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第十四章 整式的乘法与因式分解
第45课时 因式分解（3）
——公式法（完全平方公式）
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍恰好是这两个数的和或差的平方,即a2±2ab+b2=(a±b)2,像等号左边这样的式子叫做完全平方式. 1. 若y2+16y+m是完全平方式，则m的值为____________.
64
B．运用完全平方公式因式分解： a2±2ab+b2=（a±b）2. 2. 分解因式：
（1）4x2+4x+1=（______）2+
2·（______）·（______）+（______）2=（__________）2；
（2）4a2-12a+9=（______）2-2·（_______）·（______）+（______）2=（__________）2.
2x
2x
1
1
2x+1
2a
2a
3
3
2a-3
【例1】 若x2+kxy+36y2是完全平方式，则k的值是（ ）A．6 B．6或-6
C．12 D．12或-12
典型例题
知识点1 完全平方式
D
1. 若x2-axy+9y2是一个整式完全平方后的结果，则a的值为 ( )
A．3 B．6
C．±6 D．±3
变式训练
C
【例2】将下列各式因式分解：
（1）a2+2a+1=（ ）2+2·（ ）·（ ）+（ ）2
=___________________；
（2）x2－4x+4=（ ）2-2·（ ）·（ ）+（ ）2
=__________________；
（3）m2-14m+49=__________________=________________；
（4）x2+8x+16=_________________=____________.
典型例题
知识点2 直接运用公式分解因式
a
a
1
1
（a+1）2
x
x
2
2
（x-2）2
m2-2·m·7+72
（m-7）2
x2+2·x·4+42
（x+4）2
变式训练
12+2·1·5t+（5t）2
(1+5t）2
x2-2·x·3y+（3y）2
（x-3y）2
32-2·3·2a+（2a）2
（3-2a）2
2. 将下列各式因式分解：
（1）1+10t+25t2=_______________________=____________；
（2）x2-6xy+9y2=________________________=_____________；
（3）9－12a+4a2=_____________________=____________；
（4）x2+x+ =________________________=____________.
x2+2·x·
【例3】将下列各式因式分解：
（1）2a3-4a2b+2ab2；
（2）-2m2+8mn-8n2.
典型例题
知识点3 先提公因式，再运用公式分解因式
解：原式=2a（a-b）2.
解：原式=-2（m-2n）2.
3. 将下列各式因式分解：
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）－3x2+6xy－3y2.
变式训练
解：原式=a(x+a)2.
解：原式=－3(x－y)2.
典型例题
知识点4 运用整体思想分解因式
【例4】 因式分解：（a+b）2-6（a+b）+9.
解：（a+b）2-6（a+b）+9=（a+b-3）2．
变式训练
4. 因式分解：（2m-n）2-6n（2m-n）+9n2.
解：原式=［（2m-n）-3n］2=（2m-4n）2=4（m-2n）2．
【例5】 因式分解：（a2+4b2）2-16a2b2.
典型例题
知识点5 两次运用公式分解因式
解:原式=（a+2b）2（a-2b）2.
5.因式分解：（m2+4）2-16m2.
变式训练
解:原式=（m+2）2（m-2）2.
A组
6. 分解因式：
（1）x2-10x+25=_________________；
（2）x2-16xy+64y2=_________________；
（3）4+4y+y2=_________________；
（4）4x2+12xy+9y2=_________________.
（x-5）2
（x-8y）2
（2+y）2
（2x+3y）2
7. 将下列各式因式分解：
（1）x3+4x2y+4xy2；
（2）4x3-8x2y+4xy2.
解：原式=x（x+2y）2.
解：原式=4x（x-y）2.
B组
8. 填空：
（1）若x2-6x+m因式分解的结果是（x-n）2，则m=____________，n=____________；
(2)若m-n=2，则m2-2mn+n2=____________.
9
3
4
9.式子49m2-km+1是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．7 B．±7
C．14 D．±14
10.因式分解：-2a3+12a2-18a.
D
解:原式=-2a(a2-6a+9)
=-2a（a-3）2.
11. 已知a+b=4，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值.
解：∵a+b=4，ab=2，
∴原式=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=2×42
=32.
C组
12. 将下列各式因式分解：
（1）（x2+9）2-36x2；
（2）（x2-2x）2+2（x2-2x）+1.
解：原式=（x+3）2（x-3）2.
解:原式=（x-1）4.
13. 若三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试判断三角形的形状.
解:∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，
∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0，
即（a-b）2+（b-c）2=0.
∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a-b=0,b-c=0.
∴a=b，b=c,即a=b=c.
∴该三角形是等边三角形.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第47课时 整式的乘法与因式分解单元复习
典型例题
知识点1 幂的运算
x7
x5
x24
25x4y2
【例1】计算：
（1）x3·x4=____________；
（2）x9÷x4=____________；
（3）(x4)6=____________；
（4）（-5x2y）2=____________；
（5） =____________.
1
1. 计算：
（1）－y·y7=____________；
（2）m4÷m=____________；
（3）（m3）5=____________；
（4）(－3b2)3=____________；
（5）32-（-2 020）0=____________.
变式训练
-y8
m3
m15
-27b6
8
【例2】计算：
（1）（3x-4y）（3x+4y）=__________________；
（2）（x+5）2=____________________.
典型例题
知识点2 乘法公式
9x2-16y2
x2+10x+25
2. 计算：
（1）（2x+5）（2x-5）=____________；
（2）（3x-2）2=__________________.
变式训练
4x2-25
9x2-12x+4
【例3】计算：
（1）3a4·（-2a）=____________；
（2）4ab2÷2ab=____________；
（3）（-3x2）（4x-3）=___________________;
（4）（2x+3）（x-3）=____________;
（5）（4x3-8x2）÷2x=____________;
典型例题
知识点3 整式的运算
-6a5
2b
-12x3+9x2
2x2-3x-9
2x2-4x
（6）（3x2）2·2x3=____________；
（7）（-2ab2）3÷4a3b2=____________；
（8）（x+3）（2x-1）+（x+2）（x-2）=______________．
18x7
-2b4
3x2+5x-7
3. 计算：
(1)(-2ab2)·(-3a2)=____________;
(2)12x5y÷(-6xy)=____________;
（3）（-2xy）（3x2y-2x+1）=________________________；
（4）（3x-5）（x+3）=__________________;
（5）（4xy2-6x2y）÷（-2x）=____________;
（6）（-2a）3·（-3a）2=____________；
（7）（2a2b）3÷（-2ab）=____________；
（8）（3x-y）2+y（3x-y）=____________．
变式训练
6a3b2
-2x4
-6x3y2+4x2y-2xy
3x2+4x-15
-2y2+3xy
-72a5
-4a5b2
9x2-3xy
【例4】先化简，再求值：（x+y）（x-y）+（4x3y-2xy3）÷2xy，其中x=2，y=-1．
典型例题
知识点3 化简求值
解：原式=x2-y2+2x2-y2=3x2-2y2.
当x=2，y=-1时，
原式=3×22-2×（-1）2=12-2=10．
4. 先化简，再求值：［（2x-y）2-y（2x+y）］÷2x，其中x=2，y=-1．
变式训练
解：原式=（4x2-4xy+y2-2xy-y2）÷2x
=（4x2-6xy）÷2x=2x-3y．
当x=2，y=-1时，原式=2×2-3×（-1）=7．
【例5】因式分解：
（1）2a2-a=_________________；
（2）4x2-9=_________________；
（3）9-12t+4t2=_________________；
（4）x2y2-y2=___________________________.
