人教版数学八年级下册 第十九章 一次函数 教案（全章）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 第十九章 一次函数 教案（全章） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-17 16:35:01 | ||
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文档简介
第19章 一次函数
19．1 函数
19．1.1 变量与函数
第1课时 变量
第2课时 函数
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本节的主要内容是理解变量与函数的概念．函数是研究客观世界变化规律的重要模型，它实现了从常量到变量的转变，解释了现实生活中数量关系之间相互依存和变化的实质．函数的学习对学生思维能力的发展具有重要的意义．本节是学习正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的基础．学好本节知识为学习正比例函数、一次函数起着铺垫作用．因此，它是初中数学的一个重要内容．
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【情景导入】
你知道比萨斜塔吗？你听说过发生在那里的“两个铁球同时落地”的故事吗？站在比萨斜塔顶部，让两个铁球自由下落，在铁球下落的过程中，随着时间的变化，铁球下落的速度是怎样变化的？铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化．这就是我们今天要学习的内容．
【说明与建议】 通过学生熟悉的生活情景引入新课，激发学生的学习兴趣．建议：把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出了概念的形成过程，学生通过观察、思考、分析、归纳，把握概念的本质特征．
【置疑导入】
1．如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过程，你注意到了什么变化？
变化的量：小球在斜坡上滚动的路程s，小球离起点的水平距离x，小球离水平面的高度y.
不变的量：斜坡高度，斜坡长度，斜坡水平长度等．
2．请出两位同学，一位同学拿弹簧秤，另一位同学在弹簧秤上加砝码．(指出：弹簧秤的原长固定)
仿照1题的分析，在这个问题中变化的量有哪些？不变的量有哪些？
变化的量之间又有怎样的关系呢？今天我们就来研究这些问题．
【说明与建议】 选择学生所熟悉的物理实验，通过观察实验，提出问题．学生通过动手实验，既可以提高学习的兴趣，又可以发现问题，即如何从数学的角度来刻画这些变化，从而引出课题．建议：教师通过课件创设情境，引导学生对两个问题进行分析，并归纳总结变量与常量的概念，进而启发他们关注这两个量的关系．
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命题角度1 判断实际变化过程中的常量和变量
1．对于圆的周长公式C＝2πr，下列说法正确的是(D)
A．C是变量，2，r是常量 B．r是变量，C是常量
C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2，π是常量
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这个问题中，变量是时间和骆驼的体温．
命题角度2 利用函数的定义判断变量间的函数关系
3．下列关系式中，y不是x的函数的是(C)
A．y＝x4 B．y＝6x2＋5 C．|y|＝x D．y＝
命题角度3 确定自变量的取值范围
4．函数y＝中，自变量x的取值范围是(A)
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x>2
5．函数y＝－3中，自变量x的取值范围是(A)
A．x≥0 B．x≥ C．x≤2 D．x>0
6．函数y＝中，自变量x的取值范围为x≥－7且x≠－1．
命题角度4 列函数解析式
7．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟(不到1分钟按1分钟计算)加收0.5元，当t≥3时(t为整数)，电话费y(元)与通话时间t(分)之间的关系式为y＝0.5t＋0.3(t≥3)．
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数学世家的光荣——函数的出现
17世纪，在瑞士的巴塞尔有一个祖孙五代数学家成员数十人的家族——贝努利家族，其中最著名的是雅各、约翰、丹尼尔．
欧拉从12岁起，就是这个家族成员的好朋友．他和同龄人尼古拉、丹尼尔结识，成为终生盟友，这两位兄长给欧拉讲了许多有趣的数学故事，吸引了他那颗幼小好奇的心灵，使欧拉从小立志，将来能像贝努利家族成员一样，腾飞于数学长空.1720年，13岁的欧拉在约翰·贝努利教授的推荐下成为巴塞尔大学的学生，从此他在约翰·贝努利的指导下迅速成长．欧拉成了贝努利家庭的一个成员，被世人传为佳话．
函数是中学数学中最重要的概念之一，函数概念产生于300年前．笛卡儿引入了坐标系，使数学发生了巨大变革，但他没用变量这个词．
在数学上使用变量这个词最早的是欧拉的老师约翰·贝努利，他给函数下了这样的定义：“所谓变量的函数，就是变量与常量组成的表达式”．
1775年，欧拉在《微分学》中给出了我们教科书中的定义．
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课题 19.1.1 第1课时 变量第2课时 函数 授课人
素养目标 1.结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念以及自变量的意义．2．在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量，并判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．3．学会探索具体问题中的数量关系和变化规律．
教学重点 了解常量和变量的意义、函数的概念，求函数自变量的取值范围．
教学难点 求函数自变量的取值范围．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的推移而变化，气温随海拔而变化，树随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．我们就来探究这些变化中的数量关系和变化规律． 利用学生熟悉的场景导入，能自然、贴切地引入常量与变量的概念．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】生活中我们常常会遇见许多量，这些量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例(大屏幕显示).指出下列问题中变化的量和不变的量：(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km.(2)每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元．(3)圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？(4)如图，用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？在矩形改变形状的过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？师生活动：在上述四个实例的解决过程中，体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳．归纳：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量，有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量，如：60，π；而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量．你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量和常量吗？试一试！【探究2】 问题引申，探索函数的概念问题1：在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间有什么联系？问题2：这些变化过程中，变量之间的关系有什么共同特点？问题3：下面是中国代表团在第23届至31届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？届数x/届232425262728293031金牌数y/枚15516162832513826问题4：下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？师生活动：小组活动，合作讨论，然后进行交流．学生分析：s和t两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t的每一个确定的值，变量s都有唯一确定的值和它对应，如t＝1时，s＝60；t＝2时，s＝120等．对于其他问题，都有着这样一个规律：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应．师生共同总结函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 1.常量与变量的概念是本节的重点．教学中以一个个与学生生活相关的问题作为探究的形式把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出概念的形成过程．学生通过观察、思考、分析、归纳，有助于学生把握概念的本质特征．特别是“常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的”这一结论的得出，突出了重点．2.引导学生初步明确：分别可以用解析式、表格、图象等形式表示变量之间的关系．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 写出下列各问题中的函数解析式，并指出其中的变量和常量：(1)橘子每千克的售价为1.8元，小王购买x 千克橘子，所付金额为y元；(2)一个盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，记流水时间为t小时，水箱中的剩余水量为y吨；(3)圆形水波面积不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S；(4)直角三角形中两锐角的度数之和为90°，记一个锐角的度数为α°，另一个锐角的度数为β°.解：(1)y＝1.8x.变量为x，y；常量为1.8.(2)y＝30－0.5t.变量为t，y；常量为30，0.5.(3)S＝πr2.变量为r，S；常量为π.(4)β＝90－α.变量为α，β；常量为90.例2 (教材第73～74页例1)汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x.(2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.(3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．【变式训练】1．写出下列各问题中的变量和常量：(1)全班共50名同学，有a名男同学，b名女同学；(2)汽车以60 km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km.解：(1)a，b是变量，50是常量．(2)s，t是变量，60是常量．2．等腰三角形ABC的周长为10 cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)求自变量x的取值范围．解：(1)∵等腰三角形ABC的两腰相等，周长为10，∴2x＋y＝10.∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋10.(2)∵两边之和大于第三边，∴2x＞y.∴2x＞－2x＋10，即x＞2.5.∵y＞0，∴－2x＋10＞0，即x＜5.∴自变量x的取值范围是2.5＜x＜5.师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时给予回答正确的同学以肯定． 1.通过例题讲解，加强学生对变量和常量的理解，并能从实际问题中列出函数关系式．2.通过例题教学，规范学生的语言表达能力及其书写格式．3．通过变式训练，学生进一步巩固相关知识．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列解析式中，y不是x的函数的是(B)A.y＝x B．|y|＝2x C．y＝2x D．y＝x2＋42．要画一个面积为20 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量为(A)A.常量为20，变量为x，y B．常量为20，变量为xC.常量为20，x，变量为y D．常量为x，y，变量为203．求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y＝2x＋4；(2)y＝2x2；(3)y＝；(4)y＝.解：(1)x为全体实数．(2)x为全体实数．(3)x≠2.(4)x≥3.4.据测定，海底扩张的速度是很缓慢的．在太平洋海底，某海沟的某处宽度为100 m，两侧的地壳向外扩张的速度是每年6 cm，假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x年，海沟该处的宽度为y m．(1)写出海沟该处的宽度y(m)与海沟扩张时间x(年)之间的函数关系式；(2)你能计算出海沟该处宽度扩张到400 m需要多少年吗？解：(1)根据题意，得y＝0.06x＋100.(2)当y＝400时，0.06x＋100＝400，解得x＝5 000.答：海沟该处宽度扩张到400 m需要5 000年．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过当堂检测，学生进一步巩固新知，及时检测其学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景．(2)判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应．(3)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义．2．布置作业：(1)教材第74～75页练习第1，2题．(2)教材第81～82页习题19.1第1，2，3题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象及其画法
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本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习从函数图象上获取信息和函数图象的画法，初步讨论函数的变化规律和变化趋势．同时这节课对于学习函数、培养学生的探索能力、拓展学生的空间想象力都有十分重要的意义．
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【情景导入】
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个细口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中(如图)，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，高兴地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下列选项中能大致表示上面故事情节的图象是(B)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
【说明与建议】 说明：利用学生非常熟悉的故事创设问题情境，激发学生学习兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法．建议：通过探究函数图象的一系列问题，使学生充分认识图象，从图象中获取信息，理解图象的实际含义，直观感受数形结合解决这类问题的价值，为后面学生自主解决函数图象问题做好铺垫．
【置疑导入】
我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化．从数学的角度探究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来．观察下图，你能大致地描述男、女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能预测自己18岁时的身高吗？
【说明与建议】 通过设置连续的具有启发性的提问，加上学生熟悉的问题情境引入新课，激发学生的学习兴趣，同时使学生明确本节课所要解决的主要问题．建议：教师教学时着重引导学生如何获取知识、探究新知识，教学中学生自主探究，教师补充释疑．
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命题角度1 点在函数图象上
1．下列四个点中，在函数y＝－x－1的图象上的点是(B)
A．(3，0) B．(－3，0) C．(－2，3) D．(0，－3)
命题角度2 画函数图象
2．在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象．
(1)y＝x＋1；(2)y＝.
