人教A版（2019）选择性必修第一册 1.1.2 空间向量的数量积运算 课件(27张PPT）

(共27张PPT)
一、共线向量定理：
二、共线向量定理的推论：
1、若直线l过点A且与向量 平行，则
2、三点P、A、B共线的充要条件有：
三、共面向量定理：
四、P、A、B、C四点共面充要条件：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
1.1.2 空间向量的数量积运算
因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面. 因此，平面中两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义、表示符号及数量积等相关概念、性质可以推广到空间.
平面向量的数量积 性质
几何 意义
运算律
A
C
D
A1
B1
B
a
b
O
B
A
O
B
A
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
想一想：〈 a，b〉与〈a，－b〉相等吗？
提示〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
特别地，零向量与任意向量的数量积为0．
(2)数量积的性质
两个向量数量积的性质 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ .
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？
提示　数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．
A
B
(3)
a
c
b
不能
不能
向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是数量积a·b，二是向量积a×b，所以向量的除法没有意义.
不成立
当a与c共线时，(a·b)·c＝a·(b·c)成立；
当a与c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c).
因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
向量的数量积不满足结合律.
证明:
A
B
C
D
l
m
n
g
l
m
n
g
题型一　利用数量积求夹角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，①求A，D两点间的距离②AD与CF所成角的余弦值.
【例2】
题型二　利用数量积求两点间的距离
题型三　利用数量积证明垂直关系
如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
空间向量的数量积
空间两个向量的夹角
定义
几何意义
运算律
性质
利用向量解决立体几何问题的应用
谢
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