3.2.1单调性与最大（小）值 教学设计

人教A版必修第一册《单调性与最大（小）值》教学设计
一、教材分析
本节的主要内容是函数的单调性、函数的单调区间、增函数与减函数、函数的最大值与最小值。函数的单调性是本节的重要内容，研究函数的单调性在高中阶段通过两次来进行，第一次是利用函数单调性的定义，第二次是利用导数来研究。
通过图形观察，了解函数的单调性，体会函数自变量的变化引起函数的值变化规律，能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质，在动态中感悟与之间的变化关系。
本节的重点是函数单调性的定义，难点是函数单调性的证明与应用。突破重点与难点的关键，首先是理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合函数图象的直观意义去理解。本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、数学运算等。
二、学情分析
对学生而言，前面已经学习了函数的概念，在初中已经掌握了正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象。初中学段的学习只是谈到函数图象的变化趋势，还没有上升到函数的性质，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。
学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是增(减)函数形式化定义的形成，这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解；二是利用增(减)函数的定义判断函数的单调性，其主要原因是比较大小的能力不够，因此对函数的复杂程度要加以控制，同时要明确判断函数单调性的基本步骤。
三、教学目标
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解。
2.理解用符号形式表达数学定义的必要性，掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用。
3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间。
4.理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。
5.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。
6.理解函数最值的定义，会求函数在给定区间上的最值。
四、教学重难点
教学重点：
1. 借助图象和自然语言、数学符号语言，形成增(减)函数的形式化定义,并能用定义解决简单的问题。
2. 函数最大（小）值的定义和求法。
教学难点：
1.增(减)函数的定义，利用增(减)函数的定义判断函数的单调性。
2.如何求一个具体函数的最值。
五、教学过程设计
新课引入
要求学生分别画出一次函数和二次函数的函数图象。
问题1 从左到右看，说出这两个函数图象的变化趋势（用上升和下降描述）。随着的不断增大，函数值有怎样的变化？
师生活动：生：结合初中学习的相关知识画出这两个函数的图象，然后根据函数图象判断其变化趋势，回答教师的问题。
师：引导学生发现这两个函数图象的变化趋势并复习道：在初中的学习中，我们把函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性。
【设计意图】复习初中所学习的有关函数单调性的知识，让学生体会到函数的单调性与函数图象的变化趋势有关。
单调性概念的形成
为了刻画函数单调性的数学符号语言，我们以二次函数为例研究高中函数单调性的定义。将二次函数的图象分为两部分进行讨论。
在轴左侧，即时，函数图象如图所示：
由图可以看出，图象在区间上呈下降趋势，在区间内随着的增大而减小，用符号语言描述：任意取，，得到，。当时，有，这时我们就说函数在区间上时单调递减的。
在轴右侧，即时，函数图象如图所示：
由图可以看出，图象在区间上呈上升趋势，在区间内随着的增大而增大，用符号语言描述：任意取，，得到，。当时，有，这时我们就说函数在区间上时单调递增的。
总结：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。
问题2 在①中，我们是通过图象观察得到当时，有，能不能证明这个结论呢？类比以上证明，同学们自行证明在②中，当时，有。
师生活动：师：引导学生证明对于函数，任意取，当时，有。
生：练习证明对于函数，任意取，，当时，有。
【设计意图】通过观察图象得到二次函数的单调性且用符号语言进行描述，并用代数的方法对结论进行证明，体现了数学的严谨性，让学生体会到数形结合的思想。
问题3 画出和的图象，并说出它们的单调性。
师生活动：生：画出和的图象并口述这两个函数的单调性。
师：通过函数图象的变化规律引导学生定义函数的单调性。并板书：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。此时区间称为单调增区间。如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数。此时区间称为单调减区间。
师：强调定义中“任意”二字，它仅对于区间而言而不是定义域而言。并且对于，有三个要求：任意性，同区间性，有大小之分。
问题4 教材第77页下方的思考：（1）设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，，当时，都有，我们能说在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？
（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
师生活动：教师引导学生紧扣定义进行判断(1)的正确与否，学生可在熟练掌握单调性定以进行讨论。关于(2)组织学生讨论进行举例，评判，然后对该问题进行回答。
【设计意图】在熟练掌握函数单调性定义的基础上，激发学生的潜能，达到多思多说的目的，进一步让学生加深对本课时内容的理解。
（三）例题讲解
问题5 教材第78页例1：根据定义，研究函数的单调性。
师生活动：师：分析问题，引导学生根据函数单调性的定义，体会到考察当时，，还是，根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的大小关系。
【设计意图】通过例题讲解让学生掌握用定义法判断函数单调性的过程。强调我们可以通过做差法来判断与的大小关系。
问题6 用定义法证明增（减）函数的步骤是什么？
师生活动：教师引导归纳，点拨学生概括用定义证明增（减）函数的步骤。
师：板书用定义法判断函数单调性步骤：
①取值：，且。
②作差变形：计算并将分解为若干可以确定符号的式子。
③判断符号：判断与0的大小关系。
④得出结论：若 在区间上单调递增。
若 在区间上单调递减。
【设计意图】进一步加深学生对增（减）函数的认识，学习单调性的概念，培养学生抽象概括的能力。
（四）最大（小）值概念的形成
问题7再来观察二次函数和的图象，关于两个函数的最值你有什么发现？
师生活动：生：观察图象发现的图象有最低点，的图象有最高点。
师：引导学生发现，对于函数，如果对，都有，此时就说有最大值。归纳总结最大值的定义并板书：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有；
（2），都有。那么，我们称是函数的最大值。
师：教师强调定义中的两条缺一不可，如果有（1）无（2）则不存在最大值点；若有（2）无（1），则不一定是函数的最大值。
【设计意图】问题设置点名内容，引出课题。发现探究的过程锻炼学生的观察能力和语言组织能力，教师的强调加深学生对定义的理解。
问题8请同学们仿照最大值的定义，写出函数的最小值的定义。
师生活动：教师引导学生写出函数最小值的定义，教师板书函数最小值的定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有；
（2），都有。那么，我们称是函数的最小值。
【设计意图】培养学生的类比归纳能力。
（五）例题讲解
问题9 是否每个函数都有最大值和最小值？
师生活动：生：学生思考交流，讨论是否能举出反例。
师：教师举例：如函数在定义域内既没有最大值，也没有最小值。
问题10 求函数在区间上的最大值和最小值。
师生活动：师：教师引导学生明确函数在区间上的单调性，再利用单调性求最值，并板演解题过程。
【设计意图】进一步加深学生对最大（小）值的认识，通过例题讲解让学生了解如何利用单调性求最值。
（六）课堂小结
小结 本节课学习了哪些内容？
师生活动：生：思考并回答，其他同学补充。
师：记录并点评，最后回顾增（减）函数、单调区间的概念，用定义法判断函数单调性的步骤，函数最值的定义以及求函数最值的方法。
【设计意图】回顾本节课要点，实现教育过渡。让学生进行内容总结可培养学生的逻辑思维以及总结能力，并检验学习效果。
（七）布置作业
教材第79页练习 1-4题以及教材第81页练习 1-3题。
预习教材3.2.2奇偶性的内容。
【设计意图】巩固本节课所学知识，预习培养学生的自学能力。
六、板书设计
3.2.1单调性与最大（小）值 增（减）函数的定义 例1 作业 定义法证明函数单调性的步骤 例2 最大值的定义 最小值的定义