解：(1)列表：
x … －2 －1 0 1 …
y … －1 0 1 2 …
描点、连线，如图所示：
(2)列表：
x … －2 －1 1 2 …
y … －1 －2 2 1 …
描点、连线，如图所示：
命题角度3 根据问题情景，确定函数图象
3．小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“花溪十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是(A)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
命题角度4 观察函数图象，获取信息解决相关问题
4．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的路程是1__500米，小红在商店停留了4分钟；
(2)在小红骑车去舅舅家的途中，最快的骑行速度是450米/分；
(3)本次去舅舅家的行程中，小红共骑行了多少米？一共用了多少分钟？
解：小红共骑行了1 200＋600＋900＝2 700(米)，共用了14分钟．
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课题 19.1.2 第1课时 函数的图象及其画法 授课人
素养目标 1.会用描点法画出函数的图象，能说出画函数图象的步骤．2．会判断一个点是否在函数图象上．3．经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．4．会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律．
教学重点 函数图象的意义及画法，从图象中获取信息．
教学难点 通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到用不同方法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 什么是常量？什么是变量？什么是函数？ 通过复习前面所学的内容，引出本节要学习的内容．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】信息1：如图是一张心电图．信息2：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T(℃)如何随时间t(时)的变化而变化，你从图象中得到了哪些信息？ 用学过的图，可加强学生对新旧知识的理解．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 函数的图象．我们先来看这样一个问题：正方形的边长x与面积S的关系是S＝x2．其中自变量x的取值范围是x>0．阅读教材第75页，独立完成下面的问题．画函数S＝x2(x>0)的图象．第一步：列表：x00.511.522.53…S00.2512.2546.259…第二步：描点：以x的值为横坐标，相应S的值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．第三步：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来．注意：原点要排除，从所画的图象上可以看出，曲线从左向右上升，即当x由小变大时，S随x的增大而增大．归纳：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．师生活动：学生思考，表示x与S的对应关系的点有多少个？如果全在坐标纸上描出的话是什么样子．画图象取点时要让学生发现：这样的点有无数个，如果全描出来的太麻烦，也不可能，我们只能描出其中的一部分，然后想象出其他点的位置，用平滑的曲线连接起来．【探究2】 我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？(1)判断下列各点是否在函数y＝x＋0.5的图象上．①(－4，－4.5)；②(4，4.5).(2)判断下列各点是否在函数y＝(x>0)的图象上．①(2，3)；②(4，2).【探究3】 用描点法画函数的图象．要做一个面积为8 m2的长方形小花坛，该花坛的长为x m，宽为y m．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；(2)你能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出这个函数的图象吗？解：(1)由函数的定义可知，y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．(2)这个问题的函数解析式为y＝．(3)列表：x/m123456y/m842(4)描点、连线，如图所示：归纳：画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法．师生活动：教师展示解题过程，全班讲评．在画图象时，可能有的同学忘记自变量的取值范围，教师在此处要注意强调． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2.引导学生领会和掌握图象的意义，培养学生的观察、归纳、概括等探究能力．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第76～77页例2)如图1所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 图1 图2根据图象回答下列问题：(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2)小明吃早餐用了多少时间？(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8 min.(2)由横坐标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17 min.(3)由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3 min.(4)由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30 min.(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，小明从图书馆回家用了10 min，由此算出平均速度是0.08 km/min.例2 (教材第77～78页例3)在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．画出这些函数的图象：(1)y＝x＋0.5；(2)y＝(x＞0).解：(1)①列表(计算并填写表中空格).x…－3－2－10123…y…－0.50.51.52.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．(2)y＝(x＞0).①列表(计算并填写表中空格).x…0.511.522.533.5456…y6321.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．【变式训练】1.某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速按一定的速度匀速增大，经过荒漠地时，风速增大得比较快．一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴经过防风林时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图是风速v与时间t之间函数关系的图象．结合图象回答下列问题：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？(2)从图象上看，风速在哪一个时间段增大得比较快，风速每小时增加多少？(3)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？(4)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减小多少？解：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了41.2小时．(2)风速从5～12小时这个时间段增大得比较快，风速每小时增加＝4(千米).(3)风速在12～26小时这个时间段保持不变，经历了14小时．(4)风速每小时减小＝2.5(千米).2.在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝x2的图象．解：列表：…－2－1012……202…描点、连线，如图．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.设置典型例题巩固新知，帮助学生掌握从图象中获取信息，学会画图象．2.通过变式训练，学生进一步巩固新知，突破重难点．通过综合应用知识讲题，，提高学生的应考能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是(C)2．如图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是(C)A.凌晨4时气温最低，为－3 ℃B.14时气温最高，为8 ℃C.从0时至14时，气温随时间增长而上升D.从14时至24时，气温随时间增长而下降 第2题图 第3题图3．小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小军离家的路程y(m)和所经过的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(D)A.小军家与超市相距3 000 mB.小军去超市途中的速度是300 m/minC.小军在超市逗留了30 minD.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快4．画出函数y＝2x－1的图象．(1)列表：x…－101…y…－3－11…(2)描点、连线：(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上．(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求m的值．解：(2)如图．(3)点A，B不在图象上，点C在图象上．(4)m＝5.5.(1)画出函数y＝－的图象；(2)从函数图象观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？解：(1)列表：x…－8－4－2－11248…y…1248－8－4－2－1…描点、连线，如图．(2)当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而增大．6.在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境． ① ② ③情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．1)情境a，b所对应的函数图象分别是③①(填写序号)；(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．解：小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：(1)通过分析函数图象获取信息，体现了数形结合思想．(2)学生尝试小结：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？2.布置作业：(1)教材第79页练习第1，2，3题．(2)教材第82～84页习题19.1第8，9，13题． 回顾反思，找出差距与不足，形成知识体系．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 函数的三种表示方法
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本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用．掌握函数的三种表示方法以及根据各自的特点灵活运用是本节课的教学重点．函数的三种表示方法不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题必须涉及的知识，而且能够加深对函数概念的理解．函数的三种表示方法可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现．
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【情景导入】
提出问题
实验演示：倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑的过程．
小车沿斜坡下滑，下滑速度与下滑时间的关系如图所示．
1．填写下表：
t(秒) 1 2 3
v(米/秒)
2.写出v与t之间的函数解析式．
探究新知
通过探究此题，我们知道可以用列表格、写式子和画图象来表示函数关系．讨论：你认为这三种表示方法各有什么优缺点？
【说明与建议】 说明：通过实验演示，创设问题情境，激发学生从中发现数学问题，建立模型，引起思考．建议：教师教学中鼓励学生积极探究、大胆发言，教学时可分组活动，学生先独立思考，然后组内交流并进行记录，最后各组选派代表汇报．
【复习导入】 我们在上节课已经亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数．
问题：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．
1．请你用含t的式子来表示s.
2．提出问题：自变量t的取值范围是什么？
完成下列表格：
t(时) 0 1 2
s(千米)
3.以横轴表示时间，每1小时为1个单位长度，纵轴表示路程，每60千米为1个单位长度．在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象．
请同学们思考一下：从前面的例子看，你认为函数的表示方法有哪些？这些方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容．
【说明与建议】 说明：教师引导学生从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面总结归纳函数三种表示方法的优缺点．建议：教师出示问题，学生自主思考，教学中一定要鼓励学生积极探索，并注意点拨，从出示的例题可以看出函数的三种不同表示法可以相互转化．
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命题角度1 利用表格解决函数问题
1．父亲告诉小明，温度与海拔有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔/km 0 1 2 3 4 5 …
温度/℃ 20 14 8 2 －4 －10 …
下列有关表格的分析中，不正确的是(D)
A．表格中的两个变量是海拔和温度 B．自变量是海拔
C．海拔越高，温度就越低 D．海拔每增加1 km，温度升高6 ℃
命题角度2 利用解析式法解决函数问题
2．临近春夏换季，某款卫衣的售价为每件300元，现按售价的七折进行促销，设购买x件该款卫衣一共需要y元，则y与x之间的函数关系式为(D)
A．y＝0.7x B．y＝300x C．y＝30x D．y＝210x
3．某商店销售一批玩具，其收入y(元)与销售数量x(个)之间有如下关系：
销售数量x(个) 1 2 3 4 …
收入y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …
则收入y与销售数量x之间的函数关系式为(A)
A．y＝8.3x B．y＝8x＋0.3 C．y＝8＋0.3x D．y＝8.3＋x
命题角度3 利用图象解决函数问题
4．某天小明约同伴去篮球场打球，已知小明家、超市、篮球场依次在同一条直线上，家到超市、超市到篮球场的距离分别为400 m，600 m．他从家出发匀速步行8 min到超市购物，停留4 min，然后匀速步行6 min到篮球场，设小明离超市的距离为y m，所用时间为x min，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
5．如图1，在某个底面积为20 cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象，则水流速度是cm3/s.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(图1)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(图2))
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科学家如何测算岩石的年龄
科学家如何测算岩石的年龄呢？
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为镭的放射规律的函数图象．
由图象我们可以发现：镭的质量由m0，缩减到m0需要1 620年，由m0缩减到m0需要3 240－1 620＝1 620(年)，由m0缩减到m0需要4 860－3 240＝1 620(年)，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量——1 620年．一般把1 620年称为镭的半衰期．
实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为45.6亿年，衰变后的铀最后成为铅，因此，科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以算出这块岩石原来的含铀量，进而利用半衰期算出从原来的含铀量到现在的含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄．据此测算出地球上最古老的岩石的年龄约为30亿年．
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课题 19.1.2 第2课时 函数的三种表示方法 授课人
素养目标 1.运用丰富的实例理解函数的三种表示方法，并了解三种表示方法的优缺点．2．通过作图、交流、归纳等数学实践活动，提高把实际问题转化为数学问题的能力．3．通过实际操作，体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣．
教学重点 掌握函数的三种不同表示方法，知道其优缺点．
教学难点 帮助学生感受用列表法、解析式法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题：如图，要修建一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为x m，周长为y m．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量x的取值范围；(2)能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出函数的图象吗？ 解：(1)y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.(2)能，y＝2(x＋).(3)列表如下．x/m123456y/m2616141414.816(4)描点、连线，画函数图象如图． 温故知新，为抓住本节重点，突破难点做知识储备，为本课的学习提供迁移或类比方法．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】在上题中我们亲自动手用列表格、写式子和画函数图象的方法表示了一个函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．思考一下，从这个例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容． 直接引入，简单明了，引导学生明确本节课研究的重点内容，激发学生的求知欲．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 思考下面的问题问题1 有一根弹簧原长10 cm，每挂1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm.设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表：m/kg01233.5…l/cm受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？问题2 有一辆出租车，前3千米内的起步价为8元，每超过1千米收2元，有一位乘客坐了x(x>3)千米，他付费y元．用含x的式子表示y，y是x的函数吗？问题3 如图所示的是某地某一天的气温变化图．气温与时间是函数关系吗？从前面所见到的或自己举的例子可以看出：函数有三种表示方法，分别为列表法、解析式法和图象法．你认为函数的三种表示方法各有什么优缺点？根据自己的想法填下表：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法×√√×解析式法√√××图象法××√√师生活动：学生认真完成3个问题，并互相交流，教师要让学生注意区分函数的三种表示方法，同时强调有时为了需要可能采用多种表示方法． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考后获得的结果．2.引导学生认识函数的三种表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道函数三种表示方法之间可以转化．
教学步骤 师生活动 设计意图
【探究2】 由函数图象分析函数的性质师生活动：利用开始提出的问题，教师引导学生归纳总结函数的性质．函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下表：图象特征函数变化规律由左至右曲线呈上升状态 y随x的增大而增大由左至右曲线呈下降状态 y随x的增大而减小曲线上的最高点是(a，b) x＝a时，y有最大值b曲线上的最低点是(a，b) x＝a时，y有最小值b
活动三：开放训练、体现应用
解：(1)如图1，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
图1 图2
1.通过例题教学让学生对知识的认识从感性上升到理性，同时规范解题的思路和书写格式．2.感受所学知识在实际中的用途，培养学生应用数学的意识．3.通过变式训练进一步巩固本节课知识，让学生继续感受函数图象体现出的函数关系的特点，明确图象上每一个点的实际意义：每个点都对应一对自变量和相应的函数值，每一条线都体现了函数和自变量这两个变量之间的变化关系，是数形结合的完美体现．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为(A)A．y＝10x＋30 B．y＝40xC．y＝10＋30x D．y＝20x2.一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：支撑物高度h/cm1020304050607080小车下滑时间t/s4.233.002.452.131.891.711.591.50下列说法错误的是(C)
教学步骤 师生活动 设计意图
A．当h＝50 cm时，t＝1.89 s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小C．h每增加10 cm，t减小1.23 s D．随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快3.购买某型号汽油的金额y(元)关于数量x(L)的函数图象如图所示，那么这种汽油的价格是每升5.09元．4.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y(米)关于时间x(时)的函数解析式为y＝6＋0.3x(0≤x≤5).5．声音在空气中传播的速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间的关系如下表所示：气温x(℃)05101520音速y(m/s)331334337340343从表中可知，音速y随气温x的升高而加快，在气温为20 ℃的一天召开运动会，某人看到发令枪冒出的烟0.2 s后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点68.6m.6.某校办工厂年产值是15万元，计划以后每年增加2万元．(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数解析式，并画出函数图象；(2)估计5年后该工厂的产值．解：(1)y＝15＋2x(x≥0)，函数图象如下：(2)当x＝5时，y＝15＋2×5＝25.答：估计5年后该工厂的产值为25万元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：学生尝试小结：本节课你学到了什么？2.布置作业：(1)教材第81页练习第1，2，3题．(2)教材第83页习题19.1第10，11，12题． 通过课堂小结的形式，帮助学生对本课时内容进行整理．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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19.2 一次函数
19．2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
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学生在本节课之前已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例的概念．再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从、互相制约的关系，初步引出正比例函数的概念．因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点．因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解．
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【情景导入】
《阿甘正传》是一部励志影片，片中阿甘曾跑步绕美国数圈．假设他从德州到加州行进了21 000千米，耗费了他150天的时间，(1)阿甘大约平均每天要跑步多少千米？(2)阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系？(3)阿甘一个月(按30天计算)的行程大约是多少千米？
变式：(1)如果把150天改成300天，那么阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系？(2)如果阿甘再按这个速度跑步两个月(一个月按30天计算)，行程大约是多少千米？
【说明与建议】 说明：通过《阿甘正传》这一经典的影片引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分．建议：教师教学中要充分利用这一经典影片的实例创设情境，激发学生学习数学的兴趣与探究欲望．同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力．
【置疑导入】
首先我们来思考下面的问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示，这些函数有什么共同特点．
1．圆的周长l随半径r的变化而变化；
2．铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化；
3．每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；
4．冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化．
【说明与建议】 说明：利用学生非常熟悉的典型实例引入新课，激发学生的学习积极性与兴趣．建议：教学中教师注意引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．
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命题角度1 利用定义判断一个函数是不是正比例函数
1．下列函数中，是正比例函数的是(A)
A．y＝8x B．y＝8x＋1
C．y＝8x2＋1 D．y＝
2．(1)若y＝2xm－1为y关于x的正比例函数，则m的值为2．
(2)若y＝(n－1)x|n|是正比例函数，则n＝－1．
命题角度2 利用定义求正比例函数的解析式
3．一个正比例函数的图象过点(－2，3)，则它的解析式为(A)
A．y＝－x B．y＝x C．y＝x D．y＝－x
4．一支铅笔的价格是0.6元，购买铅笔应付款y(元)和购买支数x(支)之间的解析式是y＝0.6x．
5．已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝－6，求：当x＝1时，y的值．
解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝－6，
∴2k＝－6，解得k＝－3.
