(共12张PPT)
数学模型6 圆锥曲线的光学性质的应用
模型解读
椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.
双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点上.
抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.
应用专练
专项训练，快解题
应用专练
【一题多变】 变式1 如图,已知椭圆C的方程为+y2=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=
A.∶ B.1∶ C.1∶3 D.1∶
答案
变式1 C 连接PF2,由椭圆的光学性质可得直线l'平分∠F1PF2,则===.
由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=3,故|F1M|∶|F2M|=1∶3.故选C.
应用专练
变式2 智慧的人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如胶片电影放映机利用椭圆面反射出聚焦光线,探照灯利用抛物面反射出平行光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为
A. B. C. D.
应用专练
答案
变式2 D 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为离心率e=,所以c=a,则a=b,所以不妨设双曲线的标准方程为x2-y2=1.设|PF2|=m,则|PF1|=2+m,所以m2+(m+2)2=(2)2,得m=-1(负值舍去).所以cos∠F1F2P==
,所以∠F1F2P=.故选D.
【常用结论】cos=,cos=
应用专练
变式3 如图,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆Γ与双曲线Γ'构成,现一光线从左焦点F1发出,依次经Γ'与Γ反射,又回到了点F1,历时t1秒.若将该装置中的Γ'去掉,则此光线从点F1发出,经Γ两次反射后回到了点F1,历时t2秒.若t2=4t1,则Γ与Γ'的离心率之比为
A.1∶ B.1∶2 C.2∶3 D.3∶4
应用专练
答案
变式3 B 设双曲线的实轴长为2 m,椭圆的长轴长为2a,则a>m.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2m ①,由椭圆的定义得|BF2|+|BF1|=2a ②,②-①得|BA|+|AF1|+|BF1|=2a-2m,所以在椭圆与双曲线都有的光学装置中,光线从左焦点出发后再回到左焦点所走过的路程为2a-2m,将装置中的Γ'去掉后,光线从左焦点出发经过两次反射后再回到左焦点所走过的路程为|CF1|+|CD|+|DF1|=4a.由于两次的光速相同,所以路程之比等于时间之比,所以4a=4(2a-2m),得a=2m.设椭圆与双曲线的半焦距为c,离心率分别为e1,e2,则e1∶e2=∶=m∶a=1∶2.故选B.
应用专练
变式4 已知椭圆C,其长轴长为2a,焦距为2c,若一条光线从椭圆的左焦点出发,经椭圆反射后,第一次回到左焦点时所经过的路程为5c,则椭圆C的离心率为 .
答案
变式4 或或 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,依据椭圆的光学性质,得光线从左焦点出发后,有如图1,图2,图3所示的三种路径.
路径一(对应图1的情形):4a=5c,则离心率e=.
路径二(对应图2的情形):2(a-c)=5c,则离心率e=.
路径三(对应图3的情形):2(a+c)=5c,则离心率e=.
故椭圆C的离心率为或或.
应用专练
变式5 如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,一平行于y轴的光线从抛物线上方射向抛物线上的点P,经抛物线两次反射后,又沿平行于y轴的方向射出.已知两平行光线间的最小距离为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作△ABN,使△ABN的外接圆圆心T的坐标为(3,),求弦AB的长度.
应用专练
答案
变式5 【参考答案】 (1)由抛物线的光学性质知直线PQ经过抛物线的焦点F.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知F(0,),则设直线PQ的方程为y=kx+,k∈R,
由得x2-2pkx-p2=0,所以x1+x2=2pk,x1x2=-p2,
则两平行光线间的距离d=|x1-x2|==2p≥2p,当k=0时等号成立,所以2p=8,
故抛物线的方程为x2=8y.
(2)设A(x3,y3),B(x4,y4),AB的中点M(x0,y0),
由得x2-8x-8m=0,
由Δ>0,得m>-2.
应用专练
x0==4,则y0=4+m.
连接MT,由三角形外接圆的性质知MT⊥AB,
所以kMT·kAB=-1,即 ·1=-1,解得m=,
所以x2-8x-9=0,解得或
所以|AB|=×|-1-9|=10 .(共28张PPT)
第一节 直线的方程
知识点91：直线的倾斜角与斜率
教材知识萃取
直线的倾斜角 直线的斜率
定义
向上
知识点91：直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 直线的斜率
定义
平行或重合
方向向量
续表
知识点91：直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 直线的斜率
区别
联系
大
大
续表
知识点91：直线的倾斜角与斜率
方法技巧
1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的
取值范围时，常借助正切函数
在
和
上的单调性求解，这里特别
要注意,正切函数在
上并不是单调的.
2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为
时，直线斜率不存在.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知点A(m,1),B(4,2),C(-4,2m)在同一条直线上,则m=
A.0 B.5
C.0或5 D.0或-5
答案
1.C 由点A(m,1),B(4,2),C(-4,2m)在同一条直线上,知直线斜率存在,且=,解得m=0或m=5,故选C.
教材素材变式
2. 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为
A.[-1,-] B.[-1,0] C.[0,1] D.[,1]
答案
2.A 由题意知,y'=2x+2,设P(x0,y0),则在点P处的切线的斜率k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[0,],所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,故-1≤x0≤-.故选A.
教材素材变式
【变式探究】
变式1 过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是(,),则实数m的取值范围是
A.0
C.2≤m<4 D.0答案
变式1 B 当m=2时,直线的倾斜角为,满足题意;当m≠2时,直线AB的斜率为>tan=1,或【提示】运用过两点的直线斜率公式的前提条件是“x1≠x2”
所以>0或<0,解得2教材素材变式
变式2 若直线l的方程为xsin θ+y+1=0(θ∈R),则直线l的倾斜角的取值范围是
A.[0,π) B.[0,]
C.[,] D.[0,]∪[,π)
答案
变式2 D 直线l:xsin θ+y+1=0(θ∈R)的倾斜角α满足tan α=-sin θ,∴-1≤tan α≤1,又0≤α<π,∴α∈[0,]∪[,π),故选D.
教材素材变式
3. 图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
教材素材变式
答案
3.D 如图,连接OA,延长AA1与x轴交于点A2,则OA2=4OD1.因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,所以k1=k3-0.2,
k2=k3-0.1,所以CC1=DC1(k3-0.2),BB1=CB1(k3-0.1),AA1=k3BA1,即CC1=OD1(k3-0.2),BB1=OD1(k3-0.1),AA1=k3OD1.
又=0.5,所以DD1=0.5OD1,所以AA2=0.5OD1+OD1(k3-0.2)+OD1(k3-0.1)+k3OD1=OD1(3k3+0.2),所以tan∠AOA2=
==0.725,解得k3=0.9,故选D.
教材素材变式
4. 已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为 ,其斜率的取值范围为 .
答案
4.[,] (-∞,-]∪[1,+∞) 解法一 由题意,kAP==1,kBP==-.设直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则α=,
β=.如图,过点P作x轴的垂线,与线段AB交于点C,当直线l由PA变化到PC的位置时,直线l的倾斜角由增至,其斜率的范围为[1,+∞);当直线l由PC变化到PB的位置时,直线l的倾斜角由增至,
其斜率的范围为(-∞,-].故直线l倾斜角的取值范围为[,],其斜率的取值范围
为(-∞,-]∪[1,+∞).
教材素材变式
解法二 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意,点A,B在直线l的两侧或其中一点在直线l上,所以(2k-1-k)(--k)≤0,即(k-1)(k+)≥0,解得k≥1或k≤-.故直线l的斜率的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞),所以其倾斜角的取值范围为[,].
知识点92：直线方程的求解
教材知识萃取
直线方程的五种形式
名称 方程 说明 适用条件
斜截式
点斜式 ⑩___________ _______ 两点式 与两坐标轴均不垂直的直线.
知识点92：直线方程的求解
名称 方程 说明 适用条件
截距式 __________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.
一般式 所有直线.
续表
知识点92：直线方程的求解
注意
截距是一个数,它可以是正数,也可以是负数,还可以是0.
注意
当直线与 轴不垂直时，可设直线方程为 ;当直线与 轴不垂直时，可设直线方程为 .
知识点92：直线方程的求解
方法技巧
求解直线方程的两种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.
待定系数法 ①设所求直线方程的恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式）；
②由条件建立所求参数的方程（组）；
③解这个方程（组）求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程.
知识点92：直线方程的求解
方法技巧
1.求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式（或函数）求解最值.
2.求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中 ， 的关系，将问题
转化为关于 , 的函数,借助函数的性质解决问题.
3.破解直线方程与实际应用相综合考题的关键是细审题，读懂题意，并能提炼题眼，转化为所需解决的直线方程与直线经过某点的问题.
教材素材变式
多维变式，夯基础
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1. 过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为
A. B.- C. D.-
答案
1.C 由题可知直线方程为=,即y=-(x-4)-1,令x=0,得y=,故直线在y轴上的截距为.故选C.
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2. 过点A(1,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线方程为
A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0 D.x+2y-10=0
答案
2.A 由于直线的方向向量为m=(1,2),故直线的斜率为=2,故直线的方程为 y-4=2(x-1),即 2x-y+2=0,选A.
教材素材变式
3. 过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为
A.x-y+3=0
B.x+y-5=0
C.4x-y=0或x+y-5=0
D.4x-y=0或x-y+3=0
答案
3.D 解法一 当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为y=4x,即4x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1(a≠0),因为直线过点A(1,4),所以-=1,解得a=-3,此时直线方程为x-y+3=0.综上,选D.
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为y-4=k(x-1)(k≠0),则x=0时,y=4-k,y=0时,
x=1-,由题意知1-+4-k=0,解得k=4或k=1,即直线方程为y=4x或x-y+3=0.
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易错提醒
截距之和为0时,易直接将直线方程设为截距式(截距互为相反数),从而忽视直线过原点(直线斜率为0)的情况.
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4. 数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为
A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0
C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0
答案
4.D 第1步:确定△ABC的欧拉线
由AC=BC及欧拉线的定义可知,△ABC的欧拉线即线段AB的垂直平分线,
第2步:求出欧拉线方程
∵A(2,0),B(0,1),∴AB的中点坐标为(1,),斜率kAB=-,则线段AB的垂直平分线的斜率k=2,故△ABC的欧拉线的方程为y-=2(x-1),即4x-2y-3=0,故选D.
教材素材变式
5. [多选]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),下列说法正确的是
A.当a≤-1时,直线l不经过第二象限 B.直线l恒过定点(1,3)
C.无论a为何值,直线l恒过第四象限 D.直线l的倾斜角不可能是90°
答案
5.ACD 对于A,由(a+1)x+y+2-a=0,可得y=-(a+1)x+a-2,若直线l不经过第二象限,则解得a≤-1,故A正确;对于B,将(1,3)代入直线l的方程,不成立,故B错误;对于C,由(a+1)x+y+2-a=0,可得a(x-1)+y+x+2=0,则直线l恒过第四象限内的点(1,-3),所以无论a为何值,直线l恒过第四象限,故C正确;对于D,直线l的斜率始终存在,为-(a+1),所以其
倾斜角不可能为90°,故D正确.故选ACD.
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6. 在平面直角坐标系xOy中,直线l过定点P(3,2),且与x轴的正半轴交于点M,与y轴的正半轴交于点N.
(1)当|PM|·|PN|取得最小值时,求直线l的方程;
(2)求△MON面积的最小值.
答案
6.【参考答案】 (1)由题意,可设直线l的倾斜角为π-θ(θ为锐角),如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E,F,则|PE|=2,|PF|=3,
所以|PM|==,|PN|==,
所以|PM|·|PN|=·=,
因为θ为锐角,所以当θ=时,|PM|·|PN|取得最小值12,
此时直线l的斜率k=tan(π-)=-1,又直线l过定点P(3,2),所以直线l的方程为y=-x+5.
教材素材变式
(2)解法一 结合(1)知,矩形OFPE的面积为3×2=6,S△PEM=,S△PFN=tan θ,
所以S△MON=6+tan θ+≥6+2=12,当且仅当tan θ=时取等号,
所以△MON面积的最小值为12.
解法二 设M(a,0),N(0,b),其中a>0,b>0,则直线l的方程为+=1,
因为直线l过定点P(3,2),所以+=1,
则1=+=≥=,当且仅当3b=2a,即a=6,b=4时取等号,得ab≥24,
所以△MON的面积为ab≥12,
即△MON面积的最小值为12.(共62张PPT)
第四节 椭圆
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义
平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.
集合语言： , ,其中 ，
且 , 为常数.
注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不
存在．
常数
焦点
焦距
知识点99：椭圆的定义及标准方程
思维拓展
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义： ,其中 为定点， 为定直线， 为离心率，
， 表示 到直线 的距离 .
知识点99：椭圆的定义及标准方程
椭圆的标准方程
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2-b2 （2）标准方程
知识点99：椭圆的定义及标准方程
方法技巧
利用定义求方程、焦点三角形及最值的解题策略
求方程
求焦点三角形
知识点99：椭圆的定义及标准方程
求最值
续表
知识点99：椭圆的定义及标准方程
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定 , 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程.
2.待定系数法
（1）若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 , 的值；若
焦点位置不明确时，则需要分焦点位置在 轴上和 轴上两种情况讨论，也可设椭
圆方程为 （ , , ），不必讨论焦点位置，用待定系
数法求出 , 值即可.
