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第十一章 三角形
第6课时 三角形的外角
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
1. 判断∠α是否是△ABC的外角，如果是，请在( )里打“√”，如果不是，请打“×”.
( ) ( ) ( ) ( )
×
×
√
×
B. 三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.如图6-1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠A=68°，∠B=65°，则∠ACD=____________.
133°
【例1】如图6-2，图中是△ABC的外角的是 ( )
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
典型例题
知识点1 直接运用三角形外角的性质
C
1. 如图6-3，求x和y的值．
变式训练
解：由三角形的外角性质可知，x+70=x+x+10，
解得x=60.
则y=180-（60+70）=50．
【例2】如图6-4，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=50°，求∠C的度数.
典型例题
知识点2 三角形外角的性质结合平行线
解：∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB=∠A+∠E=25°+50°=75°.
∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=75°.
2. 如图6-5，AB∥CD，若∠A=50°，∠C=27°，求∠AEC的度数.
变式训练
解：∵AB∥CD，∠C=27°，
∴∠ABC=∠C=27°.
∵∠A=50°，
∴∠AEC=∠A+∠ABC=50°+27°=77°.
【例3】如图6-6，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．
典型例题
知识点3 运用三角形外角性质进行简单计算
解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①.∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②.把②代入①,
得3∠2=60°，∠2=20°．∴∠1=20°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°．
3. 如图6-7，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，若∠B=40°，求∠BAC的度数．
变式训练
A组
4. 如图6-8,已知△ABC的外角是∠ACD.
（1）若∠A=40°，∠B=60°，则∠ACD=____________；
（2）若∠ACD=130°，∠A=∠B，
则∠A=____________.
100°
65°
5. 如图6-9，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，则∠ADB的度数是____________.
100°
B组
6. 将一副三角板分别按图6-10和图6-11方式叠放，写出∠α的度数.
∠α=____________； ∠α=____________.
75°
15°
7. 如图6-12，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，求∠DFE的度数.
解：∵∠A=27°，
∠C=38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°.
∵∠B=45°，
∴∠DFE=∠AEB+
∠B=65°+45°=110°.
8. 如图6-13，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，且交AC于点E，∠A=30°，∠D=55°.
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数．
解：（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD=90°.
∴∠B=90°-∠D=35°.
∵∠ACD=∠B+∠A，
∠A=30°，
∴∠ACD=65°．
（2）∵∠FEC=∠ECD+∠D，∠ECD=65°，∠D=55°，
∴∠FEC=55°+65°=120°．
9. 如图6-14，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
证明：由三角形外角的性质，得∠EAC=∠B+∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B.
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD.
∴∠B=∠EAD.
∴AD∥BC．
C组
10. 如图6-15，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D.
（1）若∠A=60°，则∠D=____________；
（2）试猜想∠A与∠D的关系，并说明理由.
30°
11. 如图6-16，BD,CD分别是△ABC外角∠EBC,∠FCB的平分线.
（1）若∠A=40°，则∠D=____________；
（2）试猜想∠A与∠BDC的关系，并说明理由.
70°
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第一部分 新 课 内 容
第十一章 三角形
本章知识结构图
三角形的分类
核心内容
与三角形有关的线段 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边
三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高
锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点
三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点之间的线段叫做三角形的中线
与三角形有关的线段 三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点之间的线段叫做三角形的角平分线
三角形具有稳定性
三角形有三条中线，有三条高，有三条角平分线，它们都是线段
与三角形有关的角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
直角三角形的性质:在直角三角形中，两个锐角互余
三角形外角的性质：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角
多边形及其 内角和 多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180°（n≥3,且n为整数）
多边形的外角和等于360°
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第十一章 三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线及稳定性
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．三角形一边的中点与此边所对顶点之间的线段叫做三角形的中线．
（1）任意三角形都有三条中线，它们交于同一点，且在三角形的内部,这个点叫做三角形的重心；
（2）三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两部分；
（3）三角形的中线是线段.
BD
CD
BC
BC
BD
CD
B．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（1）任意三角形都有三条角平分线，它们交于同一点，在三角形的内部；
（2）三角形的角平分线是线段.
