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第十三章 轴 对 称
第29课时 最短路径问题
（基础过关）
A组
1. 某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市的距离之和最短的是（ B ）
B
图F29-1
2. 如图F29-1，点A，B在直线l的同侧，AB＝4 cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC＝6 cm，则△ABD的周长为 10 cm.
10
3. 如图F29-2，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？
图F29-2
解：如答图F29-1，泵站修在管道的点D处可使所用的输气管线最短.
答图F29-1
4. 已知两点A（－3，2），B（3，4）. 在如图F29-3所示的平面直角坐标系中画出点A和点B；在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，并写出点P的坐标.
图F29-3
解：作图略，P（－1，0）.
（能力提升）
B组
5. 如图F29-4，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值等于（ A ）
图F29-4
A. BD B. CD C. CE D. AC
A
6. 如图F29-5，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠DCB＝60°，CD＝2AD，AB＝4.
图F29-5
（1）在边AB上求作点P，使PC＋PD最小；
（2）求出（1）中PC＋PD的最小值.
解：（1）如答图F29-2，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点P，点P即为所求.
答图F29-2
解：（2）∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∠DCB＝60°，
∴∠ADC＝120°.
由作图得AD＝AD'，
又∵CD＝2AD，
∴CD＝DD'.
∴∠DCD'＝∠DD'C＝30°.
∴∠PCB＝∠DCB－∠DCD'＝30°.
在Rt△PAD'和Rt△PBC中，可得PD'＝2PA，PC＝2PB，
∴CD'＝PD'＋PC＝2（PA＋PB）＝2AB＝8，即PC＋PD的最小值为8.
（拓展探究）
C组
7. 如图F29-6，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15.若在OA，OB上分别有动点M，N，则△PMN的周长的最小值是（ B ）
图F29-6
A. 5 B. 15 C. 20 D. 30
B
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第十三章 轴 对 称
第23课时 等腰三角形的性质（1）——等边对等角
（基础过关）
A组
1. 已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（ C ）
A. 40° B. 50°
C. 80° D. 100°
C
2. （RJ八上P82改编）如图F23-1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∠A＝45°，求∠DBC的度数.
图F23-1
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA.
∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝∠A＝45°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°－45°）÷2＝67.5°.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝22.5°.
3. （RJ八上P91改编）如图F23-2，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD，AE. 求∠DAE的度数.
图F23-2
4. 如图F23-3，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，求∠DAC的度数.
图F23-3
解：∵BD＝AD＝AC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠4＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2.
∵∠BAC＝108°，
∴∠2＋∠3＝180°－∠BAC＝180°－108°＝72°.
∴∠2＋2∠2＝72°.
∴∠2＝24°.∴∠1＝24°.
∴∠DAC＝∠BAC－∠1＝108°－24°＝84°.
（能力提升）
B组
5. 若等腰三角形中的一个外角等于130°，则它的顶角的度数是（ D ）
A.50° B.80°
C.65° D.50°或80°
D
6. （2022秋·番禺区校级期中）如图F23-4，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC. 求∠C，∠ADE的度数.
图F23-4
解：设∠C＝x.
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝x.
∴∠DEA＝∠C＋∠EDC＝2x.
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝2x.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAE＝3x.
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝3x.
∵∠BAC＝100°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°.
∴3x＋x＝80°.
∴x＝20°.
∴∠C＝∠EDC＝20°，∠ADB＝3x＝60°.
∴∠ADE＝180°－∠EDC－∠ADB＝100°.
（拓展探究）
C组
7. 如图F23-5，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，若AD＝DE，AC＝CD.
图F23-5
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长.
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC.
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3.
∵AC＝AB＝5，
∴AE＝AC－EC＝5－3＝2.
8. 如图F23-6，在△ABC中，∠BAC＝80°，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
图F23-6
（1）求∠PAQ的度数；
（2）若△APQ的周长为12，BC长为8，求PQ的长.
解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z.
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ.
∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.
∵∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°.
即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°，
∴x＝20°.
∴∠PAQ＝20°.
解：（2）∵△APQ的周长为12，
∴AQ＋PQ＋AP＝12.