∴y＝－3x.
∴当x＝1时，y＝－3×1＝－3.
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课题 19.2.1 第1课时 正比例函数的概念 授课人
素养目标 1.理解正比例函数的概念；掌握正比例函数解析式的特点．2．经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识．3．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点 理解正比例函数的概念及解析式的特点．
教学难点 掌握正比例函数的概念及解析式的特点．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.函数的三种表示方法是什么？2．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y.x/份1234…y/元0.40.81.21.6…y与x之间的函数解析式是y＝0.4x． 故知新，为抓住本节重点，突破难点做知识储备，为本课的学习提供温迁移或类比方法．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.128天后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间的函数关系为y＝200x.类似于y＝200x这种形式的函数在现实世界中还有很多，它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习． 通过生活中比较生动的例子引入本节课的内容，激发学生学习的兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式，并指出函数解析式中的常量、自变量和函数．(1)圆的周长l随半径r的变化而变化；(2)小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程s(单位：米)随他所走的时间t(单位：分)的变化而变化；(3)每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h(单位： cm)随练习本的本数n的变化而变化；(4)冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化．(5)小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t(单位：分)随他步行的速度y(单位：米/分)的变化而变化．师生活动：多媒体呈现上述五个实际问题．学生独立解答，然后小组交流，派出代表进行反馈．教师要重点关注：(1)题中学生易将l＝2πr写成l＝πr2；(4)题中每分钟下降2 ℃应记为“－2 ℃”，避免学生将T＝－2t写为T＝2t.关注学生能否准确找出l＝2πr中的常量．函数解析式常量自变量函数(1)l＝2πr2πrl(2)s＝30t30ts(3)h＝0.5n0.5nh(4)T＝－2t－2tT(5)t＝300vt 1.通过观察具体问题中函数的解析式，抽象出正比例函数的模型．2.通过指出常量、自变量、函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点奠定基础．3.通过对实际问题的讨论，引导学生体验从具体到抽象的认知过程．4.通过将前四个函数与第五个函数进行比较，引导学生分析、概括出正比例函数的共同特点，从而归纳出正比例函数的概念，培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力．
教学步骤 师生活动 设计意图
【探究2】 认真观察前四个函数解析式，并与第五个函数解析式进行比较，说说这些函数有什么共同点． 师生活动：学生观察、思考，小组交流，分析、归纳共同特点，派出代表反馈．教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点．教师根据学生的表述板书：共同点：常数×自变量．教师讲解正比例函数的概念，并板书：概念：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？学生交流、讨论，互相补充．
例1 下列函数中，哪些表示y是x的正比例函数？
(1)圆的半径为x，周长为y.
(2)每本练习本0.5元，购买练习本的总费用y(元)与购买练习本的本数x(本).
(3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为x小时，所行驶的路程为y千米．
(4)由题意，得y＝3 500x，是正比例函数．
∴x＝28－5y，
∴y＝－15 x＋285 ，
即y不是x的正比例函数．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯及逻辑论证能力．2．帮助学生结合实际例子深入理解正比例函数的内涵.
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列关系中，是正比例函数关系的是(D)A.当路程s一定时，速度v与时间tB.圆的面积S与圆的半径RC.正方体的体积V与棱长aD.正方形的周长C与它的一边长a2．小王在一家公司打工，报酬为20元/时，设小王这个月工作的时间为t小时，应得报酬为m元，则m关于t的解析式是m＝20t．3．若函数y＝(m－3)x＋m2－9是正比例函数，求m的值．解：∵y＝(m－3)x＋m2－9是正比例函数，∴m2－9＝0，m－3≠0.∴m＝－3.4．已知y与x之间成正比例关系，且当x＝－1时，y＝3.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x＝2时，求y的值．解(1)设y＝kx(k≠0)，把x＝－1，y＝3代入，得k＝－3.∴y＝－3x.(2)把x＝2代入y＝－3x，得y＝－3×2＝－6.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：本节课学习了哪些内容？你认为最重要的内容是什么？2．布置作业：教材第87页练习第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 正比例函数的图象与性质
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在学习本节课之前，学生已经学面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图象的方法为后面学习一次函数、反比例函数的图象和二次函数打下良好基础．通过观察图象的变化得到其性质是学习函数性质的通用方法．因此，本节课具有承上启下的重要作用．
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【情景导入】
活动内容1：播放录像，提出问题
龙卷风是大气中最强烈的一种涡旋现象．它的外形看起来像一个猛烈旋转的圆柱形空气柱，龙卷风的移动速度很快，平均每分钟可移动约3千米，有关数据如下表：(媒体展示)
时间(分) 0 1 2 3 4
路程(千米) 0 3 6 9 12
如果龙卷风移动的时间用x表示，移动的路程用y表示，你可以得到怎样的结论？
活动内容2：总结归纳，引出课题
同学们今天对龙卷风的研究取得了令人欣喜的成果，即：龙卷风的移动时间和路程之间存在正比例函数关系：y＝3x，知道时间，就可轻易求出龙卷风移动的路程，可是仅仅依靠函数解析式分析龙卷风显得太抽象，能不能把函数关系转化成生动的图象呢？
【说明与建议】 说明：通过具有视觉冲击力的录像，可迅速吸引学生的注意力和调动学生探究问题的欲望，然后利用学生探究的结果引出下一个要探究学习的内容，同时引出课题，一举多得．建议：学生不难得出y＝3x，教师提问学生：x可以取任意实数吗？从而引导学生得出：龙卷风移动的路程和时间可用正比例函数y＝3x(其中x≥0)表示．
【置疑导入】
画出下列正比例函数的图象．(要求：全班同学分组合作画出函数图象)
(1)y＝x；(2)y＝2x；(3)y＝3x；
(4)y＝－x；(5)y＝－x；(6)y＝－x.
以小组为单位，观察本组成员所画图象，你有什么发现？
【说明与建议】 说明：教师提出问题讲清要求，学生按要求绘制正比例函数图象引入新课，同时引导学生熟练掌握函数图象的画法，为下一环节小组观察图象、归纳正比例函数的图象与性质做准备．建议：分组合作是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率．不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生归纳正比例函数的性质时，因图象数量少，从而缺乏典型性和可信度．
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命题角度1 画正比例函数的图象
1．请在网格中画出y＝－2x，y＝x的图象．
解：如图所示，直线y＝－2x与直线y＝x即为所求．
命题角度2 正比例函数的图象和性质的运用
2．正比例函数y＝－4x的图象大致是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
3．对于函数y＝4x，下列说法正确的是(D)
A．当x>0时，y随x的增大而减小 B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大
4．已知函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为(B)
A．2 B．－2 C．－ D．±2
5．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1y2，则m的取值范围是m<2．
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课题 19.2.1 第2课时 正比例函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.会画正比例函数的图象；理解正比例函数的图象及性质．2．能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx(k≠0)理解k>0和k<0时函数的图象特征与增减性．3．通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表达、数学概括能力．
教学重点 用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．
教学难点 正比例函数的图象特征及性质．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是正比例函数？请你写出两个具体的正比例函数．2．描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线．3．下列函数中，y是x的正比例函数的是①④．(填序号)①y＝－5x；②y＝；③y＝3x2＋5；④y＝；⑤y＝－x－1. 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】请用描点法画出下列函数的图象，观察图象你能发现什么？(1)①y＝x；②y＝－x.(2)①y＝4x；②y＝－4x. 直接引入，简洁明了，重点突出．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．(1)y＝3x；(2)y＝x.解：(1)列表：x…－2－1012…y…－6－3036…描点、连线，画出图象，如图所示：(2)在上图中画出y＝x的图象．(3)两个函数图象的共同点：都是经过原点的直线，图象从左向右上升，经过第一、三象限，即y随着x的增大而增大． 1.画图并归纳正比例函数图象的特征是本节的重点与难点，本环节通过分析自变量取值范围，列表、描点、连线，画出一系列函数图象，并从中找出规律．学生参与知识的生成，体现了以学生为本的教学理念．2.教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象，并利用此例让学生巩固正比例函数的图象与性质．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究2】 请你在下面的平面直角坐标系中画出y＝－1.5x，y＝－x两个函数的图象．比较两个函数图象可以看出：两个函数图象都是经过原点的直线，图象从左向右下降，经过第二、四象限，即y随着x的增大而减小．提问：画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？师生活动：让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律．【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？师生活动：教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y＝x；(2)y＝－3x.师生活动：学生合作探究交流得出结论：画正比例函数的图象时，只需除原点外再确定一个点，即找出一组满足函数解析式的对应数值即可，如(1，k)，因为两点可以确定一条直线．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第87～88页例1)画出下列正比例函数的图象：(1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.【解答】 (1)如图1所示． 图1 图2(2)如图2所示．【变式训练】用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：(1)y＝x；(2)y＝－x.解：列表：x02y＝x02y＝－x0－1描点、连线，如图．例2 已知正比例函数y＝(2m＋4)x.问：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？(2)m为何值时，y随x的增大而减小？(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？【解答】 (1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0，解得m＞－2.(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)∵点(1，3)在该函数图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－．【变式训练】 已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2.(1)求m的取值范围；(2)当m取最大整数值时，画出该函数图象．解：(1)∵当x1＜x2时，有y1＞y2，∴m－1＜0.∴m＜1.∴m的取值范围是m＜1.(2)∵m＜1，∴m的最大整数值为0.∴函数解析式为y＝－x.图象如图所示．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 通过例题和变式训练进一步促进学生巩固正比例函数的图象性质，并体验数形结合思想的运用过程．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为(B)A. B．3 C．－ D．－32．正比例函数y＝－3x的大致图象是(C) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 3．若正比例函数y＝(k＋1)x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围为(D)A.k＞0 B．k＜0 C．k＞－1 D．k＜－14．关于正比例函数y＝－2x，下列结论中不正确的是(D)A.图象经过点(1，－2)B.图象经过第二、四象限C.y随x的增大而减小D.不论x为何值，总有y＜05．已知点P1(1，y1)，P2(2，y2)是正比例函数y＝(k2＋1)x的图象上的两点，则y1＜y2(填“＞”“＜”或“＝”).6.数学课上，老师要求同学们画函数y＝|x|的图象，小红联想绝对值的性质得到y＝x(x≥0)或y＝－x(x≤0)，于是她很快作出了该函数的图象(如图)，和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象．解：不对，如图所示：师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课我们研究了什么，得到了哪些成果？(2)正比例函数的图象及性质是怎样的？我们是如何进行研究的？(3)在正比例函数图象与性质的研究过程中，你感受最深的是什么？2．布置作业：教材第98页习题19.2第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
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本节课的主要内容是一次函数的概念，在学习本节课之前，学生已经学习了正比例函数的概念，这为本节课的学习打下了基础．一次函数既为前面学过的正比列函数知识得以概括和升华，也为后面学习函数知识打下了坚实的基础，因此，一次函数的概念学习起到了承上启下的作用．
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【置疑导入】
身边的数学：你会选择哪种收费方式呢？
某移动通信公司开设了两种通信业务，A类收费标准：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；B类收费标准：不缴月租费，每通话1 min，付话费0.6元(本题的通话费均指市内通话).设一个月通话x min，两种方式的费用分别为y1(元)和y2(元).