∠BAD
∠CAD
∠BAC
∠BAC
∠BAD
∠CAD
C．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
3. 如图3-3，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的____________．
稳定性
【例1】 画出图3-4中每个三角形的所有中线.
典型例题
知识点1 画三角形的中线与角平分线
解：如答图3-1.
1. 画出图3-5中每个三角形的所有角平分线.
变式训练
解：如答图3-2.
【例2】 如图3-6，在△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为____________．
典型例题
知识点2 三角形的中线与面积
5
2. 如图3-7，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=____________．
变式训练
4
【例3】 如图3-8，在△ABC中，AD为中线.
（1）若AB=18，AC=15，则△ABD与△ACD的周长之差为____________；
（2）若AB=12 cm，AC=9 cm，△ACD的
周长为27 cm，求△ABD的周长.
典型例题
知识点3 三角形的中线与周长
3
解：（2）∵△ACD的周长为27 cm，∴AC+DC+AD=27 cm.∵AC=9 cm，∴AD+CD=18 cm.∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.∴AD+BD=18 cm.∵AB=12 cm，∴AB+AD+BD=30 cm.∴△ABD的周长为30 cm.
3.如图3-9，AD是△ABC的中线.
（1）若AC=7，AB=3，且△ACD的周长为15，则△ABD的周长为____________；
（2）若△ADC的周长比△ABD的周长
多5 cm，AB+AC=13 cm，求AC的长．
变式训练
11
解：（2）∵AD是CB边上的中线，
∴D为CB的中点.
∴CD=BD．
∵△ADC的周长-
△ABD的周长=5 cm,
∴AC-AB=5 cm．
又∵AB+AC=13 cm，∴AC=9 cm．
即AC的长为9 cm．
【例4】下列图形具有稳定性的是 （ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形
C. 长方形 D. 梯形
典型例题
知识点4 三角形的稳定性
B
变式训练
4. 如图3-10，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是 ( )
A．两点之间的所有连线中线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有一条直线，且只有一条直线
D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，
垂线段最短
B
A组
5. 三角形的中线和角平分线都是 （ ）
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上都有可能
C
6. 下列图形具有稳定性的是 （ ）
A
D
8. 如图3-12，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，若CE=9 cm，则BC=____________ cm．
12
B组
9. 如图3-13，在△ABC中，AB=2 021，AC=2 020，AD为边BC上的中线，则△ABD和△ACD的周长的差为____________.
1
10. 如图3-14，在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为____________.
4
11. 如图3-15，已知△ABC（AB＜AC）．
（1）画BC边上的中线AD；
（2）画△ADC的AD边上的高CF；
（3）若AD=5，CF=3，求△ABC的面积．
解：（1）如答图3-3，AD即为所作.
（2）如答图3-3，CF即为所作.
C组
12. 如图3-16，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=6 cm，S△ABD=12 cm2，则BC=____________ cm．
8
13. 如图3-17，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD=2∶1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是____________.
4
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第十一章 三角形
第7课时 多边形及其内角和
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
1.下面图形中，是多边形的是 ( )
C
2. 填空：
（1）四边形的内角和为____________，正四边形每个内角的度数为____________；
（2）五边形的内角和为____________，正五边形每个内角的度数为____________；
（3）六边形的内角和为____________，正六边形每个内角的度数为____________；
（4）八边形的内角和为____________，正八边形每个内角的度数为___________.
360°
90°
540°
108°
720°
120°
1 080°
135°
【例1】如图7-1，已知AB∥CD，求x的值.
典型例题
知识点1 多边形内角和公式的直接运用
解：∵AB∥CD，∠C=60°，
∴∠B=180°-60°=120°.
∴（5-2）×180°=x+150°+125°+60°+120°.
解得x=85°.
1. 如图7-2,根据数量关系，求x的值.
变式训练
解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°,
∴x+x+x+30°+x-30°+60°=540°.
解得x=120°.
【例2】一个多边形的内角和等于1 080°，求这个多边形的边数.