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ＋PQ＋PB＝12，
即CQ＋BQ＋2PQ＝12，
BC＋2PQ＝12.
∵BC＝8，
∴PQ＝2.
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第十三章 轴 对 称
第20课时 线段的垂直平分线（1）——性质
（基础过关）
A组
1. 如图F20-1，直线CD是线段AB的垂直平分线，AC＝1.2 cm，BD＝2.7 cm，则四边形ACBD的周长为（ C ）
图F20-1
C
A. 3.9 cm B. 8.8 cm
C. 7.8 cm D. 无法计算
2. 如图F20-2，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，已知AB＝3，AC＝5，BC＝7，那么△ABD的周长为（ D ）
图F20-2
A. 12 B. 10 C. 11 D. 8
D
3. 如图F20-3，直线AD是线段BC的垂直平分线.求证：∠ABD＝∠ACD.
图F20-3
4. （RJ八上P62改编）如图F20-4，AD⊥BC，BD＝DC，C在AE的垂直平分线上. AB＋BD与DE有什么关系？并证明.
图F20-4
解：AB＋BD＝DE.
证明如下：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC.
∴AC＋CD＝AB＋BD.
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC.∴EC＋CD＝AC＋CD.
∴AB＋BD＝EC＋CD＝DE.
（能力提升）
B组
5. 如图F20-5，△ABC的周长为16 cm，AC＝6 cm，AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，则DC＝ 5 cm.
图F20-5
5
6. 如图F20-6，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分△ABC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H. 求证：∠PBH＝∠PCG.
图F20-6
证明：∵AP平分∠BAD，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PH＝PG.
∵PE垂直平分边BC，
∴PB＝PC.
（拓展探究）
C组
7. 如图F20-7，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12 cm.
图F20-7
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26 cm，求OA的长.
解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA.
同理可得EA＝EC.
∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝12 cm.
解：（2）∵l1垂直平分AB，∴OB＝OA.
同理可得OA＝OC.
∴OA＝OB＝OC.
又∵△OBC的周长为26 cm，BC＝12 cm，
∴OB＋OC＝26－12＝14（cm）.
∴OB＝OC＝14÷2＝7（cm）.
∴OA＝7 cm.
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第十三章 轴 对 称
第19课时 轴 对 称
（基础过关）
A组
1. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式. 下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ C ）
A
B
C
D
C
2. 运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象.下列图腾中，不是轴对称图形的是（ C ）
A
B
C
D
C
3. 如图F19-1，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ C ）
图F19-1
C
A. ∠ABC＝∠A'B'C'
B. AA'⊥MN
C. AB∥A'B'
D. BO＝B'O
4. 图F19-2中的图形是否是轴对称图形？如果是，请画出所有的对称轴.
图F19-2
解：前3个都是轴对称图形，只有最后一个不是，画对称轴如答图F19-1.
答图F19-1
（能力提升）
B组
5. 如图F19-3，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为（ B ）
图F19-3
B
A.4 cm2
B.8 cm2
C.12 cm2
D.16 cm2
6. 如图F19-4是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O.若
AB＝5 cm，CD＝3 cm，则四边形ABCD的周长是 16 cm .
图F19-4
16cm
7. （RJ八上P92改编）如图F19-5，试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格和填空.
图F19-5
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 3 4 5 6 7 …
根据上表，猜想正n边形有 n 条对称轴.
3
4
5
6
7
n
解：画对称轴如答图F19-2.
答图F19-2
（拓展探究）
C组
8. 如图F19-6，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成一个图形，请你分别在如图方格内添加2个阴影小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图F19-6①有且只有一条对称轴；图F19-6②有且只有两条对称轴；图F19-6③有且只有四条对称轴.
图F19-6
解：如答图F19-3.（答案不唯一）
答图F19-3
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第十三章 轴 对 称
第26课时 等边三角形的性质
（基础过关）
A组
1. 如图F26-1，AD是等边三角形ABC的高，AB＝6 cm，则BD＝ 3 cm，∠BAD＝ 30 °.
图F26-1
3
30
2. 如图F26-2，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF.若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是 30° .