知识点99：椭圆的定义及标准方程
（2）常见设法
①与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 .
②与椭圆 有相同离心率的椭圆方程可设为 （ ，焦点在 轴上）或 （ ，焦点在 轴上）.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知点A(-7,0),B(7,0),动点P满足|PA|+|PB|=16,则点P的轨迹为
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段
答案
1.A 因为A(-7,0),B(7,0),所以|AB|=14,所以|PA|+|PB|=16>|AB|,根据椭圆的定义可知,点P的轨迹为椭圆.故选A.
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“|PA|+|PB|=16”改为“|PA|+|PB|=14”,则点P的轨迹为 .(在答题线上填正确答案对应的选项)
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段
答案
【多维探究】 D 因为|PA|+|PB|=14=|AB|,所以点P的轨迹为线段.故选D.
教材素材变式
2. “1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
2.B 曲线+=1表示椭圆,则即m∈{m|1{m|1教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=
A.1 B.2
C.5 D.9
答案
3.A 由题意得,5-m=22,解得m=1.故选A.
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
答案
【多维探究】 1或9 由题意得,2c=4,则c=2,所以5-m=22或m-5=22,解得m=1或m=9.
教材素材变式
4. 已知椭圆C以坐标轴为对称轴,经过点(3,0),且长轴长是短轴长的2倍 ,则椭圆C的标准方程为
A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1或+=1
答案
4.C 由题意,可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),因为椭圆C经过点(3,0),且长轴长是短轴长的2倍 ,
所以或得或所以椭圆C的标准方程为+=1或+=1.故选C.
教材素材变式
方法总结
根据条件求椭圆标准方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a,b,当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.(3)椭圆系方程:①与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为+=1(kb>0)有共同离心率的椭圆系方程为+=λ或+=λ(λ>0).
教材素材变式
5. 若F为椭圆C:+=1的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为
A.4 B.8
C.10 D.20
答案
5.D 由题意,a=5,b=4,记F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则|AB|+|AF|+|BF|≤|AF'|+|BF'|+|AF|+|BF|=4a=20,当且仅当AB所在直线经过椭圆的左焦点时,△ABF的周长取得最大值,且最大值为20.故选D.
教材素材变式
【变式探究】[2021新高考I卷]已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.13 B.12
C.9 D.6
答案
【变式探究】C 解法一(基本不等式法) 由椭圆C:+=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤()2=
32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.
解法二 (配方法) 设|MF1|=t,则由椭圆的定义可得|MF2|=6-t,则|MF1|·|MF2|=t(6-t)=-(t-3)2+9≤9,当t=3时取等号,
故选C.
教材素材变式
6. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1
答案
6.B 依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1,故选B.
教材素材变式
7. [多选]在平面直角坐标系xOy中,下列方程表示的曲线是椭圆的有
A.+=4
B.+=4
C.2=|4-x|
D.=2|2+x|
教材素材变式
答案
7.BC 对于A,+=4表示动点P(x,y)到定点F1(0,-2)和F2(0,2)的距离之和等于4,即|PF1|+
|PF2|=|F1F2|,所以点P(x,y)的轨迹是线段F1F2,故A不符合题意.对于B,+=4表示动点P(x,y)到定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之和等于4,即|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,满足椭圆的定义,所以方程+=4表示的曲线为焦点在x轴上,焦距为2,长轴长为4的椭圆,故B符合题意.对于C,
由2=|4-x|可得=,表示动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与到定直线x=4的距离的比值为常数,满足椭圆的第二定义,所以方程2=|4-x|表示的曲线为焦点在x轴上,焦距为2,长轴长为4的椭圆,故C符合题意.(注意椭圆的第二定义的应用)
教材素材变式
对于D,由=2|2+x|,得(x+2)2+y2=4(x+2)2,则y2=3(x+2)2,显然此方程表示的曲线不是椭圆,故D不符合题意.故选BC.
教材素材变式
8. 与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .
答案
8.+=1 由题,圆C1的半径为1,圆心C1(-3,0),圆C2的半径为9,圆心C2(3,0),设动圆的半径为r,圆心P(x,y),则有|PC1|=
r+1,|PC2|=9-r,所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|=6,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=5,c=3,所以b=4,所以动圆圆心P的轨迹方程为+=1.
教材素材变式
9. 已知F是椭圆+=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .
答案
9.6+ 6- 第1步:转化
由题意,a=3,b=,则c=2,F(-2,0),设F1是椭圆的右焦点,连接AF1,PF1,则F1(2,0),所以|AF1|=,|PF|+|PF1|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,
第2步:数形结合求结果
又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1三点共线且P在x轴上方时左边等号成立,当P,A,F1三点共线且P在x轴下方时右边等号成立),所以6-≤|PA|+|PF|≤6+.
教材素材变式
10. 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长半轴长为4,半焦距为,焦点在y轴上;
(2)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点(1,);
(3)经过A(2,-),B(-,-)两点.
答案
10.【参考答案】 (1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),(注意焦点在y轴上)
由题意得,a=4,c=,所以b2=a2-c2=1,
所以其标准方程为+x2=1.
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),
设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,
因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,
所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).
分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得
所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
11. 在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0),Q为圆C上一点,线段AQ的垂直平分线与线段CQ的连线交于点M,求点M的轨迹方程.
答案
11.【参考答案】 如图,连接AM,由题意,知点M在线段CQ上,所以|CQ|=|MQ|+|MC|.因为点M在线段AQ的垂直平分线上,所以|MA|=|MQ|,所以|MA|+|MC|=|CQ|=5.
因为A(1,0),C(-1,0),所以点M的轨迹是以A(1,0),C(-1,0)为焦点的椭圆,且长轴长2a=5.
所以a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.
故点M的轨迹方程为+=1.
知识点100：椭圆的几何性质
教材知识萃取
标准方程
图形
几何性质 范围
对称性 对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______. 轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质 焦点
顶点
轴 焦距 离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
知识点100：椭圆的几何性质
方法技巧
求椭圆离心率或其取值范围的方法
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接求出 , ,然后利用公式 求解；
（2）由 与 的关系求离心率，利用变形公式 求解；
（3）由椭圆的定义求离心率.设 , 为椭圆的两个焦点, 为椭圆上一点，则
；
（4）构造 , 的齐次式.可以不求出 , 的具体值，而是得出 与 的关系，从而求
得 .
知识点100：椭圆的几何性质
2.求椭圆离心率的取值范围的基本思路
求椭圆离心率的取值范围，关键是寻找关于 , , 的不等式，这就需要利用椭圆上的点的横、纵坐标以及角的取值范围、判别式、基本不等式等来构建不等式，从而求出 的取值范围.
注意 在解关于椭圆的离心率 的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率 进行根的取舍，否则将产生增根.
知识点100：椭圆的几何性质
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知椭圆3x2+4y2=12的左顶点为A,上顶点为B,则|AB|=
A. B.2 C.4 D.
答案
1.D 由3x2+4y2=12得+=1,所以a2=4,b2=3,即a=2,b=,所以A(-2,0),B(0,),所以|AB|==.
故选D.
教材素材变式
2. 椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的两点P,Q关于原点对称,若|PF|+|QF|=6,且椭圆C 的离心率为,则椭圆C的方程为
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
答案
2.A 由题意知,P,Q关于原点对称,所以|PF|+|QF|=2a=6,得a=3,又椭圆C的离心率为,所以=,得b2=8,故椭圆C的方程为+=1,选A.
教材素材变式
3. 已知A,F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左顶点和右焦点,P是椭圆上一点,直线AP与直线l:x=相交于点Q,且△AFQ是顶角为120°的等腰三角形,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
答案
3.C 如图,设直线l与x轴的交点为H,由△AFQ是顶角为120°的等腰三角形,
知|FQ|=|FA|=a+c,∠QFH=60°,则在Rt△FQH中,|FH|=|FQ|=.
又|FH|=-c=,所以=.结合a2=b2+c2得3c2+ac-2a2=0,即3e2+e-2=0,
解得e=或e=-1(舍去).故选C.
教材素材变式
4. [多选]如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在点P处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行,最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行.设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则下列结论中正确的是
A.轨道Ⅱ的焦距为R-r
B.轨道Ⅱ的长轴长为R+r
C.若R不变,r越大,轨道Ⅱ的短轴长越小
D.若r不变,R越大,轨道Ⅱ的离心率越大
教材素材变式
答案
4.ABD 设椭圆方程为+=1(a>b>0),由椭圆的性质知,a+c=R,a-c=r,则2c=R-r,2a=R+r,故A,B正确;a=,c=,所以2b=2=2=2,若R不变,r越大,2b越大,即轨道Ⅱ的短轴长越大,故C错误;e===
=1-=1-,若r不变,R越大,则越小,e越大,即轨道Ⅱ的离心率越大,故D正确.故选ABD.
教材素材变式
5. [多选]已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆C上一点,则
A.当a=b时,满足∠F1PF2=90°的点P有2个 B.△PF1F2的周长一定小于4a
C.△PF1F2的面积可以大于 D.若|PF1|≤2b恒成立,则C的离心率的取值范围是(0,]
答案
5.ABD 对于A,当点P的坐标为(0,b)或(0,-b)时,∠F1PF2最大,此时,若a=b,则b=c,所以∠F1PF2=90°,A正确;对于B,
△PF1F2的周长为2a+2c<4a,故B正确;对于C,△PF1F2的面积为|F1F2||yP|≤bc≤=,故C错误;对于D,因为a-c≤
|PF1|≤a+c,所以a+c≤2b,可得5c2+2ac-3a2≤0,得5e2+2e-3≤0,得-1≤e≤,又e∈(0,1),所以e∈(0,],故D正确.故选ABD.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
教材知识萃取
1.直线与椭圆位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去 （或 ），得到关于 （或 ）的一元二次方程，
设其判别式为 .
则①______ 有两个交点 相交；
有一个交点 相切；
②______ 无交点 相离.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
2.弦长公式
当直线的斜率存在时,斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两个不同
的点,则弦长 ,或 ③
________________ ④_ ___________________________ .
注意 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在直线与椭圆方程联立的一元二次方程
有2个不同的解的情况下进行的,不要忽略判别式大于零.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
常用结论
与椭圆有关的常用结论
（1）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 ，通径是最短的焦点弦.
（2）设椭圆 的左、右焦点分别为 , ，则当
点 在椭圆上时， , （ 为椭圆的离心率）.
（3）若直线 经过椭圆的左焦点，则弦长
；若直线 经过椭圆的右焦点，则弦长
（ 为椭圆的离心率）.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
是椭圆的不平行于对称轴的弦， 为原点， 为 的中点，则
.
（5）过原点的直线交椭圆于 ， 两点， 是椭圆上异于 ， 的任一点，在 ,
的斜率存在的条件下，有 .
（6）点 在椭圆 上，过点 的切线方程为
.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
（7）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦所在直线方程是 .
（8）椭圆 与直线 相切的条件是 .
知识点101：直线与椭圆的位置关系
方法技巧
判断直线与椭圆位置关系的方法
（1）判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数．
（2）对于过定点的直线，也可以根据定点与椭圆的位置关系判定直线和椭圆是否有交点.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
方法技巧
解决中点弦问题的两种方法
点差法
根与系数的关系 联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
知识点101：直线与椭圆的位置关系
方法技巧
直线与椭圆综合应用题的解题策略
（1）解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的
方程，消去 （或 ）得一元二次方程,然后借助根与系数的关系，并结合题设条件,
建立有关参变量的等量关系求解；
（2）涉及直线方程的设法时,务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知直线l:y=x+m与椭圆C:+=1有公共点,则m的取值范围是
A.[-2,2]
B.[-3,3]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
答案
1.B 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得消去y得9x2+10mx+5m2-20=0 ①,因为直线l与椭圆C有公共点,所以方程①有实数根,则Δ=(10m)2-36(5m2-20)≥0,得-3≤m≤3,故选B.
教材素材变式
2. 已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为
A. B. C. D.
答案
2.C 解法一 由椭圆的方程可得a2=4,b2=1,则c2=a2-b2=3,所以c=.由题意知直线AB的方程为x=y+,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得消去x得5y2+2y-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=×
=×=.故选C.
解法二 由解法一,知e==,x1+x2=y1+y2+2=,所以|AB|=2a-e(x1+x2)=4-×=.故选C.
教材素材变式
3. 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,上顶点为B,点P为椭圆上一点,且PF2⊥F1F2,若AB∥PF1,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
答案
3.A 由题意,A(-a,0),B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),易知P(c,),因为AB∥PF1,所以=,整理得b=2c,所以b2=4c2=a2-c2,
得e2=,e=.故选A.
教材素材变式
4. 已知椭圆C:+y2=1,直线l:y=x+3,则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为
A. B. C. D.
答案
4.C 解法一 取椭圆上任意一点P,易知当过点P的直线l1与直线l平行且与椭圆C相切时,点P到直线l的距离取得最值.设直线l1的方程为y=x+k,与椭圆C的方程联立,得消去x得3y2-2ky+k2-2=0,令Δ=4k2-12(k2-2)=0,得k=±,数形结合知,当k=-时,点P到直线l的距离最大,最大值为=.(利用两平行直线间的距离公式求解)
故选C.
