重庆市2023年中考数学试卷（B卷）
一、单选题
1．（2023·重庆） 4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·重庆）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
5．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
7．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．（2023·重庆）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重庆）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·重庆）计算： ．
12．（2023·重庆）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
13．（2023·重庆）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
14．（2023·重庆）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
15．（2023·重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
16．（2023·重庆）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
17．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（2023·重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题
19．（2023·重庆）计算：
（1）；
（2）．
20．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ▲ ．
∵垂直平分，
∴ ▲ ．
又 ▲ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ▲ ．
21．（2023·重庆）某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（2023·重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
23．（2023·重庆）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
24．（2023·重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）
25．（2023·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
26．（2023·重庆）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得4的相反数是-4，
故答案为：D
【分析】根据相反数的定义即可求解。
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得从正面看到的视图是，
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求解。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质即可求解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=6，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于6，
∴2×3=6，（-3）×2=2×（-3）=-6，（-2）×（-4）=8，
∴在函数图象上，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得
第①个图案中有2个圆圈，圆圈数=1×3-1=2；
第②个图案中有5个圆圈，圆圈数=2×3-1=5；
第③个图案中有8个圆圈，圆圈数=3×3-1=8；
第④个图案中有11个圆圈，圆圈数=4×3-1=11；
......
第⑦个图案中圆圈的个数为7×3-1=20，
故答案为：B
【分析】直接根据题意找出圆圈个数的规律，进而即可求解。
7．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据二次根式的乘法进行运算，再运用无理数的估算方法即可求解。
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵直线与相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵，
∴∠OCA=90°-50°=40°，
∵OC=OA，
∴，
故答案为：B
【分析】连接OC，先根据圆的切线得到∠OCD=90°，进而结合题意即可得到∠OCA=40°，再根据等腰三角形的性质即可求解。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接FA，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=BE=2，，∠CBA=90°，
∴∠BEC=∠BCE
在△ACE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE=180°，
∴∠EBC+2∠BEC=180°，
∵BF为∠ABE的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠CBE+2∠EBF=90°，
∴∠CBE=90°-2∠EBF，
∴90°-2∠EBF+2∠BEC=180°，
∵∠BEC为△BFE的外角，
∴∠BEC=∠EBF＋∠BFE，
∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°，
∵∠ABF=∠EBF，AB=EB，BF=BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∵∠BFE=∠AFB=45°，
∴∠AFC=90°，
∵O为对角线的中点，
∴，
故答案为：D
【分析】连接FA，先根据正方形的性质得到AB=BC=BE=2，，∠CBA=90°，再根据三角形内角和定理结合等腰三角形的性质得到∠EBC+2∠BEC=180°，再根据角平分线的性质结合题意即可得到90°-2∠EBF+2∠BEC=180°，再根据外角的性质即可求出∠BFE的度数，接着根据三角形全等的判定与性质即可得到∠BFE=∠AFB=45°，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
10．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
11．【答案】6
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：6
【分析】根据绝对值，0指数幂进行运算即可求解。
12．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得可能抽取的结果有：
（清，清），（清，风），（清，朗），（清，月），
（风，清），（风，风），（风，朗），（风，月），
（朗，清）， （朗，风）， （朗，朗）， （朗，月），
（月，清），（月，风），（月，朗），（月，月），
∴共有16种等可能的情况，有4种是抽取的两张卡片上的汉字相同的情况，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：
【分析】根据列举法求出概率即可求解。
13．【答案】/800度
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得
∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为（7-2）×180°-100°=800°，
故答案为：/800度
【分析】根据n边形的内角和等于（n-2）×180°即可求出总和，再减去已知的角即可求解。
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴，
在△ABD中，由勾股定理得，
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解。
15．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，则第二个月有充电桩，第三个月有个充电桩，进而即可求解。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，，，E为的中点，
∴CD=AB，∠ABE=∠DCE=90°，，BC=AD=4，
∴∠BEM=∠CED=45°，
∴，
故答案为：
【分析】先运用矩形的性质结合题意得到CD=AB，∠ABE=∠DCE=90°，，BC=AD=4，进而得到∠BEM=∠CED=45°，最后运用扇形的面积公式、矩形的面积公式、三角形的面积公式结合即可求解。
17．【答案】13
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜-2，