图F26-2
30°
3. 如图F26-3，AD是等边三角形ABC的中线，E是AB上的点，且AE＝AD，求∠EDB的度数.
图F26-3
（能力提升）
B组
4. 如图F26-4，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上.若∠BEC＝90°，求∠ACE的度数.
图F26-4
解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即直线AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上，
∴BE＝CE.
∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠BEC＝90°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.
5. 如图F26-5，等边三角形ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，求CE的长度.
图F26-5
解：∵等边三角形ABC的边长为2，BD平分∠ABC，
∴CD＝AD＝1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵∠E＝30°，
∴∠EDC＝∠ACB－∠E＝60°－30°＝30°.
∴∠EDC＝∠E.
∴CE＝CD＝1.
（拓展探究）
C组
6. 如图F26-6，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形.求证：AD＝BE＝CF.
图F26-6
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°.
∵△DEF为等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED.
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第十三章 轴 对 称
第28课时 含30°锐角的直角三角形的性质
（基础过关）
A组
1. 如图F28-1，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为边AC的中点. 若BC＝6，则BD的长为（ A ）
图F28-1
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
A
2. 如图F28-2，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求BC和AD的长.
图F28-2
解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵CD⊥AB于点D，
∴∠DCB＝90°－∠B＝30°.
∴BC＝2BD＝6.∴AB＝2BC＝12.
∴AD＝AB－BD＝9.
3. 如图F28-3，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D.若BE＝8 cm，∠B＝15°，求AC的长度.
图F28-3
（能力提升）
B组
4. 如图F28-4，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为（ A ）
图F28-4
A
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
5. 如图F28-5，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
图F28-5
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长.
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵FE⊥BC，
∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°.
∴∠F＝∠BDE.
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA.∴AF＝AD.
∴△ADF是等腰三角形.
（拓展探究）
C组
6. 如图F28-6，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边AB，BC上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s.
图F28-6
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵6÷2＝3，
∴0≤t≤3，BP＝（6－2t）cm，BQ＝t cm.
当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，即6－2t＝t.解得t＝2.
∴当t＝2时，△PBQ为等边三角形.
解：（2）若△PBQ为直角三角形，分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，即6－2t＝2t.解得t＝1.5；
②当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，即t＝2（6－2t）.解得t＝2.4.
综上所述，当t＝1.5或t＝2.4时，△PBQ为直角三角形.
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第十三章 轴 对 称
第21课时 线段的垂直平分线（2）——判定
（基础过关）
A组
1. 如图F21-1，AM＝AN，BM＝BN，则直线 AB 是线段 MN 的垂直平分线.
图F21-1
AB
MN
2. 如图F21-2，AC＝AD，线段AB经过线段CD的中点E.求证：BC＝BD.
图F21-2
证明：∵AC＝AD，E是CD的中点，
∴AB垂直平分CD.
∴BC＝BD.
3. 如图F21-3，在△ABC中，AB＞AC.
图F21-3
（1）用直尺和圆规作BC的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝6，AC＝4，求△ACD的周长.
解：（1）如答图F21-1，直线MN即为所作.
答图F21-1
解：（2）由（1）知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝DB.
∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB.
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ACD的周长为10.
若AC＝BC，则直线CD是线段AB的垂直
平分线
B. 若AD＝DB，则AC＝BC
C. 若CD⊥AB，则AC＝BC
D. 若直线CD是线段AB的垂直平分线，则AC＝BC
（能力提升）
B组
4. 如图F21-4，下列说法正确的是（ D ）
图F21-4
D
5. 如图F21-5，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10. 请你解答下列问题：
图F21-5
（1）BC的长为 10 ；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由.
解：（2）点O在边BC的垂直平分线上，
理由如下：如答图F21-2，连接AO，BO，CO.
10
∵l1与l2分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO.∴OB＝OC.
∴点O在边BC的垂直平分线上.
答图F21-2
（拓展探究）
C组
6. 如图F21-6，AP平分△ABC的外角∠DAC，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BD＝CE.
图F21-6
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）求证：AC－2AE＝AB.
证明：（1）如答图F21-3，连接BP.