教材素材变式
解法二 设P(x0,y0)为椭圆C上一点,则过点P的椭圆C的切线方程为+y0y=1,易知当切线与直线l平行时,点P到直线l的距离取得最值,所以x0=-2y0,又P(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1,即2+=1,得y0=±,则点P的坐标为(-,)或(,-).易知点P的坐标为(,-)时,点P到直线l的距离最大,最大值为=.故选C.
解法三 设椭圆上的点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d==,其中tan γ=,所以当cos(θ+γ)=1时,椭圆上的点到直线l的距离取得最大值,为.故选C.
教材素材变式
知识拓展
直线与椭圆相切的有关结论
教材素材变式
5. [多选]已知椭圆+y2=1,斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,-1),则直线l的方程为x-4y-5=0
C.若直线l的方程为y=x+1,则点M的坐标为(3,)
D.若直线l过椭圆焦点,则1<|AB|<4
教材素材变式
答案
5.BD 由题意,a=2,b=1.对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则+=1,+=1,两式作差可得=
-(y1+y2)(y1-y2),∴=-=-,则kAB·kOM=-≠-1,故A错误;对于B,若点M的坐标为(1,-1),则kAB=,则直线l的
方程为y+1=(x-1),即x-4y-5=0,故B正确;对于C,若直线l的方程为y=x+1,则kOM=-,很显然点M的坐标不可能为(3,),故C错误;对于D,易知过椭圆焦点的弦中,通径最短,为=1,长轴最长,为4,(提醒:通径是最短的焦点弦)
由直线l的斜率存在且不过原点,得1<|AB|<4,故D正确.故选BD.
教材素材变式
6. 已知椭圆C:+=1(0(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
答案
6.【参考答案】 (1)由题设可得=,得m2=,
所以C的方程为+=1.
教材素材变式
(2)解法一 设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),
所以|BP|=yP,|BQ|=.
因为|BP|=|BQ|,
所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
由直线BP的方程得yQ=2或8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,
故△AP1Q1的面积为××=.
教材素材变式
|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,
故△AP2Q2的面积为××=.
综上,△APQ的面积为.
解法二 由题意得A(-5,0),B(5,0).
设P(s,t),Q(6,n).根据对称性,只需考虑n>0时的情况,此时-5=(s-5,t),=(1,n).
因为|BP|=|BQ|,所以(s-5)2+t2=1+n2 ①.
因为BP⊥BQ,所以·=0,所以s-5+nt=0 ②.
因为点P在C上,所以+=1 ③.
教材素材变式
由①②③及-50得或
当时,=(8,1),=(11,2),
所以S△APQ=|AP|·|AQ|sin∠PAQ
=
=×
=,
教材素材变式
当时,同理可求得S△APQ=.
综上,△APQ的面积是.(共46张PPT)
第六节 抛物线
知识点104：抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
教材知识萃取
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离①______的点的轨迹叫
做抛物线.点 叫做抛物线的②______，直线 叫做抛物线的③______.
注意 定点 不能在定直线 上，若定点 在定直线 上，则动点的轨迹为过点 且
垂直于 的一条直线.
相等
焦点
准线
知识点104：抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
图形
几何性质 对称轴 顶点 焦点 ④________ ⑤_________ ⑥_______ ⑦_________
知识点104：抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
标准方程
几何性质 准线方程 ⑧________ ⑨______ ⑩________ ______
范围
离心率 _______ _______
1
续表
知识点104：抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
方法技巧
1.利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程中注意两者之间的相互转化.
2.与抛物线定义有关的最值问题的两个转化策略
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”使问题得以解决.
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“直线外一点与该直线上所有点的连线中，垂线段最短”原理解决.
知识点104：抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
方法技巧
抛物线的标准方程的求法
（1）定义法
若题目中已给出抛物线方程（ 未知），那么只需根据题中条件，求出 ，再结合
焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.
（2）待定系数法
若题目中未给出抛物线的方程，为了减少不必要的讨论，对于焦点在 轴上的抛物
线的标准方程可设为 ， 的正负由题设来定；焦点在 轴上的抛
物线的标准方程可设为 .
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为
A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y
答案
1.D 由题意,易知点P不在第三、四象限,点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离,由抛物线的定义可知,
点P的轨迹是以点(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,所以点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.
教材素材变式
2. 知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=
A.2 B.3 C.6 D.9
答案
2.C 通解 因为点A到y轴的距离为9,所以可设点A(9,yA),所以=18p.又点A到焦点(,0)的距离为12,所以=12,所以(9-)2+18p=122,即p2+36p-252=0,解得p=-42(舍去)或p=6.故选C.
光速解 根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=-的距离为12,因为点A到y轴的距离为9,所以=12-9,
解得p=6.故选C.
教材素材变式
3. 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=
A.2 B.2 C.3 D.3
答案
3.B 解法一 由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(,y0),由抛物线的定义可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,
|AF|=|BF|,所以+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|==2,故选B.
解法二 由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,所以|AB|==2,故选B.
教材素材变式
4. 已知等边三角形的一个顶点为抛物线C:y2=4x的焦点F,其余两个顶点都在抛物线C上,则该等边三角形的边长为
A.4+2 B.8+4 C.4±2 D.8±4
答案
4.D 由题意知抛物线的焦点为F(1,0),由对称性可知三角形的另两点关于x轴对称,∴三角形过点(1,0)的一边所在直线的方程为y=(x-1),联立方程,得解得或∴由抛物线的定义得等边三角形的边长为8+4或8-4.故选D.
教材素材变式
5. 已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点.若线段AB的中点到y轴的距离为,则|AF|+|BF|=
A.2 B.
C.3 D.4
答案
5.C 由题意可得F(,0),设A,B到准线x=-的距离分别为m,n,则由梯形中位线的性质可得m+n=2(+)=3,再由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=m+n=3,故选C.
教材素材变式
6. 如图,过拋物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与拋物线交于A,B两点,与其准线l交于点C(点B位于A,C之间),且=3,AD⊥l于点D,且|AD|=4,则|OF|=
A. B.
C. D.
答案
6.B 设准线l交x轴于点G,过点B作BE⊥l于点E,则|BE|=|BF|,又=3,所以|BC|=3|BE|,则|CF|=3|GF|.又AD⊥l于点D,且|AD|=4,所以BE∥AD,所以|AC|=|AF|+|CF|=|AD|+|CF|=|AD|+3|GF|=3|AD|,则3p=2|AD|=2×4,所以p=,所以|OF|=.故选B.
教材素材变式
7. [多选]设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是
A.准线l的方程是x=-2
B.|ME|-|MF|的最大值为2
C.|ME|+|MF|的最小值为7
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
教材素材变式
答案
7.AD 由题意得,抛物线C的焦点F(2,0),准线l的方程是x=-2,故A正确;|ME|-|MF|≤|EF|==,当点M在线段EF的延长线上时等号成立,∴|ME|-|MF|的最大值为,故B不正确;如图所示,过点M,E分别作准线l的垂线,垂足分别为A,B,则|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|EB|=5,当点M在线段EB上时等号成立,∴|ME|+|MF|的最小值为5,故C不正确;设点M(x0,y0),线段MF的中点为D,则点D的横坐标xD===,
∴以线段MF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选AD.
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方法总结
(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则以AB为直径的圆与准线相切;以AF和BF为直径的圆均与y轴相切.(2)求平面上动点P到两定点A,B的距离之和的最小值时,利用|PA|+|PB|≥|AB|,当点P在线段AB上时等号成立求解,即当点P在线段AB上时,点P到两定点A,B的距离之和最小,且最小值为|AB|.(3)求平面上动点P到两定点A,B的距离之差的最大值和最小值时,利用||PA|-|PB||≤|AB|,即-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|,当点P在BA的延长线上时,左边等号成立,当点P在AB的延长线上时,右边等号成立求解,即当点P在BA的延长线上时,|PA|-|PB|取得最小值,且最小值为-|AB|;当点P在AB的延长线上时,|PA|-|PB|取得最大值,且最大值为|AB|.
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8. [多选]抛物线C:y2=mx(m>0)的焦点为F(4,0),直线l经过点F,交C于A,B两点,交y轴于点P,若=2,则
A.m=16
B.点B的坐标为(,±)
C.|AB|=
D.弦AB的中点到y轴的距离为
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答案
8.ACD 抛物线C:y2=mx(m>0)的焦点坐标为(,0),由题意可得=4,解得m=16,∴A选项正确.过B作BB'垂直于y轴于点B',由=2得==,∴|BB'|=|OF|=,∴点B的横坐标为,代入抛物线的方程,可得y2=16×,∴y=±,
∴B选项不正确.根据抛物线的对称性,不妨取B(,-),则kAB=kBF==2,∴直线AB的方程为y=2(x-4),与抛物线的方程y2=16x联立并消元,可得3x2-26x+48=0,设A(x1,y1),则x1+=,由抛物线焦点弦的性质可得|AB|=x1++=
+8=,∴C选项正确.∵AB的中点的横坐标为=,∴AB的中点到y轴的距离为,∴D选项正确.故选ACD.
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9. 已知抛物线x2=4y的焦点为F,定点A(1,4),点P是抛物线上一个动点,则|PF|+|PA|的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.8
答案
9. C 由题意可判断A(1,4)在抛物线内部,如图所示,过点P作PE 垂直于抛物线的准线l,垂足为E,则|PF|=|PE|,故|PF|+|PA|=|PE|+|PA|,过点A作抛物线准线的垂线,交抛物线于点P0,则当P点位于P0时,即当A,P,E三点共线且AP垂直x轴时,|PF|+|PA|=|PE|+|PA|取得最小值,又抛物线的准线方程为y=-1,
所以最小值为4+1=5,故选C.
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【变式探究】
变式1 如图,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是
A.(6,12) B.(8,10)
C.(6,10) D.(8,12)
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答案
变式1 B 由题意知M(0,1),它也是抛物线E的焦点.抛物线的准线方程为y=-1,过点P作准线的垂线,垂足为H,根据抛物线的定义,可得|MN|=|NH|,故△PMN的周长l=|NH|+|NP|+|MP|=|PH|+4,由可得抛物线E与
【点拨】4为圆M的半径
圆M的一个交点的坐标为(2,3),则易得|PH|的取值范围为(4,6),所以△PMN的周长的取值范围为(8,10),故选B.
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变式2 已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点.过抛物线C2:x2=8y上任意一点B作直线y=-2的垂线,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为
A.8 B.2 C.-1 D.1
答案
变式2 D 易知抛物线C1的焦点为点(1,0),所以其方程为y2=4x.由得A(1,2).易知抛物线C2的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,如图,连接BF,则由抛物线的定义知|BM|=|BF|.连接AF,可得|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|,当且仅当A,B,F三点共线,且点B在第一象限时,等号成立.故所求最大值为|AF|=1.故选D.
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10. 某河上有一座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一艘船宽4 m,高2 m,载货后这艘船露在水面上的部分的高为 m,则水面上涨到与拱顶相距 m时,这艘船开始不能通行.
答案
10.2 第1步:由题意,建系
以拱桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,其中A(4,-5).
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第2步:数形结合,将文字语言转化为数学语言,求出抛物线方程
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点A(4,-5)的坐标代入,得16=-2p×(-5),得2p=,所以抛物线方程为x2=-y.
第3步:观察临界点的位置,求得结果
易知水面上涨到船面两侧与拱桥正好接触时,这艘船开始不能通行,设接触点分别为点B,B'(B'与B关于y轴对称),且根据题意设B点的坐标为(2,y0),由22=-y0,得y0=-,此时水面与拱顶相距|y0|+=+=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,这艘船开始不能通行.
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11.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
答案
11.x=- 解法一(解直角三角形法) 不妨设点P在第一象限,作出图形如图所示,由题易得|OF|=,|PF|=p,
∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以=,即=,
解得p=3,所以C的准线方程为x=-.
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解法二(应用射影定理法) 由题易得|OF|=,|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,则p2=×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的准线方程为x=-.
解法三(斜率法) 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0),因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以不妨取P(,p),所以kOP=2.因为PQ⊥OP,所以kPQ =-,因为Q为x轴上一点,所以设Q(x0,0),则=-,得x0=,所以|FQ|=-=6,得p=3,
所以C的准线方程为x=-.
解法四(向量法) 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0),因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以P的横坐标为,不妨取P(,p).因为Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧,又|FQ|=6,所以Q(6+,0),所以=(6,-p),因为PQ⊥OP,所以·=×6-p2=0,又p>0,所以p=3,所以C的准线方程为x=-.
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12. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.
答案
12.【参考答案】 (1)由抛物线的定义可知,焦点F到准线的距离为p,故p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)解法一(基本不等式法) 由(1)知F(1,0),设Q(x0,y0),则=9=(9-9x0,-9y0),
所以P(10x0-9,10y0).
由点P在抛物线C上可得(10y0)2=4(10x0-9),
得x0=,
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所以直线OQ的斜率kOQ===.
当y0=0时,kOQ=0.
当y0≠0时,kOQ=,
当y0>0时,25y0+≥2=30,
此时0当y0<0时,kOQ<0.