典型例题
知识点2 已知内角和，求边数
解：设这个多边形的边数为n.根据题意,得：（n-2）×180°=1 080°.解得n=8.答：这个多边形的边数为8.
2. 一个多边形的内角和为1 260°，求这个多边形的边数．
变式训练
解：设这个多边形的边数是n.
则（n-2）×180°=1 260°.
解得n=9．
答:这个多边形的边数为9．
【例3】已知一个正多边形的每个内角都是150°，求这个正多边形的边数.
典型例题
知识点3 已知正多边形的每个内角，求边数
解：设这个正多边形的边数为n.根据题意,得（n-2）×180°=n×150°，解得n=12.
答：这个正多边形的边数为12.
3. 一个正多边形的每个内角的度数为144°，求这个正多边形的边数.
变式训练
解：设这个正多边形的边数为n.
∴（n-2）×180°=144°×n.
∴n=10．
答：这个正多边形的边数为10.
A组
4. 填空：
（1）七边形的内角和为____________；
（2）九边形的内角和为____________；
（3）正十边形的每个内角为____________；
（4）正十二边形的每个内角为____________.
900°
1 260°
144°
150°
5. 图7-3中x的值为____________.
130°
B组
6. 如果一个多边形的内角和等于720°，求它的边数.
解：设这个多边形的边数是n，则
（n-2）×180°=720°.
解得n=6．
答:这个多边形的边数是6.
7. 一个正多边形的各内角都等于120°，求它的边数.
8. 如图7-4，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为____________.
9. 如图7-5所示的是两个完全一样的正五边形，则∠α=_________.
30°
108°
10. 如图7-6，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1=∠2=∠3=∠4，求∠B和∠CAD的度数．
C组
11. 如图7-7，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD.
（1）若∠A=100°，∠B=120°，则∠P=____________；
（2）探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由.
110°
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第十一章 三角形
第8课时 多边形的外角和
目录
01
知识点导学
02
分层训练
1. 十边形的外角和为____________，正十边形的每个外角为____________，每个内角为____________.
360°
36°
144°
【例1】填空：
（1）七边形的内角和等于___________，外角和是____________；
（2）十二边形的内角和等于____________，外角和是____________；
（3）正五边形的每个内角等于____________，每个外角等于____________；
（4）正八边形的每个内角等于___________，每个外角等于____________.
典型例题
知识点1 多边形内角和与外角和
900°
360°
1 800°
360°
108°
72°
135°
45°
1. 填空：
（1）一个多边形的每个内角都为144°，则它的边数是___________；
（2）一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数是____________；
（3）一个多边形的每个外角都等于45°，则它的边数是____________;
(4)一个多边形的每个外角都等于36°,则它的边数是____________.
变式训练
10
12
8
10
【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和.
典型例题
知识点2 多边形内角和与外角和的综合运用
解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得（n-2）×180°=360°×3-180°. 解得n=7. ∴这个多边形的内角和为（7-2）×180°=900°.
答：这个多边形的边数是7，内角和是900°.
2. 某多边形内角和与外角和共1 080°，求这个多边形的边数.
变式训练
解：∵多边形内角和与外角和共1 080°，
∴这个多边形内角和=1 080°-360°=720°.
设这个多边形的边数是n，
∴（n-2）×180°=720°，解得n=6．
答：这个多边形的边数是6.
【例3】 如图8-1，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°，…,照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____________m．
典型例题
知识点3 多边形外角和的实际应用
120
3. 如图8-2，李明从A点出发沿直线前进5 m到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5 m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45 m，则每次旋转的角度α为____________.
变式训练
40°
A组
4. 填空：
（1）三角形的外角和等于____________；
（2）两千边形的外角和等于____________．
360°
360°
5. 填空：
(1) 如果一个n边形的每一个内角都等于108°，那么n=____________；
(2)如果 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是____________.
5
720°
B组
6. 若某多边形的内角和比外角和大900°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n.
则（n-2）×180°-360°=900°.
解得n=9．
答:这个多边形的边数是9.
