人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 教案（全章）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 教案（全章） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-17 16:30:42 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
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平行四边形的性质和定义是研究线段和角相等的一种重要工具，它为探究其他特殊四边形的性质奠定了基础．学生已经学行线、平移、三角形和四边形等相关知识，为本节课的学习奠定了基础．本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．本节课的主要内容是平行四边形的概念和性质，作为一种特殊的四边形，首先特殊在两组对边分别平行，所以能够推出其另外一些特殊性质：平行四边形的对边相等，对角相等．这些特殊的性质有助于我们解决很多实际生活中的问题．
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INCLUDEPICTURE "素材一.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新建文件夹 (2)\\新教案\\《新教案》（人8下）整理word稿\\素材一.TIF" \* MERGEFORMATINET
【悬念激趣】
问题1：同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗？学生根据自己的生活经验，可能回答：平行四边形、矩形、四边形……教师点拨：太阳光属于平行光，阳光透过窗口投在地面上的影子通常是平行四边形．
问题2：爱动脑筋的小刚观察到平行四边形影子有一种对称的美，他说只要量出一个内角的度数，就能知道其余三个内角的度数；只需测出一组相邻的边长，便能计算出它的周长，这是为什么呢？通过本节课的学习，大家就能明白其中的道理了．今天，我们就来共同研究平行四边形及其性质．
【说明与建议】 说明：通过观看学生习以为常的平行光线在室内的投影照片，让学生感受到平行四边形与生活实际紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的平行四边形上来，为下面学习新知识创造了良好的开端．建议：由现实生活入手，帮助学生获得对平行四边形的感性认识，同时充分调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．教学中教师要鼓励学生交流讨论发表自己的看法．
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命题角度1 利用平行四边形边、角的性质求角度及边长
1．在 ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于(A)
A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
2．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是(D)
A．45° B．60° C．90° D．120°
命题角度2 平行线间距离的应用
3．如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5 cm，b与c的距离是2 cm，则a与c的距离是(B)
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．7 cm
4．如图，两条平行线间依次有三个图形：△ABC， CDEF和梯形DGMN.根据图中所标数据比较它们的面积，其中面积最大的是(B)
A．△ABC B． CDEF C．梯形DGMN D．无法比较
命题角度3 平行四边形边、角性质的综合运用
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE＝CF.
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课题 18.1.1 第1课时 平行四边形边、角的性质 授课人
素养目标 1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质．2．在进行性质探索的过程中，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力．3．在探究讨论中培养与他人合作交流的习惯；在性质应用过程中培养独立思考的习惯．
教学重点 理解并掌握平行四边形的概念及其性质．
教学难点 平行四边形边、角性质的运用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.说出平行线的性质和判定方法．2．四边形有四条边，四个内角，四个顶点，内角和为360°．3．你认识的四边形都有哪些？请写出它们的名称． 建立新旧知识之间的连接，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法，从本节开始，我们继续研究生活中的常见图形．问题1：观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？问题2：平行四边形是一种特殊的四边形，你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？它有哪些性质呢？今天我们共同来研究这个问题吧！ 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为几何图形的过程．
【探究新知】一、拼图游戏将一张纸对折，剪成两张全等的三角形纸片．将这两个三角形相等的一组边重合，你会得到怎样的图形？问题1：你能用手中的两张全等三角形纸片拼出四边形吗？你拼出了怎样的凸四边形？与同伴交流．师生活动：学生动手操作，教师留意观察，请同学将拼出的几种形状不同的四边形展示在黑板上．问题2：一位同学拼出了如下图所示的四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．师生活动：学生经过实验操作，开展独立思考与合作学习．教师深入学生之中，观察学生解题的方法与过程，接受学生质疑并指导个别学生探究．教师待学生充分探究后，请学生展示拼图的方法和图形，并引导学生分析问题2中的四边形的边的位置特征，从而引出本节课要研究的内容——平行四边形．结合拼出的特殊四边形，给出平行四边形的相关概念．教师强调定义的两方面作用：一是可以判定一个四边形是不是平行四边形；二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质．二、探究平行四边形的性质根据定义画一个平行四边形ABCD；(1)用一张半透明的纸复制你画的平行四边形ABCD；(2)剪下你所复制的那个平行四边形；(3)将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？观察并思考：对边之间、对角之间分别有什么关系？由此你能得到什么结论？(1)平行四边形的对边平行且相等．(2)平行四边形的对角相等．(3)平行四边形的邻角互补．教师出示投影说明活动步骤．学生以小组为活动单位，根据活动步骤操作，教师指导．师生活动：教师提出思考的问题，学生独立思考后自主交流．教师深入到学生中，对需要帮助的学生进行指导．待学生充分思考和交流后，教师根据学生思考结果的实际情况开展师生互动．三、利用教材例题介绍平行线之间的距离．1．两平行线之间的距离的概念如图，直线a∥b，A，D为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点D到直线b的距离相等吗？为什么？ 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．师生活动：结合例题分析，可以得出，如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等．师生总结性质：两条平行线间的距离处处相等．2．应用：回忆平行四边形的面积公式． 1.通过拼图游戏，帮助学生经历平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律，避免了以往概念教学的机械记忆，同时发展了学生的探究意识，开拓了学生的思维．2．通过两个三角形拼接出特殊的四边形的过程，渗透转化的思想．为下节课研究平行四边形对角线的性质做一个铺垫．3．学生借助学具动手操作探究平行四边形的性质，得出猜想并加以理论验证，归纳成数学结论，引导学生亲身参与数学研究的过程，并在此过程中体会数学研究的乐趣．4．鼓励学生探究方式、结果、表示方法的多样化以及学生学习方式的个性化，满足学生的多样化学习需求，做到既着眼于共同发展，又关注到个性差异．5．帮助学生明确平行线间的距离的概念及其应用，并由此回顾平行四边形的面积公式与此概念的关系．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第42页例1)如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF.【思路点拨】 要证AE＝CF，可以证明△ADE≌△CBF.【解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴AE＝CF.【变式训练】1．如图，在 ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝55°． 第1题图 第2题图2．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，且DE＝4，BC＝10，则CD的长为6．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．已知在 ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是(B)A.100° B．60° C．80° D．160°2．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(D)A.5 B.4 C.3 D.23．在 ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则 ABCD的周长为14cm.4．在平面直角坐标系中，若 ABCD的三个顶点坐标为A(1，0)，B(0，2)，C(－4，2)，则另外一个顶点D的坐标为(－3，0)．5．如图，在 ABCD中，E，F为对角线BD上的两点．(1)若AE⊥BD，CF⊥BD，求证：BE＝DF；(2)若AE＝CF，能否说明BE＝DF 解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(AAS).∴BE＝DF.(2)不能，举反例如图．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解学生课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课我们学习了哪些知识？(2)你觉得研究一个几何图形的一般思路是什么？(3)对于平行四边形，你觉得还需要进一步研究什么？2．布置作业：教材第49～50页习题18.1第1，2，7，8题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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第2课时 平行四边形对角线的性质
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平行四边形的性质是平行线和三角形知识的应用和深化，是学习矩形、菱形、正方形的必备知识，起着承上启下的作用，是证明线段相等、角相等的重要依据．本节课主要探究平行四边形的对角线互相平分这一性质．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．平行四边形的性质在实际生产和生活中有广泛的应用，是全章的重点．
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【置疑导入】
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形形状的土地．由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图这样分的．
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的土地少．同学们，老人这样分地合理吗？
教师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质．这节课我们就继续来研究平行四边形对角线的性质．
【说明与建议】 说明：用实际问题(置疑)创设情境导入新课，既激发了学生学习新知识的积极性和主动性，又让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活．建议：教师故事性地提出问题让学生在观察、思考之余感知本节课要学习的知识，并引出课题．提醒学生平分面积应想到什么知识．学生观察、思考，发表见解．
【悬念激趣】
小明要用几根小木棒搭一个有两条对角线的平行四边形，他先找到一根长6 cm与一根长16 cm的小木棒作为平行四边形的两条对角线，然后他又找到了长分别为5 cm，8 cm，12 cm的三根小木棒，其中有几根可以用作平行四边形的边？为什么？你自己动手搭一搭，如果一根小木棒可以用作这个平行四边形的一边，那么它的长度应在什么范围内？
【说明与建议】 说明：由问题入手，激起学生探究知识的积极性，增强学习数学的兴趣，从而进入最佳的学习状态．建议：教师引导学生寻找思路，接着提出需要研究的问题，引导学生把平行四边形问题转化为三角形问题，从而去探究平行四边形对角线的性质．
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命题角度1 利用平行四边形对角线的性质解决问题
1．如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，∠ODA＝90°，OA＝6，OB＝2，则AD的长是(D)
A．6 B．4 C．4 D．4
第1题图 第3题图
2．已知在 ABCD中，AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么 ABCD的面积为8．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1__cm4．如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，求BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，
∴BC－AB＝20.①
∵平行四边形ABCD的周长为80，
∴BC＋AB＝40.②
由①＋②，可得2BC＝60，
∴BC＝30.
命题角度2 平行四边形性质的综合运用
5．将 ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(5，2)，则顶点D的坐标是(C)
A．(4，3) B．(1，3) C．(1，2) D．(4，2)
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AE平分∠BAD，求证：AB＋CE＝AD.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE.
∴AB＋CE＝BE＋CE＝BC＝AD.