答图F21-3
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第十三章 轴 对 称
第22课时 画轴对称图形
（基础过关）
A组
1. 下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ B ）
A
B
B
C
D
2. 如图F22-1，已知△ABC，画出△ABC关于直线AC对称的△A1C1B1.
图F22-1
解：如答图F22-1，△A1C1B1即为所作.
答图F22-1
3. 点P（－6，1）关于x轴对称的点的坐标是（ A ）
A. （－6，－1） B. （1，－6）
C. （6，1） D. （6，－1）
A
图F22-2
4. （2022秋·深圳期末）如图F22-2是战机在空中展示的
轴对称队形，以飞机B，C所在直线为x轴，队形的对称轴
为y轴，建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为（40，
－35），则飞机D的坐标为 （－40，－35） .
（－40，－35）
（能力提升）
B组
5. 若点（3＋m，n－2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），则m，n的值为（ C ）
A. m＝－6，n＝－4 B. m＝0，n＝4
C. m＝－6，n＝4 D. m＝－6，n＝0
C
6. 如图F22-3是由三个小正方形组成的图形.若在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 4 种补法.
图F22-3
4
7. 如图F22-4，△ABC的顶点A的坐标为（－1，4），把△ABC沿y轴向下平移4个单位长度得到△A'B'C'，再以y轴为对称轴画轴对称图形，得到△A″B″C″.
图F22-4
（1）请画出△A'B'C'与△A″B″C″；
（2）写出点A″，B″，C″的坐标：
A″ （1，0） ，B″ （4，－1） ，
C″ （3，－3） ；
解：（1）略.
（1，0）
（4，－1）
（3，－3）
（拓展探究）
C组
8. 点P（a，a－2）与点Q关于y轴对称，若PQ＝8，求点P的坐标.
解：∵PQ＝8，
∴a＝±4.
∴a－2＝－6或a－2＝2.
∴点P的坐标为（4，2）或（－4，－6）.
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第十三章 轴 对 称
第27课时 等边三角形的判定
（基础过关）
A组
1. 如图F27-1，下列条件能判定△ABC是等边三角形的有 ②③④⑤ .（填序号）
图F27-1
②③④⑤
①AB＝AC；
②AB＝AC＝BC；
③∠A＝∠B＝∠C；
④AB＝AC，∠B＝60°；
⑤∠A＝∠B＝60°.
2. 如图F27-2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD＝CD. 求证：△ABD是等边三角形.
图F27-2
证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－
90°－30°＝60°.
又∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°.
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，
∠BAD＝90°－∠DAC＝60°.
∴∠BAD＝∠B＝∠ADB.
∴△ABD是等边三角形.
3. 如图F27-3，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.求证：△DEC为等边三角形.
图F27-3
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC.
∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C.
∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC.
∴∠DEC＝∠C＝∠EDC.
∴△DEC为等边三角形.
（能力提升）
B组
4. 如图F27-4，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝CF，∠BDE＝30°.求证：△ABC是等边三角形.
图F27-4
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形.
（拓展探究）
C组
5. （创新题）如图F27-5，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
图F27-5
（1）当E为AB的中点时，如图F27-5①.求证：EC＝ED；
（2）当E不是AB的中点时，
如图F27-5②，过点E作EF∥BC.
求证：△AEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由.
（2）证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.
∴∠A＝∠AEF＝∠AFE.
∴△AEF是等边三角形.
（3）解：EC＝ED.
理由如下：∵∠AFE＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF.
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第十三章 轴 对 称
第24课时 等腰三角形的性质（2）——三线合一
（基础过关）
A组
1. （2022秋·中山市期末）如图F24-1，在△ABC中，AB＝AC，中线AD与角平分线CE相交于点F，已知∠ACB＝40°，则∠AFC的度数为（ B ）
图F24-1
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
B
2. （RJ八上P82改编）如图F24-2，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，BD＝4 m.
图F24-2
（1）∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
（2）求BC的长度.
解：（2）∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BC＝2BD＝8（m）.
图F24-3
3. 如图F24-3，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数.
（能力提升）
B组
4. 如图F24-4，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
图F24-4
证明：如答图F24-1，连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD垂直平分EF.