典型例题
知识点3 多项式的因式分解
a（2a-1）
（2x+3）（2x-3）
（3-2t）2
y2（x+1）（x-1）
5. 因式分解：
（1）5a2+10ab=____________________；
（2）9m2-1=_____________________；
（3）9m2-24m+16=_____________________；
（4）3ab2-12ab+12a=_____________________.
变式训练
5a（a+2b）
（3m+1）（3m-1）
（3m-4）2
3a（b-2）2
A组
6. （π-2 021）0的计算结果是 （ ）
A．π-2 021 B．2 021-π
C．0 D．1
7. 下列运算正确的是 （ ）
A．a3+a4=a7 B．a3÷a4=a
C．2a3·a4=2a7 D．（2a4）3=8a7
D
C
8.因式分解：
（1）2x2-8=_________________________；
（2）27x2+18x+3=_____________________.
9. 填空:
(1)a-b=-3，a+b=5，则a2-b2=____________;
(2)已知a-b=-2，则a2-2ab+b2=____________.
2（x+2）（x-2）
3（3x+1）2
-15
4
B组
10. 计算：
（1）2a2·（3ab2+7c）；
（2）（14x3-21x2+7x）÷7x.
解:原式=6a3b2+14a2c.
解:原式=2x2-3x+1.
12. 如果x2+2mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 （ ）
A. 3 B. ±3
C. 6 D. ±6
13.因式分解：
（1）m2-（2m+3）2=__________________________；
（2）（a2+b2）2-4a2b2=___________________________.
B
-3（m+1）（m+3）
（a+b）2（a-b）2
C组
14. 已知a+b=5，ab=3.
（1）求a2b+ab2的值；
（2）求a2+b2的值.
解：（1）原式=ab（a+b）=3×5=15.
（2）原式=（a+b）2-2ab=52-2×3=25-6=19.
15. 先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式a2-b2+a2b-ab2．
解：原式 =（a2-b2）+（a2b-ab2）
=（a+b）（a-b）+ab（a-b）
=（a-b）（a+b+ab）.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第34课时 整式的乘法（3）——积的乘方
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为（ab）n=anbn（n为正整数）. 1. 计算：（2x2）4.
解：原式=（ ）4·（ ）4
=（ ）·（ ）
=____________.
2
x2
16
x8
16x8
【例1】计算：
（1）（2x）2=（ ）2·（ ）2=____________；
（2）（-3x）3=（ ）3·（ ）3=____________;
（3）（4a2）3=（ ）3·（ ）3=（ ）；
（4）（-y3）2=（ ）2·（ ）2=____________.
典型例题
知识点1 运用积的乘方公式计算——简单
2
x
4x2
-3
x
-27x3
4
a2
64a6
-1
y3
y6
1. 计算：
（1）（4m）2=____________=____________；
（2）（-2b）3=_______________=____________；
（3）（3x4）2=________________=____________；
（4） （-y5）3=_________________=____________.
变式训练
42·m2
16m2
（-2）3·b3
-8b3
32·（x4）2
9x8
（-1）3·（y5）3
-y15
典型例题
知识点2 运用积的乘方公式计算——复杂
x2
y3
x4y6
2
104
8×1012
3
a
b2
27a3b6
x3
y2
变式训练
（a3）3·（b4）3
a9b12
（-3）2×（106）2
9×1012
（-1）2·（x3）2·y2
x6y2
【例3】计算：（-2x2）3+x4·x2.
典型例题
知识点3 积的乘方的综合计算
解：原式=-8x6+x6=-7x6.
3. 计算：a·a5-（-2a3）2.
变式训练
解：原式=a6-4a6=-3a6.
典型例题
知识点4 逆用积的乘方法则进行简便计算
【例4】计算：（-0.125）10×811.
变式训练
典型例题
知识点5 积的乘方法则的综合运用
【例5】已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值.
解：（xy）3n=x3ny3n
=（xnyn）3
=（5×3）3
=3 375.
变式训练
5. 如果5n=10，4n=8，求20n的值.
解：∵5n=10，4n=8，
∴20n=（5×4）n=5n·4n=10×8=80.
A组
6. 计算（-x3）2所得结果是 （ ）
A. x5 B. -x5
C. x6 D. -x6
7. 下列运算的结果正确的是 （ ）
A. a2·a3=a6 B. （a2）3=a5
C. （a2b）2=a2b2 D. a3+a3=2a3
C
D
8. 填空：
（1）(2a3)2=____________；
（2）(-3x)4=____________；
（3）（-3m3n）2=____________；
（4）（-mn2）3=____________.
4a6
81x4
9m6n2
-m3n6
9.计算：
（1）(2a)3=____________；
（2） (-5b)2=____________；
（3）(xy2)2=____________；
（4） =____________.
8a3
25b2
x2y4
B组
10. 计算：（3x3）2+（2x2）3.
解：原式=9x6+8x6
=17x6.
11. 计算：（2x2）3+x4·x2+（-2x2）3.
解：原式=8x6+x6-8x6=x6.
12. 若（ambn）2=a8b6，求m2-2n的值.
解：（ambn）2=a2mb2n=a8b6，
∴2m=8，2n=6.
解得m=4，n=3.
则m2-2n=16-6=10．
13.简便计算：
C组
14. 填空：
（1）若5m=6，6m=7，则30m=____________；
（2）若3m=5，4m=8，则122m=____________.
15. 若n为正整数，且x2n=4，则（3x3n）2-4·（x2）2n的值是____________.
42
1 600
512
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第35课时 整式的乘法（4）
——单项式乘单项式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．一般地,单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 1. 计算：-3x2·2x3y
=( ____×___）·
（______·____）·_____
=____________.
-3
2
x2
x3
y
-6x5y
典型例题
知识点1 单项式乘单项式的简单计算
6a3
-6a2b
【例1】计算：
（1）2a·3a2=____________；
（2）（-3a）·（2ab）=____________；
(3)xy2· =_______________；
（4）(-a2b)·(-a)=____________.
a3b
1. 计算：
（1）6x2·3xy=____________；
(2)2t3·t4·t=____________；
（3）（-3x3）·4x4=____________；
（4）（-x2y）·（-x2y3）=____________.
变式训练
18x3y
2t8
-12x7
x4y4
典型例题
知识点2 单项式乘单项式的综合计算
解:原式=－4x5y7.
解:原式=-108a4b8.
【例2】计算：
（1）4x2y·（－xy2）3； （2）（-2a2b）2·（-3b2）3；
（3）3a2b· +（a2b）3.
解:原式=-a6b3.
变式训练
解：原式=－108x7y3.
解：原式=-72a5.
解：原式=0.
【例3】一个长方体的长为8×105 cm，宽为5×106 cm，高为9×108 cm，求长方体的体积. （结果用科学记数法表示）
典型例题
知识点3 单项式乘单项式的实际应用
解：由题意，得（8×105）×（5×106）×（9×108）=3.6×1021 （cm3）.
答：长方体的体积为3.6×1021 cm3.
3. 一种电子计算机每秒可做108次运算，它工作5×102 s可做多少次运算？（结果用科学记数法表示）
变式训练
解：108×5×102=5×1010（次）.
答：它工作5×102 s可做5×1010次运算.
A组
4. 计算：
（1）3x2·2xy2=____________;
（2）2ab2·（－3ab）=____________;
（3）（-8ab）· =____________;
（4）-2abc·(-2ab2)=____________.
6x3y2
－6a2b3
-6a3b2
4a2b3c
5.计算：
（1）3a·2b=____________；
（2）-3a3b2·8a2b2=____________；
（3）4x2·（-2xy）=____________；
（4）（-2a3b2c）·（-4ab）=____________.