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课题 18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质 授课人
素养目标 1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
教学重点 平行四边形对角线性质的探究与应用．
教学难点 平行四边形对角线性质及其他性质的综合应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 如图，四边形ABCD是平行四边形，根据图中标注的数据，你能得到哪些结论？ 1.复习旧知识，为学习新知识及形成完整的知识结构奠定基础．2．训练学生的发散思维，引导学生快速进入积极思考的学习状态．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．上节课我们学行四边形边、角的性质，现在请大家在练习本上画一个 ABCD，然后根据这个图形回答边、角有什么性质．2．我们已经知道平行四边形的边、角之间的关系，那么平行四边形的对角线之间有什么样的关系呢？即：在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，那么OA与OC，OB与OD有什么关系？这节课我们就来继续研究平行四边形的性质． 回顾上一节课的知识，为本节知识的学习打下基础，同时又能激起学生探究知识的积极性，增强学习数学的兴趣，从而进入最佳的学习状态．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、探索平行四边形对角线的性质已知在 ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证．学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.有如下线段相等：OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC.证明中应用到“AAS”“ASA”．师生归纳：平行四边形的对角线互相平分．二、平行四边形对角线性质的证明已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC，OB＝OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC(平行四边形的对边相等)，AD∥BC(平行四边形的定义).∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO.∴△AOD≌△COB(ASA).∴OA＝OC，OB＝OD.总结：平行四边形的对角线互相平分．几何语言：如图，∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).师生活动：学生板书证明过程，教师给予指正． 1.自主探究，让学生感受到成功的喜悦，激发学生的学习兴趣．2．提示学生自己动手写出已知、求证，由于本证明过程对学生来说并不难，可把证明交给学生来做．等学生完成后，再出示规范的解题过程，然后进行比较纠错，这样可以培养学生的逻辑推理能力．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第44页例2)如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．【思路点拨】 根据平行四边形的性质即可得到BC和CD的长，根据AC⊥BC，在Rt△ABC中运用勾股定理即可得出AC的长，由OA等于AC的一半即可求出OA，S ABCD＝BC·AC.【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．根据勾股定理，得AC＝＝＝6.又∵OA＝OC，∴OA＝AC＝3，S ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.师生活动：学生独立书写证明过程，老师进行讲解，特别是证明的步骤．【变式训练】如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AM＝CN，∴OM＝ON.在△BOM和△DON中，∴△BOM≌△DON(SAS).∴∠OBM＝∠ODN.∴BM∥DN.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过不断鼓励学生思考、交流，帮助学生学会如何分析、如何严格地使用几何语言书写解题步骤，培养学生的逻辑推理能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(C)A.AO＝OD B．AO⊥ODC.AO＝OC D．AO⊥AB 第1题图 第2题图2．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是(B)A.4 B．3 C．2 D．13．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)A.4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm4．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：△AOE≌△COF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS).5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.(1)求证：OE＝OF；(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积之间有何关系？解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.∴△ABC≌△CDA(SAS).∴S△ABC＝S△CDA.由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF.又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？(2)利用平行四边形可以解决哪些问题？(3)你能就本节课给自己和同伴一个评价吗？2．布置作业：教材第49～51页习题18.1第3，14题． 归纳总结、拓展提升，鼓励学生从多角度出发谈收获，通过作业巩固对平行四边形性质的理解．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
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《平行四边形的判定》紧接《平行四边形的性质》一节，纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用．
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【情景导入】
有一块平行四边形的玻璃，不小心碰碎了一部分(如图)，聪明的维修师傅拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？
【说明与建议】 说明：学生从真实的生活中发现数学，根据学生的认知基础，学生会较快地回答出利用平行四边形的定义，这样不仅引入了新课，也激发了学生的学习兴趣．建议：对于情景题目，教师引导学生讨论回答，然后教师总结点评．借机与学生共同回顾定义的双重作用，即定义可以当性质用，也可以当判定用．引导学生思考除了利用平行四边形的定义，是否还有其他的判定方法，以此引入新课．
【置疑导入】
问题1：如图1所示，点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有几种？说明理由．
图1 图2 图3
问题2：将三角尺ABC的一边AC贴着直尺平移到三角形A1B1C1的位置(如图2)，这时四边形ABB1A1就是平行四边形，你能说明其中的道理吗？
问题3：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，用绳子顺次连接四个端点，得到如图3所示的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
【说明与建议】 说明：通过问题探究引入新课，培养学生的逻辑思维能力，激发学生学习的积极性．建议：对于问题1，课前可让学生预习平行四边形的判定方法，找几名同学口答并说明理由，然后师生共同纠错．对于问题2，先给学生几分钟独立思考和解决问题的时间，然后让学生发言，重在引导学生进行说理．可让学生尝试回答问题3.
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命题角度1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°.
∴∠DBE＝∠ABC.
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴AC＝DE.
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC.∴DE＝AF.
同理可得：EF＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．
命题角度2 利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形
2．下面给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是(B)
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA.
∴∠DAB＝∠DCB.
∵∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度3 利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS).
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
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课题 18.1.2 第1课时 平行四边形的判定1 授课人
素养目标 1.理解并掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法．2．灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题．3．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形的判定方法的探究，提高学生解决问题的能力．
教学重点 平行四边形的判定方法的探究、运用．
教学难点 平行四边形的判定定理的灵活应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 教师提出问题：问题1：平行四边形的定义是什么？平行四边形有哪些性质？根据图你能用符号表示吗？问题2：如图，在 ABCD中，BE∥DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥BC，即DE∥BF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形． 1.通过问题唤醒学生的记忆，巩固平行四边形的定义及性质，为突破本节难点做准备．2．教师借助问题2与学生共同回顾定义的双重作用，即定义既可以当性质用，也可以当判定用．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】复习回顾(多媒体展示)问题1：平行四边形的定义是什么？它有什么作用？问题2：平行四边形有哪些性质？问题3：你能说出平行四边形性质的逆命题吗？并判断它们的真假． 利用平行四边形的性质与判定之间的互逆关系，培养学生的正向思维和逆向思维，为平行四边形判定方法的进一步探索做好铺垫．
【探究新知】1．平行四边形性质的逆命题：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．猜想：这些命题可否成为平行四边形的判定方法？2．用动手实验的方式验证前面的猜想．实验一：学生以四人为小组进行活动，用课前发放准备好的两长两短的木条做成一个四边形．教师提问：1．将四根木条怎样摆放能拼接成平行四边形？2．转动这个四边形，使它的形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？实验二：将两根细木条中点重叠，用小钉钉在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形．教师提问：1．做成的这个四边形是一个平行四边形吗？2．转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？3．引导学生运用学过的知识从理论上证明实验结果．学生结合图形，写出已知和求证，并讲解其证明过程．(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：连接AC.∵AB＝CD，AD＝CB，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．总结：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)如图，在四边形ABCD中，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗？说说你的理由．解：四边形ABCD一定是平行四边形．理由如下：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．总结：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)如图，将两根细木条AC，BD的中点重叠，用小钉钉在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？说说你的理由．解：四边形ABCD一直是一个平行四边形．理由如下：∵AO＝CO，∠AOD＝∠COB，DO＝BO，∴△AOD≌△COB(SAS).∴AD＝CB.同理AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．总结：对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．师生活动：引导学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作，在此过程中，教师根据学生操作情况，适时指导．总结：平行四边形的判定定理判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 1.设计“观察—猜想验证—说理—抽象”这一过程，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，引导学生经历从实践活动中抽象出数学概念的过程，并将从实践中探索得到的结论再应用到实践中去．2.帮助学生体会转化的思想验证明的方法，即连接对角线将平行四边形问题转化成三角形问题．根据学生的认知水平，学生可能会在推理论证时遇到困难，教师应适当加以引导分析并规范书写推理论证的过程．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第46页例3)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．【思路点拨】 根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．【解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．【变式训练】如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.求证：四边形AFDE是平行四边形．证明：连接AD交BC于点O.∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO(AAS).∴OA＝OD，OB＝OC.∵BE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形AFDE是平行四边形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．培养学生运用判定定理解决问题的能力、发散思维能力、规范解题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A.88°，108°，88° B．88°，104°，108°C.88°，92°，92° D．88°，92°，88°2．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件AD∥BC(写一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形．3．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD.∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形． 4.如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形．证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25，∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°.∴∠PMO＝∠MON＝90°.在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2，解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3.∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，进一步提升学生发现问题、解决问题的能力．
课堂小结 1.课堂小结：(1)判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？(2)我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？这样的探索过程对你有什么启发？师生活动：多媒体展示问题，帮助学生从不同方面反思收获，组织学生大胆说出自己的体会．2．布置作业：教材第47页练习第1，2，4题；第50页习题18.1第4，5题． 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 平行四边形的判定2
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本节课的主要内容是从一组对边平行且相等的角度判定四边形是平行四边形，该判定方法是判定平行四边形方法的基础知识的延续，仍然是从逆命题的角度提出问题，发现结论，形成猜想，然后进行证明；这个逆命题可为我们以后判定特殊四边形打下基础．
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【情景导入】
观察下面两幅图片并思考问题．
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长度相等就可以了，你能说明理由吗？
【说明与建议】 说明：从实际生活出发通过实例引入新课，让学生感受数学来源于生活又服务于生活，激发学生学习的兴趣．建议：首先复习平行四边形的性质与判定，为本节课的学习扫清障碍．针对实际问题，教师可让学生进行合作探究，先将它转化为几何模型，再进行推理论证．
【置疑导入】
操作与探究：如图，在方格纸中，画出线段AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由．
【说明与建议】 说明：利用操作探究的方式引入本节课要研究的内容，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的好奇心和求知欲．建议：教师教学中要鼓励学生自主证明这个猜想，并鼓励他们从多角度思考问题、用多种方法去证明，以利于培养学生的发散思维能力、合情推理能力和严谨的逻辑表达能力．
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命题角度1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠D＝∠DCE，
∴AD∥BC.
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度2 平行四边形判定方法的灵活选用
2．如图，AD＝BD，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，求证：四边形DBCF是平行四边形．
证明：∵AE＝EC，EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴AD＝FC，AD∥FC，即BD∥FC.
又∵AD＝BD，∴BD＝FC.
