(共12张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
课标新导向（五）
目录
01
跨学科融合
02
数学文化
03
情境创设
跨学科融合
1. （跨学科与生物融合）淋巴细胞是机体免疫应答功能的重要细胞成分，是对抗外界感染和监控体内细胞变异的一线“士兵”，最小的淋巴细胞直径仅4μm，则下列用科学记数法表示4μm正确的是（ B ）
A.0.4×10－5 m B.4×10－6 m
C.40×10－7 m D.4×106 m
B
D
数学文化
3. （代数与传统文化）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六百贯二一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？
（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ B ）
B
4. （代数与传统文化）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一.它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就.其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里.问善行者几何里及之.大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里.问：善行者走多少里时追上了不善行者？
情境创设
（1）甲、乙两种什锦糖的单价各是多少？
（2）你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？
谢 谢！(共24张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第59课时 分式方程的应用（2）——行程问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
行程问题常用关系式：
v顺水，v逆水，v静水，v水流之间的关系式为
v顺水＝ v静水＋v水流 ；
v逆水＝ v静水－v水流 .
v静水＋v水流
v静水－v水流
写出上边公式的变形公式：
（1）路程＝ 速度×时间 ；
速度×时间
典型例题
【例1】某人骑自行车比步行每小时多行8 km，如果他步行12 km所用的时间与骑车行36 km所用的时间相等，那么他的步行速度为多少？
知识点1：分式1＝分式2
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：他的步行速度为4 km/h.
变式训练
1. A，B两地相距48 km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用的时间是顺流航行所用的时间的2倍.已知水流速度为4 km/h，求该轮船在静水中的速度.
解得 x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
答：轮船在静水中的速度是12 km/h.
典型例题
【例2】（RJ八上P154）八年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.
知识点2：分式1－分式2＝常数
解得x＝0.25.
经检验，x＝0.25是原分式方程的解，且符合题意.
答：骑车学生的速度为0.25 km/min.
变式训练
2. （RJ八上P154）甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3 ∶4，结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙两人的速度.
解得x＝1.5.
经检验，x＝1.5是原分式方程的解，且符合题意.
∴3x＝4.5，4x＝6.
答：甲的速度为4.5 km/h，乙的速度为6 km/h.
典型例题
【例3】冬奥公园马拉松线路设计分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑.小明先进行了2 km智慧跑，接着进行了4 km堤上跑，一共用时40 min.已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的平均速度的1.5倍，求小明进行智慧跑、堤上跑的平均速度.
知识点3：分式1＋分式2＝常数
答：小明进行智慧跑的平均速度为7 km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5 km/h.
变式训练
3.小华家离学校一共2 120 m，其中一段是720 m的上坡路，另一段是下坡路，他跑步去学校共用了16 min.已知小华在下坡路上的平均速度是上坡路上的平均速度的2.5倍，求小华上坡、下坡的平均速度.
答：小华上坡的平均速度为80 m/min，下坡的平均速度为200 m/min.
分层训练
基础巩固
4. （2022·深圳三模）《九章算术》中有问题：把一份文件送到900里外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为（ B ）
B
能力提升
5. （RJ八上P155改编）两个小组同时开始攀登一座450 m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15 min到达峰顶.求第二组的攀登速度.
经检验，x＝300是原分式方程的解，且符合题意.
答：第二组的攀登速度为300 m/h.
核心素养
6. （应用意识）（RJ八上P159改编）一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地.
（1）原计划的行驶速度是多少？
（2）这辆汽车实际花费了多长时间到达目的地？
谢 谢！(共22张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第48课时 分式的基本性质（1）——约分
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A.分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以） 同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
同一个不等于0的整
式
公因式
公因式
②④
典型例题
【例1】在下列括号内填入适当的式子，使等式成立：
知识点1：分式基本性质的运用
变式训练
1. 在括号内填入适当的式子，使下列等式成立：
典型例题
【例2】约分：
知识点2：约分（能因式分解的先因式分解）
变式训练
2. 约分：
分层训练
基础巩固
3. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ B ）
B
2y
1
－1
能力提升
5. 约分：
解：原式＝m.