6ab
-24a5b4
-8x3y
8a4b3c
解：原式=2a6b5c5.
解：原式=-8a7b9.
（3）（-3x2y2）2·2xy+（xy）3.
解：原式=18x5y5+x3y3.
7. 计算：
（1）（-8ab2）· ； （2）
解：原式=a4b2.
（3）（-3xy2）3+（-2x2y4）·（-xy2）.
解：原式=-25x3y6．
8. 一个长方形的长为5×102 cm，宽为3×102 cm，求这个长方形的面积.
解：5×102×3×102=1.5×105(cm2)．
答：这个长方形的面积是1.5×105 cm2.
9. 已知A=2x2，B=-3xy2，C=-2x2y2，求AB2C的值.
解：AB2C=2x2·（-3xy2）2·（-2x2y2）=2x2·9x2y4·（-2x2y2）=-36x6y6.
C组
10. 已知实数a,b,c满足|a-1|+（3a-2b-7）2+|3b+5c-4|=0，求（-3ab）（-a2c）（6ab2）的值.
11. 已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（ym）6-（x2y）3m·ym的值．
解：∵x3m=2，y2m=3，
∴（x2m）3+（ym）6-（x2y）3m·ym
=（x3m）2+（y2m）3-（x6my3m·ym）
=（x3m）2+（y2m）3-（x3my2m）2
=22+33-（2×3）2
=4+27-36
=-5．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第41课时 乘法公式（2）——完全平方公式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.即（a±b）2 =a2±2ab+b2． 1.计算：（m+2）2
=（______）2+2·______·______+（______）2
=___________________.
m
m
2
2
m2+4m+4
【例1】计算：
（1）（x+5）2； （2）（2x-1）2；
（3）（3m+2n）2.
典型例题
知识点1 直接运用完全平方公式计算
解:原式=x2+10x+25
解：原式=4x2-4x+1.
解:原式=（3m）2+2·3m·2n+（2n）2
=9m2+12mn+4n2.
变式训练
1. 计算：
（1）
（2）（3x+1）2；
解:原式=（3x）2+2·3x·1+12=9x2+6x+1.
（3）（4x-3y）2.
解：原式=16x2-24xy+9y2.
典型例题
【例2】计算：（1）（xy-4）2；
知识点2 灵活运用完全平方公式计算
解：原式 =（xy）2-2·xy·4+42
=x2y2-8xy+16.
（2）（x2+2y）2.
解：原式=（x2）2+2·x2·2y+（2y）2
=x4+4x2y+4y2.
2. 计算：
（1）（2+mn）2；
变式训练
解：原式=22+2·2·mn+（mn）2
=4+4mn+ m2n2.
（2）（a2-2b2）2.
解：原式=（a2）2-2·a2·2b2+（2b2）2
=a4-4a2b2+4b4.
【例3】计算：3012.
典型例题
知识点3 利用完全平方公式简便计算
解：原式=（300+1）2
=90 000+600+1
=90 601.
3. 计算：1992.
变式训练
解:原式=（200-1）2
=40 000-400+1
=39 601．
典型例题
知识点4 完全平方公式的常用变形
【例4】已知（x+y）2=9，（x-y）2=25，求x2+y2和xy的值．
解：∵（x+y）2=9，（x-y）2=25，
∴（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=34.
∴x2+y2=17.
∵（x+y）2-（x-y）2=4xy=-16，
∴xy=-4．
变式训练
4. 已知：a+b=8，ab=6．
（1）求（a+b）2的值；（2）求a2+b2的值．
解：（1）∵a+b=8，
∴（a+b）2=82=64.
（2）∵a+b=8，ab=6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=82-2×6=64-12=52．
A组
5. 计算（x-2）2正确的是 ( )
A．x2-4 B．x2-4x-4
C．x2-2x+4 D．x2-4x+4
6. 计算：
（1）（2x+4）2=___________________________；
（2）（5x-2y）2=_________________________.
D
4x2+16x+16
25x2-20xy+4y2
B组
7. 计算：
（1）（xy+3）2；
解:原式=（xy）2+2·xy·3+32
=x2y2+6xy+9.
（2）（x2-2x）2.
原式=（x2）2-2·x2·2x+（2x）2
=x4-4x3+4x2.
8. 运用乘法公式计算：
（1）9992；
解:原式=（1 000-1）2
=1 000 000-2 000+1
=998 001.
（2）
解：原式=
=900+30+
=930 .
9. 计算：（x+1）2+x（x-2）-（x+1）（x-1）.
解：原式=x2+2x+1+x2-2x-(x2-1)
=x2+2.
10.已知（a+b）2=5，（a-b）2=3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；（2）6ab．
解：（1）∵（a+b）2=5，（a-b）2=3，
∴a2+2ab+b2=5，a2-2ab+b2=3.
∴2（a2+b2）=8.解得a2+b2=4.
C组
11. 如图41-1,一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个半圆，则剩下的钢板面积为
__________________________.
12. 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察如图41-2所示的杨辉三角及下面的等式：
（a+b）1=a+b;
（a+b）2=a2+2ab+b2;
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
按照上面的规律，则（a+b）5
=________________________________.
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第40课时 乘法公式（1）——平方差公式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差,即（a+b）（a-b）=a2-b2. 1.计算：
（1）（x+4）（x-4）=（ ）2-（ ）2=________________；
（2）（4m+3n）（4m-3n）=（ ）2-（ ）2=_________________.
x
4
x2-16
4m
3n
16m2-9n2
典型例题
知识点1 直接运用平方差公式计算
x
1
x2-1
32-x2
9-x2
【例1】计算：
（1）（x+1）（x-1）=（ ）2-（ ）2=
____________；
（2）（3-x）（3+x）=____________=____________；
（3） =_______________=___________；
（4） =____________=____________；
（5）（2m+3n）（2m－3n）=_________________
=____________；
（6）（xy+5）（xy-5）=__________________=
___________________.
-(3a)2
（2m）2-（3n）2
4m2-9n2
（xy）2-52
x2y2-25
变式训练
a2-52
a2-25
62-y2
36-y2
1. 计算：
（1）（a-5）（a+5）=____________=____________;
（2）（6+y）（6-y）=____________=____________;
（3） =__________________=
_______________;
（4） =_______________=____________;
（5）（a+3b）（a－3b）=__________________=
____________;
（6）（-2xy+3y）（-2xy-3y）=____________________
=________________________.
a2-（3b）2
a2-9b2
（-2xy）2-（3y）2
4x2y2-9y2
【例2】计算：
（1）（1+x）（-1+x）； （2）（3x-5）（-5-3x）；
(3)(-3x2+y2)(y2+3x2).
典型例题
知识点2 灵活运用平方差公式计算
解：原式=x2-1.
解：原式=25-9x2.
解：原式=y4-9x4.
2. 计算：
（1）（3+2a）（－3+2a）； （2）（3x-1）（-3x-1）；
变式训练
解：原式=4a2－9.
解：原式=1-9x2.
（3）（-3y-2x）（2x-3y）.
解：原式=9y2-4x2.
【例3】计算：103×97.
典型例题
知识点3 利用平方差公式简便计算
解：原式=（100+3）×（100-3）
=10 000-9
=9 991.
