重庆市2023年中考数学试卷（A卷）
一、单选题
1．（2022·恩施） 8的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．
2．（2023·重庆）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
7．（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
8．（2023·重庆）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重庆）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·重庆）计算 .
12．（2023·重庆）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
13．（2023·重庆）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．
14．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
15．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
16．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
17．（2023·重庆）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（2023·重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
三、解答题
19．（2023·重庆）计算：
（1）；
（2）
20．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ▲ ．
∵垂直平分，
∴ ▲ ．
又 ▲ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ▲ ．
21．（2023·重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：
B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
类别 A B
平均数
中位数 b
众数 a
方差
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
22．（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
23．（2023·重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
24．（2023·重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
25．（2023·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
26．（2023·重庆）在中，，，点为线段上一动点，连接．
（1）如图1，若，，求线段的长．
（2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
（3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：8的相反数是.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得正面得到的视图是，
故答案为：D
【分析】根据三视图的定义即可求解。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠1+∠CAD+∠2=180°，∠CAD=90°，
∵，
∴∠2=35°，
故答案为：A
【分析】先根据平行线的性质和得到∠1+∠CAD+∠2=180°，∠CAD=90°，再结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据运用二次根式的混合运算得到，再估算无理数的大小即可求解。
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得
第①个图案用了9根木棍，木棍数=1×5+4=9；
第②个图案用了14根木棍，木棍数=2×5+4=14；
第③个图案用了19根木棍，木棍数=3×5+4=19；
第④个图案用了24根木棍，木棍数=4×5+4=24；
......
第⑧个图案用的木棍数为8×5+4=44，
故答案为：B
【分析】直接根据题意找出木棍数的规律，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：
∵是的切线，为切点，
∴OB⊥AC，
∵，，
∴，
在△OBC中，由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】连接BO，先根据圆切线的性质得到OB⊥AC，再运用解直角三角形即可求出OB的长，再根据勾股定理即可求解。
9．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△FDA绕点A顺时针旋转90°到△HBA，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD，
由旋转可知AF=AH，∠ABH=90°，∠HAF=90°，∠AHB=∠AFD，∠FAD=∠HAB，
∵，，
∴∠FAD=45°-α，
∴∠FAD=∠HAB=45°-α，
∴∠AHB=∠AFD=45°+α，∠HAE=45°，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴∠AHB=∠AFE=45°+α，
∴∠EFD=90°+2α，
∵∠EFD为△CEF的外角，
∴∠EFD=∠C+∠CEF，
∴，
故答案为：A
【分析】将△FDA绕点A顺时针旋转90°到△HBA，先根据正方形性质得到∠C=∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD，再根据旋转的性质得到AF=AH，∠ABH=90°，∠HAF=90°，∠AHB=∠AFD，∠FAD=∠HAB，进而得到∠AHB=∠AFD=45°+α，∠HAE=45°，再根据三角形全等的判定与性质结合外角的性质即可求解。
10．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
11．【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：1.5
【分析】根据负整数指数幂和0指数幂进行运算即可求解。
12．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠B=108°，
∵AB=AC，
∴，
故答案为：36°
【分析】先根据多边形内角和公式计算出该多边形的内角和，进而即可求出∠B的度数，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
13．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得，所有可能的情况如下：
（红，红），（红，白），（红，蓝），
（白，红），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红）， （蓝，白）， （蓝，蓝），
∴共有9种可能的情况，其中两次都摸到红球的的情况有1种，
∴两次都摸到红球的概率是，
故答案为：
【分析】根据列举法求概率即可求解。
14．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
15．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
17．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤5，
解②得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，
∴
∴a≤6，
解得（y≠1），
∵y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴a≥1且a≠5，
∴a的取值范围为1≤a≤6且a≠5
∴a可取整数为1，3，
∴1+3=4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.
