数学高一六校第三次考试
高一数学参考答案及评分意见
一、选择题（单选 1-8 每小题 5分，共 40分.多选 9-12 全部选对得 5 分，有选错的得零分，部分选对得 2
分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B A A D B BCD BD ABD AD
二、填空题(每空 5 分)
30° 1, 4 13、 14、5 15、 16、 -0.25 3
三、解答题
17．（本小题 10 分）
（1）设 c (x, y)，由题意得3a b (0, 2)，因为 c∥ 3a b ，
所以 2 x 0 y，解得 x 0，又 c
2，所以 x2 y2 y 2，解得 y 2，
c 所以向量 的坐标为 (0,2)或 (0, 2) ……5分；
（2 ）a b (1 3 , 2 4 )，
a a
当 与 b共线时，1 ( 2 4 ) (1 3 ) ( 2)，解得 0，
当 a与 a b的夹角为锐角，则 a a b 1 (1 3 ) ( 2) ( 2 4 ) 0
5
解得 ，
11
5
所以若 a与 a b的夹角为锐角时，λ的取值范围为 ( ,0) 0, ……10 分
11
18．（本小题 12 分）
（1） f (x) cos2x
2
1 cos 2x
3 1
3 cos2x sin 2x cos2x 1 2 2
3
sin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x 1
2 2 6
函数 f x 的最小正周期为 ； ……6分；
高一数学试题参考答案第 1页（共 4页）
（2）由 f ( ) 4 可得，sin 2
1
，3 6 3
0, 2 7 , ， ，
2 6 6 6
又 0 sin 2
1 1
， 2 , ， cos
2 2 2
，
6 3 2 6 2 6 3
cos 2 cos 2 cos
2 cos sin 2 sin 1 2 6 .
6 6 6 6 6 6 6
……12 分.
19．（本小题 12 分）
(1) S表 S ABC S ABD S ACD S BCD 1 2 ……4分；
(2) 设 内 切 球 球 心 为 O ， 半 径 为 r ， 由 体 积 相 等 即
V 1A BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD r(S ABC S ABD S ACD S3 BCD
) 得 到
r 3V A BCD 2 1 ……8分；
S表 2
(3)由题知 ABD ACD 90 ,取AD中点为P,知PA PB PC PD,P为四面体外接球球心，
AD为直径，所以四面体外接球的表面积为3 . ……12 分
20.（本小题 12 分）
（1）解：∵ AB 4, AC 2,BC 2 3 ∴ ACB 90 且 A 60 ，
在△ACM 中，由余弦定理可得CM 2 AC 2 AM 2 2AC AM cos A，
则CM 3 ，∴ AC 2 AM 2 CM 2 ，∴CM AB ，
MNC的周长为1 2 3 3 3； ……6分；
（2）设 ACM （0 60 ），
因为 MCA的面积是 MCN 面积的 6 ,
3
高一数学试题参考答案第 2页（共 4页）
所以 1CN CM sin 30 6 1 CA CM sin ，即
2 2 2
CN 2 6 sin ,
在△CAN 中，由 CN CA
sin 60 sin(90 )
即 sin 2 2 ，由0 2 120 ，
2
得 2 45 ，所以 22.5 ，即 ACM 22.5 . ……12 分
21.（本小题 12 分）
(1)作直线 EF分别交 DA、DC的延长线于M,N，连接MD1交 AA1于 G,连接 D1N 交CC1于点 H，连接 GE、
HF,如图五边形 D1GEFH即为所求. ……6分；
(2)Q BC //AD，则 AM //BF，则 EMA EFB，且 EAM EBF . E为 AB的中点，则 AE BE，
AG AM 1
EAM EBF，AM=BF=1，同理 CN=1 AM //A1D1， GAM GA1D1， AG AD 2 ,1 1 1
AG 1 2 9 1 A A 在 Rt MDN中，DM=DN=3， S
3 1 3 DMN
V
2 D1 DMN
3 V
， G AME
，所以正方体位于
， ， 9
V 2V 3 2 25 1截面下方的几何体体积为 D DMN G AME V 41 9 9 2 ABCD A1B1C1D1
25
因此，较小部分几何体的体积为 . ……12 分
9
22．（本小题 12 分）
（1）由题意可得 A 2，
S 1 ABC BC y
1 π
2 A
BC 2 ，
2 2
T 2π π
所以 BC 2 2 2 ，由 0解得 2，所以 f x 2sin 2x ，
高一数学试题参考答案第 3页（共 4页）
图像过点D 0, 1 ，则 f x 2sin 1 π π π，又因为 ，所以 ，
2 2 6
π
所以 f x 2sin 2x ，
6
……6分；
（2）
由题意可得 g x 2sin 2 x π π 2cos 2x π 4 6 6 ，
h x f x g x 2sin 2x π 2cos 2x π设 6 6
2 2sin 2x π π 2 2sin 2x 5π
6 4
,
12
x1, x2 π m,m ，当 x1 x2 时， f x1 f x2 g x1 g x2 恒成立，
即 f x1 g x1 f x2 g x2 恒成立，即h x1 h x2 恒成立，
h x 在区间 π m,m 上单调递减，
π 5π 3π 11π 23π
令 2kπ 2x 2kπ，解得 kπ x kπ,k Z，
2 12 2 24 24
因为 π m m m π π m π，所以 ，则 ，
2 2
π m 11π
24 π 13π
故 ，解得 m ，
m 23π 2 24
24
m 13 所以 最大值为 . ……12 分
24
高一数学试题参考答案第 4页（共 4页）辽宁省六校协作体2022-2023学年高一下学期6月联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
的值等于
在下列条件下，能确定一个平面的是
空间中的任意三点 空间中的任意一条直线和任意一点
空间中的任意两条直线 梯形的两条腰所在的直线
若（为虚数单位），则下列说法正确的是
的虚部为
为纯虚数
华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图像可能是
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
在中，角的对边分别为，且，则是
直角三角形 锐角三角形
等边三角形 的三角形
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图所示其外框是边长为的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为，点在圆上运动，则的最小值为
已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分。
下列命题错误的是
在复平面内，实轴上的点都表示实数
若为复数，且，则
若为复数，且，则
若实数互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限
设非零向量，满足，则下列说法正确的有
与的夹角为
有最大值
在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有
的面积为
正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，长为的线段的一个端点在棱上运动，在底面内（可以在正方形边上）运动，线段中点的轨迹为，与平面、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为，则
球半径的最大值为
被正四棱柱侧面截得曲线的总长为
的面积为
与正四棱柱的表面所围成的较小的几何体的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分。
，，则与的夹角为 ．
已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．
对于函数，若在其图像上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ．
如图，在三棱锥的平面展开图中，，，,,,则 ．
(
·
)
（第14题图） （第16题图）
四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本题满分10分）
已知平面直角坐标系中，向量，．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
（本题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求.
（本题满分12分）
《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑；在鳖臑中，平面，,且，求
（1）四面体的表面积；
（2）四面体内切球半径；
（3）四面体外接球的表面积．
（本题满分12分）
如图，在中，，,,在线段上，且
（1）若,求的周长；
（2）若的面积是面积的求．
（本题满分12分）
(
A
B
A
BB
C
A
E
A
F
A
D
A
)如图，棱长为的正方体，点分别在棱上，过点的截面将正方体分割成两部分．
请画出经过点的平面
与正方体表面的交线；
（无需证明，保留作图痕迹）；
（2）若点分别为中点，求过点的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积.
（本题满分12分）
已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
