高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 7-1-2全概率公式 课件（19张PPT）

(共19张PPT)
7.1.2
全 概 率 公 式
2.条件概率的性质
(1)P( Ω| A)=1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC |A)=P(B|A)+P(C|A)；
(3)设B和互为对立事件，则P( |A)=1- P(B|A).
1.条件概率的求法
方法一：公式法； 方法二：缩小样本空间法； 方法三：直接法
复习回顾
4.概率的乘法公式
当 A、B独立时
3.条件概率与独立性的关系
思考：从有3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
问题探究
下面我们给出严格的推导.
因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .
但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
3
3
2
则第二次摸到红球为事件R2，
问题探究
利用概率的加法公式和乘法公式，得
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.
3
3
2
且R2=R1R2UB1R2.
上述过程采用的方法是： 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
R2
探究新知
思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？
A1
A2
A3
An
A 4
…
B
加法公式
乘法公式
探究新知
全概率公式
概念形成
　　一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　 ，有
我们称上面的公式为全概率公式．
全概率公式是概率论中最基本的公式之一。
A1
A2
A3
An
A 4
…
B
例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则
解：
典例分析
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则
解：
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
B
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率，即
解：
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
探究新知
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额.
已知结果求原因
已知原因求结果
*贝叶斯公式：
将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.
探究新知
注：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayer,1702-1762)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.
设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　，P(B)>0，有
分子用乘法公式
分母用全概率公式
①我们把事件B看作某一过程的结果，
②根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
③而且每一原因对结果的影响程度已知，
④如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
*贝叶斯公式的理解：
执果寻因
例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1; 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
*(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
典例分析
发送0(A)
发送1()
接收0(B)
接收1()
解:
解：
课本52页
1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.
设A＝“选到有思路的题”, ＝“选到没有思路的题”，
B＝“选到的题做对”
A则由全概率公式, 可得
追问：若他做对了该题, 求他选择的是完全没有思路的题的概率.
2.同批同种规格的产品, 第一批占40%,次品率为5%; 第二批占60%, 次品率为4%. 将两批产品混合, 从混合产品中任取1件.
(1)求这件产品是合格品的概率;
*(2)已知取到的合格品, 求它取自第一批产品的概率.
解:
课本52页
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课堂小结
全概率公式　
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)
=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
条件概率P(B|A)＝ → 乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)
*贝叶斯公式