7. 如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求该正多边形的每个外角度数.
8. 如图8-3，小华从A点出发，沿直线前进12 m后向左转24°，再沿直线前进12 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是____________m．
180
9. 如图8-4，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=220°，则∠1+∠2+∠3=____________.
220°
C组
10.填空：
（1）如图8-5①，∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=____________；
（2）如图8-5②，∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=____________；
（3）如图8-5③，∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=____________；
（4）如图8-5④，∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________.
360°
360°
360°
230°
11. 如图8-6,在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线交于点D，若∠BMN=130°，∠CNM=100°，求∠D的度数．
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第十一章 三角形
第9课时 三角形单元复习
【例1】下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：cm），用它们能摆出三角形的是 （ ）
A. 1，2，1 B. 1，2，2
C. 2，2，5 D. 2，3，5
典型例题
知识点1 三角形的三边关系
B
1. 已知三角形三边长为2，3，x，则x的取值范围是
（ ）
A．x＞1 B．x＜5
C．1＜x＜5 D．-1＜x＜5
变式训练
C
【例2】 如图9-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC的斜边AB上的高为 （ ）
A．CD B．AC
C．BC D．BD
典型例题
知识点2 与三角形有关的线段
A
2. 如图9-2，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5 cm，AC=3 cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多 （ ）
A．5 cm
B．3 cm
C．8 cm
D．2 cm
变式训练
D
【例3】 下列图形中具有稳定性的是 （ ）
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
典型例题
知识点3 三角形的稳定性
A
3. 如图9-3，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学
道理是____________________________.
变式训练
三角形具有稳定性
【例4】如图9-4，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．求∠EDA的度数．
典型例题
知识点4 三角形的内角和定理与外角的性质
4. 如图9-5,在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．
变式训练
典型例题
知识点5 多边形的内角和与外角和
【例5】 填空：
（1）若一个多边形的内角和是1 080°，则此多边形的边数为____________;
（2）五边形的外角和为____________.
8
360°
变式训练
5.填空：
（1）若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是____________；
（2）若一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是____________.
18
6
A组
6. 如图9-6，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是 （ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形具有稳定性
D
7. 一个三角形的两边长分别为3 cm和8 cm，则此三角形第三边的长可能是 （ ）
A. 3 cm B. 5 cm
C. 7 cm D. 11 cm
C
B组
8. 填空：
（1）十五边形的内角和为____________，外角和为____________；
（2）正十八边形的每个内角为____________，每个外角为____________；
（3）若一个多边形的每个外角为40°，则它的边数为____________；
（4）若一个正多边形的每个内角为150°，则它的边数为____________.
2 340°
360°
160°
20°
9
12
9. 如图9-7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则AC边上的高是__________ ，CD是__________ 边上的高．
10. 如图9-8，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，△ABC的面积为8，则△CDE的面积为____________.
BC
AB
2
C组
11. 如图9-9，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长
线于点F，求∠F的度数．
（2）∵∠ACB=80°，∠CBE=55°，
∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
12.如图9-10，∠MON=90°，点A,B分别在射线OM,ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．
（1）当∠ABO=70°时,∠D的度数是多少？
（2）随着点A,B的移动，试问∠D的大
小是否变化？请说出你的理由．
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第十一章 三角形
第5课时 三角形的内角(2)
——直角三角形
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．在直角三角形中，两个锐角互余． 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，则∠A=__________.
B.有两个角互余的三角形是直角三角形. 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，△ABC是_________三角形.
50°
直角
【例1】如图5-1，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，若∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数．
典型例题
知识点1 求直角三角形中锐角的度数
解：∵MN∥EF， ∴∠BCD=∠1=50°．在△BCD中，∠BCD=50°，∠2=60°，∴∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°．在Rt△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC=20°．
1. 如图5-2，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C=75°，求∠AOE的度数.
变式训练
解：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEO=∠ADC=90°.
∴∠EAO+∠AOE=90°，∠EAO+∠C=90°.
∴∠AOE=∠C=75°.