综上,直线OQ斜率的最大值为.
解法二(轨迹方程+数形结合法) 由(1)知F(1,0),设Q(x0,y0),则=9=(9-9x0,-9y0),
所以P(10x0-9,10y0).
教材素材变式
由点P在抛物线C上可得(10y0)2=4(10x0-9),得x0=,
据此整理可得点Q的轨迹方程为y2=x-.
设直线OQ的方程为y=kx,则当直线OQ与抛物线y2=x-相切时,其斜率k取得最值.联立得
得k2x2-x+=0,其判别式Δ=(-)2-4k2×=0,
解得k=±,
所以直线OQ斜率的最大值为.
解法三(换元法) 由(1)知F(1,0),设Q(x0,y0),则=9=(9-9x0,-9y0),
所以P(10x0-9,10y0).
教材素材变式
由点P在抛物线C上可得(10y0)2=4(10x0-9),得=x0-.
设直线OQ的斜率为k,则k2=()2=-.
令t=(0解法四(参数+基本不等式法) 由题意可设P(4t2,4t),Q(x0,y0).
因为F(1,0),=9,所以(x0-4t2,y0-4t)=9(1-x0,-y0),
于是所以
则直线OQ的斜率kOQ==,当t≤0时,kOQ≤0,当t>0时,kOQ=≤=,
当且仅当4t=,即t=时等号成立,所以直线OQ斜率的最大值为.
知识点105：直线与抛物线的位置关系
教材知识萃取
设直线l:y=kx+m(k≠0)交抛物线y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,线段AB的中点为M(x0,y0),
则弦长|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,斜率k===.
设抛物线x2=2py(p>0)的弦为AB,弦AB的中点为M(x0,y0),则kAB=.
知识点105：直线与抛物线的位置关系
方法技巧
解决直线与抛物线位置关系的常用技巧
1.直线与抛物线的位置关系问题的求解方法可类比直线与椭圆、双曲线的位置关系的求解方法，一般用到根与系数的关系.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
3.有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦
点（设焦点在 轴的正半轴上），可直接利用公式 求弦长；若不过
焦点，则一般用弦长公式求解.
注意 直线与抛物线只有一个公共点有两种情况：①切线，②与对称轴平行或重合的直
线.
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多维变式，夯基础
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1. 已知抛物线的方程为y2=-8x,则直线2x+y+8=0被该抛物线所截得的弦长为
A.6 B.7 C.5 D.6
答案
1.D 设直线2x+y+8=0与抛物线的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立方程,得解得
或故弦长为=6 .故选D.
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2. 已知点P是抛物线y2=2x上任一点,则点P到直线l:x-y+=0距离的最小值为
A. B. C. D.2
答案
2.D 解法一 易知直线l与抛物线相离,设与抛物线相切,且与直线l平行的直线方程为x-y+m=0,由得-y+m=0,Δ=1-2m=0,得m=,所以切线方程为x-y+=0,切线与直线l之间的距离d==2,故点P到直线l距离的最小值为2.故选D.
解法二 设点P(x,y),则点P到直线l的距离d=== ,所以当y=1时,点P到直线l的距离最小,且最小值为2.故选D.
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解法三 设点P(x0,y0),则抛物线在点P处的切线的方程为y0y=x+x0,即x-y0y+x0=0.易知当切线平行于直线x-y+=0时,点P到直线x-y+=0的距离最小,所以y0=1,则x0=,所以切线方程为x-y+=0,下同解法一.
结论拓展
直线与抛物线相切的有关结论
(1)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0);(2)过抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)
所引两条切线的切点弦所在直线的方程是y0y=p(x+x0);(3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.
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3. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2y,点P是C的准线l上的动点,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则△AOB面积的最小值为
A. B. C.1 D.
答案
3.A 由题意知焦点F(0,), 准线l的方程为y=-.设P(x0,-),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x2,得y'=x,所以切线PA的方程为y-y1=x1(x-x1),又=2y1,所以y=x1x-y1.又切线PA过点P(x0,-),所以-=x1x0-y1, 即2x0x1-2y1+1=0,同理得切线PB的方程为2x0x2-2y2+1=0,所以直线AB的方程为2x0x-2y+1=0,则直线AB过焦点F(0,).
【二级结论】过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线的方程是x0x=p(y0+y)
当AB平行于x轴时,|AB|=|x1-x2|=2x1=2,所以S△AOB=·|OF|·|x1-x2|=|x1-x2|≥×2=,当且仅当直线AB平行于x轴时取等号,故选A.
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4. [多选]已知直线l:x=ty+2与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点是M(m,2),则
A.t=
B.m=3
C.|AB|=8
D.点(-2,2)在以AB为直径的圆内
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答案
4.AB 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8ty-16=0,∴y1+y2=8t,又线段AB的中点为M(m,2),∴=4t=2,解得t=,A正确;对于B,∵M(m,2)在直线l:x=y+2上,
【另解】易知t≠0,则直线l的斜率k=====2
∴m=1+2=3,B正确;对于C,∵直线l:x=y+2过点(2,0),且点(2,0)为抛物线y2=8x的焦点,∴|AB|=x1+x2+4=(y1+y2)+8=
10,C错误;对于D,以AB为直径的圆的圆心为M,半径为5,设P(-2,2),连接MP,则|MP|==5,
∴点P(-2,2)在以AB为直径的圆上,D错误.故选AB.
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5. [多选]设抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A,B是抛物线E上不同的两点,且|AF|+|BF|=8,则
A.线段AB的中点到E的准线的距离为4
B.直线AB过原点时,|AB|=2
C.直线AB的倾斜角的取值范围为(,)
D.线段AB的垂直平分线过某一定点
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答案
5.ABD 由题意知焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义得x1+1+x2+1=8,所以线段AB的中点到E的准线的距离为+1=4,故A正确;直线AB过原点时,设x1=0,则x2=6,所以A(0,0),B(6,±2),所以|AB|==2,
故B正确;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b(k≠0),由得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,所以x1+x2==6,得b=-3k,又Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,所以得1-3k2<0,解得k>或k<-,故可得C错误;直线AB的斜率存
在时,线段AB的中点的坐标为(3,3k+b),所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(3k+b)=-(x-3),又b=-3k,所以得ky+x-5=0,直线过定点(5,0),当直线AB的斜率不存在时也成立,故D正确.故选ABD.
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6. 已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
答案
6.2 因为抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1),联立,得可得k2x2-2(2+k2)x+
k2=0,k≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2==+2,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+
x2)+1]=-4.因为M(-1,1),所以=(x1+1,y1-1),=(x2+1,y2-1),因为∠AMB=90°,所以·=0,所以(x1+1)(x2+1)+
(y1-1)(y2-1)=0,整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0,所以1+2+-4-+2=0,得k2-4k+4=0,所以k=2.
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7. 已知过原点O的直线与拋物线C:y2=2px(p>0)交于点A,线段OA的中点为M,点P(3p,0),PM⊥OA.在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题.
①|OA|=4;②|PM|=2;③△POM的面积为6.
(1) ,求拋物线C的方程;
(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证:直线l过定点.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
教材素材变式
答案
7.【参考答案】 (1)由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为y=kx(k≠0),
由得或即O(0,0),A(,),
所以线段OA的中点M(,).
因为PM⊥OA,所以直线PM的斜率存在,kPM==,所以·k=-1,解得k=±,
所以直线OA的方程为x±y=0,A(4p,±2p).
若选①,不妨令A(4p,2p),由|OA|=4,得=4,解得p=2(舍去p=-2),所以抛物线C的方程为y2=4x.
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若选②,因为PM⊥OA,|PM|=2,所以点P到直线OA的距离为2,即=2,解得p=2(舍去p=-2),所以抛物线C的方程为y2=4x.
若选③,不妨令A(4p,2p),因为|OM|=|OA|==p,
且点P到直线OA的距离|PM|==p,
所以S△POM=|OM|·|PM|=×p×p=6,得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0.
设B(0,b)(b≠0),切线BQ的方程为y=k1x+b,
由得k1y2-4y+4b=0,(*)
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Δ=(-4)2-4×k1×4b=0,得k1=,
所以方程(*)的根为y=2b,代入y2=4x,得x=b2,
所以切点坐标为Q(b2,2b),于是kOQ==,则kl=-,
所以直线l的方程为y=-x+b,即y=-(x-2),所以直线l恒过定点(2,0).(共13张PPT)
结论应用3 与椭圆、双曲线有关的二级结论
结论应用
二级结论
椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点 与两焦点 , 为顶点的 叫做焦点三角形.
如图所示，设 .
结论应用
①当 为短轴端点时， 最大.
② ,当 ，即 为短轴端点时， 取最大值，最大值为 .
③焦点三角形的周长为 .
结论应用
①推导过程:在焦点三角形 中,由余弦定理可得
,
则
,
,当且仅当 ,即点 是短轴端点时取等
号， .
结论应用
又∵函数 在 上单调递减，∴当 为短轴的端点时， 最大.
②推导过程:由上条结论的推导过程得 , ,
.
结论应用
若 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， , 分别为双曲线的左、右
焦点，则 ，其中 为 .
双曲线的焦点三角形
结论应用
椭圆的第三定义
双曲线的第三 定义
结论应用
椭圆的焦半径 公式
双曲线的焦半径公式
应用专练
专项训练，快解题
应用专练
1. 椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于原点对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为
A. B. C. D.
答案
1.A 解法一 设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==.故选A.
解法二 设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=.故选A.
应用专练
2. 已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为
A.2 B.4 C.6 D.12
答案
2.D 设椭圆的半焦距为c,由e=,得=,即a=2c.设△F1PF2的内切圆半径为r,则由△F1PF2的内切圆的面积为3π,可得πr2=3π,解得r=(负值舍去).在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知=b2tan=
r(2a+2c),即b2=(a+c).结合a2=b2+c2,易得a=6,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D.
应用专练
3. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若点P是双曲线上任意一点,且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为
A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
答案
3.D 第1步:由焦半径公式知|PF1|,|PF2|
设P(x0,y0),则≥a2,由焦半径公式可知|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|,其中e为双曲线的离心率,易知e2-a2>0,
第2步:由已知条件可得a,b的关系
则由|PO|2=|PF1|·|PF2|,得+=+b2(-1)=e2-a2,可得(1+-e2)=b2-a2,则a2=b2,
第3步:求出结果
故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选D.
应用专练
4. 已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积为a2,则双曲线C的渐近线方程为 .
答案
4.x±y=0 通解 由题意知||PF1|-|PF2||=2a,+=4c2,则2|PF1|·|PF2|=+-=4c2-4a2=4b2,所以|PF1|·|PF2|=2b2,因为∠F1PF2=,所以=|PF1|·|PF2|=b2=a2,可得a=b.因此,双曲线C的渐近线
方程为y=±x=±x,即x±y=0.
秒杀解 因为∠F1PF2=,所以==b2=a2,可得a=b.因此,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.(共51张PPT)
第五节 双曲线
知识点102：双曲线的定义及标准方程
教材知识萃取
双曲线的定义和标准方程
（1）定义
在平面内到两定点 ， 的距离的差的①________等于常数（小于 且大于零）
的点的轨迹叫做双曲线．定点 ， 叫做双曲线的②______，两焦点间的距离叫做
③______．
集合语言： , ,其中 , 为常数且
, .
.当 时， 点的轨迹是两条射线；
.当 时， 点轨迹不存在.
绝对值
焦点
焦距
知识点102：双曲线的定义及标准方程
思维拓展
双曲线的第二定义
双曲线的第二定义： , ，其中 为定点， 为定直线， 为离
心率， 为点 到直线 的距离 .
知识点102：双曲线的定义及标准方程
双曲线的标准方程
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2+b2 （2）标准方程
知识点102：双曲线的定义及标准方程
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看 项与 项的系数的正负，若 项的系数为正，则焦
点在 轴上;若 项的系数为正，则焦点在 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着
正的跑”.
知识点102：双曲线的定义及标准方程
方法技巧
双曲线定义的应用
1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出轨迹方程.
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ，运用
平方的方法，建立 的联系.
3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题等.
注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意：①若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②焦点所在坐标轴的位置.
知识点102：双曲线的定义及标准方程
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
根据题目条件确定 , 的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）若焦点位置不确定时,先确定焦点位置在 轴还是 轴上，设出标准方程，再由
题中条件确定 , 的值，即“先定型，再定量”；若不能确定焦点位置，可以设双
曲线的方程为 .
知识点102：双曲线的定义及标准方程
（2）常见设法
①与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为 ;
②若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线方程可设为 ;
知识点102：双曲线的定义及标准方程
③与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为 （ ，且 ）;
④与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 .
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是
A.|PF1|-|PF2|=±7
B.|PF1|-|PF2|=±6
C.|PF1|-|PF2|=±4
D.-=±6
答案
1.C 因为|F1F2|=6,所以由双曲线的定义知,当0<||PF1|-|PF2||<6时,动点P的轨迹为双曲线,故选C.
