2022-2023 学年度高一下学期六月考试
数学试题
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.若 A {x | x 4}， B x | 2x 8 ，则 RA B （ ）
A． 3, 4 B． 3,4
C． (3, ) D． 4,
2.已知一直线经过点 A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线方向向量的为（ ）
A. a 1,1,1 B. a 1, 1,1
C. a 3,3,3 D. a 1,1, 1
3.直线 l的一个方向向量的坐标为 2,1,1 ，平面 的一个法向量的坐标为 4,2,2 ，则（ ）
A. l // B. l
C. l // 或 l D. l与 的位置关系不能判断
4.使“ a b”成立的充要条件是 （ ）
a
A． a b 1 B． 1
b
C． a2 b2 D． a3 b3
5.已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB AC的截面面积是 2 3 .若 AB AC的夹角是60 ，且母线
AC的长是高的 2 倍，则该圆锥的体积是 （ ）
A. 4 3 6 B. 2 2
C. 4 2 D.12 2
f x ax56.已知函数 b sin x c，若 f 1 f 1 2，则 c （ ）
A． 1 B．0
2
C．1 D． 3
7.如图， A B C 是水平放置 ABC的直观图，其中 B C C A 1，
A B // x 轴， A C // y 轴，则BC （ ）
A． 2 B．2 C． 6 D．4
8.设直三棱柱 ABC A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是 40 的球面上，且
AB AC AA , BAC 120 1 ，则此直三棱柱的表面积是
（ ）
A.16 8 3 B.8 12 3
C.8 16 3 D.16 12 3
二 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列选项中哪些是正确的 （ ）
A． AB BC CD DA 0 B． y sin x cos x, x R的最大值为 1
sin πC． cos π 2 2D．复数 z m 1 m 1 i,m R可能为纯虚数
8 8 4
10.在三棱锥 A BCD中，G,E分别是 BCD, ACD的重心.则下列命题中正确的有（ ）
A.直线 BG, AE共面 B.直线 AG,BE相交
1
C.VA GBC VA DBC D. AB 3GE2
11.在 ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,a 3,b 7，且 sinB 3 ，则 cosC的值可以
2
是 （ ）
1 11
A. B.
7 14
1 11
C. D.
7 14
12．函数 f x Asin x , A 0, 0,0 π 的部分图像如图中实线所示，图中圆C与
f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在 y轴上，则下列说法正确的是 （ ）
A．函数 f x 的最小正周期是 π
7π π
B．函数 f x 在 , 12 3 上单调递减
C．函数 f x π π的图像向左平移 个单位后关于直线 x 2 对称12
5π
D．若圆C的半径为 ，则函数 f x 的解析式为 f x 3π sin 2x
π
12 6 6
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
π
13.已知 tan 2，则 tan 4
;
14.已知平面 的法向量为n ( 1,2,0)，且点 A ， AP (12,1, 4)，则点 P到平面 的距离
为 ;
sinC15.设点O是 ABC外接圆的圆心， AC 1, AO BC 2，则 的值是 ;
sinB
16.依次连接棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 六个面的中心，得到的多面体的体积
是 .
四 解答题：共 40 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（10 分）已知复数 z1 1 3i， z2 2 2i， i为虚数单位.
(1)求 z1 z2 ；
z z 1(2)若 zz ，求 的共轭复数.2
18.（12 分）已知 a (1,0)，b (2,1) ;
(1)当 k为何值时， ka b与b 垂直？
(2)若 AB 2a 3b， BC a mb且A、 B、C三点共线，求m的值．
19．（12 分）在 ABC中， a,b,c分别是角 A,B,C所对的边，且满足 a2 b2 c2 ab．
(1)求角C的大小；
(2)设向量 a 3sin A,
3
，向量b 1, 2cosC2 ，且 a b，判断 ABC的形状．
20．（12 分）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1，CD 的中点，
（1）求证：D1F 平面 ADE；
（2）求向量 EF ,CB1 的夹角.
21．（12 分）已知函数 f x 3 sin x cos x cos2 x 1 0 的最小正周期是 π，将函数 f x
2
π
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移 个单位，
6
得到函数 g x 的图象．
(1)求 g x 的解析式；
(2)在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a,b,c若 g A
4
，b 2， ABC的面积为3，
2 5
求边长 a的值．
22．（12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，BB1 平面 ABC，D，E 分别为棱 AB，B1C1的中点，
BC 2， AB 2 3， A1C1 4.
(1)证明：DE//平面 ACC1A1；
(2)若三棱锥 A A 4 31DC的体积为 ，求二面角D A1C A的正弦值.