(1)写出y1和y2与x之间的关系式；
(2)某人估计一个月内通话300 min，选择哪种通信业务更划算？
【说明与建议】 说明：为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景，既复习了旧知识，又为学习新知识做好铺垫．建议：提示学生应分别写出A，B两类收费标准下应缴费用与通话时间之间的解析式．对于问题(2)，学生只需代入比较即可得出答案．
【情景导入】 按图中所示方式摆放餐桌和椅子．用x表示餐桌的张数，用y表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，写出函数解析式；
(3)这个函数解析式有何特点？谈谈你的看法．
【说明与建议】 说明：利用生动有趣的探究规律的问题情境引入课题，激发学生的学习兴趣．建议：本课是在学习正比例函数的基础上，进一步学习一次函数的概念．一次函数的概念是在观察一类具体函数解析式的特点的基础上，通过抽象得到的函数模型，所以教师要列举学生熟悉的实例鼓励学生积极探究．
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命题角度1 利用概念判别一次函数
1．下列函数中是一次函数的是(D)
A．y＝－2x＋1 B．y＝5x2－4x＋1
C．y＝ D．y＝－3－x
2．m为何值时，函数y＝(m＋3)x2m＋1－5(x≠0)是一次函数？
解：由题意，得2m＋1＝1，m＋3≠0，
∴m＝0.
命题角度2 由自变量和函数的对应值求函数解析式
3．直线y＝kx－4经过点(－2，2)，则该直线的解析式是(A)
A．y＝－3x－4 B．y＝－x－4
C．y＝x－4 D．y＝3x－4
4．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当y＝－3时，求自变量x的值．
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝2x＋1.
(2)当y＝－3时，得2x＋1＝－3，解得x＝－2.
命题角度3 从生活中建立一次函数模型
5．某商场自行车存放处每周的存车量为6 000辆次，其中变速车存车费为每辆每次1元，普通车存车费为每辆每次0.5元．若这周普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是(B)
A．y＝0.5x＋6 000 B．y＝－0.5x＋6 000
C．y＝0.5x＋3 000 D．y＝－0.5x＋3 000
6．红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y(吨)与烧煤天数x(天)之间的函数解析式，指出y是不是x的一次函数，并求自变量x的取值范围．
解：依题意，得y＝80－5x，即y＝－5x＋80，该函数属于一次函数．
因为y≥0，
所以－5x＋80≥0，解得x≤16.
又因为x≥0，
所以x的取值范围为0≤x≤16.
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课题 19.2.2 第1课时 一次函数的概念 授课人
素养目标 1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系．2．能根据问题的信息写出一次函数的解析式，能利用一次函数解决简单的问题．3．在探索过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系．
教学重点 1.一次函数的概念．2．根据已知信息写出一次函数的解析式．
教学难点 理解一次函数的概念及与正比例函数的关系．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是函数？函数有哪些表示方法？2．正比例函数的性质有哪些？3．当m＝－1时，y＝(m－1)xm2是正比例函数． 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃.1．试用函数解析式表示y与x的关系．2．思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种函数你见过吗？ 通过生活中的例子，引出本节课的内容，通过设问引发思考，激发学习兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究】思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？(1)有人发现，在20～25 ℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位：℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差．(2)一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值．(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括月租费22元和打电话x min的计时费(按0.1元/min收取).(4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化．想一想：上面的四个函数解析式的共同特点是什么？师生活动：学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程．归纳：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．提问：(1)当b＝0时，一次函数会变成什么样的函数？(2)一次函数和正比例函数有什么联系与区别？归纳：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠________；自变量x的次数为________；常数项b可以为________．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数是________．自变量x的次数为________，正比例函数是特殊的________．师生活动：教师引导学生进行思考，师生共同完成归纳． 从大量生动有趣的实际问题情景出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y＝－8x；(2)y＝；(3)y＝8x2；(4)y＝8x－4.解：(1)y＝－8x是正比例函数．(2)y＝既不是一次函数也不是正比例函数．(3)y＝8x2既不是一次函数也不是正比例函数．(4)y＝8x－4是一次函数．例2 仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式．题中的函数是一次函数吗？为什么？解：依题意，得Q＝400－36t，Q是t的一次函数．【变式训练】1．下列函数①y＝－5x；②y＝－2x＋1；③y＝；④y＝x－1；⑤y＝x2－1中，是一次函数的有(C)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知y＝(k－1)x|k|－k是一次函数，则k的值为－1．3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数．(1)在时速为80千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(时)之间的关系；(2)汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，汽车离开A站的路程y(千米)与时间x(时)之间的关系．解：(1)y＝80x，是一次函数．(2)y＝40x＋4，是一次函数．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.通过例题和变式训练，进一步巩固对一次函数的概念及在实际问题中建立一次函数模型的掌握．2．充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在一次函数y＝x＋2中，当x＝9时，y的值为(D)A.－4 B．－2 C．6 D．82．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(B)A.路程一定时，时间y和速度x的关系B.长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形C.圆的面积y与它的半径xD.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x3．已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，则m的值是(A)A.－3 B．3 C．±3 D．±24．在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为s＝100－7t．5．已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？解：(1)根据一次函数的定义，得m＋1≠0且2－|m|＝1，解得m＝1.∴当m＝1，n为任意实数时，y是x的一次函数．(2)根据正比例函数的定义，得m＋1≠0且2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝1，n＝－4.∴当m＝1，n＝－4时，y是x的正比例函数．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)注意正比例函数与一次函数的关系．(2)某函数是一次函数应满足的条件是：自变量的次数是1，系数不为0.(3)逐步认识利用方程思想建立函数关系式．2．布置作业：教材第99页习题19.2第3，6题． 培养学生总结知识的能力，巩固新知．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
第2课时 一次函数的图象与性质
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本节课的教学内容是一次函数的图象和性质．一次函数的图象和性质是正比例函数图象与性质的推广，在许多方面与正比例函数的图象与性质有紧密联系．学本节课之前，学生已学习了变量与函数及一次函数的概念，会用两点法画出正比例函数的图象，为本节课学习一次函数的性质与图象做了铺垫，也是继续学习反比例函数、二次函数的图象和性质的重要基础．
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【情景导入】
一天，小明以80米/分的速度去上学，离家5分钟后，小明的父亲发现小明的语文书未带，立即以120米/分的速度去追小明，请问小明离家的距离s(米)与小明父亲出发的时间t(分)之间的函数关系是怎样的？它是一次函数吗？
如图所示的图象能表示上述问题中的s与t的关系吗？
如图所示的图象是函数s＝80t＋400(t≥0)的图象，它还有哪些性质呢？这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象与性质．
【说明与建议】 说明：通过学生比较熟悉的生活情景，引导学生在写函数解析式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．建议：教学时教师可引导学生类比正比例函数的图象与性质研究一次函数的图象与性质．
【复习导入】 创设情境
展示一些与实际生活息息相关的图片．在我们的生活中，有许许多多这样的图案，这些图案中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地做出决策或预测．
在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么一次函数的图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数的图象与性质．首先，我们来复习一下前面所学习的有关知识．
提问：(1)作函数图象有哪几个主要步骤？
(2)前面我们探究得到的正比例函数的图象有什么特征？
(3)作正比例函数的图象需要描出几个点？
【说明与建议】 说明：通过富有现实意义的图片展示，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们做出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值．再通过学生回顾前面学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫．
建议：教学时抓住本节课的主要内容是对一次函数y＝kx＋b中常数k对图象的影响进行探究．本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习．
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命题角度1 一次函数的图象
1．一次函数y＝－2x＋3在平面直角坐标系内的大致图象是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
2．将一次函数y＝3x＋5的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数的解析式为y＝3x－4．
命题角度2 一次函数的性质
3．关于函数y＝－x＋1的图象与性质，下列说法错误的是(B)
A．图象不经过第三象限
B．当－2C．y随x的增大而减小
D．图象是与y＝－x－1平行的一条直线
4．已知P1(－3，y1)，P2(2，y2)是一次函数y＝2x＋k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是(B)
A．y1>y2 B．y1INCLUDEPICTURE "教学设计.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新建文件夹 (2)\\新教案\\《新教案》（人8下）整理word稿\\教学设计.TIF" \* MERGEFORMATINET
课题 19.2.2 第2课时 一次函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.会画一次函数的图象；能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系．2．在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想．3．能根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)理解k>0和k<0时图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性．
教学重点 用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质．
教学难点 理解一次函数的增减性．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是一次函数？请写出三个一次函数的解析式．2．什么是正比例函数？从解析式上看，正比例函数与一次函数有什么关系？3．正比例函数有哪些性质？你是怎样得到这些性质的？4．在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么你能快速地作出函数y＝3x和y＝－2x的图象吗？ 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．为本课的学习提供迁移或类比方法．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？2．从解析式上看，一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？这正是我们这节课所要探索的内容．3．针对函数y＝kx＋b，大家想研究什么？应该怎样研究？在研究函数y＝kx＋b(k≠0)的性质时方法如下：画图象→观察图象→性质． 1.通过类比的方式引导学生思考一次函数的图象特征，直入主题．2．教师利用问题2激起学生的探索欲望，导入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象．解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值如下：x…－101…y＝－6x…60－6…y＝－6x＋5…115－1…画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象如图所示．观察图象，思考并填空：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同；函数y＝－6x的图象经过点(0，0)；函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点(0，5)，即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到．总结：(1)一次函数y＝kx＋6(k≠0)的图象是直线，我们称它为直线y＝kx＋b.(2)一次函数y＝kx＋b(k＝0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．师生活动：教师引导学生总结：在平面直角坐标系中画出满足函数解析式的两点，过这两点画直线，即画一次函数图象时可以只描出两个点．【探究2】 探究：分别画出下列函数的图象．(1)y＝x＋1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－x＋1；(4)y＝－2x＋1.如图所示：思考并解决问题：(1)直线y＝x＋1经过一、二、三象限；y随x的增大而增大，函数的图象从左向右上升；(2)直线y＝2x＋1经过一、二、三象限；y随x的增大而增大，函数的图象从左向右上升；(3)直线y＝－x＋1经过一、二、四象限；y随x的增大而减小，函数的图象从左向右下降；(4)直线y＝－2x＋1经过一、二、四象限；y随x的增大而减小，函数的图象从左向右下降．由它们联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？总结规律：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降；y随x的增大而减小．师生活动：引导学生发现两直线的位置关系，并归纳一次函数的图象平移的规律． 1.通过本环节的探究过程，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，并能作出一个函数的图象，同时感悟一次函数的图象是一条直线．2.通过本环节的探究过程，让学生体会到从图象中总结出一次函数的性质的过程，有利于帮助学生理解一次函数的性质．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．解：(1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3.(2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1.(3)由题意，得2m＋1＜0，解得m＜－.【变式训练】已知关于x的一次函数y＝(2m－4)x＋3n.(1)当m，n取何值时，y随x的增大而增大？(2)当m，n取何值时，函数图象不经过第一象限？(3)当m，n取何值时，函数图象与y轴交点在x轴上方？解：(1)∵y随x的增大而增大，∴2m－4＞0.∴m＞2，n为全体实数．(2)∵函数图象不经过第一象限，∴2m－4＜0，3n≤0.∴m＜2，n≤0.(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m－4≠0，3n＞0，∴m≠2，n＞0.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.通过例题讲解引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．通过变式训练，使所学知识得到应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．一次函数y＝x－2的大致图象是(C)2．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是(C)A.y＝2x＋8 B．y＝3x－2C.y＝－2－4x D．y＝4x3．已知直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第三象限，则k，b的取值范围是(C)A.k＞0，b≥0 B．k＞0，b≤0C.k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤04．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论正确的是(C)A.函数值随自变量的增大而增大B.函数的图象经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)5．已知一次函数y＝kx＋3，若y随x的增大而减小，则k的值可以为答案不唯一，如：k＝－7(只需写出一个符合条件的k值即可).6．画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：(1)这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左向右怎样变化？(2)函数图象经过哪几个象限？(3)写出函数图象与y轴的交点坐标．解：函数y＝－2x＋2的图象如图：(1)随着自变量x的增大，函数值y减小，图象从左向右下降．(2)函数图象经过第一、二、四象限．(3)(0，2).师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)一次函数的图象是过点(0，b)，(－，0)的直线，当k>0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当k<0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小．(2)根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象限．2．布置作业：教材第99～100页习题19.2第4，5，10，12题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
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19．1 函数
19．1.1 变量与函数
第1课时 变量
第2课时 函数
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本节的主要内容是理解变量与函数的概念．函数是研究客观世界变化规律的重要模型，它实现了从常量到变量的转变，解释了现实生活中数量关系之间相互依存和变化的实质．函数的学习对学生思维能力的发展具有重要的意义．本节是学习正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的基础．学好本节知识为学习正比例函数、一次函数起着铺垫作用．因此，它是初中数学的一个重要内容．
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INCLUDEPICTURE "素材一.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新建文件夹 (2)\\新教案\\《新教案》（人8下）整理word稿\\素材一.TIF" \* MERGEFORMATINET
【情景导入】
你知道比萨斜塔吗？你听说过发生在那里的“两个铁球同时落地”的故事吗？站在比萨斜塔顶部，让两个铁球自由下落，在铁球下落的过程中，随着时间的变化，铁球下落的速度是怎样变化的？铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化．这就是我们今天要学习的内容．
【说明与建议】 通过学生熟悉的生活情景引入新课，激发学生的学习兴趣．建议：把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出了概念的形成过程，学生通过观察、思考、分析、归纳，把握概念的本质特征．
【置疑导入】
1．如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过程，你注意到了什么变化？
变化的量：小球在斜坡上滚动的路程s，小球离起点的水平距离x，小球离水平面的高度y.