解②得，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
∴a≤5，
解得（y≠1），
∵关于y的分式方程的解为正数，
∴，
∴a＞-2且a≠1
∴a的取值范围为-2＜a≤5且a≠1
∴a可取整数为-1，0，2，3，4，5，
∴-1+0+2+3+4+5=13，
故答案为：13
【分析】先分别解出不等式①和②再根据题意得到a≤5，再解分式方程，结合题意得到a＞-2且a≠1，进而即可求出a的取值范围和可取整数值，将其相加即可求解。
18．【答案】6200；9313
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，
∴最小的“天真数”为6200，
∵M的千位数字为a（6≤a≤9），百位数字为b（2≤b≤9），十位数字为c，个位数字为d，
∴a-d=6，b-c=2，
∴c+d=a+b-8，
∵要求满足条件的M的最大值，
∴a=9，
∴，
∵能被10整除，2≤b≤9，
∴b=3，
∴M为9313，
故答案为：6200，9313
【分析】根据题目中“天真数”的定义即可求出最小的“天真数”，再结合题意得到a-d=6，b-c=2，c+d=a+b-8，且a=9，进而即可得到，接着根据“能被10整除”即可求出b的值，进而即可求解。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据单项式多项式，完全平方公式进行运算即可求解；
（2）根据分式的混合运算法则进行运算即可求解。
20．【答案】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵垂直平分，
∴．
又．
∴．
∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据垂直平分线的作图方法进行画图，再根据垂直平分线的性质， 平行四边形的性质，结合三角形全等判定与性质进行推理论证即可求解。
21．【答案】（1）15；88；98
（2）解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
（3）解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵抽取的对款设备的评分数据中“满意”有6组数据，
∴，
∴1-30％-10%-45%=15%，
∴a=15，
∵“不满意”和“比较满意”共有（10%+15％）×20=5人，不满意”、“比较满意”和“满意”共有（10%+15％+30％）×20=11人，
∴第11份与第10分的平均数为中位数，
∴m=88，
∵抽取的对款设备的评分数据中，98出现次数最多，
∴n=98，
故答案为：15，88，98
【分析】（1）根据“满意”的人数除以总人数即可求出其所占的百分比，再根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数和“非常满意”所占百分比进行判断即可求解。
22．【答案】（1）解：当时，
连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随x的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一次函数的图象；等边三角形的判定与性质；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）分类讨论，当时，连接，根据等边三角形的判定与性质即可求解；当时，根据题意即可求解；
（2）在坐标系中描点连线即可画出图像，再根据函数图象即可求解；
（3）令y=3，再代入（1）中的解析式即可求解。
23．【答案】（1）解：设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，
由题意得：，
解得，
则，
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．
（2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，
由题意得：，即，
解得，
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，根据“甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，根据“派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩”进而即可列出方程，解方程即可。
24．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
由题意得：，
，
米，
米，
答：养殖场与灯塔的距离为2545米．
（2）解：米，
米，
则甲组到达处所需时间为（分钟）分钟，
所以甲组能在9分钟内到达处．
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；解直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得到米，进而运用锐角三角函数的定义即可求解；
（2）先根据解直角三角形求出AD的长，进而即可得到AB的长，再根据时间=路程÷速度即可求解。
25．【答案】（1）解：将点，．代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴，
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴，
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接将B、C两点代入（待定系数法）即可求解；
（2）先令y=0求出A、C的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法即可求出AC解析式，过点作轴于点，交于点，设，则，进而即可表示出PQ的长，从而结合题意即可得到，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）先根据平移的性质得到，对称轴为直线，，再根据勾股定理结合题意求出，设，进而即可求出，，最后分时和时进行讨论即可求解。
26．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在与中，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：依题意，如图所示，延长交于点，
由（2）可知是等边三角形，
∴
∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
由（2）可知是的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴，
又，
∴，
∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质即可求解；
（2）如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，先根据等边三角形的性质得到，再根据垂直平分线的判定与性质结合三角形全等的判定与性质即可证明，进而根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形即可求解；
（3）延长交于点，由（2）可知是等边三角形，先根据折叠的性质得到，，进而根据等边三角形的判定即可得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质得到，接着根据三角形全等的性质结合平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而即可得到，从而根据题意即可得到，且当取得最小值时，即时，取得最小值，最后结合题意即可求解。
1 / 1重庆市2023年中考数学试卷（B卷）
一、单选题
1．（2023·重庆） 4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得4的相反数是-4，
故答案为：D
【分析】根据相反数的定义即可求解。
2．（2023·重庆）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得从正面看到的视图是，
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求解。
3．（2023·重庆）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质即可求解。
4．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=6，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于6，
∴2×3=6，（-3）×2=2×（-3）=-6，（-2）×（-4）=8，
∴在函数图象上，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
6．（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得
第①个图案中有2个圆圈，圆圈数=1×3-1=2；
第②个图案中有5个圆圈，圆圈数=2×3-1=5；
第③个图案中有8个圆圈，圆圈数=3×3-1=8；
第④个图案中有11个圆圈，圆圈数=4×3-1=11；
......
