沈阳市第 120 中学 2022-2023 学年度下学期
高一年级第三次质量监测
数学参考答案
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分，在每题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．A
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分，在每小题有多项符合题目要求）
9．AD 10．ABC 11．AD 12．ACD
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13． 1 14 3． 15 21． 16 7．
2 4 17
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题 10分）解：(1)因为 20 = ( 4 + 3) + ( 2 3 + 2) 为纯虚数，
2 2
所以 4 + 3 = 0 4 + 3 = 0
2
，即
3 + 2 ≠ 0 2 3 + 2 ≠ 0
解得 = 3，...................................................................................................................................3分
0 + = 3 + 2 此时 0 = 2 ，由韦达定理得 = 6 ，0
∴ = 3．........................................................................................................................................5分
(2)复数 满足| | = | + |，即| | = 3 2，
所以所求点 的集合是以原点为圆心，以 3 2为半径的圆， ................................................7分
= 2 = 18 ．.........................................................................................................................10分
18. 2π 3 3 15（本题 12分）(1) = (2)正确条件为①③，（i）sin = ，（ii） =
3 14 8
1 π π π【详解】（ ）由题设 3sin + + cos + = 2sin + = 0，
6 6 3
π
而 < + π < 4π，
3 3 3
π
所以 + = π，故 = 2π；.........................................................................................................2分
3 3
（2）若①②正确，则 2 + 3 + 2 = ( + 1)( + 2) = 0，得 = 1或 = 2，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
1 15 3 15
若②③正确，则 △ = sin = ，可得 sin = > 1，即②为错误条件，2 4 2
综上，正确条件为①③，............................................................................................................4分
答案第 1页，共 5页
（i）由 2 cos = 2 + 2 2，则 (3 ) = 0，即 = 3，
又 △ =
1 sin = 15 3，可得 = 5，
2 4
所以 9 2 + 25 + 15 = 0，可得 = 7 14，则 = = ，
sin sin 3
故 sin = 3 3；..............................................................................................................................8分
14
3 3 π
（ii）因为 sin = 且 ∈ 0, ，得 cos = 1 sin2 = 13，
14 3 14
由 π平分∠ 得∠ = ，
3
在△ 中，sin∠ = sin ∠ + = 3 × 13 + 1 × 3 3 = 4 3，
2 14 2 14 7
3 3
△
5×
在 中，由 = ，得 = 14 154 3 = ．.............................................................12分sin sin∠ 8
7
19. （本题 12分）（1）证明：取 PA的中点 G，连接 DG，FG．.......................................2分
因为 G，F分别是 PA，PB的中点，所以 ∥ 1，且 =
2
又底面 ABCD 1是平行四边形，且 EF分别是 CD的中点，所以 DE∥ ，且 =
2
所以 // 且 = ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ∥ .................................................................................................................................4分
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 PAD．.................................................6分
（2）因为 E是 CD的中点，所以△ 的面积是平行四边形 ABCD 1面积的 ．
4
因为 F是 PB的中点，所以三棱锥 1的高是四棱锥 的高的 ．
2
因为四棱锥 的体积为 32，
所以三棱锥 1 1的体积为 32 × × = 4．......................................................................9分
4 2
设 B到平面 DEF的距离为 d，
因为△ 的面积为 4 1，所以 × × 4 = 4，得 = 3，即 B到平面 DEF的距离为 3．..12分
3
答案第 2页，共 5页
20. （本题 12分）【详解】（1）由题意可知∠ ′ = ∠ ′ = 75°，∠ ′ = ∠ ′ = 45°
′
∴∠ ′ = 60° ，在△A'MN中，由正弦定理 =
sin∠ ′ sin∠ ′
= 30 3 6 = 3 3， ′ = 3 2，.......................................................................................4分
60
又∵N点观测 A 2 2时仰角的正切值为 ， ′ = 3 2 = 0.4，..............................................6分
15 15
所以，该山的高度为 0.4千米．
（2）设△ ′ ′的外接圆为圆 O，
∵∠ ′ ′ = ∠ ′ ′ = 30°，根据圆的性质， ′， ′，M，N四点共圆
在△ ′ 中，由正弦定理，圆 O直径为
sin∠ ′
= 6，
在△ ′ ′中，由正弦定理， ′ ′ = 6sin∠ ′ ′ = 3..............................................................8分
