(共18张PPT)
第十三章 轴对称
第30课时 最短路径问题
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．已知在直线l上的同侧有两个点A，B，则在直线l上有到点A,B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
1. 点M，N在直线l的同侧，在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，下面的操作正确的是 （ ）
D
【例1】 如图30-1，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小.
典型例题
知识点1 两点在直线异侧时的最短路径问题
解：答图30-1,点P即为所求.
1. 如图30-2，高速公路l的两侧有M，N两城镇，要在高速公路上建一个出口P，使M，N两城镇到P的距离之和最短.请你找出P的位置.
变式训练
解:如答图30-3,P即为所求.
【例2】 如图30-3,在直线l上找一点P，使得PA+PB最短.
典型例题
知识点2 两点在直线同侧时的最短路径问题
解：如答图30-2，点P即为所求.
2. 如图30-4，要在街道l旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
变式训练
解：如答图30-4，作点A关于直线l的对称点A′，
连接A′B交直线l于
点M，则点M即为所求.
【例3】 如图30-5，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点
△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．
典型例题
知识点3 网格中或坐标系中的最短路径问题
解：作图略,作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l交于点P，则P点即为所求．
3. 如图30-6,在平面直角坐标系中，已知点A（-2，4），点B（3，1），一个动点P从A出发，先到达x轴上的某点（设为点C），再到达点B，请画出点P运动的最
短路径并标出此时点C的位置．
变式训练
解：作图略，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，连接BC．点C即为所求的点，点P的最短运动路径为A→C→B．
A组
4. 如图30-7，l为某河流的南岸线，一天傍晚某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家B处，牧童想以最短的路程回家．请你在图中画出牛饮水C的位置．
解：如答图30-5，作点A的对称点A′，连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC，点C即为所求．
5. 如图30-8，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）
略.
B组
6. 如图30-9，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为 ( )
A．15°
B．25°
C．30°
D．45°
C
7. 如图30-10,在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD=12，试求PC+PE的最小值．
解：如答图30-6，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴PC=PB.
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值.
∵AD=12，点E是边AC的中点，
∴AD=BE=12.
∴PE+PC的最小值是12．
C组
8. 如图30-11，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直）．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明作法．
解：如答图30-7，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，
与河岸交于点D，过点D作
CD垂直河岸，交另一河岸
于点C，CD就是所求的桥的位置．
9. 如图30-12，∠XOY内有一点P，请在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
解：如答图30-8,作点P关于OX对称的点P1，关于OY对称的点P2，连接P1P2，交OX，OY于点M，N，则M,N两点即为所求．
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第十三章 轴对称
第21课时 线段的垂直平分线（2）——判定
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 1. 根据左边定理写出几何语言：如图21-1，
∵____________=____________，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
PA
PB
【例1】 如图21-2，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？请说明理由．
典型例题
知识点1 运用判定证明线段的垂直平分线
解：是．理由如下:∵AB=AC，BM=CM，∴点A,M都在线段BC的垂直平分线上．根据“两点确定一条直线”知，直线AM是线段BC的垂直平分线．
1. 如图21-3，AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
变式训练
证明：∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵BM=CM，
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是BC的垂直平分线．
【例2】 如图21-4，已知AD平分∠BAC，AB=AC．求证：AD垂直平分线段BC.
典型例题
知识点2 结合全等，运用判定证明线段的垂直平分线
2. 如图21-5，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是点C,D．求证：
（1）OD=OC；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
变式训练
（2）∵OD=OC,ED=EC,
∴OE是CD的垂直平分线．
【例3】用直尺和圆规作如图21-6的线段BC的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
典型例题
知识点3 尺规作图——线段的垂直平分线
解：如答图21-1．
3. 用尺规作出如图21-7的△ABC的中线AD．（不写作法，保留作图痕迹）
变式训练
解：如答图21-2,AD即为所求．
A组
4.如图21-8，直线PO与AB交于点O，且PA=PB，则下列结论中正确的是 （ ）
A．PO⊥AB
B．PO是线段AB的垂直平分线
C．AO=BO
D．点P在线段AB的垂直平分线上
D
5. 如图21-9，下列说法正确的是 （ ）
A．若AC=BC，则CD是线段AB的垂直平分线
B．若AD=DB，则AC=BC
C．若CD⊥AB，则AC=BC
D．若CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BC
D
B组
6. 如图21-10，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB=6，BC=4，则△BEC的周长为____________.
10
解：（1）如答图21-3.
7. 如图21-11，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC.
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线.
∴AB=AE.
∴AB+BD=AE+DE.
又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE.
∴DE+EC=AE+DE.∴EC=AE.
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
C组
8. 如图21-12，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
9. 如图21-13，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：AD=CF；
（2）若AB=AD+BC，求证：BE垂直平分线段AF．
（2）∵AB=AD+BC，AD=CF，
∴AB=CF+BC=BF.
∴点B在线段AF的垂直平分线上.
∵△ADE≌△FCE，∴AE=FE.
∴点E在线段AF的垂直平分线上.
∴BE垂直平分线段AF.