∴四边形DBCF是平行四边形．
3．如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C，A，AD＝BC.求证：
(1)Rt△ACD≌Rt△CAB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)在Rt△ACD和Rt△CAB中，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL).
(2)∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度3 平行四边形的性质和判定的综合应用
4．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∴OE＝OF.
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课题 18.1.2 第2课时 平行四边形的判定2 授课人
素养目标 1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法．2．熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题．3．经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；学生能感受数学思考过程中的合理性，数学证明的严谨性；学会用辩证的观点分析事物．
教学重点 平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件能正确地选择判定方法．
教学难点 平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 教师提出问题：上节课我们学行四边形的判定方法有哪些？你能用符号表示吗？ 温故知新，为突破本节难点做准备，同时激发学生的学习热情．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】操作探究：取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？由此例提出大胆猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．你能证明这个结论吗？ 利用操作探究的方式引入新课，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】由上面的操作可猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．师生活动：教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).教师启发引导：这道题还可以这样证明．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴∠BCA＝∠DAC.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).教师引导学生进行方法总结：思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？符号语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．想一想：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？教师引导学生举出下面的反例即可：如图，AB＝CD，AD∥BC. 1.本环节注意给予学生充足的时间进行探究、发现；鼓励学生写出“已知”和“求证”，并思考证明思路及书写过程，从而提高学生解题的规范性．2．利用多种证明方法训练学生的发散思维，并使学生体会解题方法，连接对角线将四边形化为三角形，然后用证明三角形全等的方法解决四边形问题．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第47页例4)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．【思路点拨】 根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，EB∥FD.又∵EB＝AB，FD＝CD，∴EB＝FD.∴四边形EBFD是平行四边形．例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝CE.【思路点拨】 根据已知条件易证AB＝AD，再证明四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD＝CE，所以AB＝CE，问题得证．【解答】 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∵AD∥CE，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝CE.∵AD＝AB，∴AB＝CE.【方法归纳】 判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 1．设置例题帮助学生掌握平行四边形的判定方法，并会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与线段CD交于点E，F，且AE⊥BF.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AE⊥BF，∴∠EAB＋∠FBA＝90°.∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA.∴∠DAB＋∠ABC＝2(∠EAB＋∠FBA)＝180°.∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 2．通过变式训练培养学生的发散思维能力和逻辑思维能力．
【课堂检测】1．如图所示，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充条件(D)A.AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AB＝AD D．AD＝BC 第1题图 第3题图2．请你从下列条件：①AB＝CD，②AD＝BC，③AB∥CD，④AD∥BC中任选两个，使它们能判定四边形ABCD是平行四边形．共有4种情况符合要求．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，BC＝12 cm，则CD的长是7__cm．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∴∠CFD＝∠AEB.∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(ASA).∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求 ABCD的面积．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB(AAS).∴OD＝OB.∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵AC⊥BD，∴S ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝BD·OA＋BD·OC＝AC·BD＝24.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
活动四：课堂检测
课堂小结 1.课堂小结：(1)判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？(2)我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？师生活动：多媒体展示问题，帮助学生从不同方面反思收获，组织学生大胆说出自己的体会．2．布置作业：教材第47页练习第3题；第50页习题18.1第6，9题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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第3课时 三角形的中位线
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本节教材是在学生学完了三角形、四边形内容之后作为平行线等分线段、三角形和四边形知识的应用和深化．三角形中位线定理的推理、证明是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用．本节内容不是本章的重点和难点，但它是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习非常有用．在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到．因此，本节教材对知识起到了承前启后的作用．
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【置疑导入】
多媒体展示图片，观察思考：
问题1：图中的所有三角形有什么共同特征？
问题2：这个图是怎样画出来的呢？
【说明与建议】 说明：让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系，提高学生的学习兴趣．由此告知学生数学来源于生活的道理．建议：问题1由学生口答完成，在学生回答时教师应视情况辅导；对于问题2，由学生观察得出结论：连接三角形两边的中点得到；帮助学生形成三角形的中位线的初步印象，从而引出本节课题——三角形的中位线．
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命题角度1 利用三角形中位线定理解决问题
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠B＝50°，∠AED＝60°，则∠A的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是(D)
A．4 B．5 C．2 D．2
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
解：△PMN是等腰三角形．
理由如下：∵点P是BD的中点，点M是DC的中点，
∴PM是△DBC的中位线．∴PM＝BC.
同理可得，PN＝AD.
∵AD＝BC，∴PM＝PN.
∴△PMN是等腰三角形．
命题角度2 适当添加辅助线利用三角形的中位线定理解决有关问题
4．如图所示，在△ABC中，点D是BC边上的中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．
证明：延长CE交AB于点M，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠AEM＝90°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE.
在△MAE和△CAE中，
∴△MAE≌△CAE(ASA).
∴CE＝EM.
∵点D为BC的中点，
∴DE∥AB.
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
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课题 18.1.2 第3课时 三角形的中位线 授课人
素养目标 1.掌握三角形的中位线的概念和定理，能正确应用三角形中位线定理．2．经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形中位线定理解决有关问题．3．结合实际情况，进一步理解三角形中位线的概念和性质，培养学生的创造性思维．
教学重点 掌握并能运用三角形的中位线定理．
教学难点 三角形中位线定理的证明(辅助线的添加方法).
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间的距离了．这是为什么呢？本节课我们就来探究其中的学问． 创设联系生活实例的生活情景，巧用多媒体展示精美图片，激发学生的学习兴趣，引入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，图中线段DE是连接△ABC两边的中点D，E所得的线段，称线段DE为△ABC的中位线．思考：(1)一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？(2)画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同．(三角形的中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形的中线一端点是三角形的顶点，另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点)二、三角形的中位线与第三边的关系1．剪一个三角形，记为△ABC.2．分别取AB，AC的中点D，E，并连接DE.3．沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得到四边形DBCF(如图).思考：四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？问题1：要判定一个四边形是平行四边形，需具备什么条件？问题2：结合题目中的条件，你感觉选用哪一种方法好？为什么？若四边形DBCF是平行四边形，则DE与BC有什么位置关系和数量关系呢？学生猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．学生自主书写证明过程：证明：在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(SAS).∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴BD＝CF.∴四边形DBCF是平行四边形．∴DF∥BC，DF＝BC.∵DE＝EF，∴DE＝DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC.师生总结归纳：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．图形与符号语言：如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC.作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或. 1.这两个概念容易混淆，通过画图比较，巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯．2．通过对问题的逐层分析，把解决问题方案的范围逐渐缩小，最终确定出一个合理的方案．能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第48页探究)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE＝BC.【思路点拨】 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．【解答】 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF.∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA.∴CF平行且等于BD.∴四边形DBCF是平行四边形，DF平行且等于BC.又∵DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC.例2 (教材第49页练习第1题)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？【解答】 能画出三个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边形ADEF为平行四边形．【变式训练】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF，CE.(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)若∠ACB＝90°，CE＝5 cm，DE＝3 cm，求四边形DEFB的面积．解：(1)证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF＝3BF，∴BC＝2BF.∴DE＝BF.∴四边形DEFB是平行四边形．(2)由(1)，得DE＝BF＝3 cm，∴BC＝6 cm.∵点D是AC的中点，CE＝5 cm，∴AB＝10 cm.∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝8(cm)，CD＝AC＝4 cm.∴S四边形DEFB＝BF·CD＝3×4＝12(cm2).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1．引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．通过例题及变式训练强化三角形中位线定理的应用训练．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(B)A.150° B．120° C．60° D．30° 第1题图 第3题图2．已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，则连接各边中点的三角形周长为(D)A.2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，则DE的长为3．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连接DE.求∠BDE的度数．解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAF＝40°.又∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.∴△ABD≌△AFD(ASA).∴BD＝DF.∴∠ABF＝∠AFB＝50°.∴∠BFC＝130°.又∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE∥FC.∴∠BDE＝∠BFC＝130°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 检验学生对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度．运用所归纳的中位线的知识解决问题，提高学生解决问题的能力．
课堂小结 1.课堂小结：这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在练习本上．学生写完后，全班交流各自的收获和心得，教师及时点评、鼓励．2．布置作业：教材第49页练习第3题；第50～51页习题18.1第5，11题． 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
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本节课的内容是矩形的性质，是在学生学行四边形的性质与判定以及小学学过的长方形的基础上来学习的，它是平行四边形的性质的延伸，不仅为矩形判定的学习做铺垫，也为菱形、正方形的学习打下基础．学生通过对生活中的长方形的观察、思考、归纳、抽象得出矩形的定义和性质，这样的安排使学生易于接受抽象的定理，并能在学习过程中体会到探索的乐趣．
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【置疑导入】
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆等)，想一想：它们应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)
3．再次演示平行四边形的拉动过程，当拉动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，并引出本节课题及矩形的定义．
【说明与建议】 说明：通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，帮助学生体会矩形与平行四边形的区别和联系，感受由平行四边形变为矩形的过程，为研究矩形的性质做铺垫．建议：在展示平行四边形教具由平行四边形变为矩形的过程后让学生说出矩形的特征，尤其是矩形具有而平行四边形不具有的特殊性质．
【复习导入】
已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片(如图)，观察图中有哪些图形是矩形，你能说说为什么吗？
【说明与建议】 说明：通过对平行四边形性质的复习，巩固所学的知识，并利用生活中的矩形图片引入新课．建议：为了给学生直观的印象，利用课件或实物展示一下由平行四边形变形得到矩形的过程会更好．在选择图片时尽可能选择学生熟悉的，也可以利用教室中可以看到的实物，比如：黑板、门、窗等．
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命题角度1 利用矩形的性质计算线段的长度或角的度数
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
第1题图 第2题图
2．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE.若CD＝6，AE＝10，则AD的长为(B)
A．12 B．14 C．16 D．20
命题角度2 利用矩形性质解决证明问题
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS).
