2）∵OB=OD，EB=ED，
∴OE垂直平分线段BD.
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第十三章 轴对称
第27课时 等边三角形的性质
A组
1. 如图F27-1，在△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 （ ）
A. 25°
B. 60°
C. 85°
D. 95°
D
2. 如图F27-2，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，求∠ABE的度数.
解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵E是AD上一点，∴EB=EC.
∴∠EBD=∠ECD.
∵∠CED=50°，
∴∠ECD=40°.
∴∠EBD=40°.
又∵∠ABC=60°，∠EBD=40°，
∴∠ABE=60°-40°=20°.
3. 如图F27-3，等边三角形ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，求CE的长度.
解：∵等边三角形ABC的边长为2，BD平分∠ABC，
∴CD=AD=1.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵∠E=30°，
∴∠EDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E.
∴CE=CD=1.
B组
4. 如图F27-4，在等边三角形ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，CD与BE交于点F，∠DFE=120°，请比较AD与CE的长短，并说明理由.
C组
5. 如图F27-5，△ABC,△ADE都是等边三角形，点B,C,D在同一直线上. 求证：
（1）CE=AC+CD；
（2）∠ECD=60°.
证明：（1）∵△ABC,△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=AC+CD.
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°.
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.
∴∠ECD=60°.
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第十三章 轴对称
第26课时 等腰三角形的判定
A组
1. 在△ABC中,∠A=30°,∠C=120°,则这个三角形是______________三角形.
等腰
2. 如图F26-1，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD. 证明：△ACE是等腰三角形.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵EC∥AD，
∴∠BAD=∠E，
∠CAD=∠ACE.
∴∠E=∠ACE.
∴△ACE是等腰三角形.
3. 如图F26-2,△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形.
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°.
∴∠A=∠90°-∠D，∠C=90°-∠CEF.
∵BD=BE，∴∠BED=∠D.
∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠CEF.
∴∠A=∠C.
∴△ABC为等腰三角形.
4. 如图F26-3，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D.
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形.
（1）解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA.
∴∠DAB=∠B=40°.
∴∠ADC=∠B+∠DAB=80°.
（2）证明：∵∠DAC=∠BAC-∠DAB=
120°-40°=80°=∠ADC，
∴CA=CD.∴△ACD为等腰三角形.
B组
5. 如图F26-4，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有 （ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
D
6. 如图F26-5，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为CD上一点，连接AE，BE，且AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC. 求证：CD=AD+BC.
证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE，∠ABE=∠EBC.
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABE=∠BEC.
∴∠DAE=∠DEA，∠EBC=∠BEC.
∴AD=DE，BC=CE.
∴CD=DE+CE=AD+BC.
C组
7. 如图F26-6，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E. 求证：CE=CF.
证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°.
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠A=∠BCD.
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE.
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE.
∵∠CEF=∠A+∠ABE，∴∠CEF=∠CFE.
∴CE=CF.
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第十三章 轴对称
第25课时 等腰三角形的性质（2）
——三线合一
1. 如图F25-1，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则BD的长为 （ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
B
2.如图F25-2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，则∠BAD=__________.
60°
3. 如图F25-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=28°，且AD=AE，求∠EDC的度数.
4. 如图F25-4,在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，CE平分∠ACB交AB于点E，若∠CAD=20°，求∠BEC的度数.
B组
5. 如图F25-5，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，猜想CF与DF的关系，并说明理由.
解：CF=DF.理由如下:
如答图F25-1,连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）.
∴AC=AD.又∵AF⊥CD，
∴AF为CD边上的中线.
∴CF=DF.
C组
6. 如图F25-6，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC.
（1）如图F25-6①，若D为BC的中点，过点D作DM⊥DN分别交AB，AC于点M，N，求证：DM=DN；
（2）如图F25-6②，若D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA，AC延长线交于点M,N，判断DM和DN有何数量关系，并证明.
（1）证明：如答图F25-2,连接AD.
∵D为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°.∴AD=BD=CD.
∵∠ADM+∠ADN=90°，∠ADN+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN.
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND（ASA）.
∴DM=DN.