教材素材变式
归纳总结
在双曲线的定义中,距离的差要加绝对值,否则只表示双曲线的一支,如若F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则有如下两种情形:
若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0且2a<|F1F2|),则点P在双曲线的左支上,如图1;若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0且2a<|F1F2|),则点P在双曲线的右支上,如图2.特别地,当|PF1|=|PF2|时,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线;当||PF1|-|PF2||=|F1F2|时,动点P的轨迹为两条射线;当||PF1|-|PF2||>|F1F2|时,不存在满足题意的动点P.
教材素材变式
【变式探究】已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|=
A. B. C. D.
答案
【变式探究】D 由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是双曲线的右支,点P的轨迹方程为x2-=1(x≥1),
又y=3,所以x2=,y2=,所以|OP|===,故选D.
教材素材变式
2. 已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是
A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案
2.D 由题意得(1+k)(k-1)>0,解得k<-1或k>1,故选D.
教材素材变式
3. 已知P,Q(yPyQ<0)分别为直线y=x和y=-x上的点,且△OPQ(O为坐标原点)的面积为2,则线段PQ的中点M的轨迹方程为
A.x2-y2=2 B.x2+y2=2 C.y2-x2=2 D.x2+y2=4
答案
3.A 如图所示,不妨设P(a,a),Q(b,-b),M(x,y),则x=,y=,且∠POQ=90°,|OP|=|a|,|OQ|=|b|,∴S△OPQ=
·|a|·|b|=|ab|=2,∵-ab<0,∴ab>0,则ab=2,∴x2-y2=-=ab=2,
∴线段PQ的中点M的轨迹方程为x2-y2=2.故选A.
教材素材变式
4. 一动圆过定点A(-4,0),且与圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为
A.-=1(x≤-2) B.-=1(y≤-2) C.-=1 D.-=1
答案
4.A 设动圆圆心为点P,连接PB,PA,则|PB|=|PA|+4,则|PB|-|PA|=4<|AB|=8,所以点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且实轴长为4的双曲线的左支.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,则a=2,b2=42-a2=12.所以动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2).
教材素材变式
5. [多选]设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为常数k(k≠0),则下列结论正确的是
A.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点)
B.-1C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点)
D.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
教材素材变式
答案
5.AB 设M(x,y)(x≠±5),则kAM=,kMB=,则·=k,得y2=k(x2-25)(x≠±5).k>0时,易知点M的轨迹为焦点在x轴
【提示】由直线AM,BM的斜率存在得x≠±5
的双曲线(不含与x轴的交点),故A正确;-1-25k>0,所以点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点),故B正确;k<-1时,可化为+=1,因为-25k>25,所以点M的轨迹为焦点在y轴,以A,B为短轴端点的椭圆(除去点A,B),故C错误;若k=-1,则y2+x2=25(x≠±5),表示以原点为圆心,5为半径的圆(除去点A,B),故D错误.故选AB.
教材素材变式
6.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为双曲线C右支上的点,若PQ的长等于双曲线虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PFQ的周长为
A.28 B.36
C.44 D.48
答案
6.C ∵双曲线C:-=1的左焦点为F(-5,0),∴点A(5,0)是双曲线的右焦点.易知双曲线C的虚半轴长为4,∴虚轴长为8,∴|PQ|=16.根据双曲线的定义知|PF|-|PA|=6 ①,|QF|-|QA|=6 ②,①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=12,∴△PFQ的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44.故选C.
教材素材变式
7. 数学家华罗庚曾说:“数无形时少直觉,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决.例如:与相关的代数问题,可以被转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,可得方程-=4的解是
A. B. C. D.
答案
7.C 由-=4可得-=4,即=4,表示点(x,1)到定点(-3,0)和(3,0)的距离之差为4,由双曲线的定义可知,点(x,1)在以(-3,0)和(3,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支上,设双曲线的虚半轴长为b,则b2=32-22=5,所以双曲线方程为-=1.令y=1,可得x=±,因为x>0,所以x=,故方程-=4的解是x=,故选C.
教材素材变式
8. 已知P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=
4上的点,则|PM|-|PN|的最大值为
A.6 B.7
C.8 D.9
答案
8.D 易知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),且F1(-5,0),F2(5,0)分别是两个圆的圆心,两个圆的半径分别为1,2.连接PF1,PF2,则|PM|max=|PF1|+1,|PN|min=|PF2|-2,则|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-2)=|PF1|-|PF2|+3=
2×3+3=9,故选D.
教材素材变式
9. 已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交双曲线的右支于A,B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠F1AB=120°,则△ABF1的周长为
A.+8 B.4-4
C.+8 D.2+4
教材素材变式
答案
9.A 第1步:由题意,画出符合题目要求的图形
设双曲线的实半轴长为a,由题意可得a=2,不妨设点A在第四象限,如图所示,
第2步:结合双曲线的定义求|BF2|
设|AF2|=m,|BF2|=n,可得|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.由题意知|AF1|=|AB|,所以4+m=m+n,解得n=4.
第3步:数形结合,求|AF2|
过点A作AD⊥BF1,垂足为D,则D为线段BF1的中点,∠F1AD=60°,
所以|DF1|=(4+m),所以2×(4+m)=4+n,解得m=-4.
第4步:求得结果
所以△ABF1的周长为4+m+m+n+4+n=8+2(m+n)=8+.故选A.
教材素材变式
10. (1)若双曲线的焦点在x轴上,焦距为2,且双曲线过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 .
(2)若双曲线过点(2,0),且与双曲线-=1的离心率相等,则双曲线的标准方程为 .
(3)若双曲线过点P1(-2,)和P2(,4),则双曲线的标准方程为 .
答案
10.(1)-y2=1 (2)-y2=1 (3)-=1
(1)第1步:由题意,设出双曲线的标准方程
因为双曲线的焦点在x轴上,且双曲线的半焦距为,所以设双曲线的标准方程为-=1,0第2步:结合已知条件,得关系式,求参数
又双曲线过点(-5,2),所以-=1,得a2=5或a2=30(舍去),
教材素材变式
第3步:代入参数值,求得结果
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为-=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程,得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(3)因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).因为点P1(-2,),P2(,4)在双曲线上,所以解得于是所求双曲线的标准方程为-=1.
教材素材变式
方法总结
求双曲线方程的简捷设法:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为-=t(t≠0);
(2)过两个已知点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0);
(3)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的离心率,且双曲线焦点在x轴上时,可设所求的双曲线方程为-=λ(λ>0).
教材素材变式
11. 动点M(x,y)与定点F(,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比值是,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知过点P(-1,1)的直线与曲线C相交于A,B两点,点P能否为线段AB的中点 请说明理由.
答案
11.【参考答案】 (1)由题意得=|x-|,
化简得2x2-y2=2,即x2-=1,
故曲线C的方程为x2-=1.
教材素材变式
(2)点P不能是线段AB的中点.理由如下:
设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
当直线的斜率不存在时,直线与双曲线只有一个交点,不符合题意.
当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)+1,易知k≠±.
联立,得
整理得(2-k2)x2-2k(1+k)x-(1+k)2-2=0,
则Δ=4k2(1+k)2+4(2-k2)[(1+k)2+2]>0,
若点P是线段AB的中点,则x1+x2==-2,得k=-2,
当k=-2时,Δ=-8<0,
所以满足题意的直线也不存在.
综上,点P不能为线段AB的中点.
知识点103：双曲线的几何性质
教材知识萃取
双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
标准方程
图形
知识点103：双曲线的几何性质
标准方程
几何性质 范围
对称性 对称轴：⑥___________；对称中心：⑦______. 焦点
顶点
轴 轴， 轴
原点
续表
知识点103：双曲线的几何性质
标准方程
几何性质 焦距 离心率 渐近线
续表
知识点103：双曲线的几何性质
（2）特殊双曲线
等轴双曲线 共轭双曲线
定义 中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线.
性质 （1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点103：双曲线的几何性质
常用结论
与双曲线有关的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ，双曲线的顶点到渐近线的距离为 .
（2）双曲线 的焦点为 , ，当点
在双曲线右支上时， , ;当点 在双曲线左支
上时， , .
（3）若 是双曲线右支上一点， ， 分别为双曲线的左、右焦点，则
, .
知识点103：双曲线的几何性质
（4）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长
为 ；异支的弦中最短的为实轴，其长为 .
（5）若 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， , 分别为双曲线的左、右
焦点，则 ，其中 为 .
（6）过双曲线焦点 的弦 与双曲线交在同支上，则 与另一个焦点 构成的
的周长为 .
知识点103：双曲线的几何性质
（7）若 是双曲线 右支上不同于实轴端点的任意一点，
， 分别为双曲线的左、右焦点， 为 内切圆的圆心，则圆心 的横坐
标为定值 .
（8）过双曲线 上一点 的切线方程为
; 过双曲线外一点 引两条切线的切点弦方程为 .
（9）双曲线 上以 为中点的弦所在直线的
斜率为 .
知识点103：双曲线的几何性质
方法技巧
（1）渐近线方程的求法：求双曲线 的渐近线的方法是令
，即得两渐近线方程为 ，也就是 .
（2）在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线
中，离心率 与双曲线的渐近线的斜率 ，满足关系
式 .
知识点103：双曲线的几何性质
方法技巧
1.求双曲线的离心率的方法
公式法
构造法
知识点103：双曲线的几何性质
其他方法
2.求解双曲线离心率的取值范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径 或
、三角形中两边之和大于第三边等;
（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于 , 的不等关系求解.
续表
知识点103：双曲线的几何性质
方法技巧
求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法
1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
2.代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的最值（范围）问题转化为二次函数的最值（范围）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.
知识点103：双曲线的几何性质
方法技巧
解决直线与双曲线的位置关系问题的策略
判断直线与双曲线的位置关系和判断直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但
要注意联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程的二次项系数是否为零.
当二次项系数为0时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为0时，利
用判别式 求解.
注意 注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，点所在双曲线的左、右支的位置不
同，会导致所求解的情况有所不同.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=
A.1 B.2 C.4 D.8
答案
1.A 通解 设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,如图,则=mn=4,
m-n=2a,m2+n2=4c2,又e==,所以a=1,选A.
优解 由题意得,==4,得b2=4,又=5,c2=b2+a2,所以a=1.
教材素材变式
2. 已知点F1,F2分别是等轴双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C上,|F1F2|=2|OP|,△PF1F2的面积为8,则双曲线C的方程为
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案
2.D 因为|F1F2|=2|OP|,且O是F1F2的中点,所以易知PF1⊥PF2.由题意知a=b,则双曲线的半焦距c=a,结合题意可得得a=2,所以双曲线C的方程为-=1.故选D.
教材素材变式
3. [多选]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,一条渐近线过点(2,),则下列结论正确的是
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C与双曲线-=1有相同的渐近线
C.若F到双曲线C的渐近线的距离为2,则双曲线C的方程为-=1
D.若直线l:x= (c为双曲线C的半焦距)与渐近线围成的三角形的面积为4 ,则双曲线C的焦距为6
教材素材变式
答案
3.BCD 由题意知,直线y=x过点(2,),则=2·,得a=b,所以双曲线C的离心率e===,故A错误;双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线C的渐近线方程为y=±x,故B正确;不妨取双曲线C的一条渐近线方程为x+y=0,由F(c,0)到渐近线的距离为2,可得=2,得c=2,可得得所以双曲线C
【结论】由双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长,可得b=2
的方程为-=1,故C正确;在y=±x中,取x=,得y=±,则直线l与渐近线围成的三角形的面积S=··=4,得=2,结合a2+b2=c2,a=b,得c=3,所以双曲线C的焦距为2c=6,故D正确.故选BCD.
教材素材变式
结论总结
记双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,现总结如下结论:
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为;(2)离心率e===;(3)等轴双曲线(实轴长和虚轴长相等的双曲线)的两条渐近线互相垂直,离心率为;(4)双曲线的焦点到渐近线的距离为b;(5)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a;(6)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个交点.
教材素材变式
4. [多选]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,C上的点到其焦点的最短距离为1,则
A.C的焦点坐标为(±,0)
B.C的渐近线方程为y=±x
C.若点P为双曲线C上的动点,则点P到两条渐近线的距离之积为定值
D.直线mx-y-m=0(m∈R)与C恒有两个交点
教材素材变式
答案
4.BC 由题意,双曲线C的实半轴长为a,虚半轴长为b,设双曲线C的半焦距为c,由题意知双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c-a=1,该双曲线的离心率e==2,得c=2,a=1,则b==,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.对于A选项,双曲线C的焦点坐标为(±2,0),A选项错误;对于B选项,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,B选项正确;对于C选项,设点P(x0,y0),则-=1,双曲线C的两条渐近线方程分别为x-y=0,x+y=0,则点P到两条渐近线的距离之积为·==,C选项正确;对于D选项,当m=时,直线方程为y=(x-1),联立,得得x=1,所以直线y=(x-1)与双曲线C只有一个交点,D选项错误.故选BC.
【应用结论】直线y=(x-1)与双曲线C的一条渐近线平行,所以该直线与双曲线C只有一个交点
教材素材变式
方法点拨
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用:把直线方程与双曲线的方程联立,得方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0(a,b,c为实数)的形式,在a≠0的情况下研究方程ax2+bx+c=0的判别式,当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点,当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点,当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点,当a=0,且b≠0时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点.
