2022-2023 学年度下学期六月份月考考试试题
高一数学
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合要求的．
1．复数 z i (1 i) 的虚部为（ ）
A．1 B． 1
C． i D． i
tan 12．已知 ，则 sin2 （ ）
3
3 3 3 3
A． B． C．- D．
10 5 5 5
3．正方形O A B C 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周
长是（ ）
A.8cm
B.6cm
C. 2 3 2 cm
D. 2 2 3 cm
a 2 b 2 a b · 2a 4．已知向量 a，b 满足 ， b 8，则 a 与b 的夹角为（ ）
2 5
A． B． C．
6 3 3
D．
6
5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒
尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的
轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 60°，则该正四棱锥
的侧面积与底面积的比为（ ）
A 3． B 3．
4 3
C 3． D． 3
2
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6．如图，函数 f x Asin x （ A 0， 0， π）的部分图象与坐标轴的三个
3 1
交点分别为 P 1,0 ，Q，R，且线段 RQ的中点 M的坐标为 , ，则 f 2 等于（ ）
2 2
A．－1
B．1
A 6．
2
B．D 6．
2
7．如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1 1，AB BC 3，
cos ABC 1 ，P是 A1B上的一动点，则 AP PC1的最小值为（ ）3
A． 3
B． 5
C． 7
D．2
π
8．已知 ABC中， A ，D，E是线段 BC上的两点，满足 BD DC， BAE CAE，
3
AD 19 ， AE 6 3 ，则 BC长度为（ ）
2 5
A． 7 B． 2 3 C． 19 D．6 3 19
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有
选错的得 0 分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．在△ABC中，三个内角为 A，B，C， sin 2A sin 2B，则△ABC是等腰三角形
3
B
π π
．已知 cos ， , π ，则 tan 75 2 4
C．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则 BC CA的值为 20
1
D 15．在△ABC中， cos A ，AB＝2，BC＝4，则 BC边上的高为
4 2
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10．在平面直角坐标系 xOy中，O是坐标原点，角 的终边OA与圆心在坐标原点，半径为
2的圆交于点 A m, 1 m 0 ，射线OA绕点 O按逆时针方向旋转 弧．度．后交该圆于点 B，
记点 B的纵坐标 y关于 的函数为 y f ．则下列说法正确的是（ ）．
A． f 2sin π
6
π
B．函数 y f 的图象关于直线 对称
3
C．函数 y f 的单调递增区间为
2π 2kπ, π 2kπ k Z
3 3
D 3 0, π tan π 39．若 f ， ，则 2 6 13
11．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动,他位
于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点 B位于点A的南偏西 45
的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D， E，使点 B，C，D共线，点 B位
于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得CD CE 100m， BAD 75 ，
AEC 120 ， AE 200m，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． AD 200m B．△ADC的面积为1000 3m2
C． AB 100 6m D．点A在点C的北偏西30 方向上
π
12．已知△ABC三个内角 A，B，C的对应边分别为 a，b，c，且 C ，c =2．则下列结
3
论正确的是（ ）
A．△ABC的周长最大值为 6
B AC 4 3． AB的最大值为 2
3
C．bcos A acosB 2
cos B 3
D． 的取值范围为 , 3, cos A 2
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，若 A 60 ， a 3，则
a b c
______．
sin A sin B sinC
14．已知正四棱台的上底边长为 2，下底边长为 4，侧棱长为 2，则正四棱台的高为__________.
15．已知复数 z满足 z 1，则 z 3 4i （ i为虚数单位）的最大值为__________.
16．记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且bsin B asin A sinC 2bcos2B c ，
若向量m a b,c a ， n sinB,sin A sinC ，且m n，则 A ______
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长是 2，D，E是 CC1，BC的中点，AE=DE.
求:
(1)正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱 ABC-A1B1C1的表面积.
18．已知复数 z1 1 ai a R ，且 z1 3 i 为纯虚数.