【例2】如图5-3，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，且∠A=30°，∠B=40°．求∠BFD和∠AEF的度数．
典型例题
知识点2 直角三角形的相关计算
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.
∴∠C=90°-∠A=90°-30°=60°，
∠BFD=90°-∠B=50°.在△BCE中，
∠BEC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°.∴∠AEF=180°-∠BEC=100°．
故∠BFD=50°，∠AEF=100°.
2. 如图5-4，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC=64°，∠AEB=70°．求∠CAD的度数.
变式训练
解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=64°.
∴∠ABE=32°.
在△ABE中,∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-32°-70°=78°.
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAE=180°-64°-78°=38°.
在Rt△ADC中,∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°.
【例3】 如图5-5,在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高．求证：∠1=∠B.
典型例题
知识点3 直角三角形的相关证明
证明：∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.∴∠1+∠C=90°.∴∠1=∠B.
3. 如图5-6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
变式训练
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠ADC=90°.
∴CD⊥AB．
A组
4. 已知△ABC中，∠C=90°.
（1）若∠A=50°，则∠B=____________；
（2）若∠A=2∠B，则∠A=____________，∠B=
____________；
（3）若∠B-∠A=20°，则∠A=____________，∠B=____________.
40°
60°
30°
35°
55°
5. 如图5-7，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为
（ ）
A. 65°
B. 35°
C. 55°
D. 45°
B
6. 如图5-8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为____________．
7.如图5-9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，若∠B=20°，则∠DAC=____________.
55°
20°
B组
8. 如图5-10，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠D=29°，求∠1的度数．
解：∵CD∥AB，∠D=29°，
∴∠ABD=∠D=29°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=58°.
∴∠1=90°-∠ABC=32°.
9. 如图5-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE=25°，求∠CAB的度数.
解：∵BE⊥AE，
∴∠E=∠C=90°.
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠DBE=25°.
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAD=50°.
C组
10. 如图5-12，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE=∠CEF．求证：AE平分∠CAB．
证明：∵CD⊥AB，
∴在△ADF中，∠DAF=90°-∠AFD=90°-∠CFE．
∵∠ACE=90°，
∴在△AEC中，∠CAE=90°-∠CEF．
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠DAF=∠CAE，即AE平分∠CAB．
11. 如图5-13，在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
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第十一章 三角形
第4课时 三角形的内角(1)
——三角形的内角和定理
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 1. 在△ABC中，若∠A=20°，∠B=80°，则∠C的度数为____________.
80°
【例1】 已知△ABC.
（1）若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则这个三角形是____________三角形；
（2）若∠A-∠B=25°，∠C=45°，则∠B=
____________，∠A=____________；
（3）若∠B=3∠A，∠C=5∠A，则∠A =
____________，∠B=____________，∠C=____________.
典型例题
知识点1 求三角形内角的度数
直角
55°
80°
20°
60°
100°
变式训练
锐角
31°
20°
80°
80°
【例2】如图4-1，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
典型例题
知识点2 三角形内角和结合角平分线
2. 如图4-2，在△ABC中，若∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
变式训练
【例3】如图4-3，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.
典型例题
知识点3 三角形内角和定理的实际应用
解：由题意，得∠EAB=
45°，∠EAC=20°，则∠BAC=65°.∵BD∥AE，∴∠DBA=∠EAB=45°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=35°.∴∠ACB=180°-65°-35°=80°．
3. 如图4-4，有一艘渔船上午九点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2 h到达B处，测得灯塔C在北偏东15°方向，求∠C的度数．
变式训练
解：∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，
∴∠MAC=60°.
∴∠CAB=30°.
∵行驶2 h到达B处，测得灯塔C在北偏东15°方向，
∴∠NBC=15°.
∴∠ABC=90°+15°=105°.
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-105°=45°．
A组
4. 已知△ABC.
（1）若∠A=105°，∠B=35°，则∠C=____________；
（2）若∠C-∠A=∠B，则∠C=____________；
（3）若∠A=30°，∠C=35°，则△ABC是
____________三角形.
40°
90°
钝角
5. 求图4-5中x的值.