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第十三章 轴对称
第20课时 线段的垂直平分线（1）——性质
A组
1. 如图F20-1，CD是AB的垂直平分线，AC=1.2 cm，BD=2.7 cm，则四边形ACBD的周长为 （ ）
A. 3.9 cm
B. 8.8 cm
C. 7.8 cm
D. 无法计算
C
2. 如图F20-2，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，已知AB=3，AC=5，BC=7,那么△ABD的周长为（ ）
A. 12
B. 10
C. 11
D. 8
D
3. 如图F20-3，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=______________.
15
4. 如图F20-4，在△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D,△BEC的周长为17，求底边BC的长度.
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BEC的周长为17，
∴BC+BE+CE=BC+AE+EC=BC+AC=17.
∵AB=AC=10，∴BC=17-10=7.
B组
5. 如图F20-5，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，若△ABC的周长为34 cm，△ABD的周长为22 cm，则AE=______________.
6 cm
6. 如图F20-6，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE，若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长.
解：∵BD垂直平分AE，
∴AB=BE，AD=DE.
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+AD+CD+CE=18，CD+CE+DE=6.
∴2AB=18-6=12.
∴AB=6.
C组
7. 如图F20-7，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，AB=6，AC=3，求BE的长度.
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第十三章 轴对称
第24课时 等腰三角形的性质（1）
——等边对等角
A组
1. 已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为 （ ）
A. 40° B. 50°
C. 80° D. 100°
C
2. 如图F24-1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∠A=45°，求∠DBC的度数.
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，∠ABC=∠C=（180°-45°）÷2=67.5°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=67.5°-45°=22.5°.
3. 如图F24-2，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，点D在BC的延长线上，且CD=AC，求∠D的度数.
B组
4. 一个等腰三角形周长为13，其中一边长为5，那么这个三角形的腰长是 （ ）
A. 4 B. 5
C. 3或5 D. 4或5
5. 若等腰三角形中的一个外角等于130°，则它的顶角的度数是 （ ）
A. 50° B. 80°
C. 65° D. 50°或80°
D
D
6. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为 （ ）
A. 9 B. 9或13
C. 10 D. 10或12
B
7. 如图F24-3，在△ABC中，AC=BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C=50°，∠E=25°，求∠BFD的度数.
C组
8. 如图F24-4，AB∥CD，点E是线段AC上一点，且AB=AE，CD=CE. 求∠BED的大小.
解：∵AB=AE，CD=CE，∴∠AEB=∠B，∠CED=∠D.
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°.
∵（∠A+∠B+∠AEB）+（∠C+∠D+∠CED）=
180°+180°=360°，
∴2∠AEB+2∠CED+（∠A+∠C）=360°.
∴2（∠AEB+∠CED）=180°.
∴∠AEB+∠CED=90°.
∴∠BED=180°-（∠AEB+∠CED）=90°.
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第十三章 轴对称
第22课时 画轴对称图形
A组
1. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是 （ ）
A. 过已知点作一条直线与已知直线相交
B. 过已知点作一条直线与已知直线垂直
C. 过已知点作一条直线与已知直线平行
D. 不确定
B
2. 如图F22-1，已知△ABC. 画出△ABC关于直线AC对称的△A1C1B1.
解：如答图F22-1.
3. 如图F22-2，点A，B，C在小正方形的顶点上. 在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′.
解：如答图F22-2.
4. 如图F22-3，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
C
B组
5. 画出图F22-4中的图形关于直线l对称的图形.
解：如答图F22-3.
6. 已知如图F22-5的四边形ABCD，如果点D，C关于直线MN对称.图F22-5
（1）画出直线MN;
（2）画出四边形ABCD关于直线MN对称的图形.
解：（1）如答图F22-4，直线MN即为所求.
（2）如答图F22-4,四边形A′B′DC即为四边形ABCD关于直线MN对称的图形.
C组
7. 请给图F22-6中的每个图形补画一个小正方形，使每个图形是轴对称图形（要求画四个不同图形）.
解：如答图F22-5.
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第十三章 轴对称
第23课时 轴对称图形的坐标变换
A组
1. 点P（-6，1）关于x轴对称的点的坐标是 （ ）
A. （-6，-1） B. （1，-6）
C. （6，1） D. （6，-1）
A
2. 下列各组点关于y轴对称的是 （ ）
A. （0，10）与（0，-10）
B. （-3，-2）与（3，-2）
C. （-3，-2）与（3，2）
D. （-3，-2）与（-3，2）
B
3. 已知△ABC在直角坐标系中的位置如图F23-1所示，如果△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为 （ ）
A. （4，4）
B. （-4，4）
C. （4，-4）
D. （-4，-4）
D
4. 在直角坐标系中，若点A（m+1，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n=______________.
