河南省鹤壁市2022-2023学年高二下学期6月第五次段考数学试题（PDF版含答案）

2024 届高二下学期第五次段考·数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 满足等式{0,1} ∪ = { ∈ | 3 = }的集合 共有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A. 22 B. 30 C. 32 D. 33

2. 已知 ， 为 的两个非空真子集，若 ，则下列结论正确的是( ) 8. 对任意 ∈ ，函数 满足 1 + = 1 ，若方程 ( ) |2sin ( 3 + 6 )| = 0 的
A. ∈ ， ∈ B. ∈ ， ∈ 根为 1， 2， ， ，则 1 + 2 + + =( )
C. 0 ， 0 ∈ D. 0 ∈ ， 0 ∈ A. 2 B. C. 2 D. 4
3. 已知 > 0， > 0，若 + = 4，则( )
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
A. 2 + 2有最小值 B. 有最小值 9. 下列说法正确的是 ( )
C. 1 1 1 + 有最大值 D. + 有最大值 A. ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件
4. 2 8 B.
若集合 = 2 + + 1 = 0 中只有一个元素，则 = 4
已知正数 ， 满足 +1+ = 1，则 + 的最小值是 ( )
C. : ∈ 1已知 ， 2 > 0，则 对应的 的集合为 ≤ 2 A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
5. 已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且函数 ( )在[0, + ∞) (3) = 1 D. 已知集合 = {0,1}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为 4上是减函数，如果 ，
10. 下列结论中，所有正确的结论是( )
则不等式 ( 1) + 1 ≥ 0的解集为( )
2 2 +
A. ( ∞,2] B. [2, + ∞) C. [ 2,4] D. [1,4] A. 若 2 > 2，则 > B. 若实数 、 、 > 0，则 + >
6. 已知函数 ( ) = ln( 1 + 2 ) ，且 ( ) + (2 3) < 0，则实数 的取值范围是 C. sin + 1sin ≥ 2 D. 若实数 ， > 0， + = 1
1 4
，则 + ≥ 9
( ) 11. 已知 上的偶函数 = ( )在区间[ 1,0]上单调递增，且恒有 (1 ) + (1 + ) = 0
A. (1, + ∞) B. ( ∞,1) C. (3, + ∞) D. ( ∞,3) 成立，则下列说法正确的是( )
7. 5 1 5 1在古希腊，人们把宽与长之比为 2 2 ≈ 0.618 的矩形称为“黄金矩形”，这个比 A. ( )在[1,2]上是增函数 B. ( )的图象关于点(1,0)对称
函数 ( )在 = 2 处取得最小值 函数 = ( )没有最大值
例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复 C. D.
1 , ∈ [0,1),
原正面图如图所示，图中的矩形 为黄金矩形．若黄金矩形 的边 的长度超过 11 ， 12. 已知函数 ( ) = 2 1, ∈ [1,2),，对定义域内任意 ，都有 ( ) = ( 2).若函数
12 3 但不超过 ，则该古建筑的地面宽度(即线段 的长)可能为 ( )
( ) = ( ) 在[0, + ∞)上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则 的可能取值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 1
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三、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分） 20. (本小题 12分)
13. 若集合 = { | 6 2 ∈ 且 ∈ }
如图，在直三棱柱 中， = = = 3，点 是 的中点，点 在 上，
，则集合 的非空真子集的个数为 ． 1 1 1 1 1
//平面 1E.
14. 如果 2 + 2 ( + 4) < 0 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
15. 若两个正实数 ， 满足 4 + = 0，且不等式 2 6 恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
1
16. , ≤ 0已知函数 ( ) = 2 ，若 ( ) = 2( ) 4 ( ) + 有 4个零点，则 的取值范
log2 , > 0
围是
.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1 ；
17. (本小题 10分) (2)当三棱锥 1 1 的体积最大时，求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
已知 ( ) = 2 + 3(cos2 sin2 )．
(1)求函数 = ( )的最小正周期和对称轴方程；
(2) 5 若 ∈ [0, 12 ]，求 = ( )的值域． 21. (本小题 12分)
2 2
已知椭圆 ：
2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为
2，点 (0,1)在椭圆 上．
2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
18. (本小题 12分) (Ⅱ)设 为原点，过原点的直线(不与 轴垂直)与椭圆 交于 、 两点，直线 、 与 轴分
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + ( 2 )cos = 0．
别交于点 、 .问： 轴上是否存在定点 ，使得∠ = ∠ ？若存在，求点 的坐标；若
(1)求 ;
不存在，说明理由．
(2)若 = 3 ，求 cosB.
22. (本小题 12分)
19. (本小题 12分) 2
已知函数
1 ( ) = ln +
．
2
记 为数列{