(2)数形结合思想的应用:直线斜率一定时,通过平移直线及比较直线斜率与渐近线斜率的大小关系来研究直线与双曲线的位置关系.
教材素材变式
【变式探究】
记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
答案
【变式探究】(1,]内的任意值均可 双曲线C的渐近线方程为y=±x,若直线y=2x与双曲线C无公共点,则2>,
∴≤4,∴e2==1+≤5,又e>1,∴e∈(1,],∴填写(1,]内的任意值均可.
教材素材变式
5. 已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
答案
5.2 作出图形如图所示,设B(c,yB),因为B为双曲线C:-=1上的点,所以-=1,
所以=.因为AB的斜率为3,所以yB=,=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,
【提醒】不要忽视直线AB的斜率为正数这一隐藏条件
所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e==2.(共78张PPT)
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
知识点95：圆的方程
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
知识点95：圆的方程
规律总结
（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .
（2）在圆的一般方程中：当 时，方程
表示一个点 ;当 时，方程 没
有意义，不表示任何图形.
（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为
.
知识点95：圆的方程
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为 ，圆心 的坐标为 ,半径为 ，
设 的坐标为 .
知识点95：圆的方程
方法技巧
求圆的方程的两种方法
几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
待定系数法
知识点95：圆的方程
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的4种方法
1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
3.几何法：利用圆的几何性质列方程.
4.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2 +y2=1的一条对称轴,则a=
A. B.- C.1 D.-1
答案
1.A 依题意可知圆心坐标为(a,0),又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以2a+0-1=0,所以a=,故选A.
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2. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线
2x-y-3=0的距离为
A. B. C. D.
答案
2.B 因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=
a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=,故选B.
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3. 已知点P(1,-2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值范围是
A.-2C.k<-2 D.-2答案
3.B 由x2+y2+kx+4y+k2+1=0,得(x+)2+(y+2)2=3-k2,由3-k2>0,解得-2【提示】圆的半径的平方大于0
∵点P(1,-2)在圆C的外部,∴1+4+k-8+k2+1>0,即k2+k-2>0,得k<-2或k>1 ②,由①②得1教材素材变式
4. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x-1)2+y2=1,点B(3,0),过动点P引圆A的切线,切点为T.若|PT|=|PB|,则动点P的轨迹方程为
A.x2+y2-14x+18=0 B.x2+y2+14x+18=0 C.x2+y2-10x+18=0 D.x2+y2+10x+18=0
答案
4.C 由题意,圆心A(1,0),连接AT,PA,由圆的切线的性质知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.设P(x,y),因为|PT|=|PB|,
所以2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即2[(x-3)2+y2]+1=(x-1)2+y2,整理得x2+y2-10x+18=0,故选C.
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【多维探究】的最大值为 .
答案
【多维探究】 2+ 由x2+y2-10x+18=0,得(x-5)2+y2=7,则点P的轨迹是以点(5,0)为圆心,为半径的圆,
因为(3-5)2+02=4<7,所以点B在圆内,所以|PB|的最大值为5-3+=2+.
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5. 设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程
为 .
答案
5.(x-1)2+(y+1)2=5 解法一 设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
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解法二 设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M(-,-),∴解得∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.
解法三 设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB==-,AB的中点坐标为(,),∴AB的垂直平分线方程为y-=3(x-),
即3x-y-4=0.联立得解得M(1,-1),∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
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6. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
答案
6.(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-)2+(y-)2=或(x-)2+(y-1)2= 若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,
即(x-2)2+(y-1)2=5.
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光速解 在平面直角坐标系中作出这三个点,显然由这三个点的连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为点(0,0)和点(4,2)连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和点(4,2)连线段的长,即2R=,可得R=,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0,
即(x-)2+(y-)2=.
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若圆过(4,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,
即(x-)2+(y-1)2=.
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方法点拨
求圆的方程的常见方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出圆的方程.
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径(r>0)有关,则可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r的值;②设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值,再验证D2+E2-4F是否大于0.
(3)若求的是三角形的外接圆方程,则可以先求三角形两边的垂直平分线的方程,然后联立得方程组,求出方程组的解,方程组的解对应的是外接圆圆心的坐标,最后求半径,即可得外接圆的标准方程.
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7. 在平面直角坐标系xOy中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径等于 .
答案
7. 解法一 第1步:求出点D的坐标
由题意,设A(a,2a),a>0,因为B(5,0),所以圆心C(,a),圆C的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,联立,得得所以D(1,2),
第2步:根据AB⊥CD,即·=0求出点A的坐标
所以=(5-a,-2a),=(-,2-a),所以·=(5-a)×(-)+(-2a)×(2-a)=(a2-2a-15)+2a2-4a=0,解得a=3或a=-1,
又a>0,所以a=3,即A(3,6),
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第3步:求结果
所以圆C的半径r=|AB|==.
解法二 由解法一知D(1,2),连接BD,易知BD⊥l,又AB⊥CD,所以△ABD为等腰直角三角形,则|AB|=|BD|=2,所以圆C的半径为.
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8. 已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)在(1)的条件下,直角边BC的中点M的轨迹方程.
答案
8.【参考答案】 (1)解法一 设点C(x,y),由题意可知,
AC⊥BC,直线AC,BC的斜率都存在且不为0,
直线AC的斜率k1=(x≠-1),
直线BC的斜率k2=(x≠3),
则k1·k2=·=-1(x≠-1且x≠3),
整理得y2=-(x+1)(x-3),即(x-1)2+y2=4(x≠-1且x≠3),
∴直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠-1且x≠3).
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解法二 由题意可知AC⊥BC,直线AC,BC的斜率都存在且不为0,由圆的性质可知,直角顶点C的轨迹是以线段AB的中点为圆心,线段AB的长的一半为半径的圆(不包含点A,B).
由A(-1,0),B(3,0)得,线段AB的中点坐标为(1,0),|AB|=2,
∴直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠-1且x≠3).
(2)设M(a,b),
由C(x,y),M是BC的中点,得得
∵C在(x-1)2+y2=4(x≠-1且x≠3)上,
∴把代入,整理得(a-2)2+b2=1(a≠1且a≠3).
∴直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠1且x≠3).
知识点96：直线与圆的位置关系
教材知识萃取
直线与圆的位置关系
设圆 的半径为 ,圆心 到直线 的距离为 ，则
位置关系 相离 相切 相交
图形
知识点96：直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
判定方法 代数法
几何法 ①______ ②______ ③______
续表
知识点96：直线与圆的位置关系
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆 上一点 的切线方程为
;
（2）过圆 外一点 作圆 的两条切线，
切点分别为 ， ，则切点弦 所在直线的方程为
；
（3）若圆的方程为 ,则过圆外一点 的切线
长 .
知识点96：直线与圆的位置关系
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
几何法
代数法
点与圆的位置关系法 若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
知识点96：直线与圆的位置关系
方法技巧
求解圆的弦长问题的方法
几何法
代数法
知识点96：直线与圆的位置关系
方法技巧
1.求过圆上一点 的切线方程的方法
先求切点与圆心连线所在直线的斜率 ，若 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 ;若 ,则结合图形可直接写出切线方程为 ;若 存在且 ，则由垂直关系知切线的斜率为 ，由点斜式可写出切线方程.
知识点96：直线与圆的位置关系
2.求过圆外一点 的切线方程的方法
几何法
代数法
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
知识点96：直线与圆的位置关系
3.过圆外一点 作圆的切线，求切线长的技巧
先求 与圆心的距离 ，再由勾股定理求得切线长为 （其中 为圆的半径）.
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多维变式，夯基础
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1. 不经过坐标原点的直线l:x+y-m=0被曲线C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦的长度为2,则直线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是
A.x2+y2-4x-4y=0 B.x2+y2+4x+4y=0
C.x2+y2+3x+3y=0 D.x2+y2-2x-2y=0
答案
1.A 由x2+y2-2x-2y-2=0得(x-1)2+(y-1)2=4,则圆C的圆心坐标为(1,1),半径为2,圆心到直线l:x+y-m=0的距离d=,又直线l:x+y-m=0被曲线C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦的长度为2,所以()2+()2=4,解得m=4或m=0(舍去),则直线l:x+y-4=0.易得直线l与两坐标轴的交点分别为(4,0),(0,4),则直线l与坐标轴围成的三角形的外接圆的圆心为(2,2),半径为2,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8,即x2+y2-4x-4y=0.故选A.
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【变式探究】[多选]已知直线y=kx-1与圆C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A,B两点,则AB的长度可能为
A.6 B.8 C.12 D.16
答案
【变式探究】BC 易知直线y=kx-1过圆内定点M(0,-1),圆心C(-3,3)与M间的距离d==5.又圆的半径为6,所以弦长|AB|的最小值为2=2,最大值为直径12.结合选项可知,选BC.
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2. 过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
答案
2.B 通解 由题意知,圆心C(1,0),连接PC,CA,CB,则CA⊥AP,CB⊥BP,|PC|=2,则点P,A,C,B在以PC为直径的圆上,
圆心坐标为(1,-1),半径为1,所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,与圆C的方程作差,可得AB所在直线的方程为y=-.
秒杀解 由(1-1)2+(-2)2=4>1,可知点P在圆C外,所以AB所在直线的方程为(1-1)(x-1)+(-2y)=1,即y=-.
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结论拓展
有关圆的切线方程的常用结论:(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=
r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
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【变式探究】[多选][2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案
【变式探究】ABD 对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,所以直线l与圆C相切,故A正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2r,所以直线l与圆C相离,故B正确;对于C,若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=D正确.故选ABD.
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3. 由直线x-y+4=0上一点向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线长的最小值为
A. B.3 C.2 D.2-1
答案
3.A 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心C(1,1),半径为1,由直线x-y+4=0上一点P向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,设切点为M,连接PC,MC,则|PM|==,要使切线长最小,则|PC|最小,而|PC|的最小值等于圆心C到直线x-y+4=0的距离,故|PC|min==2,故切线长的最小值为=.故选A.
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【变式探究】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为 .
答案
【变式探究】3 由(x-1)2+y2=4可知圆心C(1,0),半径为2,连接PC,因为四边形PMCN为正方形,且边长等于圆C的半径,即2,所以|PC|=2,因为直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P,使得|PC|=2,所以PC⊥l,即圆心C到直线l的距离为2,所以=2,解得m=3或m=-5(舍去),所以正实数m的值为3.
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4.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
答案
4.[,] 解法一 由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3),所以kA'B=,所以直线A'B的方程为y=
x+a,即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以≤1,(易错分析:直线与圆有公共点,可能有一个交点,也可能有两个交点,此处易漏取等号)
整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是[,].
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解法二 易知(x+3)2+(y+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线
【提示】由于点B(0,a),所以数形结合知直线AB关于直线y=a对称与关于y轴对称是一样的
AB的方程为y=x+a,即(a-3)x-2y+2a=0,又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,所以≤1,
整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是[,].
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【变式探究】已知直线l:kx-y-k+3=0,若无论k取何值,直线l与圆(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共点,则r的取值范围是
A.[3,5] B.(3,+∞)
C.[4,6) D.[5,+∞)
答案
【变式探究】D 由kx-y-k+3=0,得k(x-1)+(-y+3)=0,即直线l过定点A(1,3),故当点A在圆内或圆上时,直线l与圆
(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共点,则 (1-5)2+(3-6)2≤r2(r>0),得r≥5,故选D.
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5. [多选]长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴,y轴上滑动,线段AB中点的运动轨迹为曲线C,则下列说法正确的是
A.点(1,1)在曲线C内
B.直线+=1与曲线C没有公共点
C.曲线C上任一点关于原点的对称点仍在曲线C上
D.曲线C上有且仅有两个点到直线x+y+=0的距离为1
教材素材变式
答案
5.ABC 设线段AB的中点坐标为(x,y),则A(2x,0),B(0,2y),故=4,即x2+y2=4,所以曲线C为以原点为圆心,
2为半径的圆,故C选项正确.对于A选项,因为12+12=2<4,所以点(1,1)在曲线C内,故A选项正确.对于B选项,直线+=1,即3x+4y-12=0,圆心(0,0)到直线的距离d==>2,故直线+=1与曲线C没有公共点,故B选项正确.对于D选项,圆心(0,0)到直线x+y+=0的距离d'==1,而2-1=1<2+1,所以曲线C上有三个点到直线x+y+=0的距离为1,故D选项错误.故选ABC.
知识点97：圆与圆的位置关系
教材知识萃取
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为 ,两圆的半径分别为 ， ,则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
公共点个数 0 1 2 1 0
知识点97：圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
④__________ ⑤_____________ ____
公切线条数 ⑥___ ⑦___ ⑧___ 1 0
4
3
2
续表
知识点97：圆与圆的位置关系
两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆 ，圆 ，
若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由 ，得
方程 表示圆 与圆 的公共弦所
在直线的方程.
注意 （1）方程 存在的前提是两圆相交;（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
知识点97：圆与圆的位置关系
方法技巧
两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.
知识点97：圆与圆的位置关系
规律总结
圆系方程
同心圆系方程
知识点97：圆与圆的位置关系
方法技巧
两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.
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多维变式，夯基础
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1. 已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,若这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是
A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1} D.{3,-3}
答案
1.A 解法一由题意,圆O1,O2外切或内切,则圆心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3.故选A.