变式训练
解：原式
A组
4. 若（2a+3b）（ ）=4a2-9b2，则括号内应填的式子是 （ ）
A．-2a-3b B．2a+3b
C．2a-3b D．3b-2a
C
5. 下列各式可以运用平方差公式计算的是 （ ）
A. （3x-y）（3x-y）
B．（3x-y）（y-3x）
C. （3x-y）（3x+y）
D．（3x+y）（x-3y）
C
6. 计算：
（1）（a-2）（a+2）=________________；
（2）（xy+1）（xy-1）=_______________；
（3）（3+2a）（3-2a）=____________；
（4）（2x+y）（2x-y）=____________.
a2-4
x2y2-1
9-4a2
4x2-y2
7. 计算：
（1）（1-2y）（1+2y）=____________；
（2）（x+4）（x-4）=____________；
（3）（4m+3y）（4m-3y）=____________；
（4）（-3a-2b）·（-3a+2b）=____________.
1-4y2
x2-16
16m2-9y2
9a2-4b2
B组
8.计算：
（1）（a-2b2）（2b2+a）; （2）（-1-4a）（1-4a）.
解:原式=a2-4b4.
解:原式=16a2-1.
11. 简便计算：2 0192-2 018×2 020.
解：原式=2 0192-（2 019-1）（2 019+1）
=2 0192-（2 0192-1）
=1.
C组
12. 运用平方差公式计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）.
解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（28-1）（28+1）（216+1）
=（216-1）（216+1）
=232-1．
（2）用你发现的规律计算：
解：（2）原式
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第38课时 整式的除法(1)——同底数幂的除法
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）. 零指数幂：a0=1（a≠0）. 1. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）a15÷a5=
（2）39÷33=
a
15
5
a10
3
9
3
36
B．一般地,单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2. 计算：6a2b3c÷（-2a2b）
=（____ ÷_____）
·（________÷_________）· （_________÷______）·______
=____________.
6
-2
a2
a2
b3
b
c
-3b2c
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
（1）25÷22=____________；
（2）m6÷m6=____________；
（3）x10÷x4÷x2=____________.
典型例题
知识点1 同底数幂除法的简单计算
23
1
x4
1. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）a8÷a2=____________；
（2）109÷109=____________；
（3）xn+2÷xn-5=____________.
变式训练
a6
1
x7
【例2】计算：
（1）（xy）5÷（xy）3=____________；
（2）（x3）2÷x6=____________；
（3）（x-y）5÷（x-y）3=____________.
典型例题
知识点2 同底数幂除法的综合计算
x2y2
1
（x-y）2
2. 计算：
（1）（x2）10·x4÷x2=____________；
（2）（-m）6÷（-m）3=____________；
（3）（-ab）3÷（-ab）2=___________.
变式训练
x22
-m3
-ab
【例3】已知5m=2，5n=4，求52m-n的值.
典型例题
知识点3 逆用同底数幂的除法法则
解：∵5m=2，5n=4，
∴52m-n=（5m）2÷5n=22÷4=1.
3. 已知am=2，an=3，求a3m-2n的值.
变式训练
典型例题
知识点4 单项式除以单项式
【例4】计算：
（1）24a3b2÷3ab2；
（2）6m6÷（-2m2）3.
解：原式=8a2.
4. 计算：
（1）10ab3÷（－5ab）；
（2）（2xy）3÷2xy2.
解：原式=－2b2.
解：原式=8x3y3÷2xy2=4x2y．
A组
5. 下列运算正确的是 ( )
A．x6÷x4=x2
B．t4÷（-t2）=t2
C．（-m）4÷（-m）2=m4
D．b2m÷bm=b2
A
6. 计算：
（1）m9÷m7=____________；
（2）（－a）6÷（－a）2=____________；
（3）（－ab）5÷（－ab）3=____________；
（4）am+2÷am－1=____________.
m2
a4
a2b2
a3
7.若（x-5）0=1，则x的取值范围是 （ ）
A．x＞5 B．x＜5
C．x≠5 D．一切实数
8. 计算：（-3）2+（-4）0=____________.
C
10
B组
9. 计算：
（1）4a3b5÷2ab2； （2）-21a2b÷7a2b;
解：原式=2a2b3.
解：原式=-3.
（3）（4x2y3）2÷2xy2； （4）（-2ab2）3÷4a2b2.
解：原式=8x3y4.
解：原式=-2ab4.
解：原式=8a2b.
解：原式=-8ab.
解：原式=3x2y.
C组
11. 已知32·92x+1÷27x+1=81，求出式中的x．
解:∵32·92x+1÷27x+1=32·34x+2÷33x+3
=32+4x+2-（3x+3）
=3x+1
=81
=34，
∴x+1=4.
∴x=3．
12. 已知3m=9，9n=81，求33m-2n的值.
解：∵3m=9，9n=32n=81=92，
∴33m-2n=（3m）3÷32n=93÷92=9．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第39课时 整式的除法（2）——
多项式除以单项式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 1. 计算：（-4x3+6x）÷2x
=（______÷______）+（______÷______）
=______+_______.
-4x3
2x
6x
2x
-2x2
3
【例1】计算：
（1）（4x2y-2xy2）÷2xy；
（2）（12a3-6a2+3a）÷3a；
典型例题
知识点1 多项式除以单项式的简单计算
解：原式=2x-y.
解：原式=4a2-2a+1.
（3）（6x3y-3x2）÷（-3x2）.
解：原式=-6x3y÷3x2+3x2÷3x2
=-2xy+1．
变式训练
解：原式=24a-12b.
解：原式=9x2-5x+1.
（3）（14m3-7m2+21m）÷（-7m）.
解:原式=-14m3÷7m+7m2÷7m-21m÷7m
=-2m2+m-3．
【例2】计算：（a2b3-a3b2）÷（ab）2.
典型例题
知识点2 多项式除以单项式的综合计算
解：原式=a2b3÷a2b2-a3b2÷a2b2
=b-a.
2. 计算：（5x5-3x2）÷（-x）2.
变式训练
解：原式=5x5÷x2-3x2÷x2
=5x3-3.
典型例题
知识点3 化简求值——多项式除以单项式
变式训练
A组
4.计算：
（1）（6m2n-3m2）÷3m；
（2）（7x3-6x2+3x）÷3x.
解：原式=2mn-m.
5. 计算：
（1）（8x5y2-4x2y5）÷（-2x2y）；
（2）（16x3-8x2+4x）÷
解：原式=-4x3y+2y4.
解：原式=-32x2+16x-8.
B组
6. 计算：（4a4b7-a6b7）÷（ab2）3.
7. 计算：（9x2-12x3）÷（-3x）2.
解：原式=4ab-a3b.
8. 已知一个三角形的面积为8x3y2-4x2y3，一条边长为8x2y2，求这条边上的高.
解：根据题意知这条边上的高为
2（8x3y2-4x2y3）÷（8x2y2）
=（16x3y2-8x2y3）÷（8x2y2）
=2x-y.
C组
10. 计算：［（2xnyn+1）4+7x2ny5n+2］÷［（-xy2）2］n.
解：原式=(16x4ny4n+4+7x2ny5n+2)÷x2ny4n
=16x2ny4+7yn+2.
11. 多项式8x7-12x4+x-6x5+10x6-9除以-2x2，余式为x-9，求商式．
解：设商式为A，则
-2x2·A+（x-9）=8x7-12x4+x-6x5+10x6-9.
∴-2x2·A=8x7-12x4-6x5+10x6.
∴A=（8x7-12x4-6x5+10x6）÷（-2x2）
=-4x5+6x2+3x3-5x4.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
*第46课时 因式分解（4）
——十字相乘法（选学）
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）. 1. 多项式x2+mx+5可以因式分解成（x+5）（x+1），则m的值为____________.
6
【例1】将下列各式因式分解：
（1）x2+7x+10； （2）x2－2x－8.
典型例题
知识点1 x2+（p+q）x+pq型多项式的因式分解
解：原式=(x+2)(x+5).