∴DE＝DF.
答图F24-1
（拓展探究）
C组
5. 如图F24-5，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且满足AD＋BC＝AB.求证：
图F24-5
（1）AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC；
（2）AE⊥BE.
证明：（1）如答图F24-2，延长AE与BC的延长线交于点F.
答图F24-2
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△AED≌△FEC（AAS）.
∴AD＝CF，AE＝EF.
∵AD＋BC＝AB，
∴CF＋BC＝AB，即BF＝BA.
∴∠F＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠DAE.
∴AE平分∠BAD.
∵AE＝EF，BA＝BF，
∴BE平分∠ABC.
证明：（2）由（1）得BA＝BF，AE＝EF，
∴AE⊥BE.
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第十三章 轴 对 称
第25课时 等腰三角形的判定
（基础过关）
A组
1. 如图F25-1，线段AC，BD互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（ C ）
图F25-1
C
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2. 如图F25-2，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°. 求证：AB＝AC.
图F25-2
证明：∵∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－（40°＋70°）＝70°，
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
3. （RJ八上P82）如图F25-3，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E. 求证：△CEB是等腰三角形.
图F25-3
证明：∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB.
又∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B.
∴CE＝CB.
∴△CEB是等腰三角形.
4. （RJ八上P79）如图F25-4，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB. 求证：OC＝OD.
图F25-4
证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B.
∴∠C＝∠D.
∴OC＝OD.
（能力提升）
B组
5. 如图F25-5，共有等腰三角形（ B ）
图F25-5
A. 4个
B. 5个
C. 3个
D. 2个
B
6. 如图F25-6，把一张长方形ABCD（AD∥BC，AB∥DC）的纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置上，ED'，BC的交点为G，判断△GEF的形状，并说明理由.
图F25-6
解：△GEF是等腰三角形.理由如下.
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG.
又由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∴∠GEF＝∠EFG.
∴GE＝GF.
∴△GEF是等腰三角形.
7. 如图F25-7，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.求证：CE＝CF.
图F25-7
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠A＝∠BCD.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE.
∴∠CFE＝∠BCD＋∠CBE＝∠A＋∠ABE.
∵∠CEF＝∠A＋∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE.
∴CE＝CF.
（拓展探究）
C组
8. 如图F25-8，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ B ）
图F25-8
B
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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第十三章 轴 对 称
第30课时 轴对称章节复习
（基础过关）
A组
1. 下列四个图分别是四届冬奥会的部分图标，其中是轴对称图形的为（ D ）
D
2. 点（3，3）关于x轴对称的点的坐标是（ A ）
A. （3，－3） B. （－3，3）
C. （3，3） D. （－3，－3）
3. 若一个等腰三角形的两边长分别为5，10，则第三边的长为（ B ）
A. 5 B. 10 C. 6 D. 5或10
A
B
4. 如图F30-1，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形.
图F30-1
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
5. 如图F30-2，已知点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（－3，－2），点C的坐标为（5，2）
图F30-2
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找点P，使PA＋PC的值最小，并观察图形，写出点P的坐标.
解：（1）作图略，A'（－2，4），B'（3，－2），C'（－5，2）.
解：（3）作图略，P（4，0）.
（能力提升）
B组
6. 如图F30-3，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.求证：
图F30-3
（1）△ABD≌△BCE；
（2）∠AFE＝60°.
证明：（2）由（1）得△ABD≌△BCE，∴∠BAF＝∠FBD.
∴∠AFE＝∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠FBD＝∠ABD＝60°.
7. 如图F30-4，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD，等边三角形ABE. 已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. 求证：AC＝EF.
图F30-4
（拓展探究）
C组
8. 如图F30-5，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A，C，E三点共线. AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC. 以下六个结论：①AD＝BE；②∠AOE＝120°；③DE＝DP；④OA＝OB＋OC；⑤△PCQ是等边三角形；⑥OC平分∠BCD.其中正确的结论有（ A ）
A
图F30-5
A. ①②④⑤
B. ①②⑤⑥
C. ③④⑤⑥
D. ①②④⑥
谢 谢！