32022-2023 学年下学期高一六月月考
数学试题
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. A {x | x 4} B x | 2x若 ， 8 ，则 RA B （ ）
A． 3, 4 B． 3,4 C． (3, ) D． 4,
【答案】A
2.已知一直线经过点 A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线方向向量的为（）
A. a 1,1,1 B. a 1, 1,1 C. a 3,3,3 D. a 1,1, 1
【答案】D
3.直线 l的一个方向向量为 2,1,1 ，平面 的一个法向量为 4,2,2 ，则（）
A. l // B. l
C. l // 或 l D. l与 的位置关系不能判断
【答案】B
4.使“ a b ”成立的充要条件是（ ）
a
A． a b 1 B． 1
b
C． a2 b2 D． a3 b3
【答案】D
5.已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB AC的截面面积是 2 3 .若 AB AC的夹角是60 ，且母线 AC
的长是高的 2倍，则该圆锥的体积是（ ）
A. 4 3 6 B.2 2 C. 4 2 D.12 2
【答案】B
6.已知函数 f x ax5 b sin x c，若 f 1 f 1 2，则 c （ ）
2
A． 1 B．0 C．1 D． 3
【答案】C
7.如图， A B C 是水平放置 ABC的直观图，其中B C C A 1，
A B // x 轴， A C // y 轴，则BC （ ）
A． 2 B．2 C． 6 D．4
【答案】C
8.设直三棱柱 ABC A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40 的球面上，且
AB AC AA1, BAC 120
，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A.16 8 3 B.8 12 3 C.8 16 3 D.16 12 3
【答案】D
二 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列选项中哪些是正确的（ ）
A． AB BC CD DA 0 B． y sin x cos x, x R的最大值为 1
C sin π． cos π 2 D．复数 z m 1 m2 1 i,m R可能为纯虚数
8 8 4
【答案】AC
10.在三棱锥 A BCD中，G,E分别是 BCD, ACD的重心.则下列命题中正确的有（ ）
A.直线 BG, AE共面 B.直线 AG,BE相交
V 1C. A GBC V2 A DBC
D. AB 3GE
【答案】ABD
11.在 ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,a 3,b 7，且 sinB 3 ，则 cosC的值可以
2
是（ ）
1 11 1 11
A. B. C. D.
7 14 7 14
【答案】CD
12．函数 f x Asin x , A 0, 0,0 π 的部分图像如图中实线所示，图中圆C与
f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在 y轴上，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期是 π
B．函数 f x 7π π 在 , 上单调递减
12 3
π π
C．函数 f x 的图像向左平移 个单位后关于直线 x
12 2
对
称
5π
D．若圆C的半径为 ，则函数 f x f x 3π的解析式为 sin π
12 6
2x
6
【答案】AC
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
π
13.已知 tan 2，则 tan
4
;
【答案】－3
14.已知平面 的法向量 n
( 1,2,0)，且点 A ， AP (12,1, 4)，则点 P到平面 的距离
为 ;
【答案】 2 5 .
O ABC sinC15.设点 是 外接圆的圆心， AC 1, AO BC 2，则 的值是__________.
sinB
【答案】 5
16.依次连接棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 六个面的中心，得到的多面体的体积是
__________.
【答案】 4
3
四 解答题：共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数 z1 1 3i， z2 2 2i， i为虚数单位.
z
(1)求 z1 z2 ；(2)若 z
1
，求 zz 的共轭复数.2
【解】（1） z1 1 3i， z2 2 2i，
z1 z2 1 3i 2 2i 1 i， z1 z2 2 5 分
z1 1 3i 1 3i 2 2iz 2 2i 6i 6i
2 8 4i
（2）由 2 1
1
i
z ，2 2 2i 2 2i 2 2i 4 4i 4 4 2
所以 z 1
1
i . 10 分
2
18.（12分）已知 a (1,0)，b (2,1)．
(1) 当 k为何值时， ka b与b 垂直？
(2)若 AB 2a 3b， BC a mb且A、 B、C三点共线，求m的值．
【解】（1） a (1,0)，b (2,1) ， ka b (k 2, 1)，
ka
5
又 b与b 垂直，得 2(k 2) 1 0，即 k ； 6 分2
（2） AB 2a 3b (8,3)， BC a mb (1 2m,m)， A、 B、C三点共线， AB / /BC，
8m 3(1 2m) 0 m 3则 ，解得： ． 12 分
2
19．（12分）在 ABC中， a,b,c分别是角 A,B,C所对的边，且满足 a2 b2 c2 ab．
(1)求角C的大小；
a 3sin A, 3
(2)设向量
，向量b 1, 2cosC ，且 a b，判断 ABC的形状．
2
a2 b2 c2 1
【解】（1）解：因为 a2 b2 c2 ab，所以cosC ，
2ab 2
因为C 0, π C π，所以 ； 6 分
3
（2）解：因为 a 3sin A,
3
，b 1, 2cosC ，且 a b，
2
3
所以3sin A 2cosC 0，所以 sin A cosC
1 π
，所以 A 或 A
5π
（舍），
2 2 6 6
当 A
π
时， B
π
，所以 ABC为直角三角形． 12 分
6 2
20．（12分）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 BB1，CD的中点，
（1）求证：D1F 平面 ADE；
（2）求向量 EF ,CB1 的夹角.
