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第6章 三角【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、填空题
1．某扇形的面积为1 cm2 ，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.
2．若角 的终边经过点P 4a,3a ，其中 a<0，那么 sin 2cos ________．
3．已知 sin cos
1
，且
，则 cos sin ______.
8 4 2
π 5 π 104．若 ， 均为锐角，且 cos ， cos
，则 ________．
2 5 2 10
5．若 sin 2cos ，则 cos2 sin cos sin2 ________．
5 , 3 246．若 且 sin cos
，则 ____________.
2 25 2
7．若关于x的方程 4sin x 3cos x m 0 有解，则实数m的取值范围为________．
π 3π π 3
8．若 ， sin ，则 ________．
4 4 4 5
9．若VABC 中，已知 a 2 3 ，b 2 ， SVABC 3 ，则c=________．
10．若点P sin cos , tan 在第一象限，则在 0,2π 内 的取值范围是________．
3 1
11．若角 的终边上有一点P ,2 2 ，则
sin 2
__________.
tan( ) cos( 3 )
12．化简： sin( ) __________.
二、单选题
13．若 tan 0，则
A． sin 0 B． cos 0 C． sin 2 0 D． cos 2 0
a 3
14．已知 tan110 a，求 tan50 的值（用 a表示），王老师得到的结果是 ，叶老师得
1 3a
1 a2
到的结果是 ，对此你的判断是（ ）
2a
A．王老师对、叶老师错 B．两人都对
C．叶老师对、王老师错 D．两人都错
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1 1
15．“ arcsin ”是“ sin ”的
3 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．若 ABC的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，则 ABC（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
三、解答题
17．在VABC 中，已知b2 ac， a2 c2 ac bc .
（1）求A 的大小；
bsin B
（2）求 的值.
c
cos 2x
sin x 518．已知0 x ，
4
4 13
，求
cos
x 的值. 4
sin cos 2 tan
3
19．已知 为第三象限角，且 f 2 ．
cot sin
(1)化简 f 并求 f 1860 ；
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cos 3 1(2)若 ，求 f 的值．
2 5
20．我们知道如果点P x, y 是角 终边OP上任意一点 OP r 0 ，则根据三角比的定义：
sin y x ， cos ，因此点P的坐标也可以表示为P r cos , r sin ．
r r
π
(1)将OP绕坐标原点O逆时针旋转 至OP ，求点P 的坐标 x , y ．（即分别把 x 、 y 用x、y3
表示出来）
(2)将OP绕坐标原点O逆时针旋转 角度至OP ，求点P 的坐标 x , y ．（即分别把 x 、 y 用
x、y、 表示出来）．
1 π
(3)把函数 y x 0 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，可以得到函数______的图
x 4
象．（写出解析式和定义域）
21．已知VABC ，三条边 a、b 、 c的对角分别是A 、 B 、C ，面积为S .
a b c
（1）若 ，判断VABC 的形状；
tan A tan B tan C
（2）若 sin2 A sin2 B 1，且最大边 c 12，求S的最大值；
2
（3）若5 a 7，7 c 8，且 cosC ，求S的最大值.
9
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对问题（3）有同学给出如下解法：
S 1 ac sin B 1 7 8 1 28
2 2
当 a 7， c 8，B 90 时，S有最大值28.
b
上述解法是否正确，请说明理由；若正确，试求 的取值范围，若不正确，给出求S最大值
a
的正确解法.
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第6章 三角【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、填空题
1．某扇形的面积为1 cm2 ，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.
【答案】 2
【分析】根据扇形的面积和周长列方程组解得半径和弧长，再利用弧长公式可求得结果.
【详解】设扇形的半径为 r ，弧长为 l，圆心角为 ，
1
lr 1
则 2 ，解得 r 1, l 2，
2r l 4
l所以 = = 2 .
r
故答案为： 2
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，考查了扇形中弧长公式，属于基础题.
2．若角 的终边经过点P 4a,3a ，其中 a<0，那么 sin 2cos ________．
【答案】1
【分析】根据三角函数的定义求出 sin 和 cos ，代入 sin 2cos 可求出结果.
【详解】因为 a<0，所以 r 4a 2 3a 2 5 | a | 5a，
4a 4
所以 sin
3a 3
， cos ，
5a 5 5a 5
3 8
所以 sin 2cos 1.
5 5
故答案为：1.
3．已知 sin
1
cos ，且 ，则 cos sin ______.
8 4 2
3
【答案】
2
【分析】由题意，求出 cos sin 2 ，进而根据角的范围判断出 cos sin 的符号，最后
得到答案.
