2022-2023 学年度下学期 6 月份月考考试
数 学 试 卷
一．选择题（8 小题共 40 分）
1．记全集U R，集合 A {x | 0 x 1}，集合 B {x | x 4}，则 ( U A) B ( )
A． (4, ) B． (1， 4] C．[4， ) D． (1,4)
2．已知命题 p : x 0， 2x x2，则 p是 ( )
A． x 0， 2x x2 B． x 0， 2x x2 C． x 0， 2x x2 D． x 0， 2x x2
3 g(x) 1, x 0．若函数 f (x) 是奇函数，则 g( 3) ( )
log2 (1 x), x 0
A．4 B．3 C． 3 D． 4
4．设 Sn为正项递增等比数列{an}的前 n项和，且 2a3 2 a2 a4， a2a4 16，则 S6 的值为 ( )
A．64 B．63 C．127 D．128
5．函数 f (x) (2x 2 x )ln x2 0.01的图像大致是 ( )
A． B． C． D．
6．已知函数 f (x) lnx ax2 bx的一个极值点为 1，若 a b 0 2 1， ，则 的最小值为 ( )
a b
A．10 B．9 C．8 D． 4 2
7．已知奇函数 f (x)在 R上是增函数， g(x) xf (x)．若 a g( log2 5.1)，b g(20.5 )， c g（3）
则 a，b， c的大小关系为 ( )
A． a b c B． b c a C． c b a D． b a c
8．已知函数 f (x) kx(x 1) lnx ，若 f (x) 0有且只有两个整数解，则 k的取值范围是 ( )
A (ln5 , ln2． ] B． (ln5 , ln2) C． (ln2 , ln3] D ln2 ln3． ( , )
30 10 30 10 10 12 10 12
1
二．多选题（4 小题共 20 分）
9．下列说法正确的是 ( )
A x 3．函数 f (x) 的定义域为 ( , 2) [3， )
x 2
B f (x) x
2
． 和 g(x) x表示同一个函数
x
C f (x) 1．函数 x的图象关于坐标原点对称
x
D 2．函数 f (x)满足 f (x) 2 f ( x) x 1，则 f (x) x 1
3
10 x 2, x 1．已知函数 f (x) 2 ，关于函数 f (x)的结论正确的是 ( )
x 3, x 1
A． f (x)的最大值为 3 B． f (0) 2
C．若 f (x) 1，则 x 2 D． f (x)在定义域上是减函数
11．已知数列{an}满足 a1 1， an 3a *n 1 2an an 1(n N )，则下列结论正确的是 ( )
A 1 ． 1 为等比数列
an
B．{an} a
1
的通项公式为 n 2 3n 1 1
C．{an}为递增数列
D 1 ． 的前 n项和T 3nn n
an
12 1．已知 y f (x)是定义域为 R的奇函数，且 y f (x 2)为偶函数，若当 x [0，2]时，f (x) log3 (x a2 )，2
下列结论正确的是 ( )
A 1． a 1 B． f （1） f （3） C． f （2） f （6） D． f (2022)
2
三．填空题（4 小题共 20 分）
13．已知函数 y f (x)的定义域是 [ 2，3]，则 y f (2x 1)的定义域是 ．
14．函数 f (x) loga (10 3x) 9的图象恒过定点 A，且点 A在幂函数 g(x)的图象上，则 g（8） ．
2
15 1．已知定义在 R上的偶函数 f (x)在 ( ，0]上单调递增，实数 a满足 f (lna) 2 f (ln ) 3 f ( 1)，则实数
a
a的取值范围是 ．
16．已知定义在 R上的函数 f (x)满足 f (x) f ( f (x ) f (x ) x x x) x2， x1，x2 [0， )均有 1 2 1 2 (x x )，x x 2 1 21 2
1
则不等式 f (x) f (1 x) x 的解集为 ．
2
四．解答题（6 小题共 70 分）
17．已知集合 A {x |1 2x 32}， B (1,6)．
（1）求 A B；
（2）集合C {x | 2a 1 x 2a 1}，若“ x C”是“ x (A B)”的充分不必要条件，求 a的取值范围．
18．已知不等式 ax2 3x 2 0的解集为{x |1 x b}．
（1）求实数 a，b的值；
（2）解不等式 ax2 (m a)x 2(m a) 0．
19． Sn为数列{an}的前 n项和，已知 an 0， a2n 2an 4Sn 3
（1）求证数列{an}为等差数列；
（2 1）设bn ，求数列{ba a n
}的前 n项和Tn．
n n 1
3
20．已知函数 g(x) ax2 2ax 1 b(a 0)在区间 [2，3]上有最大值 4和最小值 1．设 f (x) g(x) ．
x
（1）求 a，b的值；
（2）若不等式 f (log2 x) 2k log2 x 0在 x [2，8]上有解，求实数 k的取值范围．
x
