广东省佛山市H7教育共同体2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（含解析）

佛山市H7教育共同体2022-2023学年高一下学期5月联考
（数学）
试卷共6页，共150分.考试时长120分.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校 班级 姓名 座位号 试室号填写在答题卡上.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用黑色签字笔或钢笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
2.复数的模是（ ）
A.5 B. C.3 D.
3.如图，已知是的中线，点在边上，且，则向量（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正四棱台的上 下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
6.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7.顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间的函数解析式是（ ）
A.
B.
C.
B.
8.已知四边形如图，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.-1
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若复数满足（其中复数是虚数单位），的共轭复数为，则（ ）
A.复数的虚部为-4
B.复数在复平面内对应的点在第一象限
C.
D.
10.将函数的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
11.中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装，现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则下列结论正确的是（ ）
A.该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有8个
B.该鲁班锁的各个面中为正八边形的面有8个
C.若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为
D.若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁体积为
12.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则（ ）
A.与能构成一组基底
B.
C.在向量上的投影向量为
D.若在线段（包括端点）上，且，则取值范围
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知，则__________.
14.已知向量满足，且，则__________.
15.已知分别为三个内你的对边，若，且，则__________.
16.通信卫星与经济 军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（满分10分）已知函数.
（1）求；
（2）若，求的值.
18.（满分12分）已知向量满足且的夹角为60°.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
19.（满分12分）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.
（1）若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
（2）试求圆柱侧面积的最大值.
20.（满分12分）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若为的中点，，求的周长.
21.（满分12分）已知函数在区间上的最大值为2.
（1）求的值和求取得最大值时的取值集合：
（2）若对任意的恒成立，求实数约取值范围.
22.（满分12分）已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点到点的距离；
（2）为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
佛山市H7教育共同体2022-2023学年高一下学期5月联考
数学学科（参考答案）
一 单选题
1.
2.解：，所以的模为，故选：B
3.由，则
则，故选：D.
4.根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，
所以该四棱台的表面积为，
故选：C.
5.由三角形面积公式可得，
，化简得，，
由正弦定理得，，
即，
得，，
的形状为直角三角形.
6.正四棱柱高为8，体积为64，
所以底面积为8，则底面正方形边长为，
所以正四棱柱的对角线长即球的直径为，
球的半径为，球的表面积，
故答案为：
7.解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为19，
所以，解得.
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要21
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，.
故选：B
8.如图所示，因为，且，
所以垂直且平分，则为等 三角形，
又，所以为等边三角形，
则四边形头于直线对称，故点在四边形上运动时，
只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，知，即，
则，
①当点在边上运动时，设，则，
则，
当时，最小值为；
②当点在边上运动时，
设，则，则
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；故选：.
二 多选题
9.【解析】解：，
的共轭复数为，
对于A 复数的虚部为4 故A错误：
对于B 复数在复平面内对应的点为 在第一象限，故B正确；
对于C ，故C正确：
对于D，，故D正确：故选：BCD.
10.【详解】向左平移个单位长度得：
，该图象关于原点对称，，解得：
，又当时，，当时，.故选：AC.
11.【详解】从图（2）的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有8个.
由直观图可知表面为正八边形的面有6个，故A正确，B错误，
如图为正八边形的平面图，
易得，
分别过点作，垂足分别为，
则，
则每个正八边形的面积为
，
所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为故C正确
鲁班锁的体积，可以看成正方体的体积减去八个三棱锥的体积得到，
正方体体积为
小三棱锥的体积为：
鲁班锁的体积为：，故D错误.故选：AC
12.连接AF，因为°，
因为，现，
故.
以AB所在直线为x轴，AP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
则，
，且，
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，错误；
，
，故
正确；
又，所以，即在向量上的投影
向量为正确；
若在线段（包括端点）上，设，所以
，
由，可得，则，
所以正确，故选：BCD
三 填空题
13.因，
所以.
故答案为：2
14.【详解】因为.
所以，所以，所以，
所以，又，所以，
故答案为：.
15.【详解】解：，
由余弦定理得，，
，故；
由正弦定理得，，
所以.
16.【答案】
【详解】依题意，作出图形，如图，
，则
，
中，由正弦定理得：，即，
于是得'
所以.
四 解答题
17.【详解】（1）原式
；
（2）因为，即，
所以
18.【详解】
.
解得.
（2）.
.
故与的夹角余弦值为
19.【详解】（1）圆锥的底面半径，高.
圆锥的母线长
圆锥体积.
设圆柱的高，则，所以
圆柱体积
剩余部分体积为
（2）方法一：作出圆锥 圆柱的轴截面如图所示，
其中，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
.
当时，有最大值为..
方法二：作出圆锥 圆柱的轴截面如图所示，
其中，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
当时，有最大值为
20.（1）解：由正弦定理得，，
化简得，，
，
，即故；
（2）解：由余弦定理得，，
（1）知，，即①，
，故的周长为.
21.【详解】（1）解：
，
，
即，
所以函数的最大值为，
，
，
令，解得，
即时，函数取得最大值
（2）解法一：记，则
由恒成立，可知，在上恒成立
令的图象开口向上，对称轴为，
要使在上恒成立，
只需，
解得，
所以实数的取值范围是.
解法二：记，则
由恒成立，可知，在上恒成立
即恒成立，
因为，所以，
令，因为在上单调递减，在上单调递增
又.
当时，不等式恒成立.
所以实数的取值范围是
22.【详解】（1）连接，在中，
因为，
所以，由余弦定理得，
，
所以，即点到点的距离为.
（2）由，
，
化简得，当且仅当，
即时取等号，，
故当时，三角形面积最小，最小值为