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2 1 3
【详解】由题意， cos sin 1 2sin cos 1 2 ，
8 4
因为 ，所以 cos sin ，则 cos sin 0，所以
4 2 cos sin
3
.
2
3
故答案为： .
2
cos π 5 cos π 104．若 ， 均为锐角，且 ， ，则 ________．
2 5 2 10
π
【答案】 ##45°
4
π π
【分析】求出 sin(
π
)和 sin(
π
)，根据 cos( ) cos
并利用两角差的
2 2 2 2
余弦公式可求出 cos( )，再根据角的范围可求出结果.
【详解】因为0
π π π
，所以 π ，
2 2 2
2
cos π 5 sin(π
) 1 cos2 (π ) 1 5 2 5又因为 ，所以 ， 2 5 2 2 5
5
因为0
π π π
，所以0 ，
2 2 2
2
又因为 cos
π
10 ，所以 sin(π ) 1 cos2
(
π
) 1 10 3 10 ，
2 10 2 2
10 10
cos( ) cos π π cos π cos π sin π π所以
sin
2 2 2 2 2 2
5 10 2 5 3 10
5 10 5 10
2
，
2
因为0 π ，所以
π
.
4
π
故答案为：
4
5．若 sin 2cos ，则 cos2 sin cos sin2 ________．
1
【答案】 ## 0.2
5
cos2 sin cos sin2
【分析】先求出 tan 的值，再将 cos2 sin cos sin2 整理成
cos2 sin2
，
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再将分子分母同除以 cos2 化为关于 tan 的式子，代入即可求出值.
【详解】由 sin 2cos 可得 tan 2，
2
cos2 sin cos sin2 cos sin cos sin
2 1 tan tan2 1
所以 2 2 2 ，cos sin 1 tan 5
1
故答案为：
5
5 246．若 , 3
sin cos
2
且 ，则 2 ____________. 25
3
【答案】-
5
【分析】先根据同角公式求出cos ,再根据二倍角的余弦公式可求得 cos
.
2
5 【详解】因为 , 3
且 sin
24
2 , 25
所以 cos
7
,
25
5 因为 , 3 ,所以 (
5 , 3 )
2 ,所以
cos 0,
2 4 2 2
cos 2cos2 由 1
7 2
,得 2cos 1,
2 25 2
7
1 9 3所以 cos2 25 ,所以 cos .
2 2 25 2 5
3
故答案为:- .
5
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式,属于基础题.
7．若关于x的方程 4sin x 3cos x m 0 有解，则实数m的取值范围为________．
【答案】[ 5,5]
【分析】等价于方程 m 5sin x 有解，求出函数 y 5sin(x ) 的值域即得解.
【详解】由题得方程 m 4sin x 3cos x有解，
所以方程 m 5sin x ，其中 sin 3 ， cos 4 5 5 有解，
因为函数 y 5sin(x ) 的值域为[ 5,5].
所以实数 m的取值范围是[ 5,5]，即m的取值范围是 5,5 .
故答案为：[ 5,5]
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π 3π π 3
8．若 ， sin 4 4 4 5
，则 ________．
2
【答案】 π arccos
10
π 4 π π
【分析】先求出 cos ，由 ，所以 cos cos 4 5 4 4 4 4 代入数据
可得 cos 2 ，然后利用反函数的定义进行求解
10
π 3π π
【详解】由 ，得
π
π ，所以 cos
π
1 sin
2 π 4 ，
4 4 2 4 4 4 5
由 cos cos
π π π π π π 4 2 3 2 2 4
cos cos sin sin ，
4
4 4 4 4 5 2 5 2 10
π 3π
所以 ，所以
2 4 arccos(
2
) π arccos 2
10 10
2
故答案为： π arccos
10
9．若VABC 中，已知a 2 3 ，b 2 ， SVABC 3 ，则c=________．
【答案】2或 2 7
【分析】由三角形面积公式可得角C，再由余弦定理即可得结果.
1
【详解】因为a 2 3 ，b 2 ， S△ABC absin C 3 ，2
sin C 1 C 0, π C π 5π即 ，由于 ，所以 或 ，
2 6 6
当C
π
时，
6 c
2 a2 b2 2abcosC 12 4 2 2 3 2 3 4，即 c 2；
2
5π
当C c2 a2时， b2 2abcosC 12 4 2
3
2 3 2 2
28，即 c 2 7 ，6
即c的值为2或 2 7 ，
故答案为：2或 2 7 .
10．若点P sin cos , tan 在第一象限，则在 0,2π 内 的取值范围是________．
π π 5π
【答案】 , π,
4 2 4
【分析】根据点P sin cos , tan 在第一象限，可知横、纵坐标的符号，结合 0,2π
即可求解.