6. 约分：
解：原式＝2－m.
解：原式＝2x－2y.
7. 下列分式中，属于最简分式的是（ C ）
C
A.扩大到原来的8倍
B.缩小到原来的8倍
D.不变
A
核心素养
9.（运算能力）阅读下列解题过程，并完成问题：
谢 谢！(共16张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第52课时 分式的加减（1）
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A.同分母分式相加减，分母不变，把分子 相加减 .
B.异分母分式相加减，先 通分 ，变为同分母的分式，再加减.
相加减
1
通分
典型例题
【例1】计算：
知识点1：同分母分式相加减——分母是单项式
变式训练
1. 计算：
解：（1）原式＝1.
解：（2）原式＝4.
典型例题
【例2】计算：
解：（1）原式＝2.
知识点2：同分母分式相加减——分母是多项式
变式训练
2. 计算：
典型例题
【例3】 计算：
知识点3：异分母分式相加减——分母是单项式
变式训练
3. 计算：
分层训练
基础巩固
能力提升
6. 计算：
解：原式＝1.
解：原式＝a＋b.
7. 计算：
核心素养
谢 谢！(共25张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第49课时 分式的基本性质（2）——通分
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A.通常取各分母系数的 最小公倍数 与字母因式的 最高次幂 的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.
最小公倍数
最高次幂
12x2y3
典型例题
2xy2
a（a＋
b）（a－b）
知识点1：最简公分母
变式训练
12x2y3
x（x＋3）
（x－3）
典型例题
【例2】通分：
知识点2：通分——最简公分母是单项式
变式训练
2. 通分：
【例3】通分：
典型例题
知识点3：通分——最简公分母是多项式
变式训练
3. 通分：
分层训练
基础巩固
2
3z
9ab2c2
6（x＋
1）
6. 通分：
7.通分：
能力提升
8. 通分：
9. 通分：
核心素养
谢 谢！
众
3
B.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同
分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
2.将分式x一化成分母为x(x十2)的分式：
解：(2)
必
x'3ac
3acx
6ab2 6ab2.3ac
18a2b2c
y一三
y2b
2by
9a2bc 9a2bc.2b
18a2b2c
解：
a-1
a-1)(a-1)=a2-
2a+1
a2+2a+1
(a+1)2·(a-1)(a+1)2(a-1
6(a+1
a2-1(a+1)(a-1)(a+1
6a+6
(a+1)2(a一1)
解
a2-3a
2a+6
2(a+3(a-3)
a
2a-2
a2一9
2(a+3)(a-3
解：
x3y-x2y2
x十yxyx十y(x一y)
十y
x2y一xy2xyx+y)x-y)
解：
1
x一1
x2一x
x(x一1)2
1
X
x2一2x+1
x(x一1)2
(2)将分式通分时，要将分式的分子
与分母同时乘，将分式的分子与分母同时
X
乘
解
bx
ac
abc
y
y
bc
abc
解：
y+1
y1
y2-1
1
_y
y+1y2一
解：
xy
2xY
x2
2y 2xy(共18张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第53课时 分式的加减（2）
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
【例1】计算：
知识点1：异分母分式相加减——分母是多项式
变式训练
1. 计算：
典型例题
【例2】 计算：
知识点2：分式与整数相加减
变式训练
2.计算：
典型例题
【例3】 计算：
知识点3：分式与整式相加减
变式训练
3.计算：
分层训练
基础巩固
能力提升
6.计算：
7. 计算：
解：原式＝1.
解：原式＝2.