(1)求实数 a的值；
b i2023
(2)设复数 z2 ，且复数 z2对应的点在第二象限，求实数b的取值范围.z1
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19．已知 f x 2sin x
π
cos x 3sin 2x
2
(1)若 x
0, π 2
，求函数 f x 的值域；
(2)在 ABC，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 f A 2，且 ABC的面积为 2 3，
当 a 6时，求 ABC的周长．
20．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．满足 2a c cos B b cosC．
(1)求角 B的大小；
(2)设 a 4，b 2 7．
（ⅰ）求 c的值；
（ⅱ）求 sin 2C B 的值．
1 cos 2B sinC cosC
21．已知 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 ．
sin 2B sinC cosC
(1)求 A的大小；
(2)设 AD是 BC边上的高，且 AD 2，求 ABC面积的最小值．
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cosB b
a sinB sinC 22 3．在① cos A B 2a c ，② ，③ 三个条件中任选b c sin A sinC S BA BC 2
一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c且__________，作 AB⊥AD，使得四边形
ABCD满足 ACD
π
， AD 3．3
(1)求角 B的值；
(2)求 BC的取值范围．
第 6 页 共 6 页2022-2023 学年度下学期六月份月考数学考试试题参考答案
一、单项选择题
1. A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A
二、多项选择题
9. BCD 10.BD 11.AC 12.AB
三、填空题
4π
13. 2 14. 2 15. 6 16. 9
四、解答题
17.由题意 BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°= 3，
根据正三棱柱得 CC1⊥面 ABC，又 BC 面 ABC，所以 CC1⊥BC，
在 Rt△ECD中，CD= ED2 EC 2 3 1 2，
又 D是 CC1的中点，故侧棱长为 2 2 . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（5分）
1
（2）底面积为 S1=2S△ABC=2×2× 3 =22 3
，侧面积为 S2=3 SBB1C1C=3×2×2 2 =12 2 .
所以棱柱表面积为 S=S1 +S2=12 2 +2 3 . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
18.（1）因为 z1 1 ai, z1 1 ai，
z1 3 i 1 ai 3 i 3 i 3ai ai 2 3 a 1 3a i ，。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）
又 z1 3 i 为纯虚数，
3 a 0
，
1 3a 0
解得 a 3 . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
b i2023 b i2023 b i b i 1 3i b 3 3b 1 iz b 3 3b 1（2） 2 iz 1 ai 1 3i 1 3i 1 3i 10 10 10 ，1
。。。。。。。。。。。。。。。。。（9分）
b 3 0
因为复数 z
1
2所对应的点在第二象限，所以 ，解得 b 3，
3b 1 0 3
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1
所以b 的取值范围是 ,3 。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
3
π
19.（1）由题意，函数 f x 2sin x 2 cos x 3sin 2x
2cos2 x 3 sin 2x 2cos2 x 1 3 sin 2x 1 ，
cos2x 3sin 2x 1 2sin 2x π 1， 。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
6
x 当 0,
π π π 7π
时，可得 2x ，
2 6 6 6
1
∴ sin(2x
π
)≤1，故 f x 0,3 ，
2 6
所以函数 f x 的值域为 0,3 ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
f A 2sin 2A π （2）由（1）得 1 2，所以 sin 2A
π 1
6
，
6 2
A π π 13π因为 0, π ，得 2A , 2A
π 5π
，所以 ，
6 6 6 6 6
A π解得 ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
3
S 1又 ABC bc sinA 2 3 ，可得bc 8，。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）2
由余弦定理得 a2 b2 c2 bc b c 2 3bc b c 2 24，
因为 a 6，所以b c 2 15 。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
所以 ABC的周长为 6 2 15． 。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
20.（1）由 2a c cos B b cosC，
根据正弦定理得， 2sinA sinC cos B sinB cosC ,
可得 2sinAcos B sin B C sinA，
1
因为0 A π，故 sin A 0，则 cosB ，
2
π
又0 B π，所以 B . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
3
π
（2）由（1）知， B ，且 a 4，
3 b 2 7，
a2ⅰ c
2 b2
（ ）则 cos B ，
2ac
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1 16 c2 28
即 ，解得 c 2（舍）， c 6 .