∴AE＝CF.
命题角度3 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题．
4．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是(D)
A．10 B．2 C．8 D．2
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黄金矩形
黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的0.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．蒙娜丽莎的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局．
给定一条线段，如何把它分割成黄金分割比呢？古希腊人的方法是先作出一个黄金矩形(即其长与宽的比恰好为黄金分割比)：先作一个边长为1的正方形ABCD，并连接一组对边的中点E，F，把正方形按如图所示左右均分，再以点F为圆心，FC的长为半径画弧，交FD的延长线于点G，过点G作垂线，交EC的延长线于点H.
此时得到的矩形DCHG就是黄金矩形了，而(利用毕氏定理)有了黄金矩形后，任何学过基本几何作图的人，都会把一条段线分成黄金分割比了．
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课题 18.2.1 第1课时 矩形的性质 授课人
素养目标 1.掌握矩形的概念和性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算．2．探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与联系．3．通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
教学重点 掌握矩形的性质定理．
教学难点 利用矩形的性质进行证明和计算．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】我们已经学行四边形的性质和判定，现在我们来研究特殊的平行四边形的性质和判定，我们从矩形的性质开始研究．你能举出一些生活中形状为矩形的实际例子吗？下面给大家介绍一下工人制作窗框的过程．1．先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图，使AB＝CD，EF＝GH.2．摆成四边形(如第2个图)，这时窗框的形状是平行四边形，依据的数学道理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3．将直角尺紧靠窗框的一个角(如第3个图)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是矩形，依据的数学道理是：有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．特殊的平行四边形有哪些？它们具有平行四边形的性质吗？我们知道，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们不仅具有平行四边形的性质，而且还有各自特殊的性质，本节课开始我们来研究特殊的平行四边形的性质． 复习旧知识引出新课，强调四边形的不稳定性．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、矩形的性质演示几何画板课件，引导学生观察图形变化，回答问题：1．当 ABCD变为矩形时，它的四个角和两条对角线有什么变化？2．当矩形的大小不断变化时，前面发现的结论是否仍然成立？猜想矩形具有什么特殊的性质，怎样证明你的猜想？矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°(矩形的四个角都是直角).已知：在矩形ABCD中，∠A＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等．已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC＝BD.分析：欲证AC＝BD，可证AC，BD所在的三角形全等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°.∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的对角线相等).二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半议一议：1．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的数量关系？为什么有这样的数量关系？2．在这里，我们可以从矩形的对角线的性质得到关于直角三角形的一个性质，应当怎样叙述这个性质？问题：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”，又根据矩形的性质“对角线相等”，你能得到AO＝CO＝DO＝BO吗？可以．由此得到：AO＝CO＝BD，DO＝BO＝AC.OC为Rt△BCD的中线，从而得到关于直角三角形的一个性质，即：矩形的性质定理2的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．符号语言：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB.(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 1.注重学生的自主探究，通过自主探究获得新知，体验成功的喜悦．2．给学生留下充分的探究时间和空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第53页例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．【思路点拨】 因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此可求对角线的长度．【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∵∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 1．设置例题帮助学生掌握矩形的性质，并会运用矩形的性质来解决问题．
活动三：开放训练、体现应用 【方法归纳】应用矩形性质计算的一般思路：①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常用的思路；②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果DE＝5 cm，求HF的长．【思路点拨】 由中位线定理可知DE＝AC，即可求出AC的长度，又因为HF是Rt△AHC斜边上的中线，即可求出HF的长度．【解答】 由题意可得，DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC.∵HF是Rt△AHC的斜边AC上的中线，∴HF＝AC.∴HF＝DE＝5 cm.【变式训练】如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．(1)求证：DE⊥MN；(2)若BC＝26，MN＝10，求DE的长．解：(1)证明：连接DM，DN.∵BN，CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB.∴∠BMC＝∠CNB＝90°.∵点D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC.∴DM＝DN.∵点E是MN的中点，∴DE⊥MN.(2)∵BC＝26，∴DM＝BC＝13.∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5.由勾股定理，得DE＝＝12.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 2．应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在下面的性质中，矩形不一定具有的是(D)A.对角线相等 B．四个角都相等C.是轴对称图形 D．对角线互相垂直2．在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是(A)A.6 B．4 C．8 D．123．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点．若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为(C)A.7 cm B．8 cm C．9 cm D．12 cm 第3题图 第4题图 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数为(D)A.60° B．62.5° C．65° D．67.5°5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为4．6．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB.证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA(AAS).∴DF＝AB.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：今天我们学了哪些内容？想一想：一般四边形与平行四边形之间的关系是怎样的？在如图所示的圆圈中填上“四边形”和“平行四边形”．如果在图中再画一个圈表示矩形，这个圈应画在哪里？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对称轴．2．布置作业：教材第53页练习第1，2，3题；第61页习题18.2第9题． 课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
第2课时 矩形的判定
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本节课主要研究矩形的判定方法，它不仅是本节的重点，也是以后学习正方形和圆等知识的基础，通过观察试验、归纳证明，培养学生的推理能力和演绎能力，为学习其他特殊平行四边形提供了相应的研究方法和学习策略，对后续学习至关重要．
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【置疑导入】
小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他制作的是矩形相框吗？看看谁的方法可行．
【说明与建议】 说明：通过对矩形定义的复习，进一步感受什么是矩形，进而明确定义是判定的重要依据，在此基础上通过问题：还有没有别的条件也能证明一个四边形是矩形呢？引导学生思考利用其他的条件证明矩形的方法．建议：首先师生一起回顾矩形的定义，重点强调概念中的两个要素，并强调定义是最基本的判定方法．而后提出问题：是否还有其他的判定方法？是否可类比平行四边形的判定方法呢？问题提出后给学生一定的思考时间，针对个别学生可以给出适当的引导．
【情景导入】
一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？
【说明与建议】 说明：通过实际问题引发学生的思考，同时让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用．建议：可以给学生充足的时间进行思考、交流，以便学生更好地理解矩形的判定方法．
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命题角度1 考查判定矩形的条件
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(D)
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是∠ABC＝90°(答案不唯一)．(写出一种即可)
命题角度2 根据矩形的判定定理进行相关的证明
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E.求证：四边形ADBE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠BAF.
∵∠BAC＋∠BAF＝180°，
∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°.
又∵BE∥AD，
∴∠DBE＝∠ADC＝90°.
∴四边形ADBE是矩形．
4．如图，在 ABCD中，延长BC至点F，使CF＝BC，连接AF，交CD于点E.
(1)求证：DE＝CE；
(2)连接BE，当AF＝2BE时，求证：四边形ABCD是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠F.
∵CF＝BC，
∴AD＝CF.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴DE＝CE.
(2)由(1)可知，△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF.
∵AF＝2BE，
∴△ABF是直角三角形，∠ABC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
命题角度3 矩形的判定定理在实际生活中的应用
5．工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
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课题 18.2.1 第2课时 矩形的判定 授课人
素养目标 1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法．2．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力．3．使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
教学重点 能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明．
教学难点 灵活运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？2．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？矩形与平行四边形及四边形的从属关系是什么？教师出示问题，引起学生的思考，并点拨分析矩形与平行四边形及四边形的从属关系． 建立新旧知识之间的连接，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？ 通过实际问题引发学生的思考，同时让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用．
【探究新知】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？学生猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出规范的证明过程．矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB.求证： ABCD是矩形．学生观察、思考后尝试证明判定定理．教师引导学生证明结论．证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∵AC＝DB，BC＝CB.∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝90°.∴ ABCD是矩形． 提示：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)有一个角是90°的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．证明：如图，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．师生活动：先让学生独立思考，或与同伴交流，再请学生阐述自己的想法．培养学生勇于表达、善于表达、乐于表达自己思想的能力． 通过探究活动为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第54页例2)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．【思路点拨】 先证明 ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数．【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.又∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.【方法归纳】 判定矩形的基本思路：①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等． 引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 知识的综合与拓展，提高学生的应考能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是AC＝BD(答案不唯一)．(写出一个条件即可) 第1题图 第2题图2．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠AOB内一个动点P到这个角两边距离之和为5，则图中四边形AOBP的周长是10．3．已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．4.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：AD＝CN；(2)若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM.在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN(ASA).∴AD＝CN.(2)∵AD∥CN，AD＝CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN＝90°，即∠DAN＝90°，∴四边形ADCN是矩形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)今天我们学了哪些内容？(2)一种学习方法；两个猜想证明；三种判定方法．方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．2．布置作业：教材第60页习题18.2第1，2，3题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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详见电子资源
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
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“菱形”是继“四边形”“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．通过探索和证明菱形的特殊性质可以让学生体会证明的必要性并进一步丰富对图形的认识和感受．
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【置疑导入】 问题：在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？它是什么图形呢？它有什么性质呢？
运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移的过程，让学生观察图形的变化．
【说明与建议】 说明：通过提问可使学生的注意力集中起来．建议：让学生通过观察图形的变化，从而引导学生探寻菱形的性质．
【归纳导入】
如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否仍然是平行四边形？当相邻两边长度相等时停止移动，此时的四边形与原平行四边形有什么不同？
归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【说明与建议】 说明：通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例，为菱形性质及定义的得出做好铺垫．建议：在得到菱形定义的时候要抓住两个关键点．一是平行四边形，二是一组邻边相等．
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命题角度1 菱形的性质
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为(B)
A．30° B．40° C．50° D．60°
第1题图 第3题图 第5题图
2．菱形ABCD的两条对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，那么菱形的边长是(B)
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．8 cm
3．两个相同的菱形按如图所示的方式拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为60°.