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sin cos 0
【详解】由题意可得 tan 0 ，
0,2π
tan 0 π 3π
由 0,2π ，可得 0, 2 或 π, ， 2
π 0, 当 ，即 2 为第一象限角，则
sin 0,cos 0，
∵ sin cos 0，则 tan 1，
∴
π ,
π
4 2
；
当
π, 3π ，即 2 为第三象限角，则
sin 0,cos 0，
∵ sin cos 0，则0 tan 1，
∴
π, 5π 4 ；
综上所述：
π π
, U π,
5π
4 2
.
4
π , π π, 5π 故答案为： 4 2 . 4
3 1
11．若角 的终边上有一点P ,2 2 ，则
sin __________.
2
3
【答案】
2
【分析】先根据诱导公式化简原式，然后根据三角比的定义求解出结果.
3
2 3
【详解】因为 sin
cos
cos
，且 2 2 ，
2 3 2 1
2
2
所以 sin
3
，
2 2
3
故答案为： .
2
tan( ) cos( 3 )
12．化简： sin( ) __________.
【答案】1
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【分析】根据诱导公式化简即可.
tan( ) cos( 3 ) tan cos
【详解】 1.
sin( ) sin
故答案为：1.
二、单选题
13．若 tan 0，则
A． sin 0 B． cos 0 C． sin 2 0 D． cos 2 0
【答案】C
sin
【分析】由 tan 及 sin 2 2sin cos 即可得解.
cos
【详解】由 tan
sin
0，可得 sin 2 2sin cos 0 .
cos
故选C.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.
a 3
14．已知 tan110 a，求 tan50 的值（用 a表示），王老师得到的结果是 ，叶老师得
1 3a
1 a2
到的结果是 ，对此你的判断是（ ）
2a
A．王老师对、叶老师错 B．两人都对
C．叶老师对、王老师错 D．两人都错
【答案】B
【分析】利用 tan 50 tan(110 60 ) ，展开可验证王老师正确.由 tan110 求得 tan 20 ，再由二
倍角公式求得 tan 40 ，由 tan 50
1
可验证叶老师正确.
tan 40
【详解】Q tan 50 tan(110 60 )
a 3
，所以王老师正确.
1 3a
Q tan110 tan(90 20 ) 1 a ，
tan 20
tan 50 1 1 tan
2 20 1 a2
，所以叶老师正确.
tan 40 2 tan 20 2a
故选：B
arcsin 115．“ ”是“ sin
1
”的
3 3
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】因为 arcsin
1 sin 1 ，但是
3 3
sin 1 arcsin
1
2k 或 arcsin
1
2k ， k Z．
3 3 3
1
所以“
1
arcsin ”是“ sin ”的充分不必要条件．
3 3
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及三角方程的解法应用，属于基础
题．
16．若 ABC的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，则 ABC（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】由 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，得出 a : b : c 5 :11:13，可得出角C为最大角，并利用
余弦定理计算出 cosC ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】由 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，可得出 a : b : c 5 :11:13，
设 a 5t t 0 ，则b 11t ， c 13t，则角C为最大角，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 cosC a b c 25t 121t 169t 23 0，则角C为钝角，
2ab 2 5t 11t 110
因此， ABC为钝角三角形，故选C.
【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合
大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．在VABC 中，已知b2 ac， a2 c2 ac bc .
（1）求A 的大小；
bsin B
（2）求 的值.
c
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【答案】（1） A
3
3 ； （2） .2
1
【分析】（1）根据题设条件和余弦定理，求得 cos A ，即可求得A 的值；
2
（2）因为b2 ac，由正弦定理得到bsin B c sin A，即可求解.
【详解】（1）在VABC 中，因为b2 ac， a2 c2 ac bc ，可得b2 c2 a2 bc
b2 c2 a2 bc 1
由余弦定理可得 cos A ，
2bc 2bc 2
因为 A (0, )
，所以 A 3 .
（2）因为b2 ac，由正弦定理，可得bsin B c sin A，
bsin B
可得 sin A sin 3 .
c 3 2
cos 2x
18．已知0 x
， sin
5
x
4 4
，求
13 cos
x
的值.
4
24
【答案】
13
【分析】令 t x ，求出 cos t ，再结合条件求解即可.