延长 ′ ′与圆台交于 C点，
由题意下底面圆半径为 1.8km，圆台的母线长 BC可在直角△ ′ 中由勾股定理得为 0.5．
π 1.5 + 1.8 0.5 = 33π圆台的侧面积 km2，
20
9π
圆台的上底面面积π 1.52 = km2，......................................................................................10分
4
所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为 3.9π平方千米．..............12分
21. （本题 12分）【详解】（1） = 2sin2 + 3cos 2 1
4
= 1 cos 2 + 3cos 2 1
2
= sin 2 3cos 2 = 2sin 2 .........................................................................2分
3
∵ 2 的最小正周期为 ． > 0，∴ = ，∴ = 1．
2
答案第 3页，共 5页
那么 的解析式 = 2sin 2 ..................................................................................3分
3
方程 + 1 = 0 在 0, 7 上有且有一个解，转化为函数 = 与函数 = 1在
12
0, 7 上只有一个交点．∵ ∈ 0, 7 ，∴ ≤ 2 ≤ 5
12 12 3 3 6
因为函数 = = 2sin 2 0, 5 5 7 在 上增，在 , 上减，
3 12 12 12
且 0 = 2sin = 3 5 7 ， = 2， = 1，
3 12 12
∴ 3 ≤ 1 < 1 或 1 = 2，所以 1 3 ≤ < 2 或 = 3.......................................6分
（2）由（1）可知 = 2sin 2 ，∴ 2 min = 2．3
实数 满足对任意 1 ∈ 1,1 ，都存在 2 ∈ ，使得4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 2 > 2
成立．
即4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 2 > 2成立，......................................................................8分
令 = 4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 4，
设2 1 2 1 = ，那么4 1 + 4 1 = 2 1 2 1 2 + 2 = 2 + 2
∵ 1 ∈ 1,1 ，∴ ∈
3 , 3 2 + + 6 > 0 3 3，可得 在 ∈ , 上恒成立．
2 2 2 2
令 = 2 + + 6，其对称轴 = ，∵ ∈ 3 , 3 上，................................................10分
2 2 2
∴①当 ≤ 3 ≥ 3 3 33 3 时，即 ， min = = > 0 3 ≤ <
11
，所以 ；
2 2 2 4 2 2
2
②当 3 < < 3 ，即 3 < < 3 时， min = = 6 > 0，所以 3 < < 3；2 2 2 2 4
3
③当 ≤ ，即 ≤ 3时， min =
3 = 33 + 3 > 0 11，所以 < ≤ 3；
2 2 2 4 2 2
11 11综上可得，存在 ，可知 的取值范围是 , ．...........................................................12分
2 2
22. （本题 12分）(1)当 = 1 时， 为 中点，
因为 是 的中点，所以 = , ∥ ,
则四边形 是平行四边形，所以 ∥ ..........................................................................2分
又 平面 1 , 平面 1 ，所以 ∥平面 1 .
因为 , 分别是 , 1 中点，所以 ∥ 1 .
因为 平面 1 , 1 平面 1 ，所以 ∥平面 1 ..................................................4分
因为 ∩ = , 平面 , 平面 ，所以平面 ∥平面 1 .....................6分
答案第 4页，共 5页
(2)如图，连接 , 与 ,
因为 1 ⊥平面 , 平面 ，所以 1 ⊥ .
若 ⊥ ,又 1 , 平面 1 ，且 1 ∩ = ，所以 ⊥平面 1 ....................8分
因为 平面 1 ，所以 ⊥ ........................................................................................10分
在矩形 中，由 ⊥ ，得△ ∽△ ,
所以 2 = .
又 = 1, = 2 = 1，所以 , = 3,
2 2
1 1
则 = ，即 = .......................................................................................................................12分
3 3
答案第 5页，共 5页沈阳市第 120 中学 2022-2023 学年度下学期
高一年级第三次质量监测
数学试题
满分：150 分 时间：120 分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知角 的顶点为原点，始边为 轴的非负半轴，若其终边经过点 2, 5 ，则
sin=2 （ ）
cos2 +1
A 7 5 B 4 5 C 13 5 D 2 5． ． ． ．
2 13 4 7
2．已知复数 满足 (3+ )=3+ 2020，其中
为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为 ( )
A. 2 2 B. C. 2 D. 2
5 5 5 5
3. 一个用斜二测画法画出来三角形是一个边长为 的正三角形，则原三角形面积是 ( )
A. 3 2 B. 3 2 C. 6 2 D. 22 4 2 6
4. 以下命题正确的是（ ）
A. 直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D. 棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
5 π 3 π．已知 为第二象限角，sin + = ，则 sin + + cos + 2π =（ ）
4 5 3 3
A 3 2 3 6 B 2 2 2 6 C 2 6 2 2 3 6 3 2． ． ． D．
10 5 5 10
6．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的
长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”
量之，较长边为 10cm，较短边为 5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木
板，三角形定点 A，B，C都在圆周上，角 A，B，C分别对应 a，b，c，满足 = 4 5 cm.