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第十三章 轴对称
第27课时 等边三角形的性质
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．等边三角形的性质： ①等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质. ②等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°． 1. 如图27-1，在等边三角形ABC中，AB=2，AD平分∠BAC, 则CD=____________，∠CAD=_________.
1
30°
【例1】 如图27-2，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D.图27-2（1）∠CBD=____________；
（2）若AB=8，则AD=______；
（3）若CD=2.5，则等边三角形
ABC的周长为____________.
典型例题
知识点1 等边三角形性质的简单运用
30°
4
15
1. 如图27-3，在等边三角形ABC中，D为BC中点.
（1）∠ADC=____________，
∠BAD=____________；
（2）若BD=6，则AC=____________；
（3）若△ABC 的周长为18，则CD=____________.
变式训练
90°
30°
12
3
【例2】 如图27-4，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠E=30°．求证：DB=DE.
典型例题
知识点2 等边三角形性质的综合运用
证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°,BD平分∠ABC.∴∠DBC=30°．
∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E.∴DB=DE.
2. 如图27-5，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求证：CD=CE．
变式训练
证明：∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC.∴∠ABC=60°.
∴∠DBE=30°.
∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.
∵∠ACB=60°，
∴∠CDE=60°-30°=30°
=∠E.∴CD=CE.
【例3】 如图27-6，△ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
求证：（1）△ABD≌△BCE；
（2）∠AFE=60°．
典型例题
知识点3 等边三角形的性质结合全等
（2）由（1）得△ABD≌△BCE，∴∠BAF=∠FBD.∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠FBD=∠ABD=60°．
3. 如图27-7，在△ABC中，以AB为边作等边三角形ABD（点C,D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC=90°，∠BAC=30°.
（1）求证：△CBA≌△CDA；
（2）求∠BDC的度数．
变式训练
（2）解：∵△CBA≌△CDA，
∴∠ADC=∠ABC=90°.
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-60°=30°．
A组
4. 如图27-8，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，AB=5，则△ABC的周长为____________，∠BDC=____________，
AD=____________.
15
90°
2.5
5. 如图27-9，△ABC是等边三角形，点D在CB的延长线上，且BD=BE，则∠BED=____________.
30°
B组
6. 如图27-10，△ABC是等边三角形，BC⊥CD,AC=CD，求∠BAD的度数.
7. 如图27-11，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC=120°，AE=CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为____________；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
90°
解：（2）AF∥EC．理由：∵AB=AC，BF=CF，
∴AF⊥BC.
∵∠ACB=60°，
∠ACE=30°，∴∠BCE=90°.
∴EC⊥BC.
∴AF∥EC．
C组
8. 如图27-12，△ABD，△AEC都是等边三角形，CD与BE，AB分别相交于点F，G．
（1）求证：DC=BE；
（2）求∠BFD的度数．
（2）解：∵△DAC≌△BAE,
∴∠ADC=∠ABE.
∴∠BFC=∠FBD+∠FDB
=∠ABD+∠ABE+∠FDB
=∠ABD+∠ADC+∠FDB
=∠ABD+∠ADB
=120°．
9.如图27-13，△ABC是等边三角形，D,E,F分别是AB,BC,AC上一点，且∠DEF=60°．
（1）如图27-13①,若∠1=50°，求∠2的度数；
（2）如图27-13②,连接DF，若DF∥BC，求证：∠1=∠3．
（1）解:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°.
∵∠B+∠1+∠DEB=180°，
∠DEB+∠DEF+∠2=180°，
又∵∠DEF=60°，∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB.
∴∠2=∠1=50°.
（2）证明:∵DF∥BC，∴∠FDE=∠DEB.
∵∠B+∠1+∠DEB=180°，∠FDE+∠3+∠DEF=180°，
又∵∠B=60°，∠DEF=60°，
∴∠1=∠3．
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第十三章 轴对称
第26课时 等腰三角形的判定
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)． 1. 根据左边的判定写出几何语言：
如图26-1，
∵∠B=∠C，
∴____________
=____________.
AB
AC
【例1】如图26-2，在△ABC中，∠BAC=108°，∠B=36°，∠CAD=72°.
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）图中一共有____________个
等腰三角形，分别是__________
_________________________.
典型例题
知识点1 通过计算角度证明等腰三角形
3
△ABC，
△ADC，△ABD
（1）证明：∵∠BAC=108°，∠B=36°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=36°.∵∠CAD=72°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=72°.
∴∠CAD=∠CDA.
∴CA=CD.
∴△ACD是等腰三角形.
1. 如图26-3，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°．
（1）图中的等腰三角形共有____________个，分别是______________________________；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
变式训练
3
△ABC,△ABD,△BCD
(2)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，
∴∠ABC=2∠ABD=72°.
∵∠C=72°，∴∠ABC=∠C.
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．
【例2】如图26-4，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．
典型例题
知识点2 运用“等角对等边”证明等腰三角形
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠DAC.∴∠DAC=∠DCA.
∴AD=CD.∴△ADC是等腰三角形．
2. 如图26-5，已知∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．
变式训练
证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD.