第⑦个图案中圆圈的个数为7×3-1=20，
故答案为：B
【分析】直接根据题意找出圆圈个数的规律，进而即可求解。
7．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据二次根式的乘法进行运算，再运用无理数的估算方法即可求解。
8．（2023·重庆）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵直线与相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵，
∴∠OCA=90°-50°=40°，
∵OC=OA，
∴，
故答案为：B
【分析】连接OC，先根据圆的切线得到∠OCD=90°，进而结合题意即可得到∠OCA=40°，再根据等腰三角形的性质即可求解。
9．（2023·重庆）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接FA，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=BE=2，，∠CBA=90°，
∴∠BEC=∠BCE
在△ACE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE=180°，
∴∠EBC+2∠BEC=180°，
∵BF为∠ABE的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠CBE+2∠EBF=90°，
∴∠CBE=90°-2∠EBF，
∴90°-2∠EBF+2∠BEC=180°，
∵∠BEC为△BFE的外角，
∴∠BEC=∠EBF＋∠BFE，
∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°，
∵∠ABF=∠EBF，AB=EB，BF=BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∵∠BFE=∠AFB=45°，
∴∠AFC=90°，
∵O为对角线的中点，
∴，
故答案为：D
【分析】连接FA，先根据正方形的性质得到AB=BC=BE=2，，∠CBA=90°，再根据三角形内角和定理结合等腰三角形的性质得到∠EBC+2∠BEC=180°，再根据角平分线的性质结合题意即可得到90°-2∠EBF+2∠BEC=180°，再根据外角的性质即可求出∠BFE的度数，接着根据三角形全等的判定与性质即可得到∠BFE=∠AFB=45°，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
二、填空题
11．（2023·重庆）计算： ．
【答案】6
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：6
【分析】根据绝对值，0指数幂进行运算即可求解。
12．（2023·重庆）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得可能抽取的结果有：
（清，清），（清，风），（清，朗），（清，月），
（风，清），（风，风），（风，朗），（风，月），
（朗，清）， （朗，风）， （朗，朗）， （朗，月），
（月，清），（月，风），（月，朗），（月，月），
∴共有16种等可能的情况，有4种是抽取的两张卡片上的汉字相同的情况，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：
【分析】根据列举法求出概率即可求解。
13．（2023·重庆）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
【答案】/800度
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得
∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为（7-2）×180°-100°=800°，
故答案为：/800度
【分析】根据n边形的内角和等于（n-2）×180°即可求出总和，再减去已知的角即可求解。
14．（2023·重庆）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴，
在△ABD中，由勾股定理得，
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解。
15．（2023·重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，则第二个月有充电桩，第三个月有个充电桩，进而即可求解。
16．（2023·重庆）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，，，E为的中点，
∴CD=AB，∠ABE=∠DCE=90°，，BC=AD=4，
∴∠BEM=∠CED=45°，
∴，
故答案为：
【分析】先运用矩形的性质结合题意得到CD=AB，∠ABE=∠DCE=90°，，BC=AD=4，进而得到∠BEM=∠CED=45°，最后运用扇形的面积公式、矩形的面积公式、三角形的面积公式结合即可求解。
17．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜-2，
解②得，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
∴a≤5，
解得（y≠1），
∵关于y的分式方程的解为正数，
∴，
∴a＞-2且a≠1
∴a的取值范围为-2＜a≤5且a≠1
∴a可取整数为-1，0，2，3，4，5，
∴-1+0+2+3+4+5=13，
故答案为：13
【分析】先分别解出不等式①和②再根据题意得到a≤5，再解分式方程，结合题意得到a＞-2且a≠1，进而即可求出a的取值范围和可取整数值，将其相加即可求解。
18．（2023·重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】6200；9313
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，
∴最小的“天真数”为6200，
∵M的千位数字为a（6≤a≤9），百位数字为b（2≤b≤9），十位数字为c，个位数字为d，
∴a-d=6，b-c=2，
∴c+d=a+b-8，
∵要求满足条件的M的最大值，
∴a=9，
∴，
∵能被10整除，2≤b≤9，
∴b=3，
∴M为9313，
故答案为：6200，9313
【分析】根据题目中“天真数”的定义即可求出最小的“天真数”，再结合题意得到a-d=6，b-c=2，c+d=a+b-8，且a=9，进而即可得到，接着根据“能被10整除”即可求出b的值，进而即可求解。
三、解答题
19．（2023·重庆）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据单项式多项式，完全平方公式进行运算即可求解；
（2）根据分式的混合运算法则进行运算即可求解。
20．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ▲ ．
∵垂直平分，