21．已知定义在 R上的函数 f (x) b 2 x 1 (a R,b R)是奇函数．2 a
（1）求 a，b的值；
（2）当 x (1,2)时，不等式 2x kf (x) 3 0恒成立，求实数 k的取值范围．
22．已知函数 f (x) xlnx mx 1．
（1）若 f (x) 0，求m的取值范围；
（2）若方程 f (x) 1 1 0有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为 a、b，求证： 2．
a b
4ADC B C B D C AC AB AB BD
13-16 [ 1 1 1 ， 2] 64 [ ,e] ( , )
2 e 2
1．解：全集U R，集合 A {x | 0 x 1}，集合 B {x | x 4}，
U A {x | x 0或 x 1}，则 ( U A) B (4， )．故选： A．
2．解：由题意得 p : x 0， 2x x2 ．故选：D
g(x) 1, x 03．解：根据题意，函数 f (x) 是奇函数，
log2 (1 x), x 0
设 x 0，则 x 0，则 f (x) g(x) 1， f ( x) log2 (1 x)，
又 f (x)是奇函数，则有 f ( x) f (x)，即 log2 (1 x) [g(x) 1]，则 g(x) log2 (1 x) 1，
则 g( 3) log2 (1 3) 1 2 1 3．故选：C．
4．解： 数列{an}是正项递增等比数列， a a 22 4 a3 16，
a3 4， a2 a4 2a3 2 10，
a
由 2
a4 10 a 2
，且数列{an}是正项递增等比数列，可得
2
，
a2 a4 16 a4 8
a 1 (1 26 )
q2 4 4， q 2， a1 1， S6 2
6 1 63，故选： B．
a2 1 2
5．解：根据题意， f (x) (2x 2 x )ln x2 0.01，其定义域为 R，
又 f ( x) (2 x 2x )ln ( x)2 0.01 (2x 2 x )ln x2 0.01 f (x)，
所以 f (x)是奇函数，排除 AB，
因为 f (2) (4 1 )ln 4.01 0，所以排除D．
4
故选：C．
6．解： f (x) lnx ax2 bx(x 0)， f (x) 1 2ax b，
x
函数 f (x) lnx ax2 bx的一个极值点为 1，
f （1） 1 2a b 0，即 2a b 1，又 a，b 0，
2 1 (2 1)(2a b) 4 1 2b 2a 5 2 2b 2a 9 2b 2a 1 （当且仅当 ， a b 时取等号），
a b a b a b a b a b 3
2 1
即当 a 0，b 0时， 的最小值为 9，故选： B．
a b
7．解：奇函数 f (x)在 R上是增函数， g(x) xf (x)，
可得 g( x) xf ( x) xf (x) g(x) ，即 g(x)为偶函数，
当 x 0时， g (x) f (x) xf (x) 0 ，即有 g(x)在 [0， )单调递增．
因为 a g( log 5.1) g(log 5.1)， 2 log 5.1 3，1 20.5 2，则1 20.52 2 2 2 log2 5.1 3，
可得 g(20.5 ) g(log2 5.1) g（3），即 b a c，故选：D．
8．解：由题设， f (x)定义域为 (0, ) lnx ，则 f (x) 0，可得 k(x 1) ，
x
g(x) lnx g (x) 1 lnx令 ，则
x x2
，
所以 0 x e时 g (x) 0，即 g(x) 1递增，值域为 ( , )；
e
x e 1时 g (x) 0，即 g(x)递减，值域为 (0, )；
e
而 y k(x 1)恒过 ( 1,0)，函数图象如下：
要使 k(x 1) lnx有且只有两个整数解，则 y k(x 1)与 g(x)必有两个交点，
x
若交点的横坐标为 x1 x2 ，则1 x1 2 3 x2 4，
3k
ln2
2
ln3 ln2 ln3
所以， 4k ，即 k ．故选：C．
3 10 12
5k
ln4
4
二．多选题（共 4 小题）
9 x 3．解：对于 A：由 0解得 x 3或 x 2，
x 2
x 3
所以函数 f (x) 的定义域为 ( , 2) [3， )，故 A正确；x 2
2
对于 B : f (x) x 的定义域为 ( ， 0) (0， )， g(x) x的定义为 ( , )，
x
x2
定义域不相同，所以 f (x) 和 g(x) x不是同一个函数，故 B错误；
x
对于C : f (x) 1 x的定义域为 ( ， 0) (0， )，关于原点对称，
x
且 f ( 1 x) x 1 1 ( x) f (x)，所以 f (x) x为奇函数，
x x x
所以函数 f (x) 1 x的图象关于坐标原点对称，故C正确；
x
对于D：因为函数 f (x)满足 f (x) 2 f ( x) x 1，所以 f ( x) 2 f (x) x 1 1，解得 f (x) x 1，
3
故D错误；故选： AC．