}的前 项和，已知 1 = 1， 是公差为 3的等差数列． (1)讨论函数 ( )的单调性;
(1)求{ }的通项公式; (2)若关于 的方程 ( ) = 有两个实数解，求 的最大整数值．
(2) 1证明： +
1
+ +
1
< 2．1 2
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2024 20.解：(1)证明：取 1的中点 ，连接 、 ，届高二下学期第五次段考·数学答案
因为点 是 的中点，所以 // = 1， ，
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 2 1
13. 254 14. ( 2,0] 15. [ 2,8] 16. 3,4 在直三棱柱 1 1 1中， 1/ / 1，又点 在 1上，
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 + 3(cos2 sin2 ) 所以 / / ， 所以 ， ， ， 四点共面，
因为 / /平面 ，平面 ∩平面 = 2 + 3 2 = 2 (2 + ) 1 1
= ， 所以 / / ，
3 ， 因为 = ，点 是 的中点， 所以 ⊥ ，
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
令 2 + 3 = + 2 ( ∈ )，则 所以 ⊥ 1，
2 因为 ∩ 1 = ， 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ， ( )的对称轴为 = 2 + 12 ( ∈ )，最小正周期 = = ； 所以 ⊥平面 1 1 ，
5 7 1 所以 ⊥平面 1 ，又 平面 ，(2)当 ∈ [0, 12 ]时，2 + 3 ∈ [
1 1
3 , 6 ]， 所以 sin(2 + 3 ) ∈ [ 2 , 1]， 所以平面 1 ⊥平面 1 1 ；
所以 ( ) ∈ [ 1,2]． (2)由(1)可知 / / ， / / ，
18.解：(1) cos + ( 2 )cos = 0， 所以四边形 是平行四边形，则 = ，
由正弦定理得 sin cos + sin cos 2sin cos = 0， 设 = 2 (0 < < 3)，
则 sin( + ) 2sin cos = 0，即 sin 2sin cos = 0， 在 △ 中， = 2 2 = 9 2，
1 所以∵ = 9
2，
在△ 中，sin ≠ 0，∴ cos = 2， 又 0 < < ， ∴解得 = 3； 所以三棱锥 1 1 的体积为：
(2)在△ 中， =
2 2 2
3，
1 1
1 1 = 1 1 = 3 × 2 1 1 1 = 9
2 ≤ +( 9 )2 =
9，
2
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
当且仅当 = 9 2，即 = 3 2时，等号成立，
2 2 2 2
∵ = 3 ，∴ = 2 + 2 = 7 ∴ cos = + = 1+7 9 7， ．2 2 7 = 14 故当三棱锥 1 1 的体积最大时， = 2 = 3 2，
19. (1) = 1 + 1 ( 1) = +2解： 3 3 ， 则 = 9 2 =
3 2，
1 2
+2 +3 因为 1 ⊥平面 ， // = ∴ = ; 1
， 所以 ⊥平面 ，又 、
则 3 ①， +1 3 +1② 平面 ，
+3 +2 +1 +2 所以 ⊥ ， ⊥ ，又 ⊥ ， 则 ， ， 两由② ①得： +1 = 3 +1 3 = ; 两垂直，
∴ 2 ∈ = 1 3 2 = +1 5 4 3 = ( +1)
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直
当 且 时， 1 2 3 2 1 2 =
( +1)