不变的量：斜坡高度，斜坡长度，斜坡水平长度等．
2．请出两位同学，一位同学拿弹簧秤，另一位同学在弹簧秤上加砝码．(指出：弹簧秤的原长固定)
仿照1题的分析，在这个问题中变化的量有哪些？不变的量有哪些？
变化的量之间又有怎样的关系呢？今天我们就来研究这些问题．
【说明与建议】 选择学生所熟悉的物理实验，通过观察实验，提出问题．学生通过动手实验，既可以提高学习的兴趣，又可以发现问题，即如何从数学的角度来刻画这些变化，从而引出课题．建议：教师通过课件创设情境，引导学生对两个问题进行分析，并归纳总结变量与常量的概念，进而启发他们关注这两个量的关系．
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命题角度1 判断实际变化过程中的常量和变量
1．对于圆的周长公式C＝2πr，下列说法正确的是(D)
A．C是变量，2，r是常量 B．r是变量，C是常量
C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2，π是常量
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这个问题中，变量是时间和骆驼的体温．
命题角度2 利用函数的定义判断变量间的函数关系
3．下列关系式中，y不是x的函数的是(C)
A．y＝x4 B．y＝6x2＋5 C．|y|＝x D．y＝
命题角度3 确定自变量的取值范围
4．函数y＝中，自变量x的取值范围是(A)
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x>2
5．函数y＝－3中，自变量x的取值范围是(A)
A．x≥0 B．x≥ C．x≤2 D．x>0
6．函数y＝中，自变量x的取值范围为x≥－7且x≠－1．
命题角度4 列函数解析式
7．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟(不到1分钟按1分钟计算)加收0.5元，当t≥3时(t为整数)，电话费y(元)与通话时间t(分)之间的关系式为y＝0.5t＋0.3(t≥3)．
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数学世家的光荣——函数的出现
17世纪，在瑞士的巴塞尔有一个祖孙五代数学家成员数十人的家族——贝努利家族，其中最著名的是雅各、约翰、丹尼尔．
欧拉从12岁起，就是这个家族成员的好朋友．他和同龄人尼古拉、丹尼尔结识，成为终生盟友，这两位兄长给欧拉讲了许多有趣的数学故事，吸引了他那颗幼小好奇的心灵，使欧拉从小立志，将来能像贝努利家族成员一样，腾飞于数学长空.1720年，13岁的欧拉在约翰·贝努利教授的推荐下成为巴塞尔大学的学生，从此他在约翰·贝努利的指导下迅速成长．欧拉成了贝努利家庭的一个成员，被世人传为佳话．
函数是中学数学中最重要的概念之一，函数概念产生于300年前．笛卡儿引入了坐标系，使数学发生了巨大变革，但他没用变量这个词．
在数学上使用变量这个词最早的是欧拉的老师约翰·贝努利，他给函数下了这样的定义：“所谓变量的函数，就是变量与常量组成的表达式”．
1775年，欧拉在《微分学》中给出了我们教科书中的定义．
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课题 19.1.1 第1课时 变量第2课时 函数 授课人
素养目标 1.结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念以及自变量的意义．2．在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量，并判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．3．学会探索具体问题中的数量关系和变化规律．
教学重点 了解常量和变量的意义、函数的概念，求函数自变量的取值范围．
教学难点 求函数自变量的取值范围．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的推移而变化，气温随海拔而变化，树随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．我们就来探究这些变化中的数量关系和变化规律． 利用学生熟悉的场景导入，能自然、贴切地引入常量与变量的概念．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】生活中我们常常会遇见许多量，这些量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例(大屏幕显示).指出下列问题中变化的量和不变的量：(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km.(2)每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元．(3)圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？(4)如图，用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？在矩形改变形状的过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？师生活动：在上述四个实例的解决过程中，体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳．归纳：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量，有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量，如：60，π；而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量．你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量和常量吗？试一试！【探究2】 问题引申，探索函数的概念问题1：在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间有什么联系？问题2：这些变化过程中，变量之间的关系有什么共同特点？问题3：下面是中国代表团在第23届至31届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？届数x/届232425262728293031金牌数y/枚15516162832513826问题4：下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？师生活动：小组活动，合作讨论，然后进行交流．学生分析：s和t两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t的每一个确定的值，变量s都有唯一确定的值和它对应，如t＝1时，s＝60；t＝2时，s＝120等．对于其他问题，都有着这样一个规律：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应．师生共同总结函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 1.常量与变量的概念是本节的重点．教学中以一个个与学生生活相关的问题作为探究的形式把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出概念的形成过程．学生通过观察、思考、分析、归纳，有助于学生把握概念的本质特征．特别是“常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的”这一结论的得出，突出了重点．2.引导学生初步明确：分别可以用解析式、表格、图象等形式表示变量之间的关系．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 写出下列各问题中的函数解析式，并指出其中的变量和常量：(1)橘子每千克的售价为1.8元，小王购买x 千克橘子，所付金额为y元；(2)一个盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，记流水时间为t小时，水箱中的剩余水量为y吨；(3)圆形水波面积不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S；(4)直角三角形中两锐角的度数之和为90°，记一个锐角的度数为α°，另一个锐角的度数为β°.解：(1)y＝1.8x.变量为x，y；常量为1.8.(2)y＝30－0.5t.变量为t，y；常量为30，0.5.(3)S＝πr2.变量为r，S；常量为π.(4)β＝90－α.变量为α，β；常量为90.例2 (教材第73～74页例1)汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x.(2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.(3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．【变式训练】1．写出下列各问题中的变量和常量：(1)全班共50名同学，有a名男同学，b名女同学；(2)汽车以60 km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km.解：(1)a，b是变量，50是常量．(2)s，t是变量，60是常量．2．等腰三角形ABC的周长为10 cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)求自变量x的取值范围．解：(1)∵等腰三角形ABC的两腰相等，周长为10，∴2x＋y＝10.∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋10.(2)∵两边之和大于第三边，∴2x＞y.∴2x＞－2x＋10，即x＞2.5.∵y＞0，∴－2x＋10＞0，即x＜5.∴自变量x的取值范围是2.5＜x＜5.师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时给予回答正确的同学以肯定． 1.通过例题讲解，加强学生对变量和常量的理解，并能从实际问题中列出函数关系式．2.通过例题教学，规范学生的语言表达能力及其书写格式．3．通过变式训练，学生进一步巩固相关知识．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列解析式中，y不是x的函数的是(B)A.y＝x B．|y|＝2x C．y＝2x D．y＝x2＋42．要画一个面积为20 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量为(A)A.常量为20，变量为x，y B．常量为20，变量为xC.常量为20，x，变量为y D．常量为x，y，变量为203．求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y＝2x＋4；(2)y＝2x2；(3)y＝；(4)y＝.解：(1)x为全体实数．(2)x为全体实数．(3)x≠2.(4)x≥3.4.据测定，海底扩张的速度是很缓慢的．在太平洋海底，某海沟的某处宽度为100 m，两侧的地壳向外扩张的速度是每年6 cm，假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x年，海沟该处的宽度为y m．(1)写出海沟该处的宽度y(m)与海沟扩张时间x(年)之间的函数关系式；(2)你能计算出海沟该处宽度扩张到400 m需要多少年吗？解：(1)根据题意，得y＝0.06x＋100.(2)当y＝400时，0.06x＋100＝400，解得x＝5 000.答：海沟该处宽度扩张到400 m需要5 000年．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过当堂检测，学生进一步巩固新知，及时检测其学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景．(2)判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应．(3)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义．2．布置作业：(1)教材第74～75页练习第1，2题．(2)教材第81～82页习题19.1第1，2，3题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象及其画法
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本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习从函数图象上获取信息和函数图象的画法，初步讨论函数的变化规律和变化趋势．同时这节课对于学习函数、培养学生的探索能力、拓展学生的空间想象力都有十分重要的意义．
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【情景导入】
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个细口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中(如图)，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，高兴地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下列选项中能大致表示上面故事情节的图象是(B)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
【说明与建议】 说明：利用学生非常熟悉的故事创设问题情境，激发学生学习兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法．建议：通过探究函数图象的一系列问题，使学生充分认识图象，从图象中获取信息，理解图象的实际含义，直观感受数形结合解决这类问题的价值，为后面学生自主解决函数图象问题做好铺垫．
【置疑导入】
我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化．从数学的角度探究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来．观察下图，你能大致地描述男、女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能预测自己18岁时的身高吗？
【说明与建议】 通过设置连续的具有启发性的提问，加上学生熟悉的问题情境引入新课，激发学生的学习兴趣，同时使学生明确本节课所要解决的主要问题．建议：教师教学时着重引导学生如何获取知识、探究新知识，教学中学生自主探究，教师补充释疑．
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命题角度1 点在函数图象上
1．下列四个点中，在函数y＝－x－1的图象上的点是(B)
A．(3，0) B．(－3，0) C．(－2，3) D．(0，－3)
命题角度2 画函数图象
2．在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象．
(1)y＝x＋1；(2)y＝.
