人教A版（2019）必修第二册 8.3.3 球与多面体的内切、外接 (课件25张PPT)

球的内切、外接问题
高一数学组
第八章 立体几何初步
引 入
公式归纳：
圆柱
圆锥
圆台
?
O
R
球
l
O
O'
2πr
r
?
?
O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr
?
?
2πr
O
S
l
r
?
探究新知
5. 球与多面体的内切、外接
类型：内切球、棱切球、外接球
内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体.
棱切球：若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球.
外接球：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体.
多面体在球体内
多面体在球体外
探究新知
（1）正方体
切点：各个面的中心.
球心：正方体的中心.
直径：相对两个面中心连线.
直径等于正方体的棱长.
①内切球
?
O
O
?
②棱切球
O
?
?
O
切点：各棱的中点.
球心：正方体的中心.
直径： “对棱”中点连线
直径等于正方体一个面的对角线长.
③外接球
O
A
B
C
D
O
?
A
B
C
D
直径等于正方体的体对角线长.
a是正方体棱长
球心：正方体的中心.
直径： 体对角线
例题讲解
?
O
O
?
A
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.
2R=6，即R=3.
教材119页
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
解：
由题意知
∴水槽在水面以上的体积为
又木球浸在水中的体积为
∴水不会从水槽中溢出.
6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 B. C. D.
A
5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 .
探究新知
（2）长方体
①内切球
一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切.
如果一个长方体有内切球，那么它一定是
正方体
例如，装乒乓球的盒子
问题6 一般的长方体有内切球吗？
没有.
例题讲解
（2）长方体
O
?
A
B
C
D
O
A
B
C
D
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于长方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
②外接球
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R= ???????? l = ???????? √a2+b2+c2 (a,b,c是长方体的棱长)
?
例题讲解
变式 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为__________.
解：
设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则
O
a
b
c
ab=
bc=
ac=
a=
∴
b= 1
c=
∴4R2=a2+b2+c2=9
∴S球=4πR2=9π
探究新知
①内切球
（3）圆柱、直棱柱
若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径.
若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高.
例题讲解
（3）圆柱、直棱柱
?
O
?
O2
C
B
A
a
?
O1
B
AO2=
∴R2=AO2=AO22+OO22=
OO2=
∴S球=4πR2=
②外接球
探究新知
直棱柱外接球半径求法
3、
1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；
2、球心到底面的距离是侧棱长的一半
r
o1
o
o2
●
R
课堂练习
r
o1
o
o2
●
R
5πa2
课堂练习
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径
√
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
①内切球
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
B
C
D
P
O
E
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥
PE为斜高,
∴PD=1,易知 ，
∴
S球=4πr2=
V球= πr3=
利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)
等体积法
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
①内切球
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
B
C
D
P
O
E
解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F,
PE为斜高D,
过PA,PD作轴截面，交BC边中点E,
∴PD=1,易知 ，
S球=4πr2=
V球= πr3=
r
r
O
E
P
A
D
F
连接OE，OF
由△POF∽△PEO，得 ，
解得r=
轴截面法
作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上.
例题讲解
例7 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.
A
B
C
D
O
解：如图所示，作出轴截面，因为△ABC为正三角形，
CO1= AC=2,AC=4,AO1=2 ,
1
2
Rt△AOE ~ Rt△ACO1, 所以
E
=
OE
AO
CO1
AC
OE=R=
3
2
S=
16π
3
A
B
C
O1
O
E
O2
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
36π
②外接球
O
O
A
O′
P
?
?
R
26
?
R
O′
?
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
例8
O
?
O′
O
课堂练习
（4）正棱锥、圆锥
②外接球
探究新知
（4）正棱锥、圆锥
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
②外接球
3.
O
A
O′
P
?
?
R
l
R
h
|h-R|
例题讲解
（4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
?
O
D
R
?
O′
P
C
B
A
a
解1：
作出截面图如图示.
由图可知，
R
O
A
D
O′
P
?
?
R
a
R
例题讲解
解2：
补形法.
?
O
P
C
B
A
（4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
探究新知
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体．
P
A
B
C
补形法：
（4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
?
O
D
R
?
O′
P
C
B
A
a
R
O
A
D
O′
P
?
?
R
a
R
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r
2.若正四面体的高为h，则
h
课堂小结
?
O
R
1.球的表面积、体积公式
2. 球与多面体的内切、外接
方法：
结论：
1.正方体的三个球
2.长方体的外接球
3.直棱柱
圆 柱
内切、外接球
4.正棱锥
圆 锥
内切、外接球
5.正四面体内切、外接球
等体积法
补形法
轴截面法