9. 绿化队原来用漫灌的方式浇绿地，a天用水m t，现在改用喷灌的方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天节约用水多少吨？
核心素养
谢 谢！
众
3
解：原式
(a+1)(a-1)
a
a+1
a+1
a+1
1
a+1
解：原来每天的用水量为”，改用喷灌的方式后每天
的用水量为
则现在比原来每天节约用水”一
a+3
3m
a(a+3)
解：
x一3
A(x一1)十B(x+1)
x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)
3=A(x一1)+B(x十1)
B=(A十B)x十（一A十B)
解：原式
2
2x+1+x2(x一1)
x2一1
2x+1
x(x2一2+1
(x2一2)+1
将x2一2=0代入，得原式=1.(共21张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第54课时 分式的混合运算
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算 乘除 ，最后算 加减 ，有括号先算括号里面的.
下列运算正确的是（ B ）
乘除
加减
B
典型例题
知识点1：分式的混合运算——无括号
变式训练
典型例题
知识点2：分式的混合运算——有括号
变式训练
典型例题
【例3】先化简，再求值：
知识点3：分式的化简求值
3. 先化简，再求值：
分层训练
基础巩固
能力提升
谢 谢！
众
3
解：原式=
(x一2)2
x+1
(x+1)(x一1)x(x一2)
X一2
x(x一1)
解：原式=
2(x+3)
。(x一1)2
x+1
(x+1)(x一1)
x+3
2x2x一2
x+1
x+1
2
x+1
解：原式
2一16
2x
x2一16
2
解：原式=「
(x一2)
x+2
x+2)(x一2)
x+2
X一1
2
x+2
x+2
一1
2
1
解：原式=
m
m+1
m2+2m+1
m
(m+1)
m+1
=m十1.
当m=一2时，原式=一2十1=一1.
解：原式=x一2
。
x+4x2十x
x+1
x+1
x+1
(x一2)24一x2
x+1
x+1
(x一2)
X+1
x+1
(2+x)(2一x)
解：原式
X一1
1
(x一1)2
x十1
x+1
1
x一1
(x+1)(x一1)
(x+1)(x一1)
x2
解：原式=之。
(x+1)(x一1)
x一1
解：原式=
2a
a21
a21
2(2+a)
a
a+2
解：原式=x二2。
(x+2)(x一2)
X
(x一2)2
x+2
解：原式=
m+1
.2(m+1)
m+2
(m+1)2
2
m+2
当m=一4时，原式
解：原式=a(a一1。
(a+1)2
+1
2-1.
当a=2时，原式=22一1=3.
9x2
解：原式=
3x
y2
3x十y
9x
3x(3x十y)
y2(3x十y)y2(3x+y)
9x29x2-3xy
y2(3x+y)
3x
3xy十
y
以.（运茅能力)先化间：（，a+1)片a,4
然
a+1
后在一1,0,1,2四个数中给a选择一个你喜欢的数代
入求值.(共24张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第60课时 分式方程的应用（3）——其他问题
目录
01
典型例题
02
变式训练
03
分层训练
典型例题
【例1】足球的单价比跳绳的单价多35元，用400元购得的跳绳数量和用1 100元购得的足球数量相等.跳绳和足球的单价各是多少元？
知识点1：分式1＝分式2
解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＋35＝55.
答：跳绳的单价为20元，足球的单价为55元.
变式训练
1. 某文具店王老板用180元购进第一批文具，很快售完；王老板又用600元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元，第二批文具每套进价多少元？
答：第二批文具每套进价为20元.
典型例题
【例2】已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5 400元购进的甲种书柜的数量比用6 300元购进乙种书柜的数量少6个.每个甲种书柜的进价为多少元？
知识点2：分式1－分式2＝常数
解得x＝300.
经检验，x＝300是原分式方程的解，且符合题意.∴1.2x＝360.
答：每个甲种书柜的进价为360元.
变式训练
2. 商场经营的某品牌童装，4月份的销售额为20 000元，为了扩大销量，5月份商场对这种童装打九折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7 000元.求该童装4月份的销售单价.
解得x＝200.
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意.
答：该童装4月份的销售单价为200元.
典型例题
【例3】某商店准备用3 000元购进A，B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍.求A，B两种香包的单价.
知识点3：分式1＋分式2＝常数
解得x＝15.
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.∴2x＝30.