解：原式=(x－4)(x+2).
1. 将下列各式因式分解：
（1）y2－7y+12；
（2）x2+7x－18.
变式训练
解：原式=(y－3)(y－4).
解：原式= (x+9)(x－2).
【例2】将下列各式因式分解：
（1）x2-5xy+6y2；
（2）a2+2ab-8b2.
典型例题
知识点2 x2+(p+q)xy+pqy2型多项式的因式分解
解：原式=（x-2y）（x-3y）
解：原式=（a+4b）（a-2b）.
2. 将下列各式因式分解：
（1）p2+3pq+2q2；
（2）x2+4xy-5y2.
变式训练
解：原式=（p+2q）（p+q）.
解：原式=（x+5y）（x-y）.
【例3】将下列各式因式分解：
（1）2x2-6x-8；
（2）4a2b+12ab+8b.
典型例题
知识点3 先提公因式,再用十字相乘法因式分解
解:原式=2（x+1）（x-4）.
解:原式=4b（a+2）（a+1）.
3. 将下列各式因式分解：
（1）3x3-12x2-15x；
（2）x3+6x2y-27xy2.
变式训练
解:原式=3x（x+1）（x-5）.
解:原式=x（x-3y）（x+9y）．
【例4】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法（如图46-1）.
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项-3=-1×3=1×（-3），验算“交叉相乘之和”:
典型例题
知识点4 ax2+bx+c（a≠1）型多项式的因式分解
①1×3+2×（-1）=1，②1×（-1）+2×3=5，③1×（-3）+2×1=-1，④1×1+2×（-3）=-5;（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项的系数-1.
即2x2-x-3=（x+1）（2x-3）.
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
4. 仿照左边的方法，将下列各式因式分解：
（1）3x2+5x-12； （2）2x2-5x-3；
（3）2x2+7x+3； （4）3a2+5a-8.
变式训练
解：原式=
（x+3）（3x-4）.
解：原式= （2x+1）（x-3）.
解：原式=
（2x+1）（x+3）.
解：原式= （3a+8）（a-1）.
A组
5. 将下列各式因式分解：
（1）x2+3x+2； （2）x2－7x+6；
（3）x2－4x－21； （4）x2+2x－15.
解：原式=(x+1)(x+2).
解：原式=(x－1)(x－6).
解：原式=(x+3)(x－7).
解：原式=(x－3)(x+5).
6. 将下列各式因式分解：
（1）y2－6y+8； （2）q2－10q+9；
（3）x2+x－20； （4）m2+5m－14.
解：原式=
(y－2)(y－4).
解：原式=
(q－1)(q－9).
解：原式=
(x－4)(x+5).
解：原式=
(m－2)(m+7).
10. 要使式子 有意义，则x可取的数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知a为实数，下列式子一定有意义的是 ( )
B组
7. 将下列各式因式分解：
（1）mn2+3mn+2m；
（2）ax2-7ax+6a.
解:原式=m（n+1）（n+2）.
解:原式=a（x-1）（x-6）.
8. 将下列各式因式分解：
（1）x3+4x2y+3xy2；
（2）2x2-8xy-10y2.
解:原式=x（x+y）（x+3y）.
解:原式=2（x-5y）（x+y）.
9. 将下列各式因式分解：
（1）3x2-7x+2；
（2）4x2+12x-7.
解:原式=（3x-1）（x-2）.
解:原式=（2x+7）（2x-1）.
10. 将下列各式因式分解：
（1）3x2-4x+1；
（2）4x2+4x-15.
解:原式=（x-1）（3x-1）.
解:原式=（2x+5）（2x-3）.
C组
11. 将下列各式因式分解：
（1）（x-1）（x+4）-36；
（2）x4-x2y2-12y4.
解:原式=（x-5）（x+8）.
解:原式=（x+2y）（x-2y）（x2+3y2）.
12. 将下列各式分解因式：
（1）（x2+x）2-14（x2+x）+24；
（2）（x2-2x）2-11（x2-2x）+24.
解:原式=（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）.
解:原式=（x-3）（x+1）（x-4）（x+2）．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第33课时 整式的乘法（2）——幂的乘方
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为（am）n=amn（m，n都是正整数）. 1.计算，结果用幂的形式表示：
（1）(102)5=____________；
（2）(a5)3=____________.
1010
a15
典型例题
知识点1 （am）n =amn
b16
a4n
a3n+3
(x+2y)10
变式训练
x12
x5m
x3k+6
（a-b）8
【例2】计算，结果用幂的形式表示：
（1）［（102）3］4=____________；
（2）［（x2）2］5=____________.
典型例题
知识点2 ［（am）n］p=amnp
1024
x20
2. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）［（43）2］5=____________；
（2）［（s6）4］2=____________.
变式训练
430
s48
【例3】计算，结果用幂的形式表示：
（1）（y2）4·y5; （2）-（xm）2·x；
（3）（x2）3-2（x3）2； （4）（a3）m-5（am）3.
典型例题
知识点3 幂的乘方的综合计算
解：原式=y13.
解：原式=-x2m+1.
解：原式=-x6.
解：原式=-4a3m.
3. 计算：
（1）y·（y2）5·（y5）2; （2）-（a3）2·a4；
（3）m3·m5－（m2）4; （4）a3m·a5m+（a2m）4.
变式训练
解:原式=-y21.
解:原式=-a10.
解:原式=0.
解:原式=2a8m.
典型例题
知识点4 幂的乘方法则的综合运用
【例4】填空：
（1）若xn=4，则x2n=____________；
（2）若ax·a3=（a2）3，则x=____________；
（3）若am=4，an=6，则am+2n=____________.
16
3
144
变式训练
4. 填空：
（1）若3m=6，则33m=____________；
（2）若（a2）3=am·a，则m=____________；
（3）若3m=2，3n=5，则32m+n的值是____________.
216
5
20
A组
5. 下列计算结果是a8的是 （ ）
A. a2·a4 B. a2+a6
C. （a2）4 D. a9-a
6. 下列计算正确的是 （ ）
A. a2+a2=a4 B. （a2）3=a5
C. 2a2-a2=2 D. a5·a2=a7
C
D
7. 计算：
（1）（103）5=____________；
（2）（a4）6=____________；
（3）（am）3=____________；
（4）［（33）4］5=____________.
1015
a24
a3m
360
8. 计算：
（1）(32)6=____________；
（2）(5n)3 =____________；
（3） （a5)3=____________；
（4）［（x2）m］3=____________.
312
53n
a15
x6m
B组
9. 计算：
（1）（a2）3·a5；
（2）－2（a3）4+a4·（a4）2.
解：原式=a6·a5=a11.
解：原式=－a12.
10. 计算：
（1）a3·a4·a+（a2）4；
（2）（y4）2-3（y2）3·y2.
解：原式=2a8．
解：原式=-2y8.
11.若（2x）2=2x+1，求x的值.
解：∵（2x）2=2x+1，
∴2x=x+1.
解得x=1.
12. 已知10a=2，10b=3，求102a+3b的值.
解：∵10a=2，10b=3，
∴102a+3b=（10a）2·（10b）3=4×27=108.
C组
13.若2x=3，4y=6，求2x+2y的值.
解：∵2x=3，4y=6，
∴2x+2y=2x·22y=2x·4y=3×6=18.
14. 若x3n=2，y2n=3，求（x3n）3+（y2n）2-（x3）n·(yn）2的值．
解：(x3n)3+(y2n)2-(x3)n·(yn)2
=(x3n)3+(y2n)2-x3n·y2n
=23+32-2×3
=8+9-6
=11．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第44课时 因式分解（2）
——公式法（平方差公式）
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 1. 将下列各式分解因式：
（1）a2-49=（______）2-（_____）2=（______+______）（______-______）；
（2）9m2-n2=（______）2-（_____）2=（______+______）（______-______）.
