高一数学参考答案
1---8： BCAC BADB
9---12： BD AD BCD ACD
13---16： 7 3 4 3 24
17.（1）V=18000cm3，
（2）表面积 S= 3600 3 10800 cm2 0.36 3 1.08 m2 ，总造价为54 18 3元。
18.（1） f x sin(2x ) 1 ，则 f x sin 1 1 2 x
sin(2x 2 ) 6 2 6 2 6 2
f x 2 k 由于 为偶函数，所以 k k Z ，则 k Z ，
6 2 3 2
0, 5 因为 ，所以 或 ；
3 6
x 5 3 5 （2）当 m时， x 2m ，若 f x 有三条对称轴，则 2m
3 6 6 2 6 2
5 m 4 所以
6 3
19.（1） 2 b 4 3
3
2 1
（2）（i）在 ABC中，由余弦定理得，9 4 c 4c 3
2 4 5
即 c c 5 0解得 c 3（舍）或 c
3 3
cosB= 1 ， B 0,
3
5 2 2
sin B 2 2 ，由正弦定理得， sinC 3 3 10 2
.
3 3 27
【其他合理解法也分】
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（ii）连接CD
ABD CBD
AD CD
1
又 ABC ADC π， cos ADC ，
3
设 AD CD m m 0
ACD 9 m2 m2 2m2
1 4
m2在 中，由余弦定理得， ，
3 3
m2 27 3 3
4 m
AD 3 3 .
2 2
20.（1） f sin cos 2 1 sin 2 2，
2
3 3
令 2k 2 2k k Z ，则 k k k Z ，
2 2 4 4
由于 (0, ) ，所以减区间为： ( , )
2 4 2
a b sin （2）若 ∥ ，则 2，即 tan 2，
cos
因为 (0, ) 2 5，所以 sin ， cos 5 ，
2 5 5
0 3 10又因为 ，所以 ，所以 cos( ) ，
2 2 2 10
2 5 3 10 5 10 2
所以 sin sin ( ) ，
5 10 5 10 2
由于 (0, )，所以 。
2 4
高一数学 第 2 页 （共 4页）
21.解：（1）因为2sin AsinBcosC sin2C，由正弦定理得， 2abcosC c2
2ab a
2 b2 c2
由余弦定理得， c 2， a2 b2 c2 c2
2ab
a2 b2
整理得 2；
c2
1 2
（2 4）因为 S ab sinC ，因为 c 2，由（1）可得 cosC ，则 sinC 1 .，
2 ab a2b2
又 2c2 8 a2 b2 2ab，即 ab 4，当且仅当 a b时等号成立.
S 1 a2b2于是 4 1 16 4 3
2 2
所以S的最大值为 3 . 1即S= ch 3，所以 h 3， AB边上的高 h的最大值为 3．
2
22.（1）选①：由正弦定理变形： 3 sin B cosC = sinC sin B，因为 sin B 0，所以 3 cosC = sinC，
即 tanC = 3，由于C (0, ) ，所以C = ；
3
2 2 2
2 2
选②：c -a = b2 -ab 2，所以 a +b2 -c2 = ab a +b -c 1，即cosC = = ，由于C (0, )，所
2ab 2
以C = ；
3
sinC = cosC选 ③ ： 由 得 ： sinC cos A= 2sin B cosC-sin AcosC ， 所 以
2sin B-sin A cos A
sin AcosC+ sinC cos A= 2sin B cosC ， 即 sin(A+C)= 2sin B cosC ， 在 ABC 中 ，
sin(A+C)= sin B 1，所以 sin B= 2sin B cosC，则 cosC = ，由于C (0, )，所以C = ；
2 3
（2）当 sin B-cos(A+ ) 取最大值时，A= ，B= ， ABC为直角三角形，所以 r r = 2 3-1 ；
6 2 6 1 2 ( )
S (3 3（3） ,6 3) .
2
高一数学 第 3 页 （共 4页）翔宇高级中学校2022-2023学年高一下学期6月第二次月考测试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．k－1 B． C．2k－1 D．
2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知角A，B，C为的内角，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形D．等腰或直角三角形
6．已知函数的部分图像如图所示，且关于点中心对称，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球表面积为，则AC长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，其中a，，i为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ）
A．若，则 B．
C． D．若，则
10．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点
C． D．
11．已知向量，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．的最大值是2
C．存在，使 D．的最大值为3
12．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，侧棱，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该四棱柱的表面积为
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥E－BCD的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知单位向量，的夹角为，则______．
14．已知球O的半径为2，用一个平面截球，球心O到截面的距离为1，则该截面内接正三角形的边长为______．
15．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，AB＝2，，，则BC的长为______．
16．已知四面体ABCD中，，，则该四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长为60cm．
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观，工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
18．已知函数．
（1）设，函数是偶函数，求的值；
（2）若在区间上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围．
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2．
（1）若且满足条件的三角形有两解，则b的取值范围是______（只写结果即可）；
（2）若b＝3，．
（i）求；
（ii）若点D在的外接圆上，且∠ABD＝∠CBD，求AD的长．
20．已知向量，，其中．
（1）若，求的单调递减区间；
（2）若，且，，求的值．
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若c＝2，求中AB边上的高h的最大值．
22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②（c＋a）（c－a）＝b（b－a）；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝2，当取最大值时，求外接圆和内切圆半径的乘积的值；
（3）若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