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C.
∴∠B=∠C.∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
【例3】 如图26-6，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
典型例题
知识点3 运用“等角对等边+全等”证明等腰三角形
3. 如图26-7,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E,F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．
变式训练
证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵BD=CD，DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形．
A组
4. 如图26-8，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．
证明：∵OC=OD，
∴∠C=∠D.
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∴∠A=∠B.
∴OA=OB．
5.如图26-9，在△ABC中，BC边上有D,E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠B=∠3-∠1，∠C=∠4-∠2，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C.
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
B组
6. 如图26-10，在△ABC中，BA=BC，点D是CB的延长线上一点，DF⊥AC，垂足为点F，DF和AB交于点E. 求证：△DBE是等腰三角形.
证明：∵BA=BC，∴∠A=∠C.
∵DF⊥AC，
∴∠A+∠AEF=90°，∠C+∠D=90°.
∴∠AEF=∠D.
∵∠DEB=∠AEF，∴∠D=∠DEB.
∴BD=BE.
∴△DBE是等腰三角形.
7. 如图26-11，BO,CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF是经过点O且平行于BC的直线，求证：EF=BE+CF．
证明：∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.
又∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB.
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO.
∴EO=BE，OF=FC.
∴EF=EO+OF=BE+CF．
C组
8. 如图26-12，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．
9. 如图26-13，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B．求证：△DEF是等腰三角形．
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第十三章 轴对称
第25课时 等腰三角形的性质（2）
——三线合一
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)． 1.根据左图25-1写出几何语言：
（1）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴____________=____________，____________⊥____________；
（2） ∵AB=AC，BD=CD，
∴∠____________=∠____________，____________⊥____________；
（3）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠____________=∠____________，____________=____________.
BD
CD
AD
BC
1
2
AD
BC
1
2
BD
CD
【例1】如图25-2，在△ABC中,AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAD=25°，则∠ACD=____________.
典型例题
知识点1 “三线合一”的简单运用
65°
1. 如图25-3，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=6，则BD=____________.
变式训练
3
【例2】 如图25-4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD平分∠BAC，且AD=AE，求∠EDC的度数．
典型例题
知识点2 “三线合一”在计算中的运用
2. 如图25-5，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC的中线，过点D作DE⊥AC于点E．若∠BAC=72°．求∠ADE的度数．
变式训练
【例3】 如图25-6，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．求证：△ABE≌△ACE.
典型例题
知识点3 “三线合一”在证明中的运用
证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AD是△ABC的角平分线.∴∠BAE=∠CAE.∵AE=AE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE（SAS）．
3. 如图25-7，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE=CE.
变式训练
证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC,BD=CD.
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∴BE=CE.
A组
4. 如图25-8，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是 （ ）
A. AB=2BD
B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC
D. ∠B=∠C
A
5. 如图25-9，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=40°．则∠ADC=____________，∠BAD=____________．
90°
50°
B组
6. 如图25-10，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD=BE，求∠ADE的度数．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=75°.
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°.
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°．
7. 如图25-11，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．
证明：∵AB=AC，
AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠CAD+∠C=90°.
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC．
C组
8. 如图25-12，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC， AD=AE．求证：BD=CE.
证明：如答图25-1，过点A作AF⊥BC于点F．
∵AB=AC，AD=AE,
∴BF=CF，DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE．
9.如图25-13，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF.
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第十三章 轴对称
第31课时轴对称单元复习
【例1】 下列图形是轴对称图形的是 （ ）
典型例题
知识点1 轴对称图形
B
1. 下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
变式训练
C
【例2】 如图31-1,在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）.
（1）在图中作△A′B′C′,使△A′B′
C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′,B′,C′的坐标．
典型例题
知识点2 轴对称的坐标变换
解：（1）略.
（2）A′（4，0），B′（-1，-4），C′（-3，-1）．
2. 如图31-2，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（-2，-1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标.
变式训练
解：（1）略.
（2）A1（-1，2），B1（-3，1），
C1（2，-1）．
【例3】 如图31-3，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D．若AB=3，AC=8，则△ABD的周长为____________．
典型例题
知识点3 垂直平分线的性质和判定
11
3. 如图31-4，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D．若△ABD的周长为13，△ABC的周长为20，则BC的长为____________．
变式训练
7
【例4】 如图31-5，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，0），B（4，-2），C（5，3）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：
A′____________，
B′____________，
C′____________;
（3）△ABC的面积为____________．
典型例题
知识点4 在平面直角坐标系中画轴对称图形
（0,0）
（4,2）
（5，-3）
11
解：（1）如答图31-1,△A′B′C′即为所求.
4. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图31-6所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：
A′____________，B′____________，
C′____________;
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB最小．
变式训练
(2,3)
(3,1)
(-1,-2)
解：（1）如答图31-3，△A′B′C′即为所求．
（3）如答图31-3，点P即为所求．
【例5】 如图31-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8 cm，则BC=____________ cm．
典型例题
知识点5 含30°角的直角三角形性质
4
5. 如图31-8，AC=BC=10 cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为____________ cm.