B.运用平方差公式因式分解：a2-b2=（a+b）（a-b）.
a
7
a
7
a
7
3m
n
3m
n
3m
n
【例1】将下列各式因式分解：
（1）x2-1=（______）2-（______）2=________________；
（2）1-4a2=（______）2-（______）2=_______________；
（3）m2-4n2=（______）2-（______）2=_______________；
（4）x2y2－z2=（______）2-（______）2=______________.
典型例题
知识点1 直接运用公式分解因式
x
1
（x+1）（x-1）
1
2a
（1+2a）（1-2a）
m
2n
（m+2n）（m-2n）
xy
z
（xy+z）（xy-z）
1. 将下列各式因式分解：
（1）a2-16=（______）2-（______）2=__________________；
（2）1-9n2=（______）2-（______）2=__________________；
（3）4a2-b2=（______）2-（______）2=___________________；
（4）9a2x2－b2y2=（______）2-（______）2=
__________________________.
变式训练
a
4
（a+4）（a-4）
1
3n
（1+3n）（1-3n）
2a
b
（2a+b）（2a-b）
3ax
by
（3ax+by）（3ax-by）
【例2】将下列各式因式分解：
（1）x3-16x； （2）2x-8x3；
（3）9a3b-ab； （4）ab2-ac2.
典型例题
知识点2 先提公因式，再运用公式分解因式
解：原式=
x（x+4）（x-4）.
解：原式= 2x（1-2x）
（1+2x）.
原式=ab（3a+1）（3a-1）.
解：原式=解：
a（b+c）（b-c）.
2. 将下列各式因式分解：
（1）m3-9m； （2）2x3-8x；
（3）2ax2-8a； （4）2a3-2a.
变式训练
原式=
m（m+3）（m-3）.
解：原式=解：2x（x+2）（x-2）.
原式=
2a（x+2）（x-2）.
解：原式=解： 2a（a+1）（a-1）.
【例3】将下列各式因式分解：
（1）（x+5）2-4； （2）25（m+n）2-（m-n）2.
典型例题
知识点3 运用整体思想分解因式
解：原式=
（x+7）（x+3）.
解：原式=
4（3m+2n）（2m+3n）.
3. 将下列各式因式分解：
（1）（2x+y）2-（x+2y）2；
（2）9x2-（x+2y）2.
变式训练
解：原式=3（x+y）（x-y）.
解：原式= 4（2x+y）（x-y）.
【例4】 因式分解：x4-b4.
典型例题
知识点4 两次运用公式分解因式
解:原式=（x2+b2）（x+b）（x-b）.
4. 因式分解：16x4-y4.
变式训练
解:原式=（4x2+y2）（2x+y）（2x-y）．
A组
5. 分解因式：
（1）a2-25=_________________________；
（2）9-4a2=_________________________；
（3）16x2-25=_________________________；
（4）4x2-9y2=_________________________.
（a+5）（a-5）
（3+2a）（3-2a）
（4x+5）（4x-5）
（2x+3y）（2x-3y）
6. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. a2+（-b）2
B. 5m2-20mn
C. -x2-y2
D. -x2+9
D
B组
7. 分解因式：
（1）4x2y-9y3； （2）8a3-2a.
解:原式=
y（2x+3y）（2x-3y）.
解:原式=2a（2a+1）（2a-1）.
解:原式=
-x（y+2）（y-2）．
10. 若xy=-2 020，求 的值.
解：∵xy=-2 020，
∴
=-xy=2 020.
C组
11. 分解因式：
（1）a4-1；
（2）2m（2m-3）+6m-1．
解:原式=（a2+1）（a+1）（a-1）.
解:原式= （2m+1）（2m-1）.
12. 分解因式：
（1）（x+3）2-16；
（2）a2（2a-1）+（1-2a）b2.
解:原式=（x+7）（x-1）.
解:原式=（2a-1）（a+b）（a-b）．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
本章知识结构图
幂的 运算 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am·an=am+n（m，n都是正整数）
幂的乘方法则：幂的乘方,底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n都是正整数）
积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n为正整数）
同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变，指数相减．
am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）
核心内容
整式的乘除法 一般地,单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
一般地,单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
一般地,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
一般地,单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
一般地,多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
乘法 公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即（a+b）（a-b）=a2-b2.
平方差公式特征：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍,即（a±b）2=a2±2ab+b2．
完全平方公式特征：①左边是两个数的和(或差)的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同；③公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式
因式 分解 提公因式法：字母表示为ma+mb+mc=m（a+b+c）
运用平方差公式法：公式为a2-b2=（a+b）（a-b）
运用完全平方公式法：公式为a2±2ab+b2=（a±b）2
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第43课时 因式分解（1）——
概念及提公因式法
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 1. 下列由左到右的变形是因式分解的打“√”，不是的打“×”：
（1）（x+3）（x-3）=x2-9 （ ）
（2）x2+2x+2=（x+1）2+1 （ ）
（3）x2-x-12=（x+3）（x-4）（ ）
（4） （ ）
×
×
√
×
B．多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．一般地,如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2.因式分解：
（1）m2-m=_______________;
（2）4x-4y+4z=_____________.
m（m-1）
4（x-y+z）
【例1】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是
（ ）
A. （3-x）（3+x）=9-x2
B. x2+2x+1=x（x+1）+1
C. a2b+ab2=ab（a+b）
D. （a-b）（n-m）=（b-a）（m-n）
典型例题
知识点1 因式分解的意义
C
1. 下列各式从左到右的变形,是因式分解的是（ ）
A. x2+2x+3=（x+1）2+2
B. （x+y）（x-y）=x2-y2
C. x2-xy+y2=（x-y）2
D. 2x-2y=2（x-y）
变式训练
D
【例2】 填空：
（1）多项式2a2+2ab2各项的公因式是____________；
（2）3x3y2与12x4y的公因式是____________.
典型例题
知识点2 公因式
2a
3x3y
2. 填空：
（1）多项式10m2-25mn的公因式是____________；
（2）49a3bc3与14a2b2c2的公因式是____________.
变式训练
5m
7a2bc2
【例3】分解因式：
（1）20a-15ax=_____________________；
（2）6a2-9ab=_____________________；
（3）a2b+b-2ab2=_____________________；
（4）-2x2+18x2y-4xy2=________________________.
典型例题
知识点3 提公因式法分解因式——公因式是单项式
5a（4-3x）
3a（2a-3b）
b（a2+1-2ab）
-2x（x-9xy+2y2）
3. 分解因式：
（1）a2x2-ax=_________________；
（2）15a2b2-5ab3=_________________；
（3）ab2-3a2b+ab=_________________；
（4）-3a2x+6axy-3a=_________________.
变式训练
ax（ax-1）
5ab2（3a-b）
ab（b-3a+1）
-3a（ax-2xy+1）
典型例题
知识点4 提公因式法分解因式——公因式是多项式
【例4】分解因式：（1）2m（a-b）-3n（a-b）；
（2）x2（a-1）+x（1-a）.
解：原式=（a-b）（2m-3n）.
解：原式=x（a-1）（x-1）.
变式训练
4. 分解因式：
（1）2a（b+c）-5（b+c）；
（2）mn（m-n）-m（n-m）2.
解：原式=（b+c）（2a-5）.
解：原式=m（m-n）（2n-m）.