解：(1)列表：
x … －2 －1 0 1 …
y … －1 0 1 2 …
描点、连线，如图所示：
(2)列表：
x … －2 －1 1 2 …
y … －1 －2 2 1 …
描点、连线，如图所示：
命题角度3 根据问题情景，确定函数图象
3．小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“花溪十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是(A)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
命题角度4 观察函数图象，获取信息解决相关问题
4．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的路程是1__500米，小红在商店停留了4分钟；
(2)在小红骑车去舅舅家的途中，最快的骑行速度是450米/分；
(3)本次去舅舅家的行程中，小红共骑行了多少米？一共用了多少分钟？
解：小红共骑行了1 200＋600＋900＝2 700(米)，共用了14分钟．
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课题 19.1.2 第1课时 函数的图象及其画法 授课人
素养目标 1.会用描点法画出函数的图象，能说出画函数图象的步骤．2．会判断一个点是否在函数图象上．3．经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．4．会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律．
教学重点 函数图象的意义及画法，从图象中获取信息．
教学难点 通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到用不同方法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 什么是常量？什么是变量？什么是函数？ 通过复习前面所学的内容，引出本节要学习的内容．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】信息1：如图是一张心电图．信息2：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T(℃)如何随时间t(时)的变化而变化，你从图象中得到了哪些信息？ 用学过的图，可加强学生对新旧知识的理解．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 函数的图象．我们先来看这样一个问题：正方形的边长x与面积S的关系是S＝x2．其中自变量x的取值范围是x>0．阅读教材第75页，独立完成下面的问题．画函数S＝x2(x>0)的图象．第一步：列表：x00.511.522.53…S00.2512.2546.259…第二步：描点：以x的值为横坐标，相应S的值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．第三步：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来．注意：原点要排除，从所画的图象上可以看出，曲线从左向右上升，即当x由小变大时，S随x的增大而增大．归纳：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．师生活动：学生思考，表示x与S的对应关系的点有多少个？如果全在坐标纸上描出的话是什么样子．画图象取点时要让学生发现：这样的点有无数个，如果全描出来的太麻烦，也不可能，我们只能描出其中的一部分，然后想象出其他点的位置，用平滑的曲线连接起来．【探究2】 我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？(1)判断下列各点是否在函数y＝x＋0.5的图象上．①(－4，－4.5)；②(4，4.5).(2)判断下列各点是否在函数y＝(x>0)的图象上．①(2，3)；②(4，2).【探究3】 用描点法画函数的图象．要做一个面积为8 m2的长方形小花坛，该花坛的长为x m，宽为y m．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；(2)你能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出这个函数的图象吗？解：(1)由函数的定义可知，y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．(2)这个问题的函数解析式为y＝．(3)列表：x/m123456y/m842(4)描点、连线，如图所示：归纳：画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法．师生活动：教师展示解题过程，全班讲评．在画图象时，可能有的同学忘记自变量的取值范围，教师在此处要注意强调． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2.引导学生领会和掌握图象的意义，培养学生的观察、归纳、概括等探究能力．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第76～77页例2)如图1所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 图1 图2根据图象回答下列问题：(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2)小明吃早餐用了多少时间？(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8 min.(2)由横坐标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17 min.(3)由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3 min.(4)由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30 min.(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，小明从图书馆回家用了10 min，由此算出平均速度是0.08 km/min.例2 (教材第77～78页例3)在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．画出这些函数的图象：(1)y＝x＋0.5；(2)y＝(x＞0).解：(1)①列表(计算并填写表中空格).x…－3－2－10123…y…－0.50.51.52.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．(2)y＝(x＞0).①列表(计算并填写表中空格).x…0.511.522.533.5456…y6321.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．【变式训练】1.某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速按一定的速度匀速增大，经过荒漠地时，风速增大得比较快．一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴经过防风林时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图是风速v与时间t之间函数关系的图象．结合图象回答下列问题：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？(2)从图象上看，风速在哪一个时间段增大得比较快，风速每小时增加多少？(3)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？(4)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减小多少？解：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了41.2小时．(2)风速从5～12小时这个时间段增大得比较快，风速每小时增加＝4(千米).(3)风速在12～26小时这个时间段保持不变，经历了14小时．(4)风速每小时减小＝2.5(千米).2.在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝x2的图象．解：列表：…－2－1012……202…描点、连线，如图．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.设置典型例题巩固新知，帮助学生掌握从图象中获取信息，学会画图象．2.通过变式训练，学生进一步巩固新知，突破重难点．通过综合应用知识讲题，，提高学生的应考能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是(C)2．如图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是(C)A.凌晨4时气温最低，为－3 ℃B.14时气温最高，为8 ℃C.从0时至14时，气温随时间增长而上升D.从14时至24时，气温随时间增长而下降 第2题图 第3题图3．小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小军离家的路程y(m)和所经过的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(D)A.小军家与超市相距3 000 mB.小军去超市途中的速度是300 m/minC.小军在超市逗留了30 minD.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快4．画出函数y＝2x－1的图象．(1)列表：x…－101…y…－3－11…(2)描点、连线：(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上．(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求m的值．解：(2)如图．(3)点A，B不在图象上，点C在图象上．(4)m＝5.5.(1)画出函数y＝－的图象；(2)从函数图象观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？解：(1)列表：x…－8－4－2－11248…y…1248－8－4－2－1…描点、连线，如图．(2)当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而增大．6.在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境． ① ② ③情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．1)情境a，b所对应的函数图象分别是③①(填写序号)；(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．解：小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：(1)通过分析函数图象获取信息，体现了数形结合思想．(2)学生尝试小结：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？2.布置作业：(1)教材第79页练习第1，2，3题．(2)教材第82～84页习题19.1第8，9，13题． 回顾反思，找出差距与不足，形成知识体系．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 函数的三种表示方法
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本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用．掌握函数的三种表示方法以及根据各自的特点灵活运用是本节课的教学重点．函数的三种表示方法不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题必须涉及的知识，而且能够加深对函数概念的理解．函数的三种表示方法可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现．
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【情景导入】
提出问题
实验演示：倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑的过程．
小车沿斜坡下滑，下滑速度与下滑时间的关系如图所示．
1．填写下表：
t(秒) 1 2 3
v(米/秒)
2.写出v与t之间的函数解析式．
探究新知
通过探究此题，我们知道可以用列表格、写式子和画图象来表示函数关系．讨论：你认为这三种表示方法各有什么优缺点？
【说明与建议】 说明：通过实验演示，创设问题情境，激发学生从中发现数学问题，建立模型，引起思考．建议：教师教学中鼓励学生积极探究、大胆发言，教学时可分组活动，学生先独立思考，然后组内交流并进行记录，最后各组选派代表汇报．
【复习导入】 我们在上节课已经亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数．
问题：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．
1．请你用含t的式子来表示s.
2．提出问题：自变量t的取值范围是什么？
完成下列表格：
t(时) 0 1 2
s(千米)
3.以横轴表示时间，每1小时为1个单位长度，纵轴表示路程，每60千米为1个单位长度．在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象．
请同学们思考一下：从前面的例子看，你认为函数的表示方法有哪些？这些方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容．
【说明与建议】 说明：教师引导学生从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面总结归纳函数三种表示方法的优缺点．建议：教师出示问题，学生自主思考，教学中一定要鼓励学生积极探索，并注意点拨，从出示的例题可以看出函数的三种不同表示法可以相互转化．
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命题角度1 利用表格解决函数问题
1．父亲告诉小明，温度与海拔有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔/km 0 1 2 3 4 5 …
温度/℃ 20 14 8 2 －4 －10 …
下列有关表格的分析中，不正确的是(D)
A．表格中的两个变量是海拔和温度 B．自变量是海拔
C．海拔越高，温度就越低 D．海拔每增加1 km，温度升高6 ℃
命题角度2 利用解析式法解决函数问题
2．临近春夏换季，某款卫衣的售价为每件300元，现按售价的七折进行促销，设购买x件该款卫衣一共需要y元，则y与x之间的函数关系式为(D)
A．y＝0.7x B．y＝300x C．y＝30x D．y＝210x
3．某商店销售一批玩具，其收入y(元)与销售数量x(个)之间有如下关系：
销售数量x(个) 1 2 3 4 …
收入y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …
则收入y与销售数量x之间的函数关系式为(A)
A．y＝8.3x B．y＝8x＋0.3 C．y＝8＋0.3x D．y＝8.3＋x
命题角度3 利用图象解决函数问题
4．某天小明约同伴去篮球场打球，已知小明家、超市、篮球场依次在同一条直线上，家到超市、超市到篮球场的距离分别为400 m，600 m．他从家出发匀速步行8 min到超市购物，停留4 min，然后匀速步行6 min到篮球场，设小明离超市的距离为y m，所用时间为x min，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
5．如图1，在某个底面积为20 cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象，则水流速度是cm3/s.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(图1)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(图2))
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科学家如何测算岩石的年龄
科学家如何测算岩石的年龄呢？
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为镭的放射规律的函数图象．
由图象我们可以发现：镭的质量由m0，缩减到m0需要1 620年，由m0缩减到m0需要3 240－1 620＝1 620(年)，由m0缩减到m0需要4 860－3 240＝1 620(年)，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量——1 620年．一般把1 620年称为镭的半衰期．
实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为45.6亿年，衰变后的铀最后成为铅，因此，科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以算出这块岩石原来的含铀量，进而利用半衰期算出从原来的含铀量到现在的含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄．据此测算出地球上最古老的岩石的年龄约为30亿年．
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课题 19.1.2 第2课时 函数的三种表示方法 授课人
素养目标 1.运用丰富的实例理解函数的三种表示方法，并了解三种表示方法的优缺点．2．通过作图、交流、归纳等数学实践活动，提高把实际问题转化为数学问题的能力．3．通过实际操作，体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣．
教学重点 掌握函数的三种不同表示方法，知道其优缺点．
教学难点 帮助学生感受用列表法、解析式法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题：如图，要修建一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为x m，周长为y m．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量x的取值范围；(2)能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出函数的图象吗？ 解：(1)y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.(2)能，y＝2(x＋).(3)列表如下．x/m123456y/m2616141414.816(4)描点、连线，画函数图象如图． 温故知新，为抓住本节重点，突破难点做知识储备，为本课的学习提供迁移或类比方法．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】在上题中我们亲自动手用列表格、写式子和画函数图象的方法表示了一个函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．思考一下，从这个例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容． 直接引入，简单明了，引导学生明确本节课研究的重点内容，激发学生的求知欲．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 思考下面的问题问题1 有一根弹簧原长10 cm，每挂1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm.设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表：m/kg01233.5…l/cm受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？问题2 有一辆出租车，前3千米内的起步价为8元，每超过1千米收2元，有一位乘客坐了x(x>3)千米，他付费y元．用含x的式子表示y，y是x的函数吗？问题3 如图所示的是某地某一天的气温变化图．气温与时间是函数关系吗？从前面所见到的或自己举的例子可以看出：函数有三种表示方法，分别为列表法、解析式法和图象法．你认为函数的三种表示方法各有什么优缺点？根据自己的想法填下表：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法×√√×解析式法√√××图象法××√√师生活动：学生认真完成3个问题，并互相交流，教师要让学生注意区分函数的三种表示方法，同时强调有时为了需要可能采用多种表示方法． 1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考后获得的结果．2.引导学生认识函数的三种表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道函数三种表示方法之间可以转化．
教学步骤 师生活动 设计意图
【探究2】 由函数图象分析函数的性质师生活动：利用开始提出的问题，教师引导学生归纳总结函数的性质．函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下表：图象特征函数变化规律由左至右曲线呈上升状态 y随x的增大而增大由左至右曲线呈下降状态 y随x的增大而减小曲线上的最高点是(a，b) x＝a时，y有最大值b曲线上的最低点是(a，b) x＝a时，y有最小值b
活动三：开放训练、体现应用
解：(1)如图1，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
图1 图2
1.通过例题教学让学生对知识的认识从感性上升到理性，同时规范解题的思路和书写格式．2.感受所学知识在实际中的用途，培养学生应用数学的意识．3.通过变式训练进一步巩固本节课知识，让学生继续感受函数图象体现出的函数关系的特点，明确图象上每一个点的实际意义：每个点都对应一对自变量和相应的函数值，每一条线都体现了函数和自变量这两个变量之间的变化关系，是数形结合的完美体现．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为(A)A．y＝10x＋30 B．y＝40xC．y＝10＋30x D．y＝20x2.一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：支撑物高度h/cm1020304050607080小车下滑时间t/s4.233.002.452.131.891.711.591.50下列说法错误的是(C)
教学步骤 师生活动 设计意图
A．当h＝50 cm时，t＝1.89 s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小C．h每增加10 cm，t减小1.23 s D．随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快3.购买某型号汽油的金额y(元)关于数量x(L)的函数图象如图所示，那么这种汽油的价格是每升5.09元．4.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y(米)关于时间x(时)的函数解析式为y＝6＋0.3x(0≤x≤5).5．声音在空气中传播的速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间的关系如下表所示：气温x(℃)05101520音速y(m/s)331334337340343从表中可知，音速y随气温x的升高而加快，在气温为20 ℃的一天召开运动会，某人看到发令枪冒出的烟0.2 s后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点68.6m.6.某校办工厂年产值是15万元，计划以后每年增加2万元．(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数解析式，并画出函数图象；(2)估计5年后该工厂的产值．解：(1)y＝15＋2x(x≥0)，函数图象如下：(2)当x＝5时，y＝15＋2×5＝25.答：估计5年后该工厂的产值为25万元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：学生尝试小结：本节课你学到了什么？2.布置作业：(1)教材第81页练习第1，2，3题．(2)教材第83页习题19.1第10，11，12题． 通过课堂小结的形式，帮助学生对本课时内容进行整理．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
19.2 一次函数
19．2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
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学生在本节课之前已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例的概念．再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从、互相制约的关系，初步引出正比例函数的概念．因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点．因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解．
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【情景导入】
《阿甘正传》是一部励志影片，片中阿甘曾跑步绕美国数圈．假设他从德州到加州行进了21 000千米，耗费了他150天的时间，(1)阿甘大约平均每天要跑步多少千米？(2)阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系？(3)阿甘一个月(按30天计算)的行程大约是多少千米？
变式：(1)如果把150天改成300天，那么阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系？(2)如果阿甘再按这个速度跑步两个月(一个月按30天计算)，行程大约是多少千米？
【说明与建议】 说明：通过《阿甘正传》这一经典的影片引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分．建议：教师教学中要充分利用这一经典影片的实例创设情境，激发学生学习数学的兴趣与探究欲望．同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力．
【置疑导入】
首先我们来思考下面的问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示，这些函数有什么共同特点．
1．圆的周长l随半径r的变化而变化；
2．铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化；
3．每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；
4．冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化．
【说明与建议】 说明：利用学生非常熟悉的典型实例引入新课，激发学生的学习积极性与兴趣．建议：教学中教师注意引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．
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命题角度1 利用定义判断一个函数是不是正比例函数
1．下列函数中，是正比例函数的是(A)
A．y＝8x B．y＝8x＋1
C．y＝8x2＋1 D．y＝
2．(1)若y＝2xm－1为y关于x的正比例函数，则m的值为2．
(2)若y＝(n－1)x|n|是正比例函数，则n＝－1．
命题角度2 利用定义求正比例函数的解析式
3．一个正比例函数的图象过点(－2，3)，则它的解析式为(A)
A．y＝－x B．y＝x C．y＝x D．y＝－x
4．一支铅笔的价格是0.6元，购买铅笔应付款y(元)和购买支数x(支)之间的解析式是y＝0.6x．
5．已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝－6，求：当x＝1时，y的值．
解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝－6，
∴2k＝－6，解得k＝－3.