答：A种香包的单价为30元，B种香包的单价为15元.
变式训练
3. 张阿姨中秋节前后两次到某超市购买同一种月饼，节前按标价购买了90元的月饼，节后按标价的一半价格购买了36元的月饼，两次一共买了27个月饼，这种月饼的标价是每个多少元？
答：这种月饼的标价是每个6元.
分层训练
基础巩固
5. 某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（ B ）
B
能力提升
6. 已知A奖品的单价比B奖品的单价多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.求A，B奖品的单价.
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
∴x－25＝15.
答：A奖品的单价为40元，B奖品的单价为15元.
7. 某学校计划选购A，B两种图书，已知A种图书每本的价格是B种图书每本的价格的2.5倍，用1 500元单独购买A种图书比用1 200元单独购买B种图书要少25本.A，B两种图书每本的价格分别为多少元？
解得x＝24.
经检验，x＝24是原分式方程的解，且符合题意.
∴2.5x＝2.5×24＝60.
答：A种图书每本的价格为60元，B种图书每本的价格为24元.
核心素养
（1）购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需要多少元？
（2）若商店一次性购买A，B纪念品共200件，要使总费用不超过3 000元，最少要购买多少件B种纪念品？
解：（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200－m）件A种纪念品.
由题意，得16（200－m）＋12m≤3 000.解得m≥50.
答：最少要购买50件B种纪念品.
谢 谢！(共23张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第55课时 负整数指数幂及科学记数法
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
1. 计算：
2. 将0.000 010 3用科学记数法表示为 1.03×10－5 .
a×10－n
1.03×10－5
典型例题
【例1】计算：
9
知识点1：负整数指数幂
3
变式训练
1. 计算：
2
典型例题
【例2】计算，并把结果写成正整数指数幂的形式：
（3）2（m－3）－2＝ 2m6 ；
（4）x－2÷x－3＝ x ；
2m6
x
知识点2：整数指数幂的计算
（5）a－1b2·3a－2b－1；
（6）a－2b3÷（a2b）－3.
解：原式＝a－2b3÷a－6b－3
＝a4b6.
变式训练
2.计算，并把结果写成正整数指数幂的形式：
（5）a－3b2÷3a－2b－1；
（6）（a－3b）2·（a－2b）－3.
典型例题
【例3】用科学记数法表示下列各数：
（1）0.085＝ 8.5×10－2 ；
（2）0.000 03＝ 3×10－5 ；
（3）0.000 006 4＝ 6.4×10－6 ；
（4）－0.000 031 4＝ －3.14×10－5 .
8.5×10－2
3×10－5
6.4×10－6
－3.14×10－5
知识点3：用科学记数法表示较小的数
变式训练
3. 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 000 000 01＝ 1×10－11 ；
（2）0.000 000 127＝ 1.27×10－7 ；
（3）－0.000 000 081 3＝ －8.13×10－8 ；
（4）0.000 000 000 33＝ 3.3×10－10 .
1×10－11
1.27×10－7
－8.13×10－8
3.3×10－10
典型例题
【例4】下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
（1）8×10－4＝ 0.000 8 ；
（2）3.14×10－5＝ 0.000 031 4 .
0.000 8
0.000 031 4
知识点4：还原用科学记数法表示的数
变式训练
4. 下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
（1）－1×10－5＝ －0.000 01 ；
（2）2.25×10－8＝ 0.000 000 022 5 .
－0.000 01
0.000 000 022 5
分层训练
基础巩固
5. （2022秋·广州期末）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1 cm3可燃冰的质量仅为0.000 92 kg.数字0.000 92用科学记数法表示是（ D ）
A.9×10－4 B.92×10－3
C.9.2×10－3 D.9.2×10－4
D
6. 人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元.某个神经元的直径约为52微米，52微米为5.2×10－5米.将5.2×10－5用小数表示为（ C ）
A.0.005 2 B.0.000 52
C.0.000 052 D.0.000 005 2
C
－5×10－4
7.8×10－5
－1
x2
10. 计算：
11. 计算，并把结果写成只有正整数指数幂的形式：
（1）3a－2b·2ab－2；
（2）4xy2z÷（－2x－2yz－1）.