A组
5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是 （ ）
A．（x+2）（x-2）=x2-4
B．x2+4x-2=x（x+4）-2
C．x2-4=（x+2）（x-2）
D．x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C
6. 填空：
（1）8x3y2和12x4y的公因式是____________；
（2）多项式15a2b2+5a2b-20a2b2中各项的公因式是____________.
4x3y
5a2b
7.分解因式：
（1）3x+9y=____________；
（2）5x2-2x=____________；
（3）2x2-4x=____________；
（4）a3-a2+a=____________.
3（x+3y）
x（5x-2）
2x（x-2）
a（a2-a+1）
8. 分解因式：
（1）3x2yz+15xz2-9xy2z;
（2）a（x-y）+b（x-y）.
解:原式=3xz（xy+5z-3y2）．
解:原式=（x-y）（a+b）.
B组
9. 分解因式：
(1)2（x-y）2-x+y；
（2）2a（x-y）-6b（y-x）.
解：原式=（x-y）（2x-2y-1）.
解:原式=2（x-y）（a+3b）.
10. 已知x+y=10，xy=1．
求：（1）x2y+xy2；（2）（2x+3）（2y+3）．
解：（1）x2y+xy2=xy（x+y）=1×10=10.
（2）（2x+3）（2y+3）
=4xy+6x+6y+9=4xy+6（x+y）+9
=4×1+6×10+9=73．
C组
11. 简便计算：
（1）1.992+1.99×0.01；
解：原式=1.99×（1.99+0.01）
=3.98.
（2）2 0192+2 019-2 0202．
解：原式=2 019×（2 019+1）-2 0202
=2 019×2 020-2 0202
=2 020×（2 019-2 020）
=-2 020．
12. 观察下列等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）［1+x+x（x+1）］=（1+x）2（1+x）=（1+x）3.
（1）上述分解因式的方法是_________________，共运用了____________次；
提公因式法
2
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2 017，则需运用上述方法_________次，结果是________________；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n.
2 017
（1+x）2 018
解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n-1］=（1+x）n+1.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第42课时 乘法公式（3）——添括号
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 1. 在括号内填上适当的项：
（1）-x-1=-（____________）；
（2）a-b+c=a-（__________）.
x+1
b-c
【例1】在括号内填上适当的项：
（1）1-2a+a2=1+（________________________）；
（2）a-4-2b-c=（a-2b）-（_____________________）.
典型例题
知识点1 添括号法则
-2a+a2
4+c
1. 在括号内填上适当的项：
（1）2a-b+c=2a-（____________）；
（2）2x-1+x-3x2=2x-（____________）.
变式训练
b-c
1-x+3x2
【例2】计算：（1）（a-b-3）（a-b+3）；
典型例题
知识点2 添括号法则在乘法公式中的运用
解:原式=（a-b）2-32=a2-2ab+b2-9.
（2）（a+b-c）2.
解：原式=[(a+b)-c]2
=(a+b)2-2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2.
2. 计算：
（1）（2x+3y-1）（2x+3y+1）；
变式训练
解：原式=（2x+3y）2-12=4x2+12xy+9y2-1.
（2）（2x-y-3）2.
解:原式=[(2x-y)-3]2
=(2x-y)2-2×(2x-y)×3+32
=4x2-4xy+y2-12x+6y+9.
【例3】先化简，再求值：（x-4y）（x+4y）+（3x+4y）2，其中x=2，y=-1.
典型例题
知识点3 乘法公式在整式计算中的综合运用
解：原式=x2-16y2+9x2+24xy+16y2=10x2+24xy.当x=2，y=-1时，原式=10×22+24×2×(-1)
=-8.
变式训练
A组
4. 下列去（或添）括号正确的是 （ ）
A．-（a-b+c）=-a+b-c
B．c+2（a-b）=c+2a-b
C．a-（b-c）=a-b-c
D．a2-a+1=a2-（a+1）
A
5. 为了运用乘法公式计算（x-2y+1）（x+2y-1），下列变形正确的是 （ ）
A. ［x-（2y+1）］2
B. ［x-（2y-1）］［x+（2y-1）］
C. ［（x-2y）+1］［（x-2y）-1］
D. ［x+（2y-1）］2
B
B组
6. 计算：（a-2b+3）（a-2b-3）.
解：原式=（a-2b）2-9
=a2+4b2-4ab-9．
7. 计算：（a+2b+3c）2.
解:原式=[(a+2b)+3c]2
=(a+2b)2+2(a+2b)·3c+(3c)2
=a2+4ab+4b2+6ac+12bc+9c2.
8. 计算：（2x+y+z）（2x-y-z）.
解：原式=[2x+(y+z)][2x-(y+z)]
=(2x)2-(y+z)2
=4x2-(y2+2yz+z2)
=4x2-y2-2yz-z2.
C组
10. 已知a,b满足（2a+2b+3）（2a+2b-3）=55，求a+b的值.
解：∵（2a+2b+3）（2a+2b-3）=55，
∴4（a+b）2-9=55.
∴（a+b）2=16.
∴a+b=±4.
解：（1）∵x-y=6，xy=-8，
∴（x-y）2=x2+y2-2xy.
∴x2+y2=（x-y）2+2xy=36-16=20.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第36课时 整式的乘法（5）——
单项式乘多项式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．一般地,单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc. 1. 计算：3a（5a-2b）
=3a·_________-3a·______
=_________-____________.
5a
2b
15a2
6ab
典型例题
知识点1 单项式乘多项式的简单计算
【例1】计算：
（1）a（2a-b）； （2）3xy ；
解:原式=2a2-ab.
解:原式=3x3y2-x2y2.
（3）（-2a2）·（3ab2-5ab3）.
解:原式=-6a3b2+10a3b3.
变式训练
1. 计算：
（1）2x ； （2）2x（3x2+4x-5）；
解：原式=2x2-xy.
解：原式=6x3+8x2-10x.
（3）（6y2-2xy）·（-2y）.
解：原式=-12y3+4xy2.
【例2】计算：
（1）（2a）2·（3a2-a-1）；
（2）（x-2y）·（-3xy）2.
典型例题
知识点2 单项式乘多项式的综合计算
解:原式=4a2·（3a2-a-1）
=12a4-4a3-4a2．
解:原式=9x3y2-18x2y3.
2. 计算：
（1）（4a-b）·（-2b）2 ；
（2）（-3x）3·（x2-x-1）.
变式训练
解:原式=16ab2-4b3.
解:原式=-27x3·（x2-x-1）
=-27x3·x2+27x3·x+27x3·1
=-27x5+27x4+27x3
【例3】先化简，再求值:
3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4），其中a=-2.
典型例题
知识点3 化简求值——单项式乘多项式
解：3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4）
=6a3-12a2+9a-6a3-8a2
=-20a2+9a.当a=-2时，原式=-20×4-9×2=-98.
变式训练
3. 先化简，再求值：
（-a）·（-2ab）+3a· ，其中a=1，b=-2.
解：(-a)·(-2ab)+3a· =2a2b+3a2b-ab-3a=5a2b-ab-3a.
当a=1，b=-2时，
原式=5×(-2)+2-3=-11.
A组
4. 下列运算正确的是 （ ）
A. 2a（a-1）=2a2-a
B. a（a+3b）=a2+3ab
C. -3（a+b）=-3a+3b
D. a（-a+2b）=-a2-2ab
B
5. 计算：
（1）2x2 ； （2）（4a－b2）·（－2b）.
解：原式=2x3－x2.
解：原式=－8ab+2b3.
B组
6. 计算：
（1）（-2xy）2·（-3x+2xy-5）；
（2）（-2a2）·（ab+b2）-5a（a2b-ab2）.