4
【详解】因为0 x
，所以0 x
t x t 0, ，令 ， ，
4 4 4 4 4
5
所以 x t ， sin t ， cos t 1
12
sin2 t ，
4 13 13
cos 2t
2 sin 2t 2sin t cos t 24
所以原式 2cos t
cos
.
t
sin t sin t 13
2
sin cos 2 tan 3
19．已知 为第三象限角，且 f 2 ．
cot sin
(1)化简 f 并求 f 1860 ；
3 1
(2)若 cos ，求 f 2 的值． 5
【答案】(1) f (α) = - cos α 1， f 1860 2
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(2) f 2 6
5
【分析】（1）利用诱导公式化简求得 f ，再代入求值；
（2）先根据诱导公式求得 sin 的值，然后根据同角之间的关系求出cos 的值，即可求解.
sin cos 2 tan 3
【详解】（1） f 2 sin cos cot cos ，
cot sin cot sin
f 1860 cos 1860 cos 1860 cos 60 360 5 cos 60 1
2
cos 3 1（2）因为 cos 3 sin
1
2 ，所以
sin ，
2 5 5
又因为 是第三象限角，所以 cos 1 sin2 2 6 ，
5
所以 f cos 2 6 .
5
20．我们知道如果点P x, y 是角 终边OP上任意一点 OP r 0 ，则根据三角比的定义：
sin y ， cos
x
，因此点P的坐标也可以表示为P r cos , r sin ．
r r
π
(1)将OP绕坐标原点O逆时针旋转 至OP ，求点P 的坐标 x , y ．（即分别把 x 、 y 用x、y3
表示出来）
(2)将OP绕坐标原点O逆时针旋转 角度至OP ，求点P 的坐标 x , y ．（即分别把 x 、 y 用
x、y、 表示出来）．
y 1 x 0 π(3)把函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，可以得到函数______的图
x 4
象．（写出解析式和定义域）
1 3 3 1
【答案】(1) x x y， y x y
2 2 2 2
(2) x x cos y sin ； y y cos x sin
(3) y x2 2 x R
【分析】（1）结合三角恒等变换求得正确答案.
（2）结合三角恒等变换求得正确答案.
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（3）由（2）的结论，利用赋值法求得正确答案.
【详解】（1）OP OP r .
x r cos π 1 r cos 3 r sin x 1 3 x y ；
3 2 2 2 2
同理， y r sin
π
3
x
1
y ．
3 2 2
（2） x r cos r cos cos r sin sin ，
故 x x cos y sin ；
同理， y r sin y cos x sin ．
π π π
（3）在（2）中令 得 x x cos y sin4 ，4 4
x 1 x y 1 x 1可得 ．
2 2 x
1 1
同理， y x 2
，
x
两式平方相减得 y 2 x 2 2，
由于 y 0，
所以，函数为 y x2 2 x R ．
21．已知VABC ，三条边 a、b 、c的对角分别是A 、 B 、C，面积为S.
a b c
（1）若 ，判断VABC 的形状；
tan A tan B tan C
（2）若 sin2 A sin2 B 1，且最大边 c 12，求S的最大值；
5 a 7 7 c 8 cosC 2（3）若 ， ，且 ，求S的最大值.
9
对问题（3）有同学给出如下解法：
S 1 ac sin B 1 7 8 1 28
2 2
当 a 7，c 8，B 90 时，S有最大值28.
b
上述解法是否正确，请说明理由；若正确，试求 的取值范围，若不正确，给出求S最大值
a
的正确解法.
【答案】（1）VABC 是等边三角形；（2） Smax 36；（3）不正确，答案见解析.
【分析】(1)根据题意，结合正弦定理即可求解；
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(2)根据已知条件，结合三角恒等变换可得C 2 ，再根据面积公式即可求解；
(3)根据题意，结合余弦定理和基本不等式，求出S的最大值，即可判断上述解法是否正确.
a b c
【详解】(1)∵ ，
tan A tan B tan C
2R sin A 2R sin B 2R sin C
由正弦定理得 ，
tan A tan B tan C
∴ cos A cos B cosC .
∵ A、B、C 0, ，
∴ A B C，即VABC 是等边三角形.
c A B (2)∵ 是最大边，∴ 、 0,
2
，
由 sin2 A sin2 B 1，∴ sin2 A cos2 B，
∴ sin A cos B，∴ sin A sin
B 2 ，
∴ A
B ，即C .
2 2
S 1 (c sin A) (c cos A) 36sin 2A 36，
2
所以当 A
时， Smax 36.4
(3)上述解法不正确，可验证此时 cosC
2
.
9
2 2 2
由余弦定理得 c a b 2ab
2
2ab 4 14 ab ab，
9 9 9
ab 9∴ c2 1 1 9 77 16 77，
14 S absin C c
2 ，
2 2 14 9 7
12 16 77
所以当 a b 14 5,7 时，
7 Smax
.
7
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