10．解：当 x 1时， f (x) x 2是增函数，则此时 f (x) f （1） 3，
当 x 1， f (x) x2 3为减函数，则此时 f (x) 1 3 2，综上 f (x)的最大值为 3，故 A正确，
f (0) 0 2 2，故 B正确，
当 x 1时，由 f (x) 1时，得 x 2 1，此时 x 3也成立，故C错误，
当 x 1时， f (x) x 2是增函数，则 f (x)在定义域上不是减函数，故D错误，
故选： AB．
11．解：因为 an 3an 1 2a
1 1 1
n an 1，所以 1 3( 1)，又 1 2 0，an 1 an a1
1 1
所以 n 1 1 是以 2为首项，3为公比的等比数列， 1 2 3 ，
an an
a 1即 n n 1 ，所以{an}为递减数列，2 3 1
1 n
的前 n项和Tn (2 3
0 1) (2 31 1) (2 3n 1 1) 2(30 31 3n 1) n 2 1 3 n 3n n 1．
an 1 3
故选： AB．
12．解：根据题意， f (x)是定义域为 R的奇函数，则 f ( x) f (x)，
又由函数 f (x 2)为偶函数，则函数 f (x)的图象关于直线 x 2对称，则有 f ( x) f (4 x)，
则有 f (x 4) f (x)，即 f (x 8) f (x 4) f (x)，则函数 f (x)是周期为 8的周期函数．
当 x 1 [0， 2]时， f (x) log3 (x a
2 )，
2
1
可得 f (0) 0，即 log3 a
2 0，解得 a 1，故 A错误；
2
由 f (x 4) f ( x)，可得 f （1） f （3），故 B正确；
f （6） f ( 2) f （2），故C错误；
f (2022) f (8 252 6) f （6） f ( 2) f （2 1） log3 (2
1
1) ，故D正确．
2 2
故选： BD．
三．填空题（共 4 小题）
13．解： 函数 y f (x)定义域是[ 2，3]，
由 2 2x 1 3 1 1 1，解得 x 2．即函数的定义域为[ ， 2]．故答案为：[ ， 2]．
2 2 2
14．解：对于函数 f (x) loga (10 3x) 9，令10 3x 1，求得 x 3， f (x) 9，
可得它的图象恒过定点 A(3,9)．
点 A在幂函数 g(x) x 的图象上， 3 9， 2， g(x) x2，则 g（8） 82 64，
故答案为：64．
15．解：根据题意，因为定义在 R上的偶函数 f (x)在区间 ( ，0]单调递增，则所以 f (x)在[0， )单
调递减；
又 f ( 1) f (1), f (ln 1) f ( lna) f (lna) 1，于是由 f (lna) 2 f (ln ) 3 f ( 1)，
a a
得3 f (lna) 3 f （1），从而有 f (| lna |) f （1），则得 | lna | 1，即 l 1 lna 1，且 a 0，
1
解得 a e 1 1．故 a的取值范围是[ ,e]；故答案为：[ ,e]．
e e e
16 1．解：令 g(x) f (x) x2，
2
因为 f (x) f ( x) x2，则 g( x) f ( x) 1 1 x2 x2 f (x) g(x)，
2 2
所以 g(x)为奇函数，
x x ) f (x1) f (x2 ) x x因为 1， 2 [0， 均有 1 2 (x1 x2 )，x1 x2 2
当 x1 x2时， f (x1)
1 x 2 1 1 f (x2 ) x
2
2 ，即 g(x1) g(x2 )，2 2
x x f (x ) 1 x 2 f (x ) 1当 1 2 时，
2
1 1 2 x2 ， g(x1) g(x )，2 2 2
综上， g(x)在 [0， )上单调递增，
所以 g(x)在 R上为单调递增的奇函数，
f (x) f (1 1 1 1由 x) x 得 f (x) x2 f (1 x) (1 x)2 ，
2 2 2
g(x) g(1 x) x 1 x x 1 1即 ，所以 ，所以 ．故答案为： ( , )．
2 2
四．解答题（共 6 小题）
17．解：（1） 集合 A {x |1 2x 32} [0，5]， B (1,6)，
A B (1，5]．
（2） x C是 x (A B)的充分不必要条件， C (A B)，
C {x | 2a 1 x 2a 1} ，
2a 1 1
， 1 a 2， a的取值范围为 (1， 2]．
2a 1 5
18．解：（1） ax2 3x 2 0的解集为{x |1 x b}，
1和b是 ax2 3x 2 0的两个根，
3
1 b a a 1根据根与系数的关系可知： ， 2
；
1 b b 2
a
（2）由（1）可知 a 1，
ax2 (m a)x 2(m a) 0可化为 x2 (m 1)x 2(m 1) 0，
(x 2)[x (m 1)] 0，
①当m 1 2即m 3时， (x 2)[x (m 1)] (x 2)2 0，此时解集为{x | x R且 x 2}；