-2
5. 如图F23-2，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）求出△A′B′C′的面积.
B组
6. 若点（3+m，n-2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），则m，n的值为 （ ）
A. m=-6，n=-4 B. m=0，n=4
C. m=-6，n=4 D. m=-6，n=0
C
7. 在平面直角坐标系中，图案上各个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，那么所得的图案与原图案相比 （ ）
A. 图案变小
B. 图案变大
C. 关于x轴对称
D. 关于y轴对称
C
8. 点P（6-2a，a-1）关于y轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是 （ ）
A. a＜3 B. 1＜a＜3
C. a＞1 D. a＞3
D
9. 如图F23-3，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）直接写出点B的坐标；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）直接写出点A1的坐标.
解：（1）B（-2，3）.
（2）略.
（3）A1（-1，1）.
C组
10. 在如图F23-4的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（-6，7），（-4，3）.
（1）请你根据题意在图中的网格平
面内作出平面直角坐标系;
（2）请画出△ABC关于y轴对称
的△A′B′C′.
解：（1）(2)如答图F23-2.
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第十三章 轴对称
第28课时 等边三角形的判定
A组
1. 如图F28-1，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°. 求证：△ABD是等边三角形.
2. 如图F28-2，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形.
B组
3. 如图F28-3，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC，试判定△ODE的形状，并说明你的理由.
解：△ODE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，
∠OED=∠ACB=60°.
∴△ODE为等边三角形.
4. 如图F28-4，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形.
C组
5.如图F28-5，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=CE.
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由.
解：（1）∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC.又∵D为AC中点,
∴BD⊥AC.
∵AE⊥EC,
∴∠BDC=∠AEC=90°.
∵BD=CE,
∴Rt△BDC≌Rt△CEA（HL）.
（2）△ADE是等边三角形.理由如下：
∵Rt△BDC≌Rt△CEA,
∴∠EAC=∠DCB=60°，AE=CD.
又∵D为边AC的中点，
∴AD=CD.∴AD=AE.
∴△ADE是等边三角形.
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第十三章 轴对称
第19课时 轴对称
A组
1. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式. 下列甲骨文中，是轴对称图形的是 （ ）
C
2. 下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）
C
3. 如图F19-1中的图形是否是轴对称图形？如果是，请画出所有的对称轴.
解：前3个都是轴对称图形，只有最后一个不是，画对称轴如答图F19-1.
B组
4. 如图F19-2，点A,B在直线l的同侧，AB=4 cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=5 cm，则△ABD的周长为 （ ）
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
D
5. 如图F19-3，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点A，则∠1的度数为 （ ）
A. 36°
B. 70°
C. 72°
D. 不确定
C
6. 仔细观察图F19-4，并按规律在横线上画出合适的图案.
解：如答图F19-2.
C组
7. 如图F19-5，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成一个图形，请你分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图F19-5①有且只有一条对称轴；图F19-5②有且只有两条对称轴；图F19-5③有且只有四条对称轴.
解：如答图F19-3所示.
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第十三章 轴对称
第29课时 含30°锐角的直角三角形的性质
A组
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为 （ ）
A. 5 B. 10
C. 12 D. 13
B
2. 如图F29-1，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点. 若BC=6，则BD的长为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
A
3. 如图F29-2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BD⊥AC，垂足为D. 若AB=6，求BD的长.
4. 如图F29-3所示，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=8 cm，∠B=15°，求AC的长度.
B组
5. 如图F29-4，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当AB=10，∠B=30°时，求△ACD的周长.
6. 如图F29-5，在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F. 若∠AFB=90°，EF=2，求BF的长度.
解：∵在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-60°-90°=30°.
∵∠AFB=90°，EF=2，
∴AE=2EF=4.
∵点E为AD的中点，∴DE=AE=4.
∵∠C=60°，∴∠EBD=90°-60°=30°.
∴BE=2DE=8.
∴BF=BE+EF=8+2=10.
C组
7. 如图F29-6，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，
并说明理由.
（1）证明：如答图F29-1,连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE.
谢 谢