∴ ▲ ．
又 ▲ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ▲ ．
【答案】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵垂直平分，
∴．
又．
∴．
∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据垂直平分线的作图方法进行画图，再根据垂直平分线的性质， 平行四边形的性质，结合三角形全等判定与性质进行推理论证即可求解。
21．（2023·重庆）某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15；88；98
（2）解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
（3）解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵抽取的对款设备的评分数据中“满意”有6组数据，
∴，
∴1-30％-10%-45%=15%，
∴a=15，
∵“不满意”和“比较满意”共有（10%+15％）×20=5人，不满意”、“比较满意”和“满意”共有（10%+15％+30％）×20=11人，
∴第11份与第10分的平均数为中位数，
∴m=88，
∵抽取的对款设备的评分数据中，98出现次数最多，
∴n=98，
故答案为：15，88，98
【分析】（1）根据“满意”的人数除以总人数即可求出其所占的百分比，再根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数和“非常满意”所占百分比进行判断即可求解。
22．（2023·重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】（1）解：当时，
连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随x的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一次函数的图象；等边三角形的判定与性质；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）分类讨论，当时，连接，根据等边三角形的判定与性质即可求解；当时，根据题意即可求解；
（2）在坐标系中描点连线即可画出图像，再根据函数图象即可求解；
（3）令y=3，再代入（1）中的解析式即可求解。
23．（2023·重庆）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【答案】（1）解：设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，
由题意得：，
解得，
则，
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．
（2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，
由题意得：，即，
解得，
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，根据“甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，根据“派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩”进而即可列出方程，解方程即可。
24．（2023·重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
由题意得：，
，
米，
米，
答：养殖场与灯塔的距离为2545米．
（2）解：米，
米，
则甲组到达处所需时间为（分钟）分钟，
所以甲组能在9分钟内到达处．
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；解直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得到米，进而运用锐角三角函数的定义即可求解；
（2）先根据解直角三角形求出AD的长，进而即可得到AB的长，再根据时间=路程÷速度即可求解。
25．（2023·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）解：将点，．代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴，
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴，
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接将B、C两点代入（待定系数法）即可求解；
（2）先令y=0求出A、C的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法即可求出AC解析式，过点作轴于点，交于点，设，则，进而即可表示出PQ的长，从而结合题意即可得到，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）先根据平移的性质得到，对称轴为直线，，再根据勾股定理结合题意求出，设，进而即可求出，，最后分时和时进行讨论即可求解。
26．（2023·重庆）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在与中，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：依题意，如图所示，延长交于点，
由（2）可知是等边三角形，
∴
∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
由（2）可知是的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴，
又，
∴，
∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质即可求解；
（2）如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，先根据等边三角形的性质得到，再根据垂直平分线的判定与性质结合三角形全等的判定与性质即可证明，进而根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形即可求解；
（3）延长交于点，由（2）可知是等边三角形，先根据折叠的性质得到，，进而根据等边三角形的判定即可得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质得到，接着根据三角形全等的性质结合平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而即可得到，从而根据题意即可得到，且当取得最小值时，即时，取得最小值，最后结合题意即可求解。
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