【解】以 D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）不妨设正方体的棱长为 1，
则 D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0
1
，0，1），E（1，1， 2 ），F（0
1
， 2 ，0），
1
则D1F＝（0， 2 ，－1），DA＝（1，0，0
1
）， AE ＝（0，1， 2 ），
则D1F DA＝0，D1F AE＝0，
D1F DA，D1F AE . D1F 平面 ADE. 6分
uuur
（２） B 1（1，1，1），C（0，1，0
1 1
），故CB1 ＝（1，0，1）， EF ＝（－1，－ 2 ，－ 2 ），
1 3 EF CB 1 0 EF 1 1 1 3
1 ＝－ ＋ － ＝－ , ， CB1 22 ，2 4 4 2
3
cos EF ,CB EF CB 31 1 2 ，则 EF ,CB 150 . 12分
EF CB 3 2 11 2
2
21 12 f x 3 sin x cos x cos2 1．（ 分）已知函数 x 0 的最小正周期是 π，将函数 f x
2
π
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移 个单位，
6
得到函数 g x 的图象．
(1)求 g x 的解析式；
π 4
(2)在 ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b，c，若 g A ，b 2， ABC的面积为
2 5
3，求边长 a的值．
【解】（1）由题意可得：
f x 3sin xcos x cos2 x 1 3 sin 2 x 1 π cos2 x sin 2 x
2 2 2 6
f x 2π π 的最小正周期为 π，且 0， π， 1． f x sin
2
2x ．
6
将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，
得到函数 y sin
π π
x 的图象，再将所得函数图象向右平移 个单位，
6 6
y sinx g x sinx得到函数 的图象，故 ； 6 分
（2）由 ( 1 )知 g x sinx π π g A ， sin A cosA
4
，
2 2 5
， ．
的面积为 ， ，又 ，得 ．
由 ．得 ． 12 分
22．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，BB1 平面 ABC，D，E分别 为棱 AB，
B1C1的中点， BC 2， AB 2 3， A1C1 4 .
(1)证明：DE//平面 ACC1A1；
(2)若三棱锥 A A DC 4 31 的体积为 ，求二面角D A1C A的正弦 值.
3
【解】（1）证明：在三棱柱 ABC - A1B1C1中， BB1 平面 ABC，BC 2， AB 2 3， A1C1 4 .
所以 AC A1C1 4，则 AC 2 AB2 BC 2，则 AB BC，则如下图，以 B为原点，BC，BA，BB1为
x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设 BB1 h，则 A 0,2 3,0 ,B 0,0,0 ,C 2,0,0 ,
A1 0,2 3,h ,B1 0,0,h ,C1 2,0,h ,D 0, 3,0 ,E 1 ,0,h ,
所以DE 1， 3，h ， AC 2， 2 3，0 ，AA1 0，0，h ，
设平面 ACC1A1的一个法向量为 n x，y，z ，
AC n
2x 2 3y 0
所以 ，令 y 1，则 x 3, z 0，即 n 3，1，0 ，
AA1 n hz 0
所以DE n 1， 3，h 3，1，0 3 3 0 0，得DE n ，
又DE 平面 ACC1A1，所以DE //平面 ACC1A1； 6 分
2 A A DC V V 1（ ）三棱锥 1 的体积 A A DC A ACD S ACD A A
1 1
3 2 h 4 3 ，
1 1 3 1 3 2 3
解得 h 4，则 A1 0，2 3，4 ，由（1）知平面 AA1C 的法向量为 n 3，1，0 ，
设平面DA1C m
的一个法向量为 a，b，c ，DC 2， 3，0 ，DA1 0，3，4 ，
DC n
2a 3b 0
所以
DA n
，令b 4，则 a 2 3,c 3，即m 2 3，4， 3 ，
1 3b 4c 0
n cos n m m 6 4 0 5 31则 ， ，n m 2 31 31
由图可知二面角D A1C A为锐角，所以二面角D A1C A
5 31
的余弦值为 .
31
sin n m 1 cos 2 n m 186于是 ， ， ，故二面角D A1C A
186
的正弦值为 . 12 分
31 31
