基石中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷
一、单选题（每题5分，共计40分）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，，则
3．下列关于复数的四个命题中，错误的是（ ）
A． B．
C．z的共轭复数为-1+i D．z的虚部为-1
4．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
6．设，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
8．如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共计20分）
9．某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（ ）
A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃
B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大
C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低
D．甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动小
10．设m，n是两条不同的直线，是平面，m，n不在内，下列结论中正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
11.在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AC 与BD 交于点O ，则( )
A ． AD1 / / 平面BOC1 B ． BD ⊥平面COC1
C ． C1O 与平面ABCD 所成的角为45。 D ．三棱锥C - BOC1 的体积为
12．已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．若，则是等腰三角形
C．若，则
D．若△ABC是锐角三角形，则
三、填空题（每题5分，共计20分）
13.某中学高一年级600名学生中，男生320人，女生280人，学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设课程，现准备从高一学生中按性别分层随机抽样的方法抽取120人，则应抽取女生______.
14.幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，7，8，9，5，9，9，则这组数据的第百分位数是______．
15．已知正方体，E,F分别为棱BC和棱CC1的中点则异面直线AC和EF所成的角______.
16.在四棱锥 P-ABCD 中， AD//BC ， AD = 2BC ，E 为 PD 中点，平面 ABE 交 PC 于 F，
则 PF = .
FC ___________
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共计70分）
17．已知复数，其中为虚数单位，．
(1)若Z是纯虚数，求m的值；
(2)若Z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
18．某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.
19．已知△的内角，，的对边分别为，，，若．
（1）求角．
（2）若，求△的面积．
20．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
21．如图，平面平面ABC，，F为BC的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值．
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．郑州市基石中学高一年级6月月考数学试卷参考答案
1．D
【分析】根据复数在复平面内的坐标表示可得答案.
【详解】解：由题意得：
在复平面上对应的点为，该点在第四象限.
故选：D
2．D
【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐一判断得解.
【详解】解：选项，直线有可能在平面内；
选项，需要直线在平面内才成立；
选项，两条直线可能异面、平行或相交；
选项，符合面面平行的判定定理，故正确.
故选：D
3．B
【分析】利用复数的运算法则计算出结果即可判断四个选项正误.
【详解】，
则，选项正确；
，选项不正确；
的共轭复数为，选项正确；
的虚部为，选项正确；
故选：.
4．D
5．D
【分析】由题意结合平面向量共线的性质可得，即可得解.
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．D
【详解】试题分析：,对应的点为,在第四象限
考点：复数运算及其相关概念
7．A
【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
8．C
【分析】根据三角形的面积公式可求得，再根据AD为BC边上的高，求出，从而可得出点的位置，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理求出，即可得解.
【详解】解：，
所以，
因为AD为BC边上的高，
所以，
因为M为AD的中点，
所以
，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
9．AC
【分析】结合折线图逐项分析即可.
【详解】由折线图可知甲城市1月、2月、12月的平均气温低于0℃，故A正确；
由折线图可知甲城市的月平均气温的最大值在7月，乙城市的月平均气温的最大值也在7月，但是甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小，故B错误；
由折线图可知甲城市的月平均气温都低于乙城市对应月份的月平均气温，因此甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低，故C正确；
由折线图可知甲城市的月平均气温波动比较大，乙城市的月平均气温波动比较小，所以甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大，故D错误，
故选：AC
10．ABC
【分析】根据线线平行与垂直、线面平行与垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，由于，所以存在直线且，
由于，所以，所以，所以A选项正确.
B选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B选项正确.
C选项，若， ，则存在，，由于，所以，所以C选项正确.
D选项，若，，则可能与平行，D选项错误.
故选：ABC
11．ABD
12．ACD
【分析】利用三角形的内角和以及正弦定理，三角形性质，正弦函数的性质判断选项即可得解.
【详解】对于A，在中，，故，故A正确；
对于B，在中，，可知或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，在中，，利用正弦定理知，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可知，故C正确；
对于D，在锐角中，，即，所以，即，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的几何计算，正弦定理及三角方程的求法，熟悉正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
13.56人
14.8.5
15.60°
16．2
【点睛】本题考查平面向量数量积运算、垂直关系的向量表示、利用向量表示与三角形的“心”有关的问题，属于中档题.
17.【详解】（1）由是纯虚数，则，故.
（2）由在复平面内对应的点在第四象限，，
所以.
18．（Ⅰ）由题意可得．
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为：
（天），
一个月可获得的礼金数为（元），
依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为元.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角．
（2）由余弦定理得求b，再利用三角形面积公式求△的面积．
【详解】（1）由正弦定理，，又，
，即，由，得.
（2）由余弦定理知：，
∴，解得，
.
20．(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【详解】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）取的中点，连接，，根据平面ABC，平面ABC，得到，再根据F为BC的中点，为的中位线可得到，即可证明四边形为平行四边形，由此可得，再根据线面平行的判定定理即证；
（2）根据平面可知，为二面角的平面角，即可由解三角形得解．
【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为F为BC的中点，为的中点，所以为的中位线，
所以，即有，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）
如图所示：连接，因为，所以，由（1）可知， 平面ABC，所以，而，所以平面，即有，故为二面角的平面角．在中，，所以，即二面角的余弦值为．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
第1页，共2页