②当m 1 2即m 3时，此时解集为{x | x 2或 x m 1}；
③当m 1 2即m 3时，此时解集为{x | x m 1或 x 2}；
综上：当m 3时，解集为{x | x R且 x 2}；
当m 3时，解集为{x | x 2或 x m 1}；
当m 3时，解集为{x | x m 1或 x 2}
19．解： (I )由 a2n 2a 2n 4Sn 3，可知 an 1 2an 1 4Sn 1 3
两式相减得 a2 2n 1 an 2(an 1 an ) 4an 1，
即 2(a 2 2n 1 an ) an 1 an (an 1 an )(an 1 an )，
an 0， an 1 an 2，
当 n 1时， a21 2a1 4a1 3， a1 1（舍 )或 a1 3，
则{an}是首项为 3，公差 d 2的等差数列， {an}的通项公式 an 3 2(n 1) 2n 1:
（Ⅱ） an 2n 1，
b 1 1 1 1 1 n ( )，anan 1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
1
数列{bn}的前 n项和Tn (
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
) ( ) ．
2 3 5 5 7 2n 1 2n 3 2 3 2n 3 3(2n 3)
20．解：（1）函数 g(x) a(x 1)2 1 b a，
a 0， g(x)为开口向上的抛物线，且对称轴为 x 1，
g(2) 1 b 1 1
g(x)在区间 [2，3]上是增函数， ，即
g(3) 4
3a b 1 4
解得 a 1，b 0．
（2）由（1）可得 g(x) x2 2x 1，则 f (x) x 1 2．
x
f (log2 x) 2k log2 x 0在 x [2，8]上有解等价于 log
1
2 x 2 2k log2 x在 x [2，8]上有解．log2 x
即 2k 1 22 1在 x [2，8]上有解(log2 x) log2 x
1 1
令 t ， x [2，8]， t [ ，1]， 2k t 2 2t 1 1 在 t [ ，1]上有解，
log2 x 3 3
记 (t) t2 2t 1 (t 1)2，
则 (t)在[1，1]上为减函数， (t)max (
1) 4 2k 4 ,则k 2，
3 3 9 9 9
k的取值范围为 ( , 2]．
9
21．解：（1）由题意可得 f (0) 0，解得b 1，
1 2 1 2 1
再由 f （1） f ( 1)，得 ，解得 a 2，
4 a 20 a
1 2x
当 a 2， b 1时， f (x)
2x 1
的定义域为 R，
2
x x
由 f ( x) 1 2 1 2 x 1 x 1 f (x)，可得 f (x)为奇函数，所以 a 2， b 1；2 2 2 2
x
2 2x kf (x) 3 0 k 1 2 3 2x x 2
x 1
（ ）由 ，得 x 1 ，因为 (1,2)，所以2 2 2x 1
0，
2
(3 2x )(2x 1k 2)所以 4x ．令 2
x 1 t，则 t ( 3, 1)，此时不等式可化为 k 2( t)，
1 2 t
记 h(t) 2(4 t) 4 ，因为当 t ( 3, 1)时， y 和 y t均为减函数，
t t
所以 h(t)为减函数，故 h(t) ( 6,10)，因为 k h(t)恒成立，所以 k 6．
3
22．解：（1）因为 f (x) 0，所以 xlnx mx 1 0，
即 lnx m 1 0，所以m lnx 1 ，
x x
F (x) lnx 1 (x 0) F (x) 1 1 x 1令 ，所以 2 ，x x x x2
令 F (x) 0，解得 x 1，当 x (0,1)时， F (x) 0，当 x (1, )时， F (x) 0，
所以 F (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，则 F (x)最小值为 F （1） 1，所以m 1；
（2）因为 a，b是 xlnx mx 1 0的两个不相等的实数根，
所以 alna ma 1 0， blnb mb 1 0，
即ma alna 1，mb blnb 1(*)
由（1）可知当m 1时 f (x) 0恒成立，方程 f (x) 0不可能有两个不相等的实数根，
所以m 0，由 (*) b blnb 1 b a可得 ，即有 ab ，①
a alna 1 lnb lna
1 1 2 a b 2 a b要证 ，即证 ab，②
a b ab 2
a b b a
由①②可得即证 ，
2 lnb lna
b
b a 0 b 2(b a)
2( 1)
又 ，所以即证 ln a ，
a b a b 1
a
令 t b ，则 t 1，
a
G(t) lnt 2(t 1) 1 4 (t 1)
2
令 (t 1)，G (t) 0，
t 1 t (t 1)2 t(t 1)2
所以G(t)在 (1, )上单调递增，
G(t) G（1） 0 2(t 1)，所以 ln (t 1)，得证．
t 1