解：原式＝－2x3yz2.
12. （RJ八上P147改编）计算，结果用科学记数法表示：
（1）（2×107）×（8×10－9）；
解：原式＝（2×8）×（107×10－9）
＝16×10－2
＝1.6×10－1.
（2）（6×10－3）2÷（2×10－1）2.
解：原式＝（36×10－6）÷（4×10－2）
＝（36÷4）×（10－6÷10－2）
＝9×10－4.
核心素养
13.（运算能力）已知x＋x－1＝3，求各式的值：（1）x2＋x－2；（2）x4＋x－4.
解：（1）∵x＋x－1＝3，∴（x＋x－1）2＝x2＋2＋x－2＝9.∴x2＋x－2＝7.
（2）由（1）得（x2＋x－2）2＝x4＋2＋x－4＝49，∴x4＋x－4＝47.
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第十五章 分 式
第51课时 分式的乘除（2）——乘方及乘除法混合运算
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
典型例题
【例1】计算：
知识点1：分式的乘方
变式训练
1. 计算：
典型例题
【例2】计算：
知识点2：分式乘除与乘方的混合运算
变式训练
2. 计算：
典型例题
【例3】计算：
知识点3：分式乘除的混合运算
变式训练
3. 计算：
分层训练
基础巩固
4. 下列分式运算，正确的是（ D ）
D
能力提升
9. 先化简，再求值：
核心素养
10. （运算能力、推理能力）小明在做一道化简求值题：
解：能.
谢 谢！
众
3
解：原式-3
1
(x+2)(x一2)
X一2
(x+3)(x一3)
x+2
(x一3)2
解：原式-2中.二.(x一y)
x一y2x十y
=(x一y)2
解：
原式=x+2x-2y)·名：
一x(x-2y)
=一y
解：原式=一
(x-3)x3
x+2
x+2
m
4
3
m
3
A.
n5
B
3x
3x3
7m3
m
4y3
4a2
ad
D.
a2一b2
b
d
bc
0。a-2
解；原式=-0+a一.2a+
(a+4)2
a+2
-2a
a+2
当a=3时，原式=4二23
3+2
(xy-)÷2-2y+.,
他不小心把条件x的值
x2
抄丢了，只抄了y=一5，你说他能算出这道题的正确结
果吗？为什么？
理由如下
,原式=一x(x一
。
分式的值与x的值无关
他能算出这道题的正确结果，结果是5.
解：(1)规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等(共24张PPT)
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第十五章 分 式
第56课时 分式方程的解法（1）——分母不需要因式分解
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A.分母含有 未知数 的方程叫做分式方程.
1. 下列方程是分式方程的打“√”，否则打“ ”.
未知数
√
x＝1
典型例题
【例1】下列各式中是分式方程的是（ D ）
B.x2＋1＝y
D
知识点1：分式方程的概念
变式训练
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
典型例题
【例2】解方程：
知识点2：经过变形分母相同的分式方程
解得x＝1.
经检验，原分式方程的解是x＝1.
解得x＝5.
经检验，原分式方程无解.
变式训练
2. 解方程：
解得x＝0.
经检验，原分式方程的解是x＝0.
典型例题
【例3】解方程：
知识点3：最简公分母为所有分母乘积的分式方程
解得x＝2.
经检验，原分式方程的解是x＝2.
解得x＝－5.
经检验，原分式方程的解是x＝－5.
变式训练
3. 解方程：
解得x＝－4.
经检验，原分式方程的解是x＝－4.
分层训练
基础巩固
4. 下列方程中，不是分式方程的是（ A ）
A
A.x＝－1 B.x＝0
C.x＝1 D.无解
A
A. 3－（x＋2）＝2（x－1）
B.3－x＋2＝2（x－1）
C.3－（x＋2）＝2
D.3＋（x＋2）＝2（x－1）
A
能力提升
解：方程两边乘1.2x，得1.2×6 000－6 000＝8×1.2x.