故答案为：4
【分析】先分别解出不等式①和②再根据题意得到a≤5，再解分式方程，结合题意得到a≥1且a≠5，进而即可求出a的取值范围和可取整数值，将其相加即可求解。
18．【答案】；8165
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得10a+3-21=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴10a-9b-11c=d，
∴一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99（a+b）+11a+2b
∴为整数，
∵要求最大“递减数”，
∴a=8，b=1，
∴71-11c=d，
∴c最大为6，
∴d=5，
∴满足条件的数的最大值是8165，
故答案为：4312，8165
【分析】根据“递减数”的定义直接求解即可。
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；分式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）运用单项式乘多项式，平方差公式，然后合并同类项即可求解；
（2）运用分式的混合运算法则即可求解。
20．【答案】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ．
∵垂直平分，
∴．
又．
∴．
∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先根据垂直平分线的作图方法作图，再根据平行四边形的性质和三角形全等的判定与性质即可求解。
21．【答案】（1）；；
（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
（3）架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架，
答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）∵72在A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间中出现次数最多，
∴a=72，
将B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，位于中间的数为70和71，
∴，
∴，
∴1-40%-50％=10％，
∴m=10，
故答案为：72，70.5，10
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可得到a和b值，再结合题意即可求解；
（2）通过比较中位数、众数、平均数、方差即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
22．【答案】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，根据“该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，根据“该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元”即可列出分式方程，进而即可求解。
23．【答案】（1）解：当时，
连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随x的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；等边三角形的判定与性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）分类讨论，当时，连接，根据等边三角形的判定与性质即可求解；当时，根据题意即可求解；
（2）在坐标系中描点连线即可画出图像，再根据函数图象即可求解；
（3）令y=3，再代入（1）中的解析式即可求解。
24．【答案】（1）解：过点作于点，
由题意可得：四边形是矩形，
∴千米，
∵点D在点A的北偏东方向，
∴，
∴千米，
答：AD的长度约为千米；
（2）由题意可得：，，
∴路线①的路程为：（千米），
∵，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意可得，
∴，
∴，，
所以路线②的路程为：千米，
∴路线①的路程路线②的路程，
故小明应该选择路线①．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据矩形的性质得到千米，再结合题意得到，再运用锐角三角函数的定义即可求解；
（2）先根据等腰三角形的判定求出AF的长，再运用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，进而即可求解。
25．【答案】（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，
∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）延长交轴于，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而得到当最大时周长的最大，设，则，进而即可表示出PE的长，求出PE最大值即可求解；
（3）先根据平移的性质得到
平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，设，，再运用菱形的判定与性质结合题意即可求解。
26．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，延长使得，连接，
∵是的中点则，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，
在取得最小值的条件下，即，
设，则，，
∴，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到．
∴
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
则是的中位线，
∴在半径为的上运动，
当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，
∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，
∴，是的中点，
∴
即是的中位线，同理可得是的中位线，
∴，
∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，
∴
∴
则
在中，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先解直角三角形ABC，进而得到AB的长，再结合题意即可求解；
（2）延长使得，连接，先根据三角形全等的判定与性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意得到四点共圆，进而得到，，再根据题意求出，进而即可求解；
（3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，进而得到，，再根据折叠的性质得到，进而判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，再运用中位线的性质得到在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，结合题意得到，连接，交于点，则四边形是矩形， 进而即可判断出是的中位线，是的中位线，进而即可得到， ，结合题意表示出QU，最后再运用勾股定理结合题意即可求解。
1 / 1重庆市2023年中考数学试卷（A卷）
一、单选题
1．（2022·恩施） 8的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：8的相反数是.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
2．（2023·重庆）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得正面得到的视图是，
故答案为：D
【分析】根据三视图的定义即可求解。
3．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
4．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．（2023·重庆）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠1+∠CAD+∠2=180°，∠CAD=90°，
∵，
∴∠2=35°，
故答案为：A
【分析】先根据平行线的性质和得到∠1+∠CAD+∠2=180°，∠CAD=90°，再结合题意即可求解。
6．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据运用二次根式的混合运算得到，再估算无理数的大小即可求解。
7．（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得
第①个图案用了9根木棍，木棍数=1×5+4=9；
第②个图案用了14根木棍，木棍数=2×5+4=14；
第③个图案用了19根木棍，木棍数=3×5+4=19；
第④个图案用了24根木棍，木棍数=4×5+4=24；
......
第⑧个图案用的木棍数为8×5+4=44，
故答案为：B
【分析】直接根据题意找出木棍数的规律，进而即可求解。
8．（2023·重庆）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：
∵是的切线，为切点，
∴OB⊥AC，
∵，，
∴，
在△OBC中，由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】连接BO，先根据圆切线的性质得到OB⊥AC，再运用解直角三角形即可求出OB的长，再根据勾股定理即可求解。
9．（2023·重庆）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△FDA绕点A顺时针旋转90°到△HBA，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD，
由旋转可知AF=AH，∠ABH=90°，∠HAF=90°，∠AHB=∠AFD，∠FAD=∠HAB，
∵，，
∴∠FAD=45°-α，
∴∠FAD=∠HAB=45°-α，
∴∠AHB=∠AFD=45°+α，∠HAE=45°，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴∠AHB=∠AFE=45°+α，
∴∠EFD=90°+2α，
∵∠EFD为△CEF的外角，
∴∠EFD=∠C+∠CEF，
∴，
故答案为：A
【分析】将△FDA绕点A顺时针旋转90°到△HBA，先根据正方形性质得到∠C=∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD，再根据旋转的性质得到AF=AH，∠ABH=90°，∠HAF=90°，∠AHB=∠AFD，∠FAD=∠HAB，进而得到∠AHB=∠AFD=45°+α，∠HAE=45°，再根据三角形全等的判定与性质结合外角的性质即可求解。
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
二、填空题
11．（2023·重庆）计算 .