若 2△ = 8 cm ，且 > ，则（ ）
A．sin = 3 B．△ABC周长为 12 + 4 5 cm
5
C．△ABC周长为 15 + 4 5 cm D．圆形木板的半径为 2 5 cm
试卷第 1页，共 6页
7. 已知函数 = 2sin + （其中 > 0, < π π π π）在区间 , 上单调，且 =
2 6 2 2
π = 2π = π，当 时， 取得最大值，则不等式 > 1的解集为（ ）
6 3 12
A π． + π, π + π ( ∈ Z)
12 4
B π． + π, π + π ( ∈ Z)
12 4
C． π + π, π + π ( ∈ Z)
12 2
D π π． + π, + π ( ∈ Z)
12 2
8．如图所示，已知正四棱柱 1 1 1 1的上下底面的边长为 3，高为 4，点 M，
N分别在线段 1 1和 1 1上，且满足 1 = 1 = 2，下底面 ABCD的中心为点 O，点
P，Q分别为线段 1和 MN上的动点，则 + 的最小值为（ ）
A 66 B 2 6 C 33． ． ． D．2 3
2 2
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 共线是 , , , 四点共线的必要不充分条件
B．若 ∥ ，则存在唯一实数 使得 =
C．已知 = (1,3)， = (1,1)，则 与 + 5的夹角为锐角的充要条件是 ∈ ( , + ∞)
2
D．在△ 中， 为 的中点，若 + = ，则 是 在 上的投影向量
10．已知直线 a，b，c两两异面，且 ⊥ ， ⊥ ，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面α，β，使 ， ，且 ⊥ ， ⊥
B．存在平面α，β，使 ， ，且 ∥ ， ∥
C．存在平面γ，使 ∥ ， ∥ ，且 ⊥
D．存在唯一的平面γ，使 ，且 a，b与γ所成角相等
试卷第 2页，共 6页
11. 如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别为 , , 1的中点，点 在线段
1 上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 1 1//平面 EFG B．直线 和平面 所成的角为定值
C．异面直线 和 所成角不为定值
D．若直线 //平面 EFG，则点 为线段 1 中点
12．已知三棱锥 所有棱长均为 2， ⊥平面 ABC，O为垂足， 是 PO中点，
AD延长线交平面 PBC于点 1， 延长线交平面 PAB于点 1，则下列结论正确的是（ ）
A． 1 1//
B．若 是棱 PB上的动点，则| | + | |的最小值为 2 2
C．三棱锥 外接球的表面积为 6π
D 1． 1 1 = 25
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13．已知函数 = sin + > 0,0 < < π ，若 π 3π1 = ， 2 = 为 的两个12 4
零点，则当 取得最小值时，sin4 =________．
14．已知圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为______.
15 π．在平面四边形 中（如图所示）， ⊥ , ⊥ , ∠ = , = = 2，
3
若点 为边 上的动点，则 的最小值为_____________；
16．如图，在正方体 1 1 1 1中， 是 1 1的中点，平面 将正方体分成体
积分别为 1， 2（ 1 ≤ 2） 的两部分，则 1 =_______ 2
试卷第 3页，共 6页
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题 10分）已知复数 0 = ( 2 4 + 3) + ( 2 3 + 2) ( 为虚数单位， ∈ )为
纯虚数， 0和实数 是关于 的方程 2 (3 + 2 ) + 6 = 0的两个根．
(1)求 ， 的值；
(2)若复数 满足| | = | + |，说明在复平面内 对应的点 的集合是什么图形 并求该图
形的面积．
18 π π．（本题 12分）在△ABC中， 3sin + = cos + ．
6 6
(1)求 B的值；
(2)给出以下三个条件：① 2 2 + 2 + 3 = 0；② = 3， = 1；③ 15 3△ = ，4
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求 sin 的值；
（ii）求∠ABC的角平分线 BD的长．
19. （本题 12分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是平行四边形，E，F分
别是 CD，PB的中点．
(1)证明： //平面 PAD．
(2)若四棱锥 的体积为 32，△ 的面积为 4，求 B到平面 DEF的距离.
试卷第 4页，共 6页
20. （本题 12分）桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我
国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦
屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图
1所示的圆台，图中 AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从 M点出发沿一
条东西方向上的笔直公路自东向西以 30 3km/h的速度前进，6分钟后到达 N点．在 M
点时测得 A点位于北偏西 45°方向上，B点位于北偏西 15°方向上；在 N点时测得 A点
位于北偏东 15°方向上，B点位于北偏东 45°方向上，且在 N点时观测 A的仰角的正切
2
值为 ．设 A点在地表水平面上的正投影为 ′，B点在地表水平面上的正投影为 ′， ′，
15
′，M，N在地表水平面上的分布如图 2所示．
(1)该山的高度为多少千米？
(2)已知该山的下底面圆的半径为 1.8km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为
多少平方千米？
21. （本题 12分）已知函数 ( ) = 2 2( + ) 3 (2 ) 1( > 0)， ( )的
4
最小正周期为π.
1 7π（ ）方程 ( ) + 1 = 0 在[0, ]上有且只有一个解，求实数 的取值范围；
12
（2）是否存在实数 满足对任意 1 ∈ [ 1,1]，都存在 2 ∈ ，使得
4 1 + 4 1 + (2 1 2 1) + 2 > ( 2)成立？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，
说明理由.
试卷第 5页，共 6页
22. （本题 12分）如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1, = 2, , 分别为
, 1的中点， 是 上一个动点，且 = ( > 0).
（1）当 = 1 时，求证：平面 ∥平面 1 ；
（2）是否存在 ，使得 ⊥ ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
试卷第 6页，共 6页