解得x＝125.
经检验，原分式方程的解是x＝125.
核心素养
解：方程去分母，得x－m＝1.
∴x＝m＋1.
当x＝2时分母为0，方程无解，
∴m＋1＝2.解得m＝1.
解：方程去分母，得x－6＝m.
∴x＝m＋6.
∵方程的解是非负数，
∴x≥0.
∴m≥－6.
∵x－1≠0，
∴x≠1.
∴m≠－5.
∴m的取值范围为m≥－6且m≠－5.
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第十五章 分 式
第57课时 分式方程的解法（2）——分母需要因式分解
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应做如下检验：
（1）将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解.
所以解分式方程时，一定要检验方程的解.
（x＋2）（x－2）
x＋2＝
3
1
1
不等
于
x＝1
典型例题
解得x＝1.
经检验，原分式方程无解.
知识点1：“分式1＝分式2”型
变式训练
解得x＝4.
经检验，原分式方程的解是x＝4.
典型例题
解得x＝2.
经检验，原分式方程无解.
知识点2：“分式1＋常数＝分式2”型
变式训练
典型例题
解得x＝－1.
经检验，原分式方程的解是x＝－1.
知识点3：“分式1＋分式2＝分式3”型
变式训练
解得x＝1.
经检验，原分式方程无解.
分层训练
基础巩固
A
A.1－6（x－2）＝4 B.1－6（x－2）＝4（x－2）
C.1－6（x－2）＝2 D.1－6x－12＝4
解得x＝2.
经检验，原分式方程的解为x＝2.
能力提升
解得x＝－2.
经检验，原分式方程的解是x＝－2.
解得x＝2.
经检验，原分式方程无解.
解得a＜－1且a≠－3.
核心素养
（1）求5 4的值；
（2）若x 2＝1（其中x≠0），求x的值.
图57－1
解得x＝－6.
经检验，原分式方程的解为 x＝－6.
∴x的值是－6.
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第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第61课时 分式章节复习
目录
01
夯实基础
02
拓展提升
夯实基础
≠－3
知识点1：分式有意义的条件
3. 下列各式从左到右的变形不正确的是（ B ）
B
夯实基础
知识点2：分式的基本性质
A.扩大2倍
C.保持不变 D.无法确定
C
6×10－9
夯实基础
知识点3：整数指数幂与科学记数法
7.245×10－6
7. 计算：
夯实基础
知识点4：分式的计算
解得x＝－1.
经检验，原分式方程的解是x＝－1.
夯实基础
知识点5：分式方程的解法及应用
10. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
答：现在平均每天生产200台机器.
拓展提升
解得x＝3.
经检验，原分式方程无解.
12. 某工程甲工程队单独做x天完成，乙工程队单独做20天完成.现在甲工程队先做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合做10天后完成，则下面所列方程中错误的是（ A ）
A
14. 小李从A地出发去相距4.5 km的B地上班，他每天出发的时间都相同.第一天步行去上班结果迟到了5 min，第二天骑自行车去上班结果早到10 min.已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍，求小李步行的速度和骑自行车的速度.
答：小李步行的速度为6 km/h，骑自行车的速度为9 km/h.
1
1
1
谢 谢！(共26张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第47课时 从分数到分式
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
①③
B≠0
B＝0
A＝0且B≠0
x≠0
1
典型例题
【例1】下列四个式子中是分式的是（ D ）
D
知识点1：分式的概念
变式训练
1. 下列各式不是分式的是（ C ）
C
典型例题
【例2】列式表示下列各量：
知识点2：实际问题中的分式表示
变式训练
2. 列式表示下列各量：
典型例题
【例3】按要求填空：
≠0
≠5
≠－2
知识点3：分式有（无）意义的条件
≠±2
≠2且x≠－3
＝－2
变式训练
3. 按要求填空：
≠0
≠－1
＝3
≠±3
为任何实数
典型例题
【例4】当a取何值时，下列分式的值为零？
解：（1）a＝－5.
