上海市嘉定区2022-2023学年高二下学期期末数学试题(无答案)

嘉定区2022学年第二学期高二年级数学期末区统考
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 直线的倾斜角为__________.
2. 若排列数，则__________.
3. 抛物线的焦点到其准线的距离等于__________.
4.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为__________.
5. __________.
6. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为，则该圆锥的体积为__________.
7.的二项展开式的各项系数之和为__________.
8. 在空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面、的一个法向量分别为、，且，则__________（结果用反三角函数值表示）.
9. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则该双曲线的实轴长为__________.
10. 从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为__________.
11. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对.
12. 如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
（1）存在点，使得；
（2）存在点，使得平面；
（3）的面积越来越小；
（4）四面体的体积不变.
其中所有正确的结论的序号是__________.
二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 两条异面直线所成角的范围是（ ）.
A. B. C. D.
14. 一般的数学建模包含如下活动过程:①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（ ）.
A. ③②①④⑤⑥ B. ③②①④⑥⑤ C. ②①③④⑤⑥ D. ②③①④⑥⑤
15. 已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（ ）.
A. 1 B. C. D. 2
16. 设数列的前项和为，若对任意正整数，都有，则称数列为“数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“数列”；②若是首项为正数、公比为的等比数列，则为“数列”的充要条件.下列判断正确的是（ ）.
A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列.
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在直四棱柱中，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲、乙至少一人被抽到的概率.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于四点，且点分别为线段、的中点.
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若的斜率均存在，求面积的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知函数在区间上有零点，求的值；
（3）记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.