变式训练
5
【例6】 如图31-9，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，则∠AEC =____________．
典型例题
知识点6 尺规作图——垂直平分线
100°
解：（1）如答图31-2，DE为所作.
6. 如图31-10，在△ABC中，AB＜BC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
（2）在（1）的条件下，连接AP，AC=5，BC=10，则△APC的周长为____________．
变式训练
15
解：（1）如答图31-4，
直线PQ即为所求作．
【例7】 如图31-11,在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是线段CB延长线上的一点，且满足BD=BA，连接AD，过B作BE∥AD交AC于点E，求∠ABE的度数．
典型例题
知识点7 等腰三角形的性质和判定
7. 如图31-12，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试说明△ADE是等腰三角形．
变式训练
解：∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC.
∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD.
∴∠ADE=∠DAC.∴EA=ED.
∴△ADE是等腰三角形．
【例8】 如图31-13，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数；（2）若CD=5，求DF的长．
典型例题
知识点8 等边三角形的性质和判定
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=CD=5.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=10．
8. 如图31-14，在△ABC中,AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE=CD，AD=DE．求证：△ABC是等边三角形.
变式训练
证明：∵CD=CE，∴∠E=∠CDE.
∴∠ACB=2∠E．又∵AD=DE，
∴∠E=∠DAC.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠DAC=2∠E.
∴∠ACB=∠BAC.∴BA=BC．又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC．∴△ABC是等边三角形．
A组
9. 下列图标是轴对称图形的是 ( )
D
10.已知点A（-4，-3）.
（1）点A关于x轴对称的点的坐标为____________；
（2）点A关于y轴对称的点的坐标为____________.
（-4,3）
（4，-3）
11. 如图31-15，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，D是AC边上的点，DA=DB=3，则AC的长为____________.
9
12. 如图31-16，在△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若△DBC的周长为17，则BC的长为
（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
B
B组
13. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图31-17所示.
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，写出△A1B1C1各顶点的坐标.
A1____________，
B1____________，
C1____________；
（-3，-2 ）
（-4，3）
（-1，1）
（2）△ABC的面积为____________；
（3）在y轴上找一点P使PA+PB最小，在图中标出点P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
6.5
解：（1）（3）作图如答图31-5．
14. 如图31-18，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△EBO为等腰三角形；
（2）若△AEF的周长为15，AB=8，求AC的长度．
（1）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB.∴∠ABO=∠EOB.
∴EB=EO.
∴△EBO为等腰三角形.
（2）解：同理，可知FO=FC．
∵△AEF的周长为15，
∴AE+EF+AF=AE+EO+FO+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=15.
又∵AB=8，∴AC=15-8=7．
C组
15. 如图31-19，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，在CD的上方作△CDE，连接AE，AE∥BC， 且AE=BD．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由；
（2）当AD=AE时，求∠AED的度数．
（2）∵AD=AE，∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，
∴∠AED=180°-120°2=30°．
16.如图31-20，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，
△DEF是等边三角形？并说明理由．
（2）解:当∠A=60°时，△DEF是等边三角形.
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE.
∴∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠BED-∠BDE=∠B.
要使△DEF是等边三角形，只要∠DEF=60°．
∴当∠A=60°时，∠B=∠DEF=60°，
则△DEF是等边三角形．
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第十三章 轴对称
第20课时 线段的垂直平分线（1）——性质
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 1. 根据左边性质写出几何语言：
如图20-1，
∵l是线段AB的垂直平分线，
P是l上一点，
∴____________=____________.
PA
PB
【例1】如图20-2，∠ACB=90°，DE是AC的垂直平分线，∠A=28°，AD=6，则CD=____________，∠ADE=____________.
典型例题
知识点1 垂直平分线性质的运用
6
62°
1. 如图20-3，在△ABC中，∠B=90°,ED是AC的垂直平分线，∠DEC=55°.
（1）图中相等的线段有_______________________;
（2）∠C=____________.
变式训练
EA=EC，DA=DC
35°
【例2】 如图20-4，DE是△ABC的AC边的垂直平分线，若BC=6 cm，AB=8 cm，求△EBC的周长.
典型例题
知识点2 运用线段垂直平分线的性质计算
解：∵DE是△ABC的AC边的垂直平分线，∴AE=CE.∴CE+BE=AB=8 cm．∵BC=6 cm，∴BC+CE+BE=BC+AB=
6+8=14（cm）,即△EBC的周长为14 cm.
2. 如图20-5，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，求△BCD的周长.
变式训练
解：∵△ABC的周长为18，
∴AC+BC+AB=18.
∵DE为线段AB的垂直平分线，AE=4，
∴AB=2AE=8，DA=DB.
∴AC+BC=18-AB=10.
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10.
【例3】 如图20-6，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．求证：PB=PC．
典型例题
知识点3 运用线段垂直平分线的性质证明
证明：∵边AB，AC的垂直平分线相交于点P，∴PA=PB，PA=PC．∴PB=PC．
3. 如图20-7，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们相交于点P，连接PA，PC，则PA和PC相等吗？请说明理由．
变式训练
解：PA=PC．
理由：如答图20-1，
连接PB.