命题角度2 菱形的面积
4．已知菱形ABCD的面积为96 cm2，对角线AC的长为16 cm，则此菱形的边长为(D)
A．20 cm B．14 cm C．3 cm D．10 cm
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为12．
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中国传统纹样——菱形纹
菱形纹在中国传统装饰纹样中有着悠久历史，
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
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平行四边形的性质和定义是研究线段和角相等的一种重要工具，它为探究其他特殊四边形的性质奠定了基础．学生已经学行线、平移、三角形和四边形等相关知识，为本节课的学习奠定了基础．本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．本节课的主要内容是平行四边形的概念和性质，作为一种特殊的四边形，首先特殊在两组对边分别平行，所以能够推出其另外一些特殊性质：平行四边形的对边相等，对角相等．这些特殊的性质有助于我们解决很多实际生活中的问题．
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【悬念激趣】
问题1：同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗？学生根据自己的生活经验，可能回答：平行四边形、矩形、四边形……教师点拨：太阳光属于平行光，阳光透过窗口投在地面上的影子通常是平行四边形．
问题2：爱动脑筋的小刚观察到平行四边形影子有一种对称的美，他说只要量出一个内角的度数，就能知道其余三个内角的度数；只需测出一组相邻的边长，便能计算出它的周长，这是为什么呢？通过本节课的学习，大家就能明白其中的道理了．今天，我们就来共同研究平行四边形及其性质．
【说明与建议】 说明：通过观看学生习以为常的平行光线在室内的投影照片，让学生感受到平行四边形与生活实际紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的平行四边形上来，为下面学习新知识创造了良好的开端．建议：由现实生活入手，帮助学生获得对平行四边形的感性认识，同时充分调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．教学中教师要鼓励学生交流讨论发表自己的看法．
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命题角度1 利用平行四边形边、角的性质求角度及边长
1．在 ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于(A)
A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
2．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是(D)
A．45° B．60° C．90° D．120°
命题角度2 平行线间距离的应用
3．如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5 cm，b与c的距离是2 cm，则a与c的距离是(B)
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．7 cm
4．如图，两条平行线间依次有三个图形：△ABC， CDEF和梯形DGMN.根据图中所标数据比较它们的面积，其中面积最大的是(B)
A．△ABC B． CDEF C．梯形DGMN D．无法比较
命题角度3 平行四边形边、角性质的综合运用
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE＝CF.
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课题 18.1.1 第1课时 平行四边形边、角的性质 授课人
素养目标 1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质．2．在进行性质探索的过程中，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力．3．在探究讨论中培养与他人合作交流的习惯；在性质应用过程中培养独立思考的习惯．
教学重点 理解并掌握平行四边形的概念及其性质．
教学难点 平行四边形边、角性质的运用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.说出平行线的性质和判定方法．2．四边形有四条边，四个内角，四个顶点，内角和为360°．3．你认识的四边形都有哪些？请写出它们的名称． 建立新旧知识之间的连接，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法，从本节开始，我们继续研究生活中的常见图形．问题1：观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？问题2：平行四边形是一种特殊的四边形，你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？它有哪些性质呢？今天我们共同来研究这个问题吧！ 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为几何图形的过程．
【探究新知】一、拼图游戏将一张纸对折，剪成两张全等的三角形纸片．将这两个三角形相等的一组边重合，你会得到怎样的图形？问题1：你能用手中的两张全等三角形纸片拼出四边形吗？你拼出了怎样的凸四边形？与同伴交流．师生活动：学生动手操作，教师留意观察，请同学将拼出的几种形状不同的四边形展示在黑板上．问题2：一位同学拼出了如下图所示的四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．师生活动：学生经过实验操作，开展独立思考与合作学习．教师深入学生之中，观察学生解题的方法与过程，接受学生质疑并指导个别学生探究．教师待学生充分探究后，请学生展示拼图的方法和图形，并引导学生分析问题2中的四边形的边的位置特征，从而引出本节课要研究的内容——平行四边形．结合拼出的特殊四边形，给出平行四边形的相关概念．教师强调定义的两方面作用：一是可以判定一个四边形是不是平行四边形；二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质．二、探究平行四边形的性质根据定义画一个平行四边形ABCD；(1)用一张半透明的纸复制你画的平行四边形ABCD；(2)剪下你所复制的那个平行四边形；(3)将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？观察并思考：对边之间、对角之间分别有什么关系？由此你能得到什么结论？(1)平行四边形的对边平行且相等．(2)平行四边形的对角相等．(3)平行四边形的邻角互补．教师出示投影说明活动步骤．学生以小组为活动单位，根据活动步骤操作，教师指导．师生活动：教师提出思考的问题，学生独立思考后自主交流．教师深入到学生中，对需要帮助的学生进行指导．待学生充分思考和交流后，教师根据学生思考结果的实际情况开展师生互动．三、利用教材例题介绍平行线之间的距离．1．两平行线之间的距离的概念如图，直线a∥b，A，D为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点D到直线b的距离相等吗？为什么？ 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．师生活动：结合例题分析，可以得出，如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等．师生总结性质：两条平行线间的距离处处相等．2．应用：回忆平行四边形的面积公式． 1.通过拼图游戏，帮助学生经历平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律，避免了以往概念教学的机械记忆，同时发展了学生的探究意识，开拓了学生的思维．2．通过两个三角形拼接出特殊的四边形的过程，渗透转化的思想．为下节课研究平行四边形对角线的性质做一个铺垫．3．学生借助学具动手操作探究平行四边形的性质，得出猜想并加以理论验证，归纳成数学结论，引导学生亲身参与数学研究的过程，并在此过程中体会数学研究的乐趣．4．鼓励学生探究方式、结果、表示方法的多样化以及学生学习方式的个性化，满足学生的多样化学习需求，做到既着眼于共同发展，又关注到个性差异．5．帮助学生明确平行线间的距离的概念及其应用，并由此回顾平行四边形的面积公式与此概念的关系．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第42页例1)如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF.【思路点拨】 要证AE＝CF，可以证明△ADE≌△CBF.【解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴AE＝CF.【变式训练】1．如图，在 ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝55°． 第1题图 第2题图2．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，且DE＝4，BC＝10，则CD的长为6．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．已知在 ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是(B)A.100° B．60° C．80° D．160°2．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(D)A.5 B.4 C.3 D.23．在 ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则 ABCD的周长为14cm.4．在平面直角坐标系中，若 ABCD的三个顶点坐标为A(1，0)，B(0，2)，C(－4，2)，则另外一个顶点D的坐标为(－3，0)．5．如图，在 ABCD中，E，F为对角线BD上的两点．(1)若AE⊥BD，CF⊥BD，求证：BE＝DF；(2)若AE＝CF，能否说明BE＝DF 解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(AAS).∴BE＝DF.(2)不能，举反例如图．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解学生课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课我们学习了哪些知识？(2)你觉得研究一个几何图形的一般思路是什么？(3)对于平行四边形，你觉得还需要进一步研究什么？2．布置作业：教材第49～50页习题18.1第1，2，7，8题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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详见电子资源
第2课时 平行四边形对角线的性质
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平行四边形的性质是平行线和三角形知识的应用和深化，是学习矩形、菱形、正方形的必备知识，起着承上启下的作用，是证明线段相等、角相等的重要依据．本节课主要探究平行四边形的对角线互相平分这一性质．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．平行四边形的性质在实际生产和生活中有广泛的应用，是全章的重点．
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【置疑导入】
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形形状的土地．由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图这样分的．
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的土地少．同学们，老人这样分地合理吗？
教师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质．这节课我们就继续来研究平行四边形对角线的性质．
【说明与建议】 说明：用实际问题(置疑)创设情境导入新课，既激发了学生学习新知识的积极性和主动性，又让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活．建议：教师故事性地提出问题让学生在观察、思考之余感知本节课要学习的知识，并引出课题．提醒学生平分面积应想到什么知识．学生观察、思考，发表见解．
【悬念激趣】
小明要用几根小木棒搭一个有两条对角线的平行四边形，他先找到一根长6 cm与一根长16 cm的小木棒作为平行四边形的两条对角线，然后他又找到了长分别为5 cm，8 cm，12 cm的三根小木棒，其中有几根可以用作平行四边形的边？为什么？你自己动手搭一搭，如果一根小木棒可以用作这个平行四边形的一边，那么它的长度应在什么范围内？
【说明与建议】 说明：由问题入手，激起学生探究知识的积极性，增强学习数学的兴趣，从而进入最佳的学习状态．建议：教师引导学生寻找思路，接着提出需要研究的问题，引导学生把平行四边形问题转化为三角形问题，从而去探究平行四边形对角线的性质．
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命题角度1 利用平行四边形对角线的性质解决问题
1．如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，∠ODA＝90°，OA＝6，OB＝2，则AD的长是(D)
A．6 B．4 C．4 D．4
第1题图 第3题图
2．已知在 ABCD中，AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么 ABCD的面积为8．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1__cm
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，
∴BC－AB＝20.①
∵平行四边形ABCD的周长为80，
∴BC＋AB＝40.②
由①＋②，可得2BC＝60，
∴BC＝30.
命题角度2 平行四边形性质的综合运用
5．将 ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(5，2)，则顶点D的坐标是(C)
A．(4，3) B．(1，3) C．(1，2) D．(4，2)
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AE平分∠BAD，求证：AB＋CE＝AD.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE.
∴AB＋CE＝BE＋CE＝BC＝AD.