解法二 作出图形如图所示,数形结合知a可以取的值为1,-1,3,-3.
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2. 圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案
2.D 第1步:确定两圆的圆心坐标和半径
由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=22,则圆心坐标为(2,0),半径为2;由x2+y2+4x+3=0,得(x+2)2+y2=12,则圆心坐标为(-2,0),
半径为1.
第2步:确定两圆的圆心距,半径之和
故两圆的圆心距为4,半径之和为3,
第3步:判断
因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.故选D.
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【变式探究】变式1 已知圆C:x2+y2-2x-4y+m=0与圆D:(x+2)2+(y+2)2=1有三条公切线,则m的值为 .
答案
变式1 -11 由x2+y2-2x-4y+m=0,得(x-1)2+(y-2)2=5-m(m<5),则圆C的圆心C(1,2),半径为;
由圆D:(x+2)2+(y+2)2=1,知圆心D(-2,-2),半径为1.因为圆C与圆D有三条公切线,所以圆C与圆D外切,
故|CD|=+1=,得m=-11.
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变式2 [2022新高考Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
答案
变式2 x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(注意只需从这三条公切线中挑一条作答即可)
通解 如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+
r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.
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②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由得由对称性可知公切线l2过点(-1,-),设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
光速解 根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.
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解题关键
破解此题的关键:一是定位置,即能判断两圆的位置关系,一般先把两圆的圆心距求出,再与两圆的半径和、差进行比较,即可判断两圆的位置关系;二是会用几何法,即会利用圆心到直线的距离等于半径,求切线方程;三是“草图不草”,在作圆时,若用尺规作图,就能很快找到解题的通路.
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3. 已知圆C1:x2+y2=a(a>0)关于直线l对称的圆为圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,则直线l的方程为
A.2x-4y+5=0 B.2x+4y+5=0
C.2x-4y-5=0 D.2x+4y-5=0
答案
3.A 圆C1:x2+y2=a的圆心C1(0,0),半径为.x2+y2+2x-2ay+3=0,即(x+1)2+(y-a)2=a2-2,则圆C2的圆心C2(-1,a),半径
为.由题意,=,得a=2,∴C2(-1,2),则C1(0,0)与C2(-1,2)的中点坐标为(-,1),连接C1C2,直线C1C2的斜率
为-2,∴直线l的斜率为,∴直线l的方程为y-1=(x+),即2x-4y+5=0.故选A.
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4. [多选]有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列命题正确的是
A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.存在定直线始终与圆Ck相切
D.若k∈(-,),则圆Ck上总存在两点到原点的距离均为1
教材素材变式
答案
4.ABC
故选ABC.
选项 正误 原因
A √ 圆Ck的圆心Ck(k,k),在直线y=x上
B √ 由(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=36-40=-4<0,无实数解
C √
D ×
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5. [多选]已知圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-8y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是
A.直线AB的方程为x-2y=0
B.|AB|=
C.线段AB的垂直平分线方程为2x+y-2=0
D.若点P为圆O1上的一个动点,则点P到直线AB的距离的最大值为+1
教材素材变式
答案
5.ACD 根据题意,由x2+y2-2x=0,得(x-1)2+y2=1,则圆心O1(1,0),半径r=1,由x2+y2+2x-8y=0,得(x+1)2+(y-4)2=17,则圆心O2(-1,4),半径R=.
对于A,联立,得得x-2y=0,即直线AB的方程为x-2y=0,A正确;对于B,圆心O1到直线AB的距离
【结论】如果两圆相交,那么将两圆的方程作差(消去x2,y2),所得到的方程为两圆公共弦所在直线的方程
d==,则|AB|=2×=,B错误;对于C,线段AB的垂直平分线即直线O1O2,由O1(1,0),O2(-1,4),易得直线O1O2的方程为2x+y-2=0,C正确;对于D,由圆心O1到直线AB的距离d=,知点P到直线AB的距离的最大值为+1,
D正确.故选ACD.
知识点98：与圆有关的最值问题
教材知识萃取
方法技巧
与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
1.利用几何性质求最值
借助几何性质求与圆有关的最值问题时，常根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
（1）最小圆（圆的面积最小）问题，转化为求半径最小值问题；
（2）圆上的点到圆外的点（直线）的距离的最值，应先求圆心到圆外的点（直线）的距离，再加上半径或减去半径求得最值；
知识点98：与圆有关的最值问题
（3）形如 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;
（4）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角
代换求解;
（5）形如 的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.
知识点98：与圆有关的最值问题
2.建立函数关系求最值
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.
3.利用对称性求最值
解形如 且与圆有关的折线段的最值问题（其中 , 均为动点）时,要立足两点:①“动化定”，把与圆上的点间的距离转化为与圆心间的距离；②“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
1.B 将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|==2,所以|BD|min=2=2=2,即弦的长度的最小值为2,故选B.
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方法总结
(1)一条直线被圆所截得的弦为AB,则|AB|=2(其中r为圆的半径,d为圆心到直线的距离).(2)过圆内一点P的直线为l,当直线l⊥PC(其中C为圆心)时,直线l被圆所截得的弦的长度取得最小值;当直线l过圆心时,直线l被圆所截得的弦的长度取得最大值,最大值即圆的直径.
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2. 已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为
A.4 B.5 C.6 D.7
答案
2.A 设圆心C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以点(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以圆心到原点的距离的最小值为-1=4.
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【多维探究】在本题中添加条件“设圆心为M,已知A(0,1),B(0,-1),记d=|MB|2+|MA|2”,则d的最大值为 .
答案
【多维探究】 74 设M(x0,y0),则d=|MB|2+|MA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+2.∵+为圆(x-3)2+
(y-4)2=1上任一点到原点的距离的平方,∴(+)max=(+1)2=36,∴dmax=74.
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3. 设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值
为 .
答案
3.12 解法一 第1步:确定·的表达式
由题意知,=(2-x,-y),=(-2-x,-y),∴·=x2+y2-4.
第2步:转化,求结果
∵x2+y2为圆x2+(y-3)2=1上任一点到原点的距离的平方,∴(x2+y2)max=(3+1)2=16,∴·的最大值为16-4=12.
解法二 由于点P(x,y)是圆上的动点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,∴·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=
x2+y2-4=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程x2+(y-3)2=1,知2≤y≤4,∴当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.
解法三 设O为坐标原点,连接OP,由极化恒等式得,·=||2-||2,易知|AB|=4,|PO|的最大值为点O(0,0)到圆x2+(y-3)2=1的距离的最大值,则|PO|max=3+1=4,∴·的最大值为42-×42=12.
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4. 已知直线l:x-y-1=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,P为l上一动点,过点P作圆C的切线PM,PN,切点分别为M,N,则四边形PMCN面积的最小值为
A. B.7 C.8 D.2
答案
4.A 由题意,圆心C(-1,2),半径为1,如图,连接PC,由圆的切线的性质可知,
S四边形PMCN=2S△PMC=2××|CM|×|PM|=|PM|=,要使四边形PMCN
的面积最小,则|CP|最小,最小值为圆心C到直线l的距离,即|CP|min==2,
∴四边形PMCN面积的最小值为=.故选A.
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5. 已知圆C1:x2+(y-2)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为直线x+y+2=0上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 .
答案
5.6 由题意,圆C1的圆心C1(0,2),半径为1,圆C2的圆心C2(4,4),半径为3,P是直线x+y+2=0上的动点,连接PC1,PC2,
则|PM|的最小值为|PC1|-1,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.设圆心C1 (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为C'1(m,n),连接PC'1,C'1C2,则解得故C'1(-4,-2),所以|PC1|+|PC2|=
|PC'1|+|PC2|≥|C'1C2|==10,所以|PM|+|PN|的最小值为10-4=6.
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名师点拨
求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段长度的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,即把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段长度之和转化为同一条直线上的两线段长度之和,一般要利用对称性解决.
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6. [多选]若两定点A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=|MB|,则下列说法正确的是
A.点M的轨迹所围成区域的面积为32π
B.△ABM面积的最大值为8
C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为5
D.若圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M,则r的取值范围为[,9]
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答案
6.ABD 设M(x,y),因为|MA|=|MB|,所以|MA|2=2|MB|2,即(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+
y2=32,所以点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,4为半径的圆,所围成区域的面积为(4)2×π=32π,故A正确;由A选项的分析易知动点M到x轴的最大距离为4,又|AB|=4,所以△ABM面积的最大值为×4×4=8,故B正确;圆心(6,0)到直线x-y+4=0的距离为=5,所以动点M到直线x-y+4=0的距离的最大值为5+4=9,故C错误;
圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M,即圆C与圆(x-6)2+y2=32有公共点,圆C的圆心C(-1,1),由于两圆
的圆心距为=5,所以|r-4|≤5≤r+4,得≤r≤9,故D正确.故选ABD.
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知识拓展
一般地,平面内到两个定点A,B(A,B为平面上的相异两点)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.
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7. 已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上.
(1)求的最小值;
(2)求x+y的最大值;
(3)求的最大值.
答案
7.【参考答案】 由题意知,圆(x-2)2+(y+3)2=1的圆心为(2,-3),半径为1.
(1)可视为圆上的点(x,y)与原点连线的斜率,的最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最小值,易知直线与圆相切时取得最小值.
设过原点的切线方程为y=kx,
则=1,解得k=-2+或k=-2-,
所以的最小值为-2-.
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(2)解法一 设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,
所以x+y的最大值就是直线y=-x+t与圆有公共点时,直线y=-x+t在y轴上截距的最大值,易知直线与圆相切时取得
最值.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,
即=1,解得t=-1或t=--1,
所以x+y的最大值为-1.
解法二 设x=2+cos θ,y=-3+sin θ,0≤θ<2π,则x+y=sin(θ+)-1,0≤θ<2π,
因为sin(θ+)≤1,当且仅当θ=时取等号,所以x+y的最大值为-1.
(3)=,其最值可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,
又圆心到定点(-1,2)的距离为=,所以的最大值为+1.(共33张PPT)
第二节 两条直线的位置关系
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
教材知识萃取
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程
相交
垂直 ①____________ ②_________________
平行 ③_____________ ______
重合
.
.
且 .
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
注意 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
2.两条直线的交点
对于直线 , ，它们的交点坐标与方程组 的解一一对应.
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
3.三种距离公式
距离类型 公式
注意 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件： 点到直线的距离时，应
先将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且
， 的系数对应相等.
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
（1）斜率不存在的特殊情况；
（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
方法技巧
求解距离问题的策略
（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式；
（2）两平行线间的距离:①利用两平行线间的距离公式求解；②利用“转化法”将两条直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
方法技巧
常见的直线系方程
平行直线系
垂直直线系
知识点93：两条直线的位置关系与距离问题
过两直线交点的直线系
过定点的直线系
续表
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 过点P(1,2)引直线,使点A(2,3),B(4,-5)到直线的距离相等,则这条直线的方程是
A.2x+y-4=0 B.x+2y-5=0 C.2x+y-4=0或x+2y-5=0 D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
答案
1.D 解法一 当所求直线和直线AB平行时,由于直线AB的斜率为=-4,且所求直线过点P(1,2),故所求直线的
方程为y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0.当所求直线经过线段AB的中点(3,-1)时,所求直线的方程为 =,即 3x+2y-7=0.(易错提醒:注意分类讨论)
综上,这条直线的方程是3x+2y-7=0或4x+y-6=0,故选D.
解法二 易知直线的斜率不存在时不符合题意,当直线的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,则由点到直线的距离公式及题意得,=,解得k=-4或k=-,从而直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
教材素材变式
2. [多选]已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则
A.l1恒过点(2,-2)
B.若l1∥l2,则a2=
C.若l1⊥l2,则a2=1
D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限
教材素材变式
答案
2.BD
故选BD.
选项 正误 原因
A ×
B √
C × 若l1⊥l2,则有a(a+1)+a(1-a)=0,得a=0
D √
教材素材变式
结论拓展
1.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2 A1B2-A2B1=0,
且A1C2-A2C1≠0;l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
2.经过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(除直线l2的方程外),其中λ是待定系数.
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3. 已知两条平行直线l1:(3+2λ)x-(4+λ)y+(-2+2λ)=0(λ∈R),l2:y=x+1,则l1与l2间的距离为 .
答案
3. 由l1∥l2,得=≠,得λ=1,所以l1:5x-5y=0,即x-y=0,所以l1与l2间的距离d==.
教材素材变式
4. 点A(0,-1)到直线l:y=k(x+1)距离的最大值为
A.1 B. C. D.2
答案
4.B 解法一 点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,由1+k2≥,当且仅当k=1时等号成立,得≤,
故选B.
解法二 点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d===,因为要求距离的最大值,所以数形结合知需k>0,由k2+1≥2k,当且仅当k=1时等号成立,可得d≤=,当k=1时等号成立.
解法三 易知直线y=k(x+1)过定点B(-1,0),则点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d≤|AB|=.故选B.
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【变式探究】
变式1 直线l:y=k(x+1)上存在两个不同的点到点A(0,-1)的距离为,则k的取值范围是 .