∵直线MN和直线DE分别是
线段AB，BC的垂直平分线，
∴PA=PB，PC=PB.
∴PA=PC．
A组
4. 如图20-8，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC=12 cm，BE=8 cm，则EC的长为 （ ）
A．8 cm
B．6 cm
C．4 cm
D．2 cm
C
5. 如图20-9，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是 ( )
A. 3.9 cm
B. 7.8 cm
C. 4 cm
D. 4.6 cm
B
B组
6. 如图20-10，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，求BE的长.
解：∵CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，
∴AE=13．
∵ED是AB的垂直平分线，
∴BE=AE=13.
7. 如图20-11，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E，若AE=5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长.
解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2AE=10.
∵△BCD的周长为17，
∴BC+BD+DC=BC+BD+
AD=BC+AB=17.
∴△ABC的周长=BC+AB+
AC=27.
C组
8. 如图20-12，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求证：CD=CE.
解：如答图20-2,连接DE.
∵A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，
∴AE是线段CD的垂直平分线,
BD是线段CE的垂直平分线.
∴CE=DE,CD=ED.
∴CD=CE.
9. 如图20-13，直线l与直线m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，直线l与直线m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB=10，求△CDE的周长；
（2）若∠ACB=125°，则∠DCE的度数为____________．
解：（1）∵直线l是AC的垂直平分线，
∴DA=DC.
同理，EC=EB.
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=DA+DE+EB=
AB=10.
70°
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第十三章 轴对称
第24课时 等腰三角形的性质（1）
——等边对等角
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)． 1. 根据左边性质写出几何语言：
如图24-1，
∵AB=AC，
∴____________
=____________.
∠B
∠C
【例1】 如图24-2，已知AB=AC，求△ABC中未知角的度数.
典型例题
知识点1 等边对等角
解：（1）∠A=50°，∠C=65°.
（2）∠B=∠C=30°.
1. 如图24-3，已知AB=AC，求△ABC中未知角的度数.
变式训练
解：（1）∠B=∠C=45°.
（2）∠B=∠C=25°，∠BAC=130°.
【例2】 如图24-4，在△ABC中，已知AB=AC=BD，∠BAD=70°，求△ABC中各角的度数．
典型例题
知识点2 “等边对等角”在计算中的运用
解：∵AB=BD，∴∠ADB=∠BAD=70°.
∴∠B=180°-70°-70°=40°.∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°.
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°．
2. 如答图24-5，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=30°,试求∠B和∠C的度数．
变式训练
【例3】 如图24-6，∠DAC是△ABC的外角，AB=AC，AE∥BC．求证：AE是∠DAC的平分线．
典型例题
知识点3 “等边对等角”在证明中的运用
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠EAC.∴∠DAE=∠EAC.∴AE是∠DAC的平分线．
3. 如图24-7，已知AB=AC，AE平分∠DAB．求证：AE∥BC．
变式训练
证明：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠DAB=∠B+∠C，
∴∠BAE=∠B.
∴AE∥BC．
A组
4. 如图24-8，已知AB=AC，求△ABC中未知角的度数.
解：（1）∠A=100°，∠C=40°.
（2）∠B=∠C=35°，∠BAC=110°.
5. 等腰三角形的一个角为 40°，则顶角为 （ ）
A．40° B．100°
C．40°或 100° D．70°
C
B组
6.如图24-9，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°.
∵BD是AC边上的高，
∴∠DBC+∠C=90°.
∴∠DBC=20°．
7. 一个等腰三角形的两边长分别是2,4，那么它的周长是
（ ）
A．10 B．8
C．10或8 D．不能确定
8. 若等腰△ABC的周长为20，AB=8，则该等腰三角形的腰长为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．8或6
A
D
9. 如图24-10，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若∠A=30°，求∠BCD的度数．
解：∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC.
∴∠DCA=∠A=30°.
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∴∠ACB=（180°-30°）÷2=75°.
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=75°-30°=45°．
10. 如图24-11，AB=AC=AD，且AD∥BC，若∠BAC=20°，求∠D的度数．
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∴∠ABD+∠DBC=∠C.
∵AB=AD，∴∠ABD=∠D.
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠D.∴∠C=2∠D.
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=∠C=80°.
∴∠D=40°．
C组
11. 如图24-12，在△ABC中，AC=BC，点D在AC上，且BD=DC=AB，求∠A的度数.
解：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC.
∵BD=DC=AB，∴∠A=∠ADB，
∠DBC=∠C.
∴∠A=∠ABC=2∠C.
∵∠C+∠A+∠ABC=180°，
∴2×2∠C+∠C=180°.
∴∠C=36°.∴∠A=72°．
12. 如图24-13，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，连接AE，DE，DC，AE=CD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠BAE=15°，求∠EDC的度数．
（2）解:∵Rt△ABE≌Rt△CBD，
∴∠BAE=∠BCD=15°，
BE=BD.∴∠BED=45°.