解：原式=-12x3y2+8x3y3-20x2y2.
解：原式=-7a3b+3a2b2.
7. 计算：
（1）(-3x)2·
（2）5x（x2－2x+4）+x2（x－1）.
解:原式=3x3-18x2.
解：原式=6x3－11x2+20x.
8. 长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，这个长方体的表面积是多少？
解：2·［（3x-4）·2x+（3x-4）·x+2x·x］=22x2-24x．
答:这个长方体的表面积为22x2-24x.
9. 先化简，再求值：（－2a）·（3a2－4a－1）－a
（－6a2+5a－2），其中a=－1.
解：原式=3a2+4a.
当a=－1时，原式=3×（－1）2+4×（－1）=－1.
C组
10.已知2x－3=0,求x（x2－x）+x2（5－x）－9的值.
解:原式=x3－x2+5x2－x3－9
=4x2－9.
∵2x－3=0，∴2x=3.
∴4x2=(2x)2=32=9.
∴原式=9－9=0.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第32课时 整式的乘法（1）——同底数幂的乘法
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为am·an=a m+n（m，n都是正整数）. 1. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）23·24=____ ________+___________=
__________;
（2）a3·a5=____ _________+_______ =____________.
2
3
4
27
a
3
5
a8
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
（1）32·35=____________；
（2）103·102=____________；
（3）b5·b3=____________；
（4）m·m6=____________；
（5）x2·xn-2=____________；
（6）y2m·ym=____________.
典型例题
知识点1 am·an=am+n
37
105
b8
m7
xn
y3m
变式训练
411
1010
a4
ym
x7n
典型例题
知识点2 am·an·ap=am+n+p
1012
x15
y5m
变式训练
1010
a14
b6n
【例3】计算，结果用幂的形式表示：
（1）(a+b)3·(a+b)4; （2）a2·a5+a·a3·a3.
典型例题
知识点3 同底数幂乘法的综合计算
解：原式=(a+b)7.
解：原式=2a7.
3. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）（x+y）2·（x+y）3·（x+y）5;
（2）x·x5·x6-x3·x4·x5.
变式训练
解：原式=(x+y)10.
解：原式=0.
典型例题
知识点4 同底数幂乘法法则的综合运用
【例4】填空：
（1）已知a2·a3=am，则m的值为____________；
（2）若bm=8，bn=5，则bm+n=____________.
5
40
变式训练
4.填空：
（1）已知2a×8=25，则a的值是____________；
（2）若3x=2，3y=4，则3x+y=____________.
2
8
A组
5. 下列各组式子中，是同底数幂的是 （ ）
A. a2与b2 B. （－a）m与am
C. a3与a2 D. 105与510
6. 下列各式中计算结果为x5的是 ( )
A．x3+x2 B．x3·x2
C．x·x3 D．x7-x2
C
B
x8
1012
b8
510
a14
s6
B组
9. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）y2m·ym+1； （2）（a-b）·（a-b）4；
（3）x4·x6+x5·x5； （4）-a2·a5+2a·a3·a3.
解：原式=y3m+1.
解：原式=（a-b）5.
解：原式=2x10.
解：原式=a7.
10. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）（x-y）5·（x-y）3·（x-y）；
（2）-a2·a5+a·a3·a3；
（3）x·x2n-3xn·xn+1.
解：原式=（x-y）9.
解：原式=0.
解：原式=-2x2n+1.
11. 若a4·a2m-1=a11，求m的值.
解：∵a4·a2m-1=a11，
∴a4+2m-1=a11.
∴a2m+3=a11.
∴2m+3=11.
解得m=4．
12. 已知2x+y-1=0，求52x·5y的值.
解：∵2x+y-1=0，
∴2x+y=1.
∴52x·5y=52x+y=51=5．
C组
13.若3a=2，3b=5，求3a+b+1的值.
解：∵3a=2，3b=5，
∴3a+b+1=3a·3b·3=2×5×3=30．
14.已知2×8x×16=223，求x的值.
解：由题意，得
2·23x·24=25+3x=223，
即5+3x=23.
解得x=6.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
第37课时 整式的乘法（6）
——多项式乘多项式
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．一般地,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 1. 计算：（x+1）(a-1)
=（ ）+（ ）+（ ）+（ ）
=___________________.
ax
-x
a
-1
ax-x+a-1
【例1】计算：
（1）（x+3）（x+1）；
（2）（x－3）（2x+5）.
典型例题
知识点1 多项式乘多项式的计算
解：原式=x2+4x+3.
解：原式=2x2－x－15.
1. 计算：
（1）（m-5）（m+3）； （2）（2m-1）（3m-2）.
变式训练
解：原式m2-2m-15.
解：原式=6m2-7m+2.
【例2】先化简，再求值：4a（a+1）-（a+1）（2a-1），
其中a=2.
典型例题
知识点2 化简求值——多项式乘多项式
解：原式=4a2+4a-(2a2+a-1)
=2a2+3a+1.当a=2时，
原式=2×4+3×2+1=15.
变式训练
【例3】长方形的长为a cm，宽为b cm，其中a＞b，将原长方形的长和宽各增加3 cm，得到的新长方形的面积为S1；将原长方形的长和宽分别减少2 cm，得到的新长方形的面积为S2．若a，b为正整数，请说明S1与S2的差一定是5的倍数.
典型例题
知识点3 多项式乘多项式的实际应用
解：S1=（a+3）（b+3）=ab+3a+3b+9，S2=（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4.
∴S1-S2=ab+3a+3b+9-ab+2a+2b-4=5a+5b+5=5（a+b+1）.
∴S1与S2的差一定是5的倍数.
3. 如图37-1，某市有一块长为（3a+b）m，宽为（2a+b）m的长方形空地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=6，b=1时，绿化的面积．
变式训练
解：S阴影=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=5a2+3ab(m2)．
当a=6，b=1时，
原式=5×62+3×6×1=198(m2)．
A组
4. 计算：
（1）（x-1）（x+3）；（2）（a+2b）（a-3b）.
解：原式=x2+2x-3.
解：原式=a2-ab-6b2.
5. 计算：
（1）（x+1）（x+2）；
（2）（3a-4b）（a-2b）.
解：原式=x2+3x+2.
解：原式=3a2-10ab+8b2.
B组
6. 计算：（x+3）（x-5）-x（x-2）.
解：原式=(x2-5x+3x-15)-(x2-2x)
=x2-2x-15-x2+2x
=-15.
7. 先化简,再求值:
（x-1）（2x+1）-2（x-5）（x+2），其中x=-2.
解：原式=2x2-x-1-2（x2-3x-10）=5x+19.
当x=-2时,原式=5×（-2）+19=9.
C组
8. 如图37-2，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为（6a+5b）m，宽为（5b-a）m的长方形草坪上修建两条宽为a m的通道．
（1）剩余草坪的面积是多少平方米
（2）若a=1，b=3，剩余草坪的面积
是多少平方米
解：（1）剩余草坪的面积是
（6a+5b-a）（5b-a-a）
=（5a+5b）（5b-2a）
=（-10a2+15ab+25b2）m2.
（2）当a=1，b=3时，
-10a2+15ab+25b2
=-10×12+15×1×3+25×32
=260(m2).
即a=1，b=3时，剩余草坪的面积是260 m2．
9. 观察下列各式:
（x-1）（x+1）=x2-1；
（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1.
（1）根据以上规律，则
（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=____________；
x7-1
（2）你能否由此归纳出一般规律
（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=____________；
（3）根据以上规律,求32 020+32 019+32 018+…+32+3+1的值．
xn+1-1
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