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课题 18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质 授课人
素养目标 1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
教学重点 平行四边形对角线性质的探究与应用．
教学难点 平行四边形对角线性质及其他性质的综合应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 如图，四边形ABCD是平行四边形，根据图中标注的数据，你能得到哪些结论？ 1.复习旧知识，为学习新知识及形成完整的知识结构奠定基础．2．训练学生的发散思维，引导学生快速进入积极思考的学习状态．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．上节课我们学行四边形边、角的性质，现在请大家在练习本上画一个 ABCD，然后根据这个图形回答边、角有什么性质．2．我们已经知道平行四边形的边、角之间的关系，那么平行四边形的对角线之间有什么样的关系呢？即：在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，那么OA与OC，OB与OD有什么关系？这节课我们就来继续研究平行四边形的性质． 回顾上一节课的知识，为本节知识的学习打下基础，同时又能激起学生探究知识的积极性，增强学习数学的兴趣，从而进入最佳的学习状态．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、探索平行四边形对角线的性质已知在 ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证．学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.有如下线段相等：OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC.证明中应用到“AAS”“ASA”．师生归纳：平行四边形的对角线互相平分．二、平行四边形对角线性质的证明已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC，OB＝OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC(平行四边形的对边相等)，AD∥BC(平行四边形的定义).∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO.∴△AOD≌△COB(ASA).∴OA＝OC，OB＝OD.总结：平行四边形的对角线互相平分．几何语言：如图，∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).师生活动：学生板书证明过程，教师给予指正． 1.自主探究，让学生感受到成功的喜悦，激发学生的学习兴趣．2．提示学生自己动手写出已知、求证，由于本证明过程对学生来说并不难，可把证明交给学生来做．等学生完成后，再出示规范的解题过程，然后进行比较纠错，这样可以培养学生的逻辑推理能力．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第44页例2)如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．【思路点拨】 根据平行四边形的性质即可得到BC和CD的长，根据AC⊥BC，在Rt△ABC中运用勾股定理即可得出AC的长，由OA等于AC的一半即可求出OA，S ABCD＝BC·AC.【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．根据勾股定理，得AC＝＝＝6.又∵OA＝OC，∴OA＝AC＝3，S ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.师生活动：学生独立书写证明过程，老师进行讲解，特别是证明的步骤．【变式训练】如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AM＝CN，∴OM＝ON.在△BOM和△DON中，∴△BOM≌△DON(SAS).∴∠OBM＝∠ODN.∴BM∥DN.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过不断鼓励学生思考、交流，帮助学生学会如何分析、如何严格地使用几何语言书写解题步骤，培养学生的逻辑推理能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(C)A.AO＝OD B．AO⊥ODC.AO＝OC D．AO⊥AB 第1题图 第2题图2．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是(B)A.4 B．3 C．2 D．13．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)A.4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm4．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：△AOE≌△COF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS).5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.(1)求证：OE＝OF；(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积之间有何关系？解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.∴△ABC≌△CDA(SAS).∴S△ABC＝S△CDA.由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF.又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？(2)利用平行四边形可以解决哪些问题？(3)你能就本节课给自己和同伴一个评价吗？2．布置作业：教材第49～51页习题18.1第3，14题． 归纳总结、拓展提升，鼓励学生从多角度出发谈收获，通过作业巩固对平行四边形性质的理解．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
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《平行四边形的判定》紧接《平行四边形的性质》一节，纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用．
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【情景导入】
有一块平行四边形的玻璃，不小心碰碎了一部分(如图)，聪明的维修师傅拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？
【说明与建议】 说明：学生从真实的生活中发现数学，根据学生的认知基础，学生会较快地回答出利用平行四边形的定义，这样不仅引入了新课，也激发了学生的学习兴趣．建议：对于情景题目，教师引导学生讨论回答，然后教师总结点评．借机与学生共同回顾定义的双重作用，即定义可以当性质用，也可以当判定用．引导学生思考除了利用平行四边形的定义，是否还有其他的判定方法，以此引入新课．
【置疑导入】
问题1：如图1所示，点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有几种？说明理由．
图1 图2 图3
问题2：将三角尺ABC的一边AC贴着直尺平移到三角形A1B1C1的位置(如图2)，这时四边形ABB1A1就是平行四边形，你能说明其中的道理吗？
问题3：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，用绳子顺次连接四个端点，得到如图3所示的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
【说明与建议】 说明：通过问题探究引入新课，培养学生的逻辑思维能力，激发学生学习的积极性．建议：对于问题1，课前可让学生预习平行四边形的判定方法，找几名同学口答并说明理由，然后师生共同纠错．对于问题2，先给学生几分钟独立思考和解决问题的时间，然后让学生发言，重在引导学生进行说理．可让学生尝试回答问题3.
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命题角度1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°.
∴∠DBE＝∠ABC.
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴AC＝DE.
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC.∴DE＝AF.
同理可得：EF＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．
命题角度2 利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形
2．下面给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是(B)
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA.
∴∠DAB＝∠DCB.
∵∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度3 利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS).
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
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课题 18.1.2 第1课时 平行四边形的判定1 授课人
素养目标 1.理解并掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法．2．灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题．3．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形的判定方法的探究，提高学生解决问题的能力．
教学重点 平行四边形的判定方法的探究、运用．
教学难点 平行四边形的判定定理的灵活应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 教师提出问题：问题1：平行四边形的定义是什么？平行四边形有哪些性质？根据图你能用符号表示吗？问题2：如图，在 ABCD中，BE∥DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥BC，即DE∥BF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形． 1.通过问题唤醒学生的记忆，巩固平行四边形的定义及性质，为突破本节难点做准备．2．教师借助问题2与学生共同回顾定义的双重作用，即定义既可以当性质用，也可以当判定用．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】复习回顾(多媒体展示)问题1：平行四边形的定义是什么？它有什么作用？问题2：平行四边形有哪些性质？问题3：你能说出平行四边形性质的逆命题吗？并判断它们的真假． 利用平行四边形的性质与判定之间的互逆关系，培养学生的正向思维和逆向思维，为平行四边形判定方法的进一步探索做好铺垫．
【探究新知】1．平行四边形性质的逆命题：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．猜想：这些命题可否成为平行四边形的判定方法？2．用动手实验的方式验证前面的猜想．实验一：学生以四人为小组进行活动，用课前发放准备好的两长两短的木条做成一个四边形．教师提问：1．将四根木条怎样摆放能拼接成平行四边形？2．转动这个四边形，使它的形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？实验二：将两根细木条中点重叠，用小钉钉在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形．教师提问：1．做成的这个四边形是一个平行四边形吗？2．转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？3．引导学生运用学过的知识从理论上证明实验结果．学生结合图形，写出已知和求证，并讲解其证明过程．(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：连接AC.∵AB＝CD，AD＝CB，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．总结：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)如图，在四边形ABCD中，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗？说说你的理由．解：四边形ABCD一定是平行四边形．理由如下：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．总结：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)如图，将两根细木条AC，BD的中点重叠，用小钉钉在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？说说你的理由．解：四边形ABCD一直是一个平行四边形．理由如下：∵AO＝CO，∠AOD＝∠COB，DO＝BO，∴△AOD≌△COB(SAS).∴AD＝CB.同理AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．总结：对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．师生活动：引导学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作，在此过程中，教师根据学生操作情况，适时指导．总结：平行四边形的判定定理判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 1.设计“观察—猜想验证—说理—抽象”这一过程，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，引导学生经历从实践活动中抽象出数学概念的过程，并将从实践中探索得到的结论再应用到实践中去．2.帮助学生体会转化的思想验证明的方法，即连接对角线将平行四边形问题转化成三角形问题．根据学生的认知水平，学生可能会在推理论证时遇到困难，教师应适当加以引导分析并规范书写推理论证的过程．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第46页例3)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．【思路点拨】 根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．【解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．【变式训练】如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.求证：四边形AFDE是平行四边形．证明：连接AD交BC于点O.∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO(AAS).∴OA＝OD，OB＝OC.∵BE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形AFDE是平行四边形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．培养学生运用判定定理解决问题的能力、发散思维能力、规范解题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A.88°，108°，88° B．88°，104°，108°C.88°，92°，92° D．88°，92°，88°2．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件AD∥BC(写一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形．3．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD.∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形． 4.如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形．证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25，∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°.∴∠PMO＝∠MON＝90°.在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2，解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3.∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，进一步提升学生发现问题、解决问题的能力．
课堂小结 1.课堂小结：(1)判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？(2)我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？这样的探索过程对你有什么启发？师生活动：多媒体展示问题，帮助学生从不同方面反思收获，组织学生大胆说出自己的体会．2．布置作业：教材第47页练习第1，2，4题；第50页习题18.1第4，5题． 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 平行四边形的判定2
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本节课的主要内容是从一组对边平行且相等的角度判定四边形是平行四边形，该判定方法是判定平行四边形方法的基础知识的延续，仍然是从逆命题的角度提出问题，发现结论，形成猜想，然后进行证明；这个逆命题可为我们以后判定特殊四边形打下基础．
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【情景导入】
观察下面两幅图片并思考问题．
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长度相等就可以了，你能说明理由吗？
【说明与建议】 说明：从实际生活出发通过实例引入新课，让学生感受数学来源于生活又服务于生活，激发学生学习的兴趣．建议：首先复习平行四边形的性质与判定，为本节课的学习扫清障碍．针对实际问题，教师可让学生进行合作探究，先将它转化为几何模型，再进行推理论证．
【置疑导入】
操作与探究：如图，在方格纸中，画出线段AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由．
【说明与建议】 说明：利用操作探究的方式引入本节课要研究的内容，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的好奇心和求知欲．建议：教师教学中要鼓励学生自主证明这个猜想，并鼓励他们从多角度思考问题、用多种方法去证明，以利于培养学生的发散思维能力、合情推理能力和严谨的逻辑表达能力．
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命题角度1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠D＝∠DCE，
∴AD∥BC.
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度2 平行四边形判定方法的灵活选用
2．如图，AD＝BD，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，求证：四边形DBCF是平行四边形．
证明：∵AE＝EC，EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴AD＝FC，AD∥FC，即BD∥FC.
又∵AD＝BD，∴BD＝FC.
∴四边形DBCF是平行四边形．
3．如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C，A，AD＝BC.求证：
(1)Rt△ACD≌Rt△CAB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)在Rt△ACD和Rt△CAB中，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL).