1 1 2 2 1 2
，
线为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
又 = 1 ( +1)也符合上式， 因此 = ; 则 ( 3 2 , 0,0)， (0, 3 2 , 3 )， ( 3 21 2 ，2 2 2 1 2 , 0,3) (0,
3 2 , 0)， ( 3 2 ，2 2 , 0,0)
(2) ∵ 1 =
2 1
( +1) = 2(
1 3 2 3 2 3 3 2 3 2
+1
)， 所以 = ( , , )， 1 = ( 3 2, 0,3)， 2 2 2 = ( 2 , 2 , 0)，
∴ 1 + 1 + + 1 = 2( 1 1 + 1 1
设平面 的法向量为 = ( , , )，
1 2 2 3 + +
1 1 +1 ) = 2(1
1
+1 ) < 2
1
，
1 2
即原不等式成立．
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3 2 3 2 3 由 ′( ) > 0，解得 0 < < 1 + 1 ， 由 ′( ) < 0，解得 > 1 + 1 ， = 0 2 2 + 2 = 0则 ，即 , 此时， ( )在(0,1 + 1 )上单调递增，在(1 + 1 , + ∞)上单调递减， 1 = 0 3 2 + 3 = 0 综上，当 ≥ 1时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
令 = 1，得 = 2， = 0，则 = (1,0, 2)， 当 0 < < 1 时， ( )在(0,1 1 )和(1 + 1 , + ∞)上单调递减，在(1 1 , 1 +
3 2
则 cos , =
1 )上单调递增；= 2 = 6，
| || | 3×3 6 当 ≤ 0时， ( )在(0,1 + 1 )上单调递增，在(1 + 1 , + ∞)上单调递减；
设直线 与平面 1 所成角为 ， 2(2)令 ( ) = ( ) = ln + 2 ，
则 sin = |cos , | = 6，6 2
则 ′( ) = ′( ) = +2 ， > 0，
6 2
2
所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 ．6 由(1)知，当 ≥ 1时， ( )在(0, + ∞)上单调递减，
2 2 2 2 ∴ ( )在(0, + ∞)上至多有一个零点，不符合题意舍去， ∵ 是整数， ∴ (0,1)，21.解：(Ⅰ)由题意得 = = ， = 1， 又 = + 2 当 ≤ 0时，由(1)知 ( )在(0,1 + 1 )上单调递增，在(1 + 1 , + ∞)上单调递减，
2解得 = 2, = 1， 所以椭圆方程为 + 2 = 1． 且当 → 0时， ( ) = ln +

2 2 → ∞，当 →+∞

时， ( ) = ln + → ∞，
2 2 2
(Ⅱ)设 ( 0, 0)，由题意及椭圆的对称性可知 ( 0, 0)( 0 ≠± 1)， 若 ( )在(0, + ∞)上有两个零点，则有 (1 + 1 ) > 0，
1 +1 (1+ 1 )
2
则直线 的方程为 = 0 + 1， 直线 的方程为 =
0
+ 1， ∵ (1 + 1 ) = ln(1 + 1 ) + 2(1+ 1 ) = ln(1 + 1 ) +
1 ，
0 0 1+ 1
( 0 , 0) ( 0 , 0) 令 1 + 1 = ，则 =
2 + 2 ( ≥ 2)，∴ ( ) = ln + 2 3 + 1，
则 点坐标为 1 ， 点坐标为 1+ ． 假设存在定点 (0, )使得∠ = ∠ ，0 0
则 ( ) = 1+ 2 3 = 2
2 3 +1 = (2 1)( 1)′ > 0，∴ ( )在(2, + ∞)上单调递增，
即 tan∠ = tan∠ ( | | | |也可以转化为斜率来求)， 即| | = | | 又∵ (2) = ln2 1 < 0， (3) = ln3 + 1 > 0，∴存在唯一的 0 ∈ (2,3)，使得 ( 0) = 0，
2 2
2
0 当 > 0时， ( ) > 0，此时 <
2 + 2 ∈ ( 3,0)，
即| | = | |·| |， 即 = 2 = 2
0
所以 ， 0
1 =± 20 若 = 1，则 = 1 + 2， (1 + 2) = ln(1 + 2) + (1 + 2)2 3(1 + 2) + 1 = ln(1 + 2)
所以存在点 坐标为(0, ± 2)满足条件． 1
2 1+ 2
，
22.解：(1) ∵ ( ) = ln + ， > 0，2 1
令 ( ) = ln ，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，2
∴ ′( ) = 1 2
1 = +2 2 ， > 0， 2 2 2 1
又∵ (2) = ln2
1 = ln2 ln 2 = ln 2 = 1 ln 4 > 0，∴ (1 + 2) > (2) > 0，
①当 ，即 ≥ 1时， ′( ) ≤ 0恒成立，此时， ( )在(0, + ∞)
1
上单调递减； 2 2 2
当 ≥ 1 + 2时， ( ) > 0，此时，1 + 1 ≥ 1 + 2，
②当 ，即 0 < < 1时，
∴ ≤ 1，∴当 ≤ 1时， (1 + 1 ) > 0 成立，
由 ′( ) = 0，解得 = 1 ± 1 ， 由 ′( ) > 0，解得 1 1 < < 1 + 1 ， ∴ 的最大整数值为 1．
由 ′( ) < 0，解得，0 < < 1 1 或 > 1 + 1 ，
此时， ( )在(0,1 1 )和(1 + 1 , + ∞)上递减，在(1 1 , 1 + 1 )上递增；
③当 ，即 ≤ 0时，
由 ′( ) = 0，解得 = 1 + 1 或 = 1 1 (舍)，
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