∵∠BED=∠BCD+∠CDE，∴∠EDC=30°．
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第十三章 轴对称
第22课时 画轴对称图形
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．画轴对称图形的一般方法是：
(1)由已知点出发向对称轴作垂线，并确定垂足；
(2)对称轴的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
(3)连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
1. 如图22-1，直线AB右边是计算器上的数字“2”，请在图中画一个图形使它与数字“2”关于直线AB对称．
解：如答图22-1.
【例1】请把图22-2中的图形分别补成关于直线l和m对称的轴对称图形．
典型例题
知识点1 补全轴对称图形
解：如答图22-2.
1. 把图22-3所示的图形补成以直线a为对称轴的轴对称图形.
变式训练
解：如答图22-4.
【例2】如图22-4,画出△ABC关于直线l对称的图形.
典型例题
知识点2 画成轴对称的图形
解：如答图22-3，△A′B′C′就是所求的图形.
2. 如图22-5，作出△ABC关于直线BC对称的图形.
变式训练
解：如答图22-5，延长CB，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′B与A′C，即可得出△A′BC，△A′BC为所求的图形.
【例3】如图22-6,请画出△ABC关于直线l对称的格点△A1B1C1.
典型例题
知识点3 网格中的轴对称作图
略.
3. 请在图22-7中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
变式训练
略.
A组
4. 如图22-8,在Rt△ABC中，∠C=90°，画出△ABC关于AC对称的图形.
解:如答图22-6,△ADC即为所求.
5. 如图22-9，在正方形网格纸中，画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′.
略.
B组
6. 请画出如图22-10所示的△ABC关于直线l成轴对称的图形．
解：如答图22-7，△A′B′C′即为所求.
7. 如图22-11，△ABC在边长为1的正方形网格中.
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△DEF（其中D, E,F是A,B,C的对应点）；
（2）△DEF的面积为____________．
解：（1）略.
C组
8. 如图22-12，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂灰5个小正方形所形成的图案．若再将方格内空白的两个小正方形涂灰，使得到的新阴影图案成为一个轴对称图形，请在下面的图中涂成具有不同对称轴的两个图案，并画出对称轴．
解：如答图22-8.（答案不唯一）
9. 如图22-13①②③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A,B,C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图22-13①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M,N为格点；
（2）在图22-13②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P,Q为格点；
（3）在图22-13③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D,E,F为格点，符合条件的三角形共有____________个．
4
解：（1）如答图22-9①，线段MN即为所求作（答案不唯一）．
（2）如答图22-9②，线段PQ即为所求作（答案不唯一）．
（3）如答图22-9③，△DEF即为所求作（答案不唯一）.
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第十三章 轴对称
第23课时 轴对称图形的坐标变换
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）． 1. 已知点P（2,3）.
（1）点P关于x轴对称的点的坐标是__________________；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标是____________.
（2，-3）
（-2,3）
【例1】填表.
典型例题
知识点1 关于x轴、y轴对称的点的坐标
已知点 （3，4） （-2，-1） （-3，4）
关于x轴对称的点 ____________ ____________ ____________
关于y轴对称的点 ____________ ____________ ____________
（3，-4）
（-2，1）
（-3，-4）
（-3，4）
（2，-1）
（3，4）
1. 填空：
（1）若点A（x，5）和点B（2，y）关于x轴对称，则x+y的值是____________；
（2）若点A（2，a）和点B（b，-3）关于y轴对称，则a-b的值是____________.
变式训练
-3
-1
【例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图23-1所示，A，B，C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1,B1,C1的坐标：
A1____________，
B1____________，
C1____________.
典型例题
知识点2 利用坐标变换画轴对称图形
（2，-4）
（1，-1）
（3，-2）
解：（1）如答图23-1,△A1B1C1即为所求作.
2. 如图23-2，在平面直角坐标系中，A（-4，1），
B（-1，2），C（-2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1,B1,C1的坐标：
A1____________，
B1____________，
C1____________.
变式训练
（4，1）
（1，2）
（2，3）
解：（1）如答图23-3,△A1B1C1即为所求作.
【例3】 如图23-3，△ABC顶点C的坐标是（-1，-2）．把△ABC沿x轴正方向平移3个单位长度得到△A1B1C1，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称.
（1）请画出△A1B1C1与△A2B2C2；
典型例题
知识点3 在平面直角坐标系中画平移和轴对称图形
（2）写出点A2,B2,C2的坐标：A2____________，
B2____________，
C2____________;
（3）△A2B2C2的面积为____________.
解：（1）如答图23-2.
（0,1）
（1,4）
（2,2）
3. 如图23-4，△ABC顶点A的坐标为（-1，4），把△ABC沿y轴向下平移4个单位长度得到△A′B′C′，再以y轴为对称轴画轴对称图形，得到△A″B″C″.
（1）请画出△A′B′C′与△A″B″C″；
变式训练
解：（1）如答图23-4.