∴y＝－3x.
∴当x＝1时，y＝－3×1＝－3.
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课题 19.2.1 第1课时 正比例函数的概念 授课人
素养目标 1.理解正比例函数的概念；掌握正比例函数解析式的特点．2．经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识．3．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点 理解正比例函数的概念及解析式的特点．
教学难点 掌握正比例函数的概念及解析式的特点．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.函数的三种表示方法是什么？2．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y.x/份1234…y/元0.40.81.21.6…y与x之间的函数解析式是y＝0.4x． 故知新，为抓住本节重点，突破难点做知识储备，为本课的学习提供温迁移或类比方法．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.128天后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间的函数关系为y＝200x.类似于y＝200x这种形式的函数在现实世界中还有很多，它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习． 通过生活中比较生动的例子引入本节课的内容，激发学生学习的兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式，并指出函数解析式中的常量、自变量和函数．(1)圆的周长l随半径r的变化而变化；(2)小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程s(单位：米)随他所走的时间t(单位：分)的变化而变化；(3)每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h(单位： cm)随练习本的本数n的变化而变化；(4)冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化．(5)小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t(单位：分)随他步行的速度y(单位：米/分)的变化而变化．师生活动：多媒体呈现上述五个实际问题．学生独立解答，然后小组交流，派出代表进行反馈．教师要重点关注：(1)题中学生易将l＝2πr写成l＝πr2；(4)题中每分钟下降2 ℃应记为“－2 ℃”，避免学生将T＝－2t写为T＝2t.关注学生能否准确找出l＝2πr中的常量．函数解析式常量自变量函数(1)l＝2πr2πrl(2)s＝30t30ts(3)h＝0.5n0.5nh(4)T＝－2t－2tT(5)t＝300vt 1.通过观察具体问题中函数的解析式，抽象出正比例函数的模型．2.通过指出常量、自变量、函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点奠定基础．3.通过对实际问题的讨论，引导学生体验从具体到抽象的认知过程．4.通过将前四个函数与第五个函数进行比较，引导学生分析、概括出正比例函数的共同特点，从而归纳出正比例函数的概念，培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力．
教学步骤 师生活动 设计意图
【探究2】 认真观察前四个函数解析式，并与第五个函数解析式进行比较，说说这些函数有什么共同点． 师生活动：学生观察、思考，小组交流，分析、归纳共同特点，派出代表反馈．教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点．教师根据学生的表述板书：共同点：常数×自变量．教师讲解正比例函数的概念，并板书：概念：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？学生交流、讨论，互相补充．
例1 下列函数中，哪些表示y是x的正比例函数？
(1)圆的半径为x，周长为y.
(2)每本练习本0.5元，购买练习本的总费用y(元)与购买练习本的本数x(本).
(3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为x小时，所行驶的路程为y千米．
(4)由题意，得y＝3 500x，是正比例函数．
∴x＝28－5y，
∴y＝－15 x＋285 ，
即y不是x的正比例函数．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯及逻辑论证能力．2．帮助学生结合实际例子深入理解正比例函数的内涵.
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列关系中，是正比例函数关系的是(D)A.当路程s一定时，速度v与时间tB.圆的面积S与圆的半径RC.正方体的体积V与棱长aD.正方形的周长C与它的一边长a2．小王在一家公司打工，报酬为20元/时，设小王这个月工作的时间为t小时，应得报酬为m元，则m关于t的解析式是m＝20t．3．若函数y＝(m－3)x＋m2－9是正比例函数，求m的值．解：∵y＝(m－3)x＋m2－9是正比例函数，∴m2－9＝0，m－3≠0.∴m＝－3.4．已知y与x之间成正比例关系，且当x＝－1时，y＝3.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x＝2时，求y的值．解(1)设y＝kx(k≠0)，把x＝－1，y＝3代入，得k＝－3.∴y＝－3x.(2)把x＝2代入y＝－3x，得y＝－3×2＝－6.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：本节课学习了哪些内容？你认为最重要的内容是什么？2．布置作业：教材第87页练习第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 正比例函数的图象与性质
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在学习本节课之前，学生已经学面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图象的方法为后面学习一次函数、反比例函数的图象和二次函数打下良好基础．通过观察图象的变化得到其性质是学习函数性质的通用方法．因此，本节课具有承上启下的重要作用．
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【情景导入】
活动内容1：播放录像，提出问题
龙卷风是大气中最强烈的一种涡旋现象．它的外形看起来像一个猛烈旋转的圆柱形空气柱，龙卷风的移动速度很快，平均每分钟可移动约3千米，有关数据如下表：(媒体展示)
时间(分) 0 1 2 3 4
路程(千米) 0 3 6 9 12
如果龙卷风移动的时间用x表示，移动的路程用y表示，你可以得到怎样的结论？
活动内容2：总结归纳，引出课题
同学们今天对龙卷风的研究取得了令人欣喜的成果，即：龙卷风的移动时间和路程之间存在正比例函数关系：y＝3x，知道时间，就可轻易求出龙卷风移动的路程，可是仅仅依靠函数解析式分析龙卷风显得太抽象，能不能把函数关系转化成生动的图象呢？
【说明与建议】 说明：通过具有视觉冲击力的录像，可迅速吸引学生的注意力和调动学生探究问题的欲望，然后利用学生探究的结果引出下一个要探究学习的内容，同时引出课题，一举多得．建议：学生不难得出y＝3x，教师提问学生：x可以取任意实数吗？从而引导学生得出：龙卷风移动的路程和时间可用正比例函数y＝3x(其中x≥0)表示．
【置疑导入】
画出下列正比例函数的图象．(要求：全班同学分组合作画出函数图象)
(1)y＝x；(2)y＝2x；(3)y＝3x；
(4)y＝－x；(5)y＝－x；(6)y＝－x.
以小组为单位，观察本组成员所画图象，你有什么发现？
【说明与建议】 说明：教师提出问题讲清要求，学生按要求绘制正比例函数图象引入新课，同时引导学生熟练掌握函数图象的画法，为下一环节小组观察图象、归纳正比例函数的图象与性质做准备．建议：分组合作是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率．不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生归纳正比例函数的性质时，因图象数量少，从而缺乏典型性和可信度．
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命题角度1 画正比例函数的图象
1．请在网格中画出y＝－2x，y＝x的图象．
解：如图所示，直线y＝－2x与直线y＝x即为所求．
命题角度2 正比例函数的图象和性质的运用
2．正比例函数y＝－4x的图象大致是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
3．对于函数y＝4x，下列说法正确的是(D)
A．当x>0时，y随x的增大而减小 B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大
4．已知函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为(B)
A．2 B．－2 C．－ D．±2
5．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1
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课题 19.2.1 第2课时 正比例函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.会画正比例函数的图象；理解正比例函数的图象及性质．2．能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx(k≠0)理解k>0和k<0时函数的图象特征与增减性．3．通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表达、数学概括能力．
教学重点 用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．
教学难点 正比例函数的图象特征及性质．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是正比例函数？请你写出两个具体的正比例函数．2．描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线．3．下列函数中，y是x的正比例函数的是①④．(填序号)①y＝－5x；②y＝；③y＝3x2＋5；④y＝；⑤y＝－x－1. 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】请用描点法画出下列函数的图象，观察图象你能发现什么？(1)①y＝x；②y＝－x.(2)①y＝4x；②y＝－4x. 直接引入，简洁明了，重点突出．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．(1)y＝3x；(2)y＝x.解：(1)列表：x…－2－1012…y…－6－3036…描点、连线，画出图象，如图所示：(2)在上图中画出y＝x的图象．(3)两个函数图象的共同点：都是经过原点的直线，图象从左向右上升，经过第一、三象限，即y随着x的增大而增大． 1.画图并归纳正比例函数图象的特征是本节的重点与难点，本环节通过分析自变量取值范围，列表、描点、连线，画出一系列函数图象，并从中找出规律．学生参与知识的生成，体现了以学生为本的教学理念．2.教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象，并利用此例让学生巩固正比例函数的图象与性质．
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究2】 请你在下面的平面直角坐标系中画出y＝－1.5x，y＝－x两个函数的图象．比较两个函数图象可以看出：两个函数图象都是经过原点的直线，图象从左向右下降，经过第二、四象限，即y随着x的增大而减小．提问：画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？师生活动：让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律．【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？师生活动：教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y＝x；(2)y＝－3x.师生活动：学生合作探究交流得出结论：画正比例函数的图象时，只需除原点外再确定一个点，即找出一组满足函数解析式的对应数值即可，如(1，k)，因为两点可以确定一条直线．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第87～88页例1)画出下列正比例函数的图象：(1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.【解答】 (1)如图1所示． 图1 图2(2)如图2所示．【变式训练】用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：(1)y＝x；(2)y＝－x.解：列表：x02y＝x02y＝－x0－1描点、连线，如图．例2 已知正比例函数y＝(2m＋4)x.问：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？(2)m为何值时，y随x的增大而减小？(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？【解答】 (1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0，解得m＞－2.(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)∵点(1，3)在该函数图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－．【变式训练】 已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2.(1)求m的取值范围；(2)当m取最大整数值时，画出该函数图象．解：(1)∵当x1＜x2时，有y1＞y2，∴m－1＜0.∴m＜1.∴m的取值范围是m＜1.(2)∵m＜1，∴m的最大整数值为0.∴函数解析式为y＝－x.图象如图所示．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 通过例题和变式训练进一步促进学生巩固正比例函数的图象性质，并体验数形结合思想的运用过程．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为(B)A. B．3 C．－ D．－32．正比例函数y＝－3x的大致图象是(C) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 3．若正比例函数y＝(k＋1)x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围为(D)A.k＞0 B．k＜0 C．k＞－1 D．k＜－14．关于正比例函数y＝－2x，下列结论中不正确的是(D)A.图象经过点(1，－2)B.图象经过第二、四象限C.y随x的增大而减小D.不论x为何值，总有y＜05．已知点P1(1，y1)，P2(2，y2)是正比例函数y＝(k2＋1)x的图象上的两点，则y1＜y2(填“＞”“＜”或“＝”).6.数学课上，老师要求同学们画函数y＝|x|的图象，小红联想绝对值的性质得到y＝x(x≥0)或y＝－x(x≤0)，于是她很快作出了该函数的图象(如图)，和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象．解：不对，如图所示：师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课我们研究了什么，得到了哪些成果？(2)正比例函数的图象及性质是怎样的？我们是如何进行研究的？(3)在正比例函数图象与性质的研究过程中，你感受最深的是什么？2．布置作业：教材第98页习题19.2第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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详见电子资源
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
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本节课的主要内容是一次函数的概念，在学习本节课之前，学生已经学习了正比例函数的概念，这为本节课的学习打下了基础．一次函数既为前面学过的正比列函数知识得以概括和升华，也为后面学习函数知识打下了坚实的基础，因此，一次函数的概念学习起到了承上启下的作用．
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【置疑导入】
身边的数学：你会选择哪种收费方式呢？
某移动通信公司开设了两种通信业务，A类收费标准：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；B类收费标准：不缴月租费，每通话1 min，付话费0.6元(本题的通话费均指市内通话).设一个月通话x min，两种方式的费用分别为y1(元)和y2(元).