解：依题意,得（x-36）°+（x+36）°+x°=180°.
解得x=60．
B组
6.如图4-6，在△ABC中，CD平分∠ACB，若∠A=68°，∠BCD=31°，求∠B的度数.
解：∵CD平分∠ACB，
∠BCD=31°，
∴∠ACB=2∠BCD=62°.
∵∠A=68°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=
180°-62°-68°=50°.
7.如图4-7,在△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC，∠A=60°，∠C=80°，求∠BDE的度数．
8. 如图4-8，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如答图4-1，连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，
∴∠CAB+∠ABC=
180°-（45°+25°）=110°.
∴∠ACB=180°-
（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°．
9. 如图4-9，在△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=65°，求∠APB的度数.
解：∵∠1=∠2，∠BAC=∠BAP+∠2=65°，
∴∠BAP+∠1=65°.
在△ABP中，∠APB=180°-
(∠BAP+∠1)=180°-65°=115°.
C组
10. 如图4-10，在△ABC中，BD,CD分别平分∠ABC,∠BCA.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，则∠D=
____________；
（2）若∠A=80°，求∠D的度数．
125°
11. 如图4-11，将△ABC一角折叠.
（1）若∠A=50°，则∠1+∠2=____________；
（2）若∠1+∠2=80°，则∠B+∠C=____________.
100°
140°
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第十1章 三角形
第1课时 三角形的边
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．三角形的定义：由不在同1条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
1.如图1-1所示的三角形可以记作____________，读作__________________.
（1）三角形的三条边是____________________;
（2）三个顶点是____________________;
（3）三个内角是_____________________;
（4）顶点A所对的边为____________，
顶点B所对的边为____________，
顶点C所对的边为____________.
△ABC
三角形ABC
线段AB,BC,CA
点A，B，C
∠A,∠B,∠C
BC
AC
AB
B．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 长度分别为2,3,5的三条线段，以它们为边能否组成三角形？
____________（填“能”或“不能”）.
不能
3. 给出下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的是_________________.
①③
【例1】以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是
( )
A．1 cm，1 cm，2 cm
B．3 cm，4 cm，5 cm
C．1 cm，4 cm，6 cm
D．2 cm，3 cm，7 cm
典型例题
知识点1 三角形的三边关系——判断能否构成三角形
B
1. 下列长度（单位：cm）的三条线段，不能围成三角形的是 ( )
A．3，8，4 B．9，15，8
C．15，20，8 D．6，4，9
变式训练
A
【例2】（1）若一个三角形的两边分别为4 cm和8 cm，则第三边的长x的取值范围是____________________________;
（2）已知三角形的三边长分别为1，x，5，且x为整数，则x=____________.
典型例题
知识点2 三角形的三边关系——求第三边的取值范围
4 cm＜x＜12 cm
5
2. （1）若设三角形三边的长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为____________________;
（2）若△ABC两边的长分别是2和5，且第三边的长为奇数，则第三边的长为____________.
变式训练
2＜a＜6
5
【例3】用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么该等腰三角形各边的长分别是多少
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
典型例题
知识点3 有关等腰三角形的计算
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则2x+2x+x=20，解得x=4.∴2x=8.∴该等腰三角形各边的长分别是8 cm，8 cm，4 cm．
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形.理由如下：①当底边长为4 cm时，腰长为8 cm,能围成三角形；②当腰长为4 cm时，底边长为12 cm，因为4+4＜12，故不能围成三角形，舍去.∴能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形．
3. 用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么该等腰三角形各边的长分别是多少？
（2）通过计算说明能否围成一个有一边的长为1 cm的等腰三角形.
变式训练
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
根据题意，得x+3x+3x=35.
解得x=5.∴3x=15.
∴该等腰三角形各边的长分别是5 cm，15 cm，15 cm.