【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：1.5
【分析】根据负整数指数幂和0指数幂进行运算即可求解。
12．（2023·重庆）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠B=108°，
∵AB=AC，
∴，
故答案为：36°
【分析】先根据多边形内角和公式计算出该多边形的内角和，进而即可求出∠B的度数，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
13．（2023·重庆）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得，所有可能的情况如下：
（红，红），（红，白），（红，蓝），
（白，红），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红）， （蓝，白）， （蓝，蓝），
∴共有9种可能的情况，其中两次都摸到红球的的情况有1种，
∴两次都摸到红球的概率是，
故答案为：
【分析】根据列举法求概率即可求解。
14．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
15．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
16．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
17．（2023·重庆）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤5，
解②得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，
∴
∴a≤6，
解得（y≠1），
∵y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴a≥1且a≠5，
∴a的取值范围为1≤a≤6且a≠5
∴a可取整数为1，3，
∴1+3=4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.
故答案为：4
【分析】先分别解出不等式①和②再根据题意得到a≤5，再解分式方程，结合题意得到a≥1且a≠5，进而即可求出a的取值范围和可取整数值，将其相加即可求解。
18．（2023·重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【答案】；8165
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得10a+3-21=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴10a-9b-11c=d，
∴一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99（a+b）+11a+2b
∴为整数，
∵要求最大“递减数”，
∴a=8，b=1，
∴71-11c=d，
∴c最大为6，
∴d=5，
∴满足条件的数的最大值是8165，
故答案为：4312，8165
【分析】根据“递减数”的定义直接求解即可。
三、解答题
19．（2023·重庆）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；分式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）运用单项式乘多项式，平方差公式，然后合并同类项即可求解；
（2）运用分式的混合运算法则即可求解。
20．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ▲ ．
∵垂直平分，
∴ ▲ ．
又 ▲ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ▲ ．
【答案】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ．
∵垂直平分，
∴．
又．
∴．
∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先根据垂直平分线的作图方法作图，再根据平行四边形的性质和三角形全等的判定与性质即可求解。
21．（2023·重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：
B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
类别 A B
平均数
中位数 b
众数 a
方差
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1）；；
（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
（3）架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架，
答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）∵72在A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间中出现次数最多，
∴a=72，
将B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，位于中间的数为70和71，
∴，
∴，
∴1-40%-50％=10％，
∴m=10，
故答案为：72，70.5，10
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可得到a和b值，再结合题意即可求解；
（2）通过比较中位数、众数、平均数、方差即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
22．（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，根据“该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，根据“该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元”即可列出分式方程，进而即可求解。
23．（2023·重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】（1）解：当时，
连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随x的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；等边三角形的判定与性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）分类讨论，当时，连接，根据等边三角形的判定与性质即可求解；当时，根据题意即可求解；
（2）在坐标系中描点连线即可画出图像，再根据函数图象即可求解；
（3）令y=3，再代入（1）中的解析式即可求解。
24．（2023·重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】（1）解：过点作于点，
由题意可得：四边形是矩形，
∴千米，
∵点D在点A的北偏东方向，
∴，
∴千米，
答：AD的长度约为千米；
（2）由题意可得：，，
∴路线①的路程为：（千米），
∵，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意可得，
∴，
∴，，
所以路线②的路程为：千米，
∴路线①的路程路线②的路程，
故小明应该选择路线①．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据矩形的性质得到千米，再结合题意得到，再运用锐角三角函数的定义即可求解；
（2）先根据等腰三角形的判定求出AF的长，再运用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，进而即可求解。
25．（2023·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，
∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）延长交轴于，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而得到当最大时周长的最大，设，则，进而即可表示出PE的长，求出PE最大值即可求解；
（3）先根据平移的性质得到
平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，设，，再运用菱形的判定与性质结合题意即可求解。
26．（2023·重庆）在中，，，点为线段上一动点，连接．
（1）如图1，若，，求线段的长．
（2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
（3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，延长使得，连接，
∵是的中点则，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，
在取得最小值的条件下，即，
设，则，，
∴，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到．
∴
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
则是的中位线，
∴在半径为的上运动，
当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，
∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，
∴，是的中点，
∴
即是的中位线，同理可得是的中位线，
∴，
∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，
∴
∴
则
在中，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先解直角三角形ABC，进而得到AB的长，再结合题意即可求解；
（2）延长使得，连接，先根据三角形全等的判定与性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意得到四点共圆，进而得到，，再根据题意求出，进而即可求解；
（3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，进而得到，，再根据折叠的性质得到，进而判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，再运用中位线的性质得到在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，结合题意得到，连接，交于点，则四边形是矩形， 进而即可判断出是的中位线，是的中位线，进而即可得到， ，结合题意表示出QU，最后再运用勾股定理结合题意即可求解。
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