知识点4：分式为零的条件
解：（3）a＝－2.
变式训练
4. 在下列各式中，当x取什么值时，分式的值等于零？
解：（2）x＝0.
解：（3）x＝－3.
分层训练
基础巩固
5. 下列式子是分式的是（ C ）
C
x≠1
＝－2
－1
能力提升
7. 下列分式中一定有意义的是（ B ）
B
A.x＝2 B.x＝±2
C.x＝－2 D.x＝－2或x＝－1
A
8x
核心素养
10. （推理能力、运算能力）（RJ八上P133改编）当x满足什么条件时，下列式子有意义？
解：x≠0且x≠1.
解：x≠±4.
解：x≠1且x≠－2.
解：x≠±2.
核心素养
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数.
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第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
第50课时 分式的乘除（1）——乘除法法则
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
x2－1
x＋
1
典型例题
【例1】计算：
知识点1：分子、分母是单项式
变式训练
1. 计算：
典型例题
【例2】计算：
知识点2：分子、分母是多项式
变式训练
2. 计算：
分层训练
基础巩固
C.y D.x
A
x2
－1
能力提升
5. 计算：
6. 计算：
核心素养
7. （应用意识、运算能力）（RJ八上P136改编）如图50－1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长
为（a－1）m的正方形，两块试验
田的小麦都收获了500 kg.
图50－1
图50－1
②哪种小麦的单位面积产量高？试说明理由；
图50－1
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
图50－1
谢 谢！(共10张PPT)
第一部分 新 课 内 容
第十五章 分 式
本章知识结构图
核心内容
分式的概念
分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零 ，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零
分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式
分式的基本性质 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.通分的关键是确定最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母
分式的运算 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方
分式的运算 分式的加减法：①同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；
②异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减
分式的运算
分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解； ③检验；④得出结论
列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答
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第十五章 分 式
第58课时 分式方程的应用（1）——工程问题
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
工程问题常用关系式：
列分式方程解应用题的步骤：①设未知数；②列方程；③解方程；④ 检验 ；⑤作答.
检验
知识点导学
写出上边公式的两种变形：
（1）工作总量＝ 工作效率×工作时间 ；
工作效率×工作时间
典型例题
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工多少个玩具？
知识点1：分式1＝分式2
解得x＝15.
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲每天加工15个玩具.
变式训练
1. （RJ八上P154）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＋6＝18.
答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件.
典型例题
【例2】甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路600 m，甲队比乙队少用5天.甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
知识点2：分式1－分式2＝常数
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.
∴2x＝120.
答：甲工程队每天修路120 m，乙工程队每天修路60 m.
变式训练
2. 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，甲组每小时加工多少个零件？
解得x＝400.
经检验，x＝400是原分式方程的解，且符合题意.
∴（1＋25%）x＝1.25×400＝500.
答：甲组每小时加工500个零件.
典型例题
【例3】某市铺设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了9天完成了这一任务，原计划每天铺设管道多少米？
知识点3：分式1＋分式2＝常数
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天铺设管道30 m.
变式训练
3. 某市对文化广场2 400 m2的地砖进行改造升级，在铺设400 m2的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高25%，共用25天完成了全部改造任务.原来每天铺设地砖多少平方米？
答：原来每天铺设地砖80 m2.
分层训练
基础巩固
4. （RJ八上P155）A，B两种机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用的时间与B型机器人搬运600 kg所用的时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
答：A型机器人每小时搬运90 kg化工原料，B型机器人每小时搬运60 kg化工原料.
能力提升
5. （RJ八上P159）一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10 hm2小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1 h，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
答：这台收割机每小时收割5 hm2小麦.
核心素养
6.（应用意识）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）.现在甲、乙两工程队合做2天，余下的由乙工程队单独做，刚好如期完成，甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？
答：甲工程队单独完成需要6天，乙工程队单独完成需要9天.
谢 谢！
