二次函数及图象
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文档简介
第二讲 二次函数及图象
一、知识归纳
1、二次函数的概念: 一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，
一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标
顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴
交点式：y=a（x－x1）（x－x2），要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2
2、二次函数的图像: 抛物线三要素：开口方向，对称轴，顶点．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．有最小值．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．有最大值．
若y=a（x－h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h
（1）决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
（2） 在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．概括的说就是“左同右异”
对称轴在轴左边，，在轴的右侧，
（3） c决定了抛物线与轴交点的位置．
3、二次函数图象的平移：图象的平移实质是顶点的平移
例题讲解
例1：函数 的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
当x 时.y随x的增大而减小。当x 时.y有最 值为
把这个函数向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数解析式为 。
例2：（1） 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列各不等式中成立的是____________
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b
④2a+b=0 ⑤b2-4ac >0
（2）若（-2，y1),(-2.5, y2)是抛物线y=-(x+1)2+4的两点，
则 y1 y2（填＞，＜或＝）
例3： 如图①， 已知抛物线y=ax +bx+3 与 x轴交于点 A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ( http: / / www.21cnjy.com ) ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请找出所有符合条件的点P的位置；若不存在，请说明理由．
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【跟踪训练】
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.已知A(-4，y1)，B（-3，y2) ( http: / / www.21cnjy.com )，C（1，y3)为二次函数 y=x2+4x-5的图象的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 Ｄ．y1＜y3＜y2
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的
两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．
其中正确的有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
6.二次函数的对称轴是，则_______。
7.抛物线的顶点为C，直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
8.已知：二次函数为y=x2－x+m，
写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；
m为何值时，顶点在x轴上方，
若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．
课堂检测：
1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2 D．y＝(x－1)2
2．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( )
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0,3) D．顶点坐标是(1，－2)
3．二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是( )
4.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，
下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图，
当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
6.若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
7.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
8.已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c ( http: / / www.21cnjy.com )(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
1
-1
0
x
一、知识归纳
1、二次函数的概念: 一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，
一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标
顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴
交点式：y=a（x－x1）（x－x2），要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2
2、二次函数的图像: 抛物线三要素：开口方向，对称轴，顶点．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．有最小值．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．有最大值．
若y=a（x－h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h
（1）决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
（2） 在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．概括的说就是“左同右异”
对称轴在轴左边，，在轴的右侧，
（3） c决定了抛物线与轴交点的位置．
3、二次函数图象的平移：图象的平移实质是顶点的平移
例题讲解
例1：函数 的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
当x 时.y随x的增大而减小。当x 时.y有最 值为
把这个函数向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数解析式为 。
例2：（1） 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列各不等式中成立的是____________
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b
④2a+b=0 ⑤b2-4ac >0
（2）若（-2，y1),(-2.5, y2)是抛物线y=-(x+1)2+4的两点，
则 y1 y2（填＞，＜或＝）
例3： 如图①， 已知抛物线y=ax +bx+3 与 x轴交于点 A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ( http: / / www.21cnjy.com ) ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请找出所有符合条件的点P的位置；若不存在，请说明理由．
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【跟踪训练】
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.已知A(-4，y1)，B（-3，y2) ( http: / / www.21cnjy.com )，C（1，y3)为二次函数 y=x2+4x-5的图象的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 Ｄ．y1＜y3＜y2
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的
两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．
其中正确的有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
6.二次函数的对称轴是，则_______。
7.抛物线的顶点为C，直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
8.已知：二次函数为y=x2－x+m，
写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；
m为何值时，顶点在x轴上方，
若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．
课堂检测：
1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2 D．y＝(x－1)2
2．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( )
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0,3) D．顶点坐标是(1，－2)
3．二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是( )
4.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，
下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图，
当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
6.若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
7.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
8.已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c ( http: / / www.21cnjy.com )(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
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