(2)∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题角度3 平行四边形的性质和判定的综合应用
4．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∴OE＝OF.
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课题 18.1.2 第2课时 平行四边形的判定2 授课人
素养目标 1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法．2．熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题．3．经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；学生能感受数学思考过程中的合理性，数学证明的严谨性；学会用辩证的观点分析事物．
教学重点 平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件能正确地选择判定方法．
教学难点 平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 教师提出问题：上节课我们学行四边形的判定方法有哪些？你能用符号表示吗？ 温故知新，为突破本节难点做准备，同时激发学生的学习热情．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】操作探究：取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？由此例提出大胆猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．你能证明这个结论吗？ 利用操作探究的方式引入新课，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】由上面的操作可猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．师生活动：教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).教师启发引导：这道题还可以这样证明．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴∠BCA＝∠DAC.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).教师引导学生进行方法总结：思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？符号语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．想一想：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？教师引导学生举出下面的反例即可：如图，AB＝CD，AD∥BC. 1.本环节注意给予学生充足的时间进行探究、发现；鼓励学生写出“已知”和“求证”，并思考证明思路及书写过程，从而提高学生解题的规范性．2．利用多种证明方法训练学生的发散思维，并使学生体会解题方法，连接对角线将四边形化为三角形，然后用证明三角形全等的方法解决四边形问题．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第47页例4)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．【思路点拨】 根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，EB∥FD.又∵EB＝AB，FD＝CD，∴EB＝FD.∴四边形EBFD是平行四边形．例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝CE.【思路点拨】 根据已知条件易证AB＝AD，再证明四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD＝CE，所以AB＝CE，问题得证．【解答】 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∵AD∥CE，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝CE.∵AD＝AB，∴AB＝CE.【方法归纳】 判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 1．设置例题帮助学生掌握平行四边形的判定方法，并会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与线段CD交于点E，F，且AE⊥BF.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AE⊥BF，∴∠EAB＋∠FBA＝90°.∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA.∴∠DAB＋∠ABC＝2(∠EAB＋∠FBA)＝180°.∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 2．通过变式训练培养学生的发散思维能力和逻辑思维能力．
【课堂检测】1．如图所示，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充条件(D)A.AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AB＝AD D．AD＝BC 第1题图 第3题图2．请你从下列条件：①AB＝CD，②AD＝BC，③AB∥CD，④AD∥BC中任选两个，使它们能判定四边形ABCD是平行四边形．共有4种情况符合要求．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，BC＝12 cm，则CD的长是7__cm．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∴∠CFD＝∠AEB.∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(ASA).∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求 ABCD的面积．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB(AAS).∴OD＝OB.∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵AC⊥BD，∴S ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝BD·OA＋BD·OC＝AC·BD＝24.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
活动四：课堂检测
课堂小结 1.课堂小结：(1)判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？(2)我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？师生活动：多媒体展示问题，帮助学生从不同方面反思收获，组织学生大胆说出自己的体会．2．布置作业：教材第47页练习第3题；第50页习题18.1第6，9题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
第3课时 三角形的中位线
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本节教材是在学生学完了三角形、四边形内容之后作为平行线等分线段、三角形和四边形知识的应用和深化．三角形中位线定理的推理、证明是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用．本节内容不是本章的重点和难点，但它是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习非常有用．在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到．因此，本节教材对知识起到了承前启后的作用．
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【置疑导入】
多媒体展示图片，观察思考：
问题1：图中的所有三角形有什么共同特征？
问题2：这个图是怎样画出来的呢？
【说明与建议】 说明：让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系，提高学生的学习兴趣．由此告知学生数学来源于生活的道理．建议：问题1由学生口答完成，在学生回答时教师应视情况辅导；对于问题2，由学生观察得出结论：连接三角形两边的中点得到；帮助学生形成三角形的中位线的初步印象，从而引出本节课题——三角形的中位线．
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命题角度1 利用三角形中位线定理解决问题
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠B＝50°，∠AED＝60°，则∠A的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是(D)
A．4 B．5 C．2 D．2
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
解：△PMN是等腰三角形．
理由如下：∵点P是BD的中点，点M是DC的中点，
∴PM是△DBC的中位线．∴PM＝BC.
同理可得，PN＝AD.
∵AD＝BC，∴PM＝PN.
∴△PMN是等腰三角形．
命题角度2 适当添加辅助线利用三角形的中位线定理解决有关问题
4．如图所示，在△ABC中，点D是BC边上的中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．
证明：延长CE交AB于点M，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠AEM＝90°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE.
在△MAE和△CAE中，
∴△MAE≌△CAE(ASA).
∴CE＝EM.
∵点D为BC的中点，
∴DE∥AB.
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
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课题 18.1.2 第3课时 三角形的中位线 授课人
素养目标 1.掌握三角形的中位线的概念和定理，能正确应用三角形中位线定理．2．经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形中位线定理解决有关问题．3．结合实际情况，进一步理解三角形中位线的概念和性质，培养学生的创造性思维．
教学重点 掌握并能运用三角形的中位线定理．
教学难点 三角形中位线定理的证明(辅助线的添加方法).
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间的距离了．这是为什么呢？本节课我们就来探究其中的学问． 创设联系生活实例的生活情景，巧用多媒体展示精美图片，激发学生的学习兴趣，引入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，图中线段DE是连接△ABC两边的中点D，E所得的线段，称线段DE为△ABC的中位线．思考：(1)一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？(2)画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同．(三角形的中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形的中线一端点是三角形的顶点，另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点)二、三角形的中位线与第三边的关系1．剪一个三角形，记为△ABC.2．分别取AB，AC的中点D，E，并连接DE.3．沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得到四边形DBCF(如图).思考：四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？问题1：要判定一个四边形是平行四边形，需具备什么条件？问题2：结合题目中的条件，你感觉选用哪一种方法好？为什么？若四边形DBCF是平行四边形，则DE与BC有什么位置关系和数量关系呢？学生猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．学生自主书写证明过程：证明：在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(SAS).∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴BD＝CF.∴四边形DBCF是平行四边形．∴DF∥BC，DF＝BC.∵DE＝EF，∴DE＝DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC.师生总结归纳：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．图形与符号语言：如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC.作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或. 1.这两个概念容易混淆，通过画图比较，巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯．2．通过对问题的逐层分析，把解决问题方案的范围逐渐缩小，最终确定出一个合理的方案．能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第48页探究)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE＝BC.【思路点拨】 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．【解答】 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF.∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA.∴CF平行且等于BD.∴四边形DBCF是平行四边形，DF平行且等于BC.又∵DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC.例2 (教材第49页练习第1题)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？【解答】 能画出三个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边形ADEF为平行四边形．【变式训练】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF，CE.(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)若∠ACB＝90°，CE＝5 cm，DE＝3 cm，求四边形DEFB的面积．解：(1)证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF＝3BF，∴BC＝2BF.∴DE＝BF.∴四边形DEFB是平行四边形．(2)由(1)，得DE＝BF＝3 cm，∴BC＝6 cm.∵点D是AC的中点，CE＝5 cm，∴AB＝10 cm.∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝8(cm)，CD＝AC＝4 cm.∴S四边形DEFB＝BF·CD＝3×4＝12(cm2).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1．引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．通过例题及变式训练强化三角形中位线定理的应用训练．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(B)A.150° B．120° C．60° D．30° 第1题图 第3题图2．已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，则连接各边中点的三角形周长为(D)A.2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，则DE的长为3．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连接DE.求∠BDE的度数．解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAF＝40°.又∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.∴△ABD≌△AFD(ASA).∴BD＝DF.∴∠ABF＝∠AFB＝50°.∴∠BFC＝130°.又∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE∥FC.∴∠BDE＝∠BFC＝130°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 检验学生对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度．运用所归纳的中位线的知识解决问题，提高学生解决问题的能力．
课堂小结 1.课堂小结：这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在练习本上．学生写完后，全班交流各自的收获和心得，教师及时点评、鼓励．2．布置作业：教材第49页练习第3题；第50～51页习题18.1第5，11题． 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
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本节课的内容是矩形的性质，是在学生学行四边形的性质与判定以及小学学过的长方形的基础上来学习的，它是平行四边形的性质的延伸，不仅为矩形判定的学习做铺垫，也为菱形、正方形的学习打下基础．学生通过对生活中的长方形的观察、思考、归纳、抽象得出矩形的定义和性质，这样的安排使学生易于接受抽象的定理，并能在学习过程中体会到探索的乐趣．
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【置疑导入】
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆等)，想一想：它们应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)
3．再次演示平行四边形的拉动过程，当拉动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，并引出本节课题及矩形的定义．
【说明与建议】 说明：通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，帮助学生体会矩形与平行四边形的区别和联系，感受由平行四边形变为矩形的过程，为研究矩形的性质做铺垫．建议：在展示平行四边形教具由平行四边形变为矩形的过程后让学生说出矩形的特征，尤其是矩形具有而平行四边形不具有的特殊性质．
【复习导入】
已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片(如图)，观察图中有哪些图形是矩形，你能说说为什么吗？
【说明与建议】 说明：通过对平行四边形性质的复习，巩固所学的知识，并利用生活中的矩形图片引入新课．建议：为了给学生直观的印象，利用课件或实物展示一下由平行四边形变形得到矩形的过程会更好．在选择图片时尽可能选择学生熟悉的，也可以利用教室中可以看到的实物，比如：黑板、门、窗等．
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命题角度1 利用矩形的性质计算线段的长度或角的度数
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
第1题图 第2题图
2．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE.若CD＝6，AE＝10，则AD的长为(B)
A．12 B．14 C．16 D．20
命题角度2 利用矩形性质解决证明问题
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS).
∴AE＝CF.
