广东省中山市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

中山市名校2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）
1.为了营造浓厚的校园体育氛围，学校采用按比例分层抽样的方法从高一550人，高二500人，高三450人中抽取60人观看排球决赛，那么高一年级被抽取的人数为（ ）。
A.18 B.20 C.22 D.30
2.在空间中，下列说法正确的是（ ）。
A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直
C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
3.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）。
A.是钝角三角形 B.的面积是的面积的2倍
C.点的坐标为 D.的周长是
4.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为，是半圆的外切矩形.以直线为轴将该平面图形旋转一周，记，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）。
A. B. C. D.
5.已知中，点是线段的中点，，则（ ）。
A. B. C. D.
6.要得到的图象，只需将函数的图象（ ）。
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7.已知函数，若，是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ）。
A. B.
C. D.
8.已知点为的重心，设的内角，，的对边为，，且满足向量，若，则实数（ ）。
A. B. C.2 D.3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有至少两个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）。
9.下列命题正确的是（ ）。
A.若向量，满足，则，为平行向量。
B.已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底。
C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等。
D.若是等边三角形，则。
10.已知.对任意的均有，则（ ）。
A. B.
C. D.
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）。
A. B. C. D.
12.如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）。
A.若平面，则。
B.到平面的距离为。
C.当为中点时，过、、的截面为直角梯形。
D.当为中点时，有最小值。
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在横线处填写最符合题意要求的答案）
13.一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去10天苹果的日销售量（单位：kg）：83，96，107，91，74，75，94，80，80，100；则该水果店过去10天苹果日销售量的中位数为______.
14.LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影向量为，则实数______.
15.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为3，，，则的值为______.
16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，三棱锥体积的最大值为______；此时该三棱锥的外接球的表面积为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程和验算步骤）
17.已知，，，
（1）求的值；
（2）求的值。
18.为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍。
（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；
（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
（3）现知道直方图中成绩在内的平均数为136，在内的平均数为144，求成绩在内的平均数。
19.已知，，与的夹角为，函数；
（1）求函数最小正周期和对称中心；
（2）若锐角中，角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围。
20.如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点。
（1）求证平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小。
21.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点。
（1）求证：平面平面；
（2）点在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值。
22.在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面。小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行。平板车平板面为矩形，它的宽为1米。直线分别交直线，于，，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：
（1）若平板车卡在直角走廊内，且，，试将平板面的长表示为的函数；
（2）若平板车要想顺利通过直角走席，其长度不能超过多少米？
中山市名校2022-2023学年高一下学期期中考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B A D C A ABD BD ACD ABC
13.87 14. 15. 16.
8.【详解】如图，连接延长交交于，由于为重心，故为中点，∵，∴，由重心的性质得，，即，由余弦定理得，，，
∵，，∴，
∴，∴，由，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得，∴，故选：A.
11.【答案】ACD【详解】由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；由知：，则，又，故，则，即，D正确.故选：ACD
12.ABC【详解】∵平面，平面，平面平面∴，A正确；设到平面的距离为，则有，∵，即，则，B正确；当为中点时，如图.
取的中点，连接，，，则，∵，则
∴过、、的截面为，则，，∴，则，即为直角梯形，C正确；借助于侧面展开图，如图，连接交于点，此时为最小值若为中点时，∵，则∴，这与题意相矛盾，D错误；故选：ABC.
15.【答案】【详解】∵，，∴，
∴，∴，又，∴，，
∴∴.故答案为：.
16.【答案】
【详解】过点作，垂足为，∵为等腰梯形，，∴，
∴，由余弦定理得，即∵∴，易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，此时，平面，易知，
∴∴，记为外接球球心，半径为
∵平面，∴到平面的距离，又的外接圆半径∴∴
四、解答题
17.【详解】（1），∵，，∴，∴.
（2）由，，求得，，
∴.
18.解：（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意，解得，所以第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，补全频率分布直方图如下：
（2）由，设上四分位数为，则，
所以，解得，
所以全市“良好”以上等级的成绩范围；
（3）成绩在内的平均数为；
19.【详解】（1）解：由条件可知：
，，
∴，
∴的最小正周期为，令，，解得，，∴的对称中心为；
（2）解：由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，解得，，又，可得，∵，∴，
代入上式化简得：，
又在锐角中，有，∴，∴，则有，∴
20.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是的中点，所以，，又因为在直三棱柱中，是的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）如图，连接，，由直三棱柱的性质可知平面，因为平面，所以，因为，，是的中点，所以，因为，，平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角的平面角，因为，，所以不妨设，则，，，所以，则，所以，因为，所以，所以直线与平面所成的角的大小.
21.【详解】（1）连接，因为底面中，，，所以四边形为正方形，所以，因为侧面为等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）因为底面中，，，侧面为等边三角形，是的中点，所以，，，，因为平面，，平面，所以，，所以，
因为，所以，所以，
设点，到平面的距离分别为，，因为，所以，
，解得，因为三棱锥的体积为，
所以，所以，解得，所以，所以，因为，所以，取靠近点的四等份点，连接，则，因为平面，所以平面，因为平面，所以，过点作于，连接，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，
因为，所以四边形为矩形，所以，
所以在中，，所以二面角的正切值为
22.【详解】（1），，，
，
，所以，
（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度，
记，则，又则，
所以，所以，即，则，
记，，则，函数
因为，在上都递增，所以在上都递增，
所以在上的单调递减；当时取得最小值.所以长度不能超过米