A组
4. 下列各组数可作为一个三角形三边长的是 （ ）
A．4，6，8 B．4，5，9
C．1，2，4 D．5，5，11
5. 如果线段a，b，c能组成三角形，那么它们的长度比可能是 （ ）
A．1∶2∶4 B．2∶3∶4
C．3∶4∶7 D．1∶3∶4
A
B
6. 在△ABC中，AB=4，BC=10，第三边AC的长可能是
（ ）
A．5 B．7
C．14 D．16
7. 已知线段a=5，b=3，线段c与a，b构成三角形，则线段c的长度的取值范围是 ( )
A．c＞2 B．c＜8
C．2＜c＜8 D．无法确定
B
C
B组
8. 已知三角形的三边长分别为2,x,10，若x为正整数，则这样的三角形个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9. 填空：
（1）已知一个等腰三角形的一边的长为5，一边的长为2，则其周长为____________；
（2）若一个等腰三角形一边的长等于6，一边的长等于5，则它的周长为____________.
C
12
16或17
10. 在△ABC中，已知AB=3，AC=7，若第三边BC的长为偶数，求△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，AB=3，AC=7，
∴第三边BC的取值范围是4＜BC＜10.
∴符合条件的偶数是6或8.
∴当BC=6时，△ABC的周长为3+6+7=16；
当BC=8时，△ABC的周长为3+7+8=18．
∴△ABC的周长为16或18．
11. 有一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）通过计算说明能否围成一个一边长为5 cm的等腰三角形，并说明理由．
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
根据题意,得x+3x+3x=21.
解得x=3.∴底边长是3 cm．
C组
12. 观察如图1-2的图形，进行填空.
（1）图1-2②有____________个三角形,图1-2③有____________个三角形,图④有____________个三角形,…,猜测图1-2⑦有____________个三角形;
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有____________个三角形.（用含n的式子表示）
3
5
7
13
（2n-1）
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第十一章 三角形
第2课时 三角形的高
目录
01
知识点导学
02
分层训练
A．从三角形的一个顶点向底边所在的直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形的高是线段.
（1）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于该三角形内一点；
（2）直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；
（3）钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
1.画出图2-1中每个三角形的所有高.
解：如答图2-1.
【例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
典型例题
知识点1 三角形的高
C
1. 在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是 ( )
变式训练
C
【例2】如图2-2，已知△ABC，画出AC边上的高BD.
（1）若AC=8，BD=6，则S△ABC=____________；
（2）若BD=3，S△ABC=9，则AC=____________.
典型例题
知识点2 三角形的面积
24
6
解:高BD如答图2-2.
2. 如图2-3，已知△ABC，画出AB边上的高CD.
（1）若AB=4，CD=3，则S△ABC=____________；
（2）若AB=6，S△ABC=9，则CD=____________.
变式训练
解:高CD如答图2-3.
6
3
【例3】 如图2-4，AD，BE分别是△ABC的高，AD=4， BC=6，AC=5，求BE的长.
典型例题
知识点3 等面积法的运用
3. 如图2-5，在△ABC中，BC,AC边上的高分别是AD,BE．已知BC=5 cm，AD=6 cm，AC=7 cm，求BE的长度．
变式训练
A组
4. 在△ABC中，画出AC边上的高，下列画法正确的是
（ ）
C
5. 按要求画图：
（1） 画出如图2-6中△ABC的边BC上的高；
（2）画出如图2-7中△ABC的边AB上的高.
解:(1)如答图2-4.
(2)如答图2-5.
B组
6. 如图2-8，△ABC的边AC上的高是 （ ）
A．线段AE
B．线段BA
C．线段BD
D．线段DA
C
7. 用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 （ ）
B
8. 三角形三条高所在直线的交点在 （ ）
A．三角形内部
B．三角形外部
C．三角形内部或外部
D．三角形内部、外部或顶点
D
9. 如图2-9，已知AE=3，BD=2，则△ABC中BC边上的高的长度为____________.
3
10. 如图2-10，在△ACB中，∠ACB=90°,CD是△ABC的高，如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
C组
11.如图2-11，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，DE=DC.
（1）S△ABC=____________；
（2）求DE的长.
6
12.如图2-12,在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，BC边上的高AD=8，P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
（1）S△ABC=____________；
（2）求PE+PF的长.
48
谢 谢