命题角度3 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题．
4．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是(D)
A．10 B．2 C．8 D．2
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黄金矩形
黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的0.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．蒙娜丽莎的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局．
给定一条线段，如何把它分割成黄金分割比呢？古希腊人的方法是先作出一个黄金矩形(即其长与宽的比恰好为黄金分割比)：先作一个边长为1的正方形ABCD，并连接一组对边的中点E，F，把正方形按如图所示左右均分，再以点F为圆心，FC的长为半径画弧，交FD的延长线于点G，过点G作垂线，交EC的延长线于点H.
此时得到的矩形DCHG就是黄金矩形了，而(利用毕氏定理)有了黄金矩形后，任何学过基本几何作图的人，都会把一条段线分成黄金分割比了．
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课题 18.2.1 第1课时 矩形的性质 授课人
素养目标 1.掌握矩形的概念和性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算．2．探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与联系．3．通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
教学重点 掌握矩形的性质定理．
教学难点 利用矩形的性质进行证明和计算．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】我们已经学行四边形的性质和判定，现在我们来研究特殊的平行四边形的性质和判定，我们从矩形的性质开始研究．你能举出一些生活中形状为矩形的实际例子吗？下面给大家介绍一下工人制作窗框的过程．1．先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图，使AB＝CD，EF＝GH.2．摆成四边形(如第2个图)，这时窗框的形状是平行四边形，依据的数学道理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3．将直角尺紧靠窗框的一个角(如第3个图)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是矩形，依据的数学道理是：有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．特殊的平行四边形有哪些？它们具有平行四边形的性质吗？我们知道，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们不仅具有平行四边形的性质，而且还有各自特殊的性质，本节课开始我们来研究特殊的平行四边形的性质． 复习旧知识引出新课，强调四边形的不稳定性．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】一、矩形的性质演示几何画板课件，引导学生观察图形变化，回答问题：1．当 ABCD变为矩形时，它的四个角和两条对角线有什么变化？2．当矩形的大小不断变化时，前面发现的结论是否仍然成立？猜想矩形具有什么特殊的性质，怎样证明你的猜想？矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°(矩形的四个角都是直角).已知：在矩形ABCD中，∠A＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等．已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC＝BD.分析：欲证AC＝BD，可证AC，BD所在的三角形全等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°.∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的对角线相等).二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半议一议：1．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的数量关系？为什么有这样的数量关系？2．在这里，我们可以从矩形的对角线的性质得到关于直角三角形的一个性质，应当怎样叙述这个性质？问题：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”，又根据矩形的性质“对角线相等”，你能得到AO＝CO＝DO＝BO吗？可以．由此得到：AO＝CO＝BD，DO＝BO＝AC.OC为Rt△BCD的中线，从而得到关于直角三角形的一个性质，即：矩形的性质定理2的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．符号语言：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB.(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 1.注重学生的自主探究，通过自主探究获得新知，体验成功的喜悦．2．给学生留下充分的探究时间和空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第53页例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．【思路点拨】 因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此可求对角线的长度．【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∵∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 1．设置例题帮助学生掌握矩形的性质，并会运用矩形的性质来解决问题．
活动三：开放训练、体现应用 【方法归纳】应用矩形性质计算的一般思路：①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常用的思路；②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果DE＝5 cm，求HF的长．【思路点拨】 由中位线定理可知DE＝AC，即可求出AC的长度，又因为HF是Rt△AHC斜边上的中线，即可求出HF的长度．【解答】 由题意可得，DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC.∵HF是Rt△AHC的斜边AC上的中线，∴HF＝AC.∴HF＝DE＝5 cm.【变式训练】如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．(1)求证：DE⊥MN；(2)若BC＝26，MN＝10，求DE的长．解：(1)证明：连接DM，DN.∵BN，CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB.∴∠BMC＝∠CNB＝90°.∵点D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC.∴DM＝DN.∵点E是MN的中点，∴DE⊥MN.(2)∵BC＝26，∴DM＝BC＝13.∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5.由勾股定理，得DE＝＝12.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 2．应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在下面的性质中，矩形不一定具有的是(D)A.对角线相等 B．四个角都相等C.是轴对称图形 D．对角线互相垂直2．在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是(A)A.6 B．4 C．8 D．123．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点．若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为(C)A.7 cm B．8 cm C．9 cm D．12 cm 第3题图 第4题图 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数为(D)A.60° B．62.5° C．65° D．67.5°5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为4．6．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB.证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA(AAS).∴DF＝AB.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：今天我们学了哪些内容？想一想：一般四边形与平行四边形之间的关系是怎样的？在如图所示的圆圈中填上“四边形”和“平行四边形”．如果在图中再画一个圈表示矩形，这个圈应画在哪里？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对称轴．2．布置作业：教材第53页练习第1，2，3题；第61页习题18.2第9题． 课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
第2课时 矩形的判定
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本节课主要研究矩形的判定方法，它不仅是本节的重点，也是以后学习正方形和圆等知识的基础，通过观察试验、归纳证明，培养学生的推理能力和演绎能力，为学习其他特殊平行四边形提供了相应的研究方法和学习策略，对后续学习至关重要．
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【置疑导入】
小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他制作的是矩形相框吗？看看谁的方法可行．
【说明与建议】 说明：通过对矩形定义的复习，进一步感受什么是矩形，进而明确定义是判定的重要依据，在此基础上通过问题：还有没有别的条件也能证明一个四边形是矩形呢？引导学生思考利用其他的条件证明矩形的方法．建议：首先师生一起回顾矩形的定义，重点强调概念中的两个要素，并强调定义是最基本的判定方法．而后提出问题：是否还有其他的判定方法？是否可类比平行四边形的判定方法呢？问题提出后给学生一定的思考时间，针对个别学生可以给出适当的引导．
【情景导入】
一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？
【说明与建议】 说明：通过实际问题引发学生的思考，同时让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用．建议：可以给学生充足的时间进行思考、交流，以便学生更好地理解矩形的判定方法．
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命题角度1 考查判定矩形的条件
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(D)
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是∠ABC＝90°(答案不唯一)．(写出一种即可)
命题角度2 根据矩形的判定定理进行相关的证明
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E.求证：四边形ADBE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠BAF.
∵∠BAC＋∠BAF＝180°，
∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°.
又∵BE∥AD，
∴∠DBE＝∠ADC＝90°.
∴四边形ADBE是矩形．
4．如图，在 ABCD中，延长BC至点F，使CF＝BC，连接AF，交CD于点E.
(1)求证：DE＝CE；
(2)连接BE，当AF＝2BE时，求证：四边形ABCD是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠F.
∵CF＝BC，
∴AD＝CF.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴DE＝CE.
(2)由(1)可知，△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF.
∵AF＝2BE，
∴△ABF是直角三角形，∠ABC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
命题角度3 矩形的判定定理在实际生活中的应用
5．工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
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课题 18.2.1 第2课时 矩形的判定 授课人
素养目标 1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法．2．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力．3．使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
教学重点 能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明．
教学难点 灵活运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？2．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？矩形与平行四边形及四边形的从属关系是什么？教师出示问题，引起学生的思考，并点拨分析矩形与平行四边形及四边形的从属关系． 建立新旧知识之间的连接，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？ 通过实际问题引发学生的思考，同时让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用．
【探究新知】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？学生猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出规范的证明过程．矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB.求证： ABCD是矩形．学生观察、思考后尝试证明判定定理．教师引导学生证明结论．证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∵AC＝DB，BC＝CB.∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝90°.∴ ABCD是矩形． 提示：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)有一个角是90°的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．证明：如图，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．师生活动：先让学生独立思考，或与同伴交流，再请学生阐述自己的想法．培养学生勇于表达、善于表达、乐于表达自己思想的能力． 通过探究活动为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识．
活动二：实践探究、交流新知
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第54页例2)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．【思路点拨】 先证明 ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数．【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.又∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.【方法归纳】 判定矩形的基本思路：①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等． 引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 知识的综合与拓展，提高学生的应考能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是AC＝BD(答案不唯一)．(写出一个条件即可) 第1题图 第2题图2．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠AOB内一个动点P到这个角两边距离之和为5，则图中四边形AOBP的周长是10．3．已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．4.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：AD＝CN；(2)若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM.在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN(ASA).∴AD＝CN.(2)∵AD∥CN，AD＝CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN＝90°，即∠DAN＝90°，∴四边形ADCN是矩形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)今天我们学了哪些内容？(2)一种学习方法；两个猜想证明；三种判定方法．方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．2．布置作业：教材第60页习题18.2第1，2，3题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
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“菱形”是继“四边形”“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．通过探索和证明菱形的特殊性质可以让学生体会证明的必要性并进一步丰富对图形的认识和感受．
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【置疑导入】 问题：在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？它是什么图形呢？它有什么性质呢？
运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移的过程，让学生观察图形的变化．
【说明与建议】 说明：通过提问可使学生的注意力集中起来．建议：让学生通过观察图形的变化，从而引导学生探寻菱形的性质．
【归纳导入】
如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否仍然是平行四边形？当相邻两边长度相等时停止移动，此时的四边形与原平行四边形有什么不同？
归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【说明与建议】 说明：通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例，为菱形性质及定义的得出做好铺垫．建议：在得到菱形定义的时候要抓住两个关键点．一是平行四边形，二是一组邻边相等．
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命题角度1 菱形的性质
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为(B)
A．30° B．40° C．50° D．60°
第1题图 第3题图 第5题图
2．菱形ABCD的两条对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，那么菱形的边长是(B)
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．8 cm
3．两个相同的菱形按如图所示的方式拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为60°.
命题角度2 菱形的面积
4．已知菱形ABCD的面积为96 cm2，对角线AC的长为16 cm，则此菱形的边长为(D)
A．20 cm B．14 cm C．3 cm D．10 cm
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为12．
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中国传统纹样——菱形纹
菱形纹在中国传统装饰纹样中有着悠久历史，