(1)写出y1和y2与x之间的关系式；
(2)某人估计一个月内通话300 min，选择哪种通信业务更划算？
【说明与建议】 说明：为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景，既复习了旧知识，又为学习新知识做好铺垫．建议：提示学生应分别写出A，B两类收费标准下应缴费用与通话时间之间的解析式．对于问题(2)，学生只需代入比较即可得出答案．
【情景导入】 按图中所示方式摆放餐桌和椅子．用x表示餐桌的张数，用y表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，写出函数解析式；
(3)这个函数解析式有何特点？谈谈你的看法．
【说明与建议】 说明：利用生动有趣的探究规律的问题情境引入课题，激发学生的学习兴趣．建议：本课是在学习正比例函数的基础上，进一步学习一次函数的概念．一次函数的概念是在观察一类具体函数解析式的特点的基础上，通过抽象得到的函数模型，所以教师要列举学生熟悉的实例鼓励学生积极探究．
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命题角度1 利用概念判别一次函数
1．下列函数中是一次函数的是(D)
A．y＝－2x＋1 B．y＝5x2－4x＋1
C．y＝ D．y＝－3－x
2．m为何值时，函数y＝(m＋3)x2m＋1－5(x≠0)是一次函数？
解：由题意，得2m＋1＝1，m＋3≠0，
∴m＝0.
命题角度2 由自变量和函数的对应值求函数解析式
3．直线y＝kx－4经过点(－2，2)，则该直线的解析式是(A)
A．y＝－3x－4 B．y＝－x－4
C．y＝x－4 D．y＝3x－4
4．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当y＝－3时，求自变量x的值．
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝2x＋1.
(2)当y＝－3时，得2x＋1＝－3，解得x＝－2.
命题角度3 从生活中建立一次函数模型
5．某商场自行车存放处每周的存车量为6 000辆次，其中变速车存车费为每辆每次1元，普通车存车费为每辆每次0.5元．若这周普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是(B)
A．y＝0.5x＋6 000 B．y＝－0.5x＋6 000
C．y＝0.5x＋3 000 D．y＝－0.5x＋3 000
6．红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y(吨)与烧煤天数x(天)之间的函数解析式，指出y是不是x的一次函数，并求自变量x的取值范围．
解：依题意，得y＝80－5x，即y＝－5x＋80，该函数属于一次函数．
因为y≥0，
所以－5x＋80≥0，解得x≤16.
又因为x≥0，
所以x的取值范围为0≤x≤16.
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课题 19.2.2 第1课时 一次函数的概念 授课人
素养目标 1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系．2．能根据问题的信息写出一次函数的解析式，能利用一次函数解决简单的问题．3．在探索过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系．
教学重点 1.一次函数的概念．2．根据已知信息写出一次函数的解析式．
教学难点 理解一次函数的概念及与正比例函数的关系．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是函数？函数有哪些表示方法？2．正比例函数的性质有哪些？3．当m＝－1时，y＝(m－1)xm2是正比例函数． 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃.1．试用函数解析式表示y与x的关系．2．思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种函数你见过吗？ 通过生活中的例子，引出本节课的内容，通过设问引发思考，激发学习兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究】思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？(1)有人发现，在20～25 ℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位：℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差．(2)一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值．(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括月租费22元和打电话x min的计时费(按0.1元/min收取).(4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化．想一想：上面的四个函数解析式的共同特点是什么？师生活动：学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程．归纳：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．提问：(1)当b＝0时，一次函数会变成什么样的函数？(2)一次函数和正比例函数有什么联系与区别？归纳：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠________；自变量x的次数为________；常数项b可以为________．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数是________．自变量x的次数为________，正比例函数是特殊的________．师生活动：教师引导学生进行思考，师生共同完成归纳． 从大量生动有趣的实际问题情景出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y＝－8x；(2)y＝；(3)y＝8x2；(4)y＝8x－4.解：(1)y＝－8x是正比例函数．(2)y＝既不是一次函数也不是正比例函数．(3)y＝8x2既不是一次函数也不是正比例函数．(4)y＝8x－4是一次函数．例2 仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式．题中的函数是一次函数吗？为什么？解：依题意，得Q＝400－36t，Q是t的一次函数．【变式训练】1．下列函数①y＝－5x；②y＝－2x＋1；③y＝；④y＝x－1；⑤y＝x2－1中，是一次函数的有(C)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知y＝(k－1)x|k|－k是一次函数，则k的值为－1．3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数．(1)在时速为80千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(时)之间的关系；(2)汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，汽车离开A站的路程y(千米)与时间x(时)之间的关系．解：(1)y＝80x，是一次函数．(2)y＝40x＋4，是一次函数．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.通过例题和变式训练，进一步巩固对一次函数的概念及在实际问题中建立一次函数模型的掌握．2．充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在一次函数y＝x＋2中，当x＝9时，y的值为(D)A.－4 B．－2 C．6 D．82．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(B)A.路程一定时，时间y和速度x的关系B.长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形C.圆的面积y与它的半径xD.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x3．已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，则m的值是(A)A.－3 B．3 C．±3 D．±24．在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为s＝100－7t．5．已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？解：(1)根据一次函数的定义，得m＋1≠0且2－|m|＝1，解得m＝1.∴当m＝1，n为任意实数时，y是x的一次函数．(2)根据正比例函数的定义，得m＋1≠0且2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝1，n＝－4.∴当m＝1，n＝－4时，y是x的正比例函数．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)注意正比例函数与一次函数的关系．(2)某函数是一次函数应满足的条件是：自变量的次数是1，系数不为0.(3)逐步认识利用方程思想建立函数关系式．2．布置作业：教材第99页习题19.2第3，6题． 培养学生总结知识的能力，巩固新知．
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
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第2课时 一次函数的图象与性质
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本节课的教学内容是一次函数的图象和性质．一次函数的图象和性质是正比例函数图象与性质的推广，在许多方面与正比例函数的图象与性质有紧密联系．学本节课之前，学生已学习了变量与函数及一次函数的概念，会用两点法画出正比例函数的图象，为本节课学习一次函数的性质与图象做了铺垫，也是继续学习反比例函数、二次函数的图象和性质的重要基础．
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【情景导入】
一天，小明以80米/分的速度去上学，离家5分钟后，小明的父亲发现小明的语文书未带，立即以120米/分的速度去追小明，请问小明离家的距离s(米)与小明父亲出发的时间t(分)之间的函数关系是怎样的？它是一次函数吗？
如图所示的图象能表示上述问题中的s与t的关系吗？
如图所示的图象是函数s＝80t＋400(t≥0)的图象，它还有哪些性质呢？这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象与性质．
【说明与建议】 说明：通过学生比较熟悉的生活情景，引导学生在写函数解析式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．建议：教学时教师可引导学生类比正比例函数的图象与性质研究一次函数的图象与性质．
【复习导入】 创设情境
展示一些与实际生活息息相关的图片．在我们的生活中，有许许多多这样的图案，这些图案中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地做出决策或预测．
在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么一次函数的图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数的图象与性质．首先，我们来复习一下前面所学习的有关知识．
提问：(1)作函数图象有哪几个主要步骤？
(2)前面我们探究得到的正比例函数的图象有什么特征？
(3)作正比例函数的图象需要描出几个点？
【说明与建议】 说明：通过富有现实意义的图片展示，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们做出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值．再通过学生回顾前面学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫．
建议：教学时抓住本节课的主要内容是对一次函数y＝kx＋b中常数k对图象的影响进行探究．本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习．
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命题角度1 一次函数的图象
1．一次函数y＝－2x＋3在平面直角坐标系内的大致图象是(C)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
2．将一次函数y＝3x＋5的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数的解析式为y＝3x－4．
命题角度2 一次函数的性质
3．关于函数y＝－x＋1的图象与性质，下列说法错误的是(B)
A．图象不经过第三象限
B．当－2
D．图象是与y＝－x－1平行的一条直线
4．已知P1(－3，y1)，P2(2，y2)是一次函数y＝2x＋k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是(B)
A．y1>y2 B．y1
课题 19.2.2 第2课时 一次函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.会画一次函数的图象；能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系．2．在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想．3．能根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)理解k>0和k<0时图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性．
教学重点 用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质．
教学难点 理解一次函数的增减性．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是一次函数？请写出三个一次函数的解析式．2．什么是正比例函数？从解析式上看，正比例函数与一次函数有什么关系？3．正比例函数有哪些性质？你是怎样得到这些性质的？4．在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么你能快速地作出函数y＝3x和y＝－2x的图象吗？ 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．为本课的学习提供迁移或类比方法．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？2．从解析式上看，一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？这正是我们这节课所要探索的内容．3．针对函数y＝kx＋b，大家想研究什么？应该怎样研究？在研究函数y＝kx＋b(k≠0)的性质时方法如下：画图象→观察图象→性质． 1.通过类比的方式引导学生思考一次函数的图象特征，直入主题．2．教师利用问题2激起学生的探索欲望，导入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】【探究1】 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象．解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值如下：x…－101…y＝－6x…60－6…y＝－6x＋5…115－1…画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象如图所示．观察图象，思考并填空：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同；函数y＝－6x的图象经过点(0，0)；函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点(0，5)，即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到．总结：(1)一次函数y＝kx＋6(k≠0)的图象是直线，我们称它为直线y＝kx＋b.(2)一次函数y＝kx＋b(k＝0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．师生活动：教师引导学生总结：在平面直角坐标系中画出满足函数解析式的两点，过这两点画直线，即画一次函数图象时可以只描出两个点．【探究2】 探究：分别画出下列函数的图象．(1)y＝x＋1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－x＋1；(4)y＝－2x＋1.如图所示：思考并解决问题：(1)直线y＝x＋1经过一、二、三象限；y随x的增大而增大，函数的图象从左向右上升；(2)直线y＝2x＋1经过一、二、三象限；y随x的增大而增大，函数的图象从左向右上升；(3)直线y＝－x＋1经过一、二、四象限；y随x的增大而减小，函数的图象从左向右下降；(4)直线y＝－2x＋1经过一、二、四象限；y随x的增大而减小，函数的图象从左向右下降．由它们联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？总结规律：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降；y随x的增大而减小．师生活动：引导学生发现两直线的位置关系，并归纳一次函数的图象平移的规律． 1.通过本环节的探究过程，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，并能作出一个函数的图象，同时感悟一次函数的图象是一条直线．2.通过本环节的探究过程，让学生体会到从图象中总结出一次函数的性质的过程，有利于帮助学生理解一次函数的性质．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．解：(1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3.(2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1.(3)由题意，得2m＋1＜0，解得m＜－.【变式训练】已知关于x的一次函数y＝(2m－4)x＋3n.(1)当m，n取何值时，y随x的增大而增大？(2)当m，n取何值时，函数图象不经过第一象限？(3)当m，n取何值时，函数图象与y轴交点在x轴上方？解：(1)∵y随x的增大而增大，∴2m－4＞0.∴m＞2，n为全体实数．(2)∵函数图象不经过第一象限，∴2m－4＜0，3n≤0.∴m＜2，n≤0.(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m－4≠0，3n＞0，∴m≠2，n＞0.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.通过例题讲解引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2．通过变式训练，使所学知识得到应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．一次函数y＝x－2的大致图象是(C)2．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是(C)A.y＝2x＋8 B．y＝3x－2C.y＝－2－4x D．y＝4x3．已知直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第三象限，则k，b的取值范围是(C)A.k＞0，b≥0 B．k＞0，b≤0C.k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤04．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论正确的是(C)A.函数值随自变量的增大而增大B.函数的图象经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)5．已知一次函数y＝kx＋3，若y随x的增大而减小，则k的值可以为答案不唯一，如：k＝－7(只需写出一个符合条件的k值即可).6．画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：(1)这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左向右怎样变化？(2)函数图象经过哪几个象限？(3)写出函数图象与y轴的交点坐标．解：函数y＝－2x＋2的图象如图：(1)随着自变量x的增大，函数值y减小，图象从左向右下降．(2)函数图象经过第一、二、四象限．(3)(0，2).师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)一次函数的图象是过点(0，b)，(－，0)的直线，当k>0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当k<0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小．(2)根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象限．2．布置作业：教材第99～100页习题19.2第4，5，10，12题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
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