答案
变式1 (-∞,)∪(,+∞) 直线l:y=k(x+1)上存在两个不同的点到点A(0,-1)的距离为,则点A(0,-1)到直线l的距离小于,所以<,解得k<或k>.
教材素材变式
变式2 直线l:3x-2y+5=0,点P(m,n)为直线l上的动点,则(m+1)2+n2的最小值为 .
答案
变式2 第1步:转化
(m+1)2+n2表示点P(m,n)到点(-1,0)的距离的平方,而点P(m,n)为直线l上的动点,故(m+1)2+n2的最小值即点(-1,0)到直线l:3x-2y+5=0的距离的平方,
第2步:求结果
即()2=.
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5. 在平面直角坐标系xOy中,已知射线l1:x-y=0(x≥0),l2:2x+y=0(x≥0),过点P(1,0)作直线分别交射线l1,l2于点A,B.
(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时,直线AB的方程为 ;
(2)当△AOB的面积取得最小值时,直线AB的方程为 .
答案
5.(1)7x-4y-7=0 (2)4x-y-4=0 (1)设A(x1,x1),B(x2,-2x2),则AB的中点为(,),因为AB的中点在直线x-2y=0上,所以-2×=0,得x1=5x2,易知x1,x2均不为0,所以直线AB的斜率k===,所以直线AB的方程为y=(x-1),即7x-4y-7=0.
教材素材变式
(2)设直线AB的方程为x=my+1,联立,得得(m<1),所以A(,).联立,得得(m>-),所以B(,-),
解法一 所以S△AOB=S△AOP+S△BOP=|OP|·(+)=+,因为2-2m>0,2m+1>0,所以+=(+)×=(1+1++)≥(2+2)=,当且仅当m=时等号成立,
所以S△AOB的最小值为,此时m=,直线AB的方程为x=y+1,即4x-y-4=0.
教材素材变式
解法二 由于∠AOB为定值,因此|OA||OB|最小时,S△AOB最小,而|OA||OB|=·==,易知当m=时,|OA||OB|最小,此时直线AB的方程为x=y+1,即4x-y-4=0.
知识点94：对称问题
教材知识萃取
方法技巧
对称问题的解题策略
点关于点对称
直线关于点对称 直线关于点对称的问题可转化为点关于点对称的问题.
知识点94：对称问题
点关于直线对称
直线关于直线对称 直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题.
续表
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 点A(1,2)关于直线l:x+y-2=0的对称点B的坐标是
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(2,1)
答案
1.B 设点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点B(a,b),则有解得故B(0,1).故选B.
教材素材变式
【变式探究】若点A(1,2),B(3,6)关于直线l对称,则直线l的方程为 .
答案
【变式探究】x+2y-10=0 易知点A(1,2),B(3,6)的中点坐标为(2,4),∵直线AB的斜率k==2,
∴直线l的斜率k1=- ,∴直线l的方程为y-4=-(x-2),即x+2y-10=0.
方法点拨
求两点的对称轴对应的方程,即求两点连线所成线段的垂直平分线对应的方程.
教材素材变式
2. 与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为
A.4x+3y-5=0 B.3x+4y+5=0
C.4x-3y+5=0 D.3x-4y-5=0
答案
2.D 通解 设直线3x-4y+5=0上一点Q(x1,y1)关于坐标原点(0,0)对称的点为P(x,y),则=0,=0,
解得x1=-x,y1=-y,代入3x-4y+5=0,得3x-4y-5=0,即所求直线的方程为3x-4y-5=0.故选D.
光速解 由题意易知所求直线与直线3x-4y+5=0平行,观察选项知选D.
教材素材变式
【变式探究】已知直线l与直线y=kx-k+1关于坐标原点对称,则直线l过的定点坐标为 .
答案
【变式探究】(-1,-1) 易知直线y=k(x-1)+1恒过定点(1,1),其关于坐标原点对称的点为(-1,-1),所以直线l过的定点坐标为(-1,-1).
教材素材变式
3. 已知△ABC的一个顶点A(4,-1),两条角平分线所在直线的方程分别为
l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为 .
答案
3.2x-y+3=0 由题知,A(4,-1)不在这两条角平分线上,因此l1,l2是角B,角C的角平分线所在直线.设点A关于直线l1的对称点为A1(x1,y1),关于直线l2的对称点为A2(x2,y2),则A1,A2均在边BC所在的直线上.由得所以A1(0,3).因为l2∶x=1,所以易得y2=-1,由=1,得x2=-2,所以A2(-2,-1).所以BC边所在直线的方程为=,
即2x-y+3=0.
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4. 已知直线l:2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程为 .
答案
4.9x-46y+102=0 解法一 在直线m上取一点,不妨取M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在m'上.设M'(a,b),则解得即M'(,).设m与l的交点为N,则由得即N(4,3).
又m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为=,即9x-46y+102=0.
解法二 直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0对称的直线方程为==,即39x-26y-78=
48x-72y+24,所以直线m'的方程为9x-46y+102=0.
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二级结论
直线Px+Qy+R=0关于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称的直线方程,由式子=决定.
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5. 如图,一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点
P(-4,3),则反射光线所在的直线的方程为 .
答案
5.y=3 第1步:求出原点O关于直线l的对称点A
设原点O(0,0)关于l:8x+6y=25的对称点为A(a,b),由解得所以A(4,3),
第2步:根据反射光线过点A,P,求出结果
因为反射光线所在的直线过点A(4,3),且反射光线过点P(-4,3),点A和点P的纵坐标相等,所以反射光线所在直线的方程为y=3.
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6. 已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).
(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;
(2)在直线l上求一点M,使||MB|-|MA||的值最大.
答案
6.【参考答案】 (1)设点A关于直线l:x-2y+8=0的对称点为A'(m,n),
则解得
∴A'(-2,8).
如图,连接PA',A'B,∵P为直线l上一点,点A,B在直线l的同侧,∴|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,
当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,
此时|PA|+|PB|取得最小值|A'B|,点P即直线A'B与直线l的交点,又B(-2,-4),∴直线A'B的方程为x=-2,
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联立,得解得
∴P(-2,3).
(2)结合题知,点A,B在直线l的同侧,M是直线l上一点,连接AB,
则||MB|-|MA||≤|AB|,
当且仅当A,B,M三点共线时等号成立,
此时||MB|-|MA||取得最大值|AB|,
点M即直线AB与直线l的交点.
又A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为=,即y=x-2,
联立,得得
∴M(12,10).(共18张PPT)
结论应用4 与抛物线的焦点弦有关的二级结论
结论应用
二级结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
如图，设 是一条过抛物线 焦点 的弦， 所在直线的倾斜角
为 ,若 , , ， 在准线 上的射影为 , ，则
结论应用
（1） , .
（2） , ,弦长 ，
（3） .
（4）若 为准线与 轴的交点，则 .
（5）通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于 ，通径是过焦点的最短的弦.
结论应用
（6）以弦 为直径的圆与抛物线的准线相切.
（7）以 为直径的圆与 相切，切点为 ， .
（8）若 为 的中点，则 .
（9）以 或 为直径的圆与 轴相切.
结论应用
1.（2）的推导过程：因为 所在直线的倾斜角为 ,则 ,解得
,则 .
同理可得 .
则 ,
.
2.由（2）的推导过程可得， .
应用专练
专项训练，快解题
应用专练
1. 斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,
则|AB|= .
答案
1. 因为抛物线C的方程为y2=4x,所以抛物线C的焦点为F(1,0),又直线AB过焦点F且斜率为,所以直线AB的方程为y=(x-1),将其代入抛物线方程,消去y并化简得3x2-10x+3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.
解法一 又直线AB的斜率k=,所以|AB|=|x1-x2|=×=.
解法二 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=.
解法三 由直线AB的斜率k=,知其倾斜角θ=,则弦长|AB|===.
应用专练
2. 过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,
则|AF|= .
答案
2. 解法一 易知抛物线的焦点F(,0),准线方程为x=-,直线AB的斜率存在且不为0.设A,B的坐标分别为(x1,y1),
(x2,y2),因为|AF|<|BF|,所以由抛物线的定义得x12)x+=0,Δ>0,则x1x2=,又|AB|=x1+x2+1=,所以x1+x2=,所以可得x1=,x2=,故|AF|=x1+=.
应用专练
解法二 设|AF|=m,|BF|=n,则有得m=或m=(舍去).所以|AF|=.
解法三 抛物线y2=2x的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2==.
设|AF|=m,|BF|=n,则x1=m-,x2=n-,所以有得m=或m=(舍去),所以|AF|=.
应用专练
3. 已知抛物线C:y2=16x,倾斜角为的直线l过焦点F,且交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为 .
答案
3.64 通解 依题意,抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),则直线l的方程为x=y+4.由得y2-16y-64=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16,y1y2=-64,则S△OAB=|y1-y2|×|OF|=2=2=64.
秒杀解 由y2=16x=2px(p>0),得p=8.又直线l的倾斜角α=,所以得S△OAB===64.
应用专练
4. 抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的垂线,垂足分别是A',B',则四边形AA'B'B的面积为
A.4 B.8 C.16 D.32
答案
4.C 通解 设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>y2,易知F(,0),所以设直线AB的方程为x=my+.由得y2-6my-9=0,则y1y2=-9.因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,所以y1=3,y2=-,则A(,3),B(,-),所以|AA'|=+=6,|BB'|=+=2,
【点拨】由三角形相似得出
|A'B'|=|y1-y2|=4,于是四边形AA'B'B的面积S=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
应用专练
秒杀解一 由y2=6x=2px(p>0),得p=3.设直线AB的倾斜角为α,不妨令A在x轴上方,则|AF|==,
|BF|==,由|AF|=3|BF|,得=3×,解得cos α=.因为α∈[0,π),所以α=,由抛物线的定义,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2,所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)·sin α=8sin =4,于是四边形AA'B'B的面积S=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
秒杀解二 不妨令A在x轴上方,如图所示,过点B作BG⊥AA',垂足为G,则|A'G|=|BB'|,|BG|=|A'B'|.设|BF|=m,
由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.由抛物线的定义知|AA'|=|AF|=3m,
|BB'|=|BF|=m,则|AG|=2m,所以易得∠BAA'=,则|AB|==8,
所以|BG|=|AB|sin=4,于是四边形AA'B'B的面积S=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=
|AB|×|BG|=×8×4=16.
应用专练
5. 已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C:y2=4x的焦点F且与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,若△ABB1与△ABA1的面积的比值为4,则k的值为
A. B. C. D.
答案
5.B 通解 由抛物线C:y2=4x得F(1,0),则直线AB:y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,得
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,x1+x2=.由已知和抛物线的定义得,====4,
则x2+1=4(x1+1),即x2=4x1+3,故得
应用专练
秒杀解 由已知和抛物线的定义知,====4,易知点B在x轴上方,设直线AB的倾斜角为α,
则|AF|=,|BF|=,所以=,解得cos α=,则sin α=,所以tan α=,即k=.
应用专练
6. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于P,Q两点,若以线段PQ为直径的圆与直线x=5相切,则|PQ|=
A.8 B.7 C.6 D.5
答案
6.C 通解 由抛物线y2=4x可得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由题意设直线l的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立,得 整理可得y2-4my-4=0,可得y1+y2=4m,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,由抛物线焦点弦的性质可得弦长|PQ|=x1+x2+2=4m2+4,所以以PQ为直径的圆的圆心的横坐标为2m2+2-1=2m2+1.因为以线段PQ为直径的圆与直线x=5相切,所以|2m2+1-5|=(4m2+4),得m2=,所以|PQ|=4×+4=6,故选C.
秒杀解 由题意得,以PQ为直径的圆与抛物线的准线x=-1相切,又圆与直线x=5相切,所以直径|PQ|=5-(-1)=6,故选C.
应用专练
7. [多选]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交C于不同的两点A,B,则下列说法正确的是
A.若点Q(3,1),则|AQ|+|AF|的最小值是4
B.·=-3
C.若|AF|·|BF|=12,则直线AB的斜率为±
D.4|AF|+|BF|的最小值是9
答案
7.ABD 作出图形如图所示,由题意知,C的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),
过点A作C的准线的垂线,垂足为A',则|AQ|+|AF|=|AQ|+|AA'|,故|AQ|+|AF|
的最小值是点Q到C的准线的距离,为4,故A正确.
应用专练
解法一 设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,y1+y2=4m,
x1x2=·=1,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以·=x1x2+y1y2=1-4=-3,故B正确.若|AF|·|BF|=12,又|AF|=x1+1,
|BF|=x2+1,所以|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=1+4m2+2+1=12,解得m=±,则直线AB的斜率k==
±=±,故C错误.+=+===1,则4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)(+)=5+
+≥5+2=9,当且仅当|AF|=,|BF|=3时,等号成立,故D正确.
应用专练
解法二 由抛物线y2=4x=2px(p>0),可得p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1·x2==1,y1·y2=-p2=-4,所以·=x1x2+y1y2=
1-4=-3,故B正确.设直线AB的倾斜角为α,则|AF|·|BF|=·=12,所以sin2α=,则cos2α=,tan2α=,则直线AB的斜率k=±,故C错误.+==1,所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)·(+)=5++≥5+2=9,当且仅当|AF|=,|BF|=3时,等号成立,故D正确.