（2）写出点A″,B″,C″的坐标：
A″____________，
B″____________，
C″____________；
（3）△A″B″C″的面积为____________．
(1,0)
(4,-1)
(3,-3)
A组
4. 已知点P与点Q关于x轴对称，若点P的坐标为（2，-1），则点Q的坐标是 （ ）
A. （-2，-1） B. （2，1）
C. （-1，2） D. （-1，-2）
B
5. 在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为 （ ）
A．（-2，5） B．（2，-5）
C．（-2，-5） D．（2，5）
A
6. 点（6，-5）关于x轴对称的点的坐标在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
7. 在平面直角坐标系中，点P（-3，1）关于y轴对称的点在
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
A
8. 已知点M（-4，y）与点N（x，-3）关于x轴对称，则（x+y）2 021的值为____________.
9. 已知点A（a-1，-2）与点B（-2，b）关于y轴对称，则
ab=___________.
-1
B组
10.如图23-5，在平面直角坐标系中，A（-1，2），B（1，1），C（-4，-1）.
（1）在图中画出△ABC关于x轴对
称的△A1B1C1;
解:（1）略.
（2）写出点A1，B1，C1的坐标:
A1____________，
B1____________，
C1____________.
（-1，-2）
（1，-1）
（-4，1）
11. 如图23-6，已知A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）.
（1）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;
（2）求△A1B1C1的面积.
解：（1）略.
C组
12. 在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图23-7所示的平面直角坐标系，已知格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于直线l对
称的△A1B1C1；
解：（1）如答图23-5.
（2）写出点A1，B1，C1的坐标：
A1____________，
B1____________，
C1____________.
（3，2）
（0，1）
（1，4）
13. 如图23-8，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度再向
右平移1个单位长度后得到对应的△A1B1C1，
画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴
对称的△A2B2C；
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，
请直接写出经过两次变换后在△A2B2C2中
对应的点P2的坐标为___________________．
（-a-1，b-5）
解：（1）如答图23-6,△A1B1C1即为所求.
（2）如答图23-6,△A2B2C2即为所求.
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第十三章 轴对称
第28课时 等边三角形的判定
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 1. 下列条件能判定是等边三角形的是_________________.（填序号）
①有两个内角是60°的三角形；②有一个角是60°的等腰三角形；③腰和底相等的等腰三角形；④有两个角相等的等腰三角形.
①②③
【例1】如图28-1，在△ABC中，∠B=60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求证：△ABC是等边三角形．
典型例题
知识点1 三个角都相等的三角形是等边三角形
证明：∵CD∥AB,∴∠A=∠ACD=60°.
∵∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∴∠A=∠B=∠ACB．
∴△ABC是等边三角形.
1. 如图28-2,在等边三角形ABC中，DE∥BC，DE与边AB,AC分别交于点D,E，△ADE是等边三角形吗？试说明理由.
变式训练
解：△ADE是等边三角形.
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
【例2】如图28-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF. 请求证:△DEF是等边三角形.
典型例题
知识点2 三边相等的三角形是等边三角形
证明：∵△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD. 又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS）. ∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形.
2.如图28-4，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在BC，AB,CA边的延长线上，且BE=AF=CD．求证：△DEF是等边三角形．
变式训练
【例3】 如图28-5，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC=DB，∠B=30°．求证：△ADC是等边三角形．
典型例题
知识点3 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明：∵DC=DB，∠B=30°，∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又∵AD=DC，∴△ADC是等边三角形．
3. 如图28-6，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．
变式训练
解：△CEB是等边三角形．
理由：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，
∴∠CBE=∠ABE=60°．
又∵DE=DB，BE⊥AC，∴CB=CE．
∴△CEB是等边三角形．
A组
4. 如图28-7，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B=60°.
又∵AB∥CD，
∴∠C=∠A=60°，
∠D=∠B=60°.
∴∠DOC=180°-∠C-∠D=60°.
∴△OCD是等边三角形．
5. 如图28-8，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD=BD．求证：△ABD是等边三角形．
证明：∵AD=BD，∴∠A=∠ABD.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.
∴∠ABD=∠CDB=∠ADB=∠A.
∴△ABD是等边三角形.
B组
6.如图28-9，∠B=∠C，AB∥DE，若EC=ED，求证：△DEC为等边三角形.
证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC.
又∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠C.
∵EC=ED，
∴∠C=∠EDC.
∴∠DEC=∠C=∠EDC=60°.
∴△DEC为等边三角形.
7.如图28-10，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.
∵DF⊥AB，DE⊥CB，
EF⊥AC，
∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°.
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°.
∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°.
∴△DEF是等边三角形.
C组
8. 如图28-11，△ABD和△BCD都是等边三角形，E,F分别是边AD,CD上的点，且DE=CF，连接BE,EF,FB．
求证：（1）△ABE≌△DBF；
（2）△BEF是等边三角形．
（2）∵△ABE≌△DBF.
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF.
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°.
