人教A版（2019）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 课件(24张PPT)

(共24张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
知识回顾
B
A
b
a
o.
O.
C
a+b
b
a
A
B
b
a+b
a
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
首尾相连首尾连
起点相同连对角
o.
B
A
a-b
a
b
3.向量减法法则:
首同尾连向被减
思考题1:已知向量 如何作出 和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
学习新知
思考题2: 向量 与向量 有什么关系 向量
与向量 有什么关系
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
学习新知
当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
|λa|=|λ|·|a|
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。
一、向量的数乘定义
它的长度和方向规定如下：
(1) 长度
(2) 方向
特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0
二、向量数乘的几何意义
a
-3a
3a
几何意义：将 的长度扩大（或缩小） 倍，改变（或不改变） 的方向，就得到了λ
a
|λ|
a
a
练习15页第2题
=
探究:实数与向量积的运算律
探究:实数与向量积的运算律
探究：实数与向量积的运算律
=
①λ(μa)=
运算律:
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
②(λ+μ) a=
③λ(a+b)=
(λμ) a
λa+μa
λa+λb
（-λ）a= -(λa)= λ(-a)
特别地，
λ(a-b)=
λa-λb
结合律
第一分配律
第二分配律
三、向量数乘运算满足的运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，
向量的线性运算的结果仍为向量
对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有
（1）向量的线性运算类似于多项式的运算，主要是“合并同类项”
“提取公因式”，只不过这里的“同类项” “公因式”都是向量，
实数可以看做是向量的系数
（2）对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算
律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减，即“先乘除，
后加减”。
例1.计算：
解:
注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.
牛刀小试
A
B
C
M
D
例2：把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积.
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？
对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：
2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？
自主探究
对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
当a与b同方向时，有b=μa;
当a与b反方向时，有b=-μa，
所以始终有一个实数λ，使b=λa。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且
四、向量共线定理
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa.即：
解：作图如右
O
A
B
C
依图猜想:A、B、C三点共线
∴ A、B、C三点共线.
a
b
b
b
b
a
例2、已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
∵ AB=OB-OA
∴ AC=2AB
又 AC=OC-OA
=a+3b-(a+b)=2b
=a+2b-(a+b)=b
又 AB与AC有公共点A，
A
E
D
C
B
解：
=3 AC
=3( AB+ BC )
∵ AB+BC=AC
=3 AB+3 BC
又 AE=AD+DE
∴ AC与AE 共线
如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。
摇身一变
例3：
又 AC与AE有公共点A，
∴ A、C、E三点共线.
定理应用
变式1：
如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。
变式：
如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系
结论：
向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。
判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
二、知识应用：
1.证明 向量共线；
2.证明 三点共线:
一、概念与定理
① λa 的定义及运算律
② 向量共线定理 ( a≠0 )
b=λa 向量a与b共线
C.
A.
B.
2.
设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).
D.
1.
下列四个说法正确的个数有( ).
B.2个
A.1个
C.3个
D.4个




B
C
3. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解：因为
（２）
所以，所证等式成立
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
过点B作BE,使
连接CE
则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.
由向量加法平行四边形法则有
解2:
（ C ）
分析:由 所以
在平行四边形ABCD中, ,M为BC的
中点,则 等于＿＿＿＿＿＿
4.
5.
A
B
C
D