2 2 4 c
故 c 6 . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
（ⅱ）由 2a c cos B b cosC，
得 2 4 6 1 2 7 cosC，
2
2
7 7 3 21
解得 cosC ，则 sinC 1 ，14 14
14
则 sin2C 2sinC cosC 3 3 ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）
14
cos 2C 2cos 2C 1 13 ，。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
14
则 sin 2C B =sin2C cos B cos 2CsinB
3 3 1 13 3 5 3
.。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）14 2 14 2 14
1 cos 2B sinC cosC sin B sinC cosC
21（1）在 ABC中，由 及二倍角公式，得 ，
sin 2B sinC cosC cosB sinC cosC
即 sin B sinC sin B cosC cos B sinC cos B cosC，整理得 sin(B C) cos(B C) 0，
因此 tan(B C) 1，即 tan A 1，而 0 A π，
A π所以 . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
4
1 1 π
（2）由（1）及已知，得 S ABC a 2 bc sin ，2 2 4
2
即有 a bc， 。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
4
a2 b2 c2 2bc cos π由余弦定理得 24，即 a b
2 c2 2bc，。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）
1b2c2因此 b2
1
c2 2bc 2 2 2 2，即 b c 2bc b c 2bc，
8 8
于是bc 8(2 2)，当且仅当b c时取等号，。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
S 2而 ABC bc ，4
ABC 2所以 面积的最小值为 8(2 2) 4 2 4.。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
4
cosB b cosB b
22.（1）选①： cos A B 2a c ，即 ，由正弦定理可得：cosC 2a c
cos B sin B
，整理得 sin BcosC 2sin AcosB sinC cosB ，
cosC 2sin A sinC
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所以 sin BcosC sinC cosB 2sin AcosB，即 sin(B C) sin A 2sin Acos B，
又 A (0, π)
1
，所以 sin A 0 ,得到 cos B ，又 B (0, π)，所以 B 2π .
2 3
a sinB sinC
选②： ，由正弦定理可得：
b c sin A sinC
a b c
，整理得 a2 c2 b2 ac ，即b2 a2 c2 ac，
b c a c
又由余弦定理b2 a2 c2
1 2π
2ac cosB，所以 cos B ，又 B (0, π)，所以 B .2 3
3 1
选③： S BA BC ，根据条件得 ac sin B 3 ac cosB ，得到 tan B 3 ，
2 2 2
又 B (0, π)
2π
，所以 B .
3
2π
综上，无论选择哪个条件， B 。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
3
π π
（2）设 BAC ，则 CAD , CDA ，
2 6
AC AD
在 ACD中，由正弦定理得 ，
sin ADC sin ACD
3 sin( π
AC AD sin ADC
)
6可得 π 2sin(
π
)，。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
sin ACD sin 6
3
AC BC
在 ABC中，由正弦定理得 ，
sin B sin
AC sin 2sin(
π
) sin
BC 6 4 π可得 sin( ) sin 。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）
sin B sin 2π 3 6
3
4 ( 3 sin 1 cos )sin 4 ( 3 sin2 1 sin cos )
3 2 2 3 2 2
1
(2 3 sin 2 2sin cos ) 1 (2 3 1 cos 2 sin 2 )
3 3 2
1
(sin 2 3 cos 2 ) 1 2 3 sin(2 ) 1 ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
3 3 3
0 π π π π因为 ，可得 2 ，
3 3 3 3
2 π π π 2 3 π当 时，即 ，可得 sin 1 2，
3 3 3 3 3
π π 2 3 π
当 2 时，即 0，可得 sin( ) 1 0 ，
3 3 3 3
所以 BC的取值范围是 (0,2) . 。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
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