∴△BEF是等边三角形．
9. 如图28-12，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，BE交AC于点F，AD交CE于点H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）连接FH，判断△CFH的形状并说明理由．
谢 谢(共8张PPT)
第十三章轴对称
本章知识结构图
轴对称 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称
线段的垂直平分线的性质：(1)垂直平分线垂直且平分该条线段;(2)垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
核心内容
轴对称 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
轴对称 变换 几何图形都可以看作是由点组成. 我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：(1)由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；(2)直线的另一侧，以垂足为一端点，截取一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；(3)连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形
轴对称变换 关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数,即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）;关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变,即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）
等腰三角形 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等；(2)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形 等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形的判定方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
尺规作图 作线段的垂直平分线
过一点作一条直线的垂线
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第十三章 轴对称
第19课时 轴对称
目录
01
知识点导学
02
分层训练
轴对称图形 成轴对称
概 念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称
相 同 点 对折重合 对折重合
A．轴对称图形与成轴对称
不 同 点 1个图形 2个图形
性质 ①成轴对称的两个图形全等； ②任何一组对应点所连线段的垂直平分线，就是轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对称轴
1. 如图19-1，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC=∠B′A′C′；③直线l不一定垂直平分线段CC′；④直线BC与B′C′的交点一定在直线l上．其中正确的是___________（填序号）．
①②④
【例1】下面4个美术字中，可以看作是轴对称图形的是
( )
典型例题
知识点1 轴对称图形
A
1. 下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是
( )
变式训练
A
【例2】如图19-2，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 ( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
典型例题
知识点2 成轴对称的两个图形的性质
C
2. 如图19-3，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，直线l交CC′于点D，AB=3，C′B′=1.5，CD=1，则五边形ABCC′B′的周长为____________.
变式训练
11
【例3】如图19-4,判断哪些图形是轴对称图形，是轴对称图形的画出所有对称轴.
典型例题
知识点3 轴对称图形的对称轴
解：前2个是轴对称图形，最后一个不是，画对称轴如答图19-1.
3. 如图19-5,判断哪些图形是轴对称图形，是轴对称图形的画出它们的所有对称轴．
变式训练
解：前3个是轴对称图形，最后一个不是，画图略.
A组
4. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形的是 （ ）
B
5. 运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾中，不是轴对称图形的是 （ ）
C
B组
6. 下列图形对称轴条数最多的是 （ ）
A．等边三角形 B．正方形
C．等腰三角形 D．等腰梯形
B
7. 如图19-6，属于轴对称图形的有 （ ）
A．5 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
D
8. 如图19-7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为____________.
10°
9. 如图19-8，在△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．则∠EAF的度数为 ( )
A．124°
B．115°
C．130°
D．106°
C
C组
10. 如图19-9，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．4 cm2
B．8 cm2
C．12 cm2
D．16 cm2
B
11. 如图19-10所示的图案中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，请画出所有的对称轴．
略.
谢 谢(共18张PPT)
第十三章 轴对称
第29课时 含30°锐角的直角三角形的性质
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
BC
AB
【例1】 有一直角三角板，30°角所对直角边长是6 cm，则斜边的长是 （ ）
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
典型例题
知识点1 含30°锐角的直角三角形的简单运算
D
1. 如图29-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，若AB=4 cm，则AC的长为 ____________ cm．
变式训练
2
【例2】 如图29-3，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于点D，若BD=3，求BC和AD的长．
典型例题
知识点2 含30°锐角的直角三角形+斜边上的高
解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.∵CD⊥AB于点D，∴∠DCB=90°-∠B=30°.∴BC=2BD=6.∴AB=2BC=12.∴AD=AB-BD=9．
变式训练
【例3】如图29-5，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，求BC的长．
典型例题
知识点3 含30°锐角的直角三角形+垂直平分线
3. 如图29-6，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，边AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并说明理由．
变式训练
解：DC=2BD.
理由：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC.
∴∠DAC=∠C=30°.
∵∠B=90°，∴∠BAC=60°.
∴∠BAD=30°.
∴AD=2BD.∴DC=2BD．
A组
4. 如图29-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3 cm，则AB的长度为 （ ）
A．9 cm
B．6 cm
C．4.5 cm
D．3 cm
B
5. 如图29-8，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是 （ ）
A．2.5 cm
B．5 cm
C．7 cm
D．7.5 cm
A
6. 如图29-9，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为
（ ）
A．6 m
B．9 m
C．12 m
D．15 m
B
7. 若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 （ ）
A．36 B．18
C．9 D．3
C
B组
8. 如图29-10，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E．若AE=2，求BE的长．
9. 如图29-11，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；（2）求BD的长．
解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB.
∴∠DBE=∠A=30°.
∴∠BDC=60°.
（2）在Rt△BDC中，
∵∠BDC=60°，∴∠DBC=30°.
∴BD=2CD=4．
C组
10. 如图29-12，已知∠AOB=60°，点P在OA边上，OP=8，点M,N在边OB上，PM=PN，若MN=2，求OM的长度.
11. 如图29-13，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
解：如答图29-2，延长AD,BC交于点E.
∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠E=60°.
∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
设CD=CE=DE=x，∵AD=4，BC=1，
∴2（1+x）=x+4.
解得x=2.∴CD=2．
谢 谢
