2022—2023学年北师大版数学八年级下册 第四章 因式分解 单元复习检测题（含解析）

八年级数学下册第四章 因式分解 单元复习检测题
一、单选题
1．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　）.
A． B． C． D．
3．把多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列四个多项式中，可以分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
6．若多项式x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，则p+q的值为(　　)
A．-19 B．-20 C．1 D．9
7．式子与的公因式是（　　）
A． B． C． D．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）
B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）
C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）
D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）
9．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
10．若，那么代数式M应是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　 　，b=　 　
12．因式分解：　 　.
13．因式分解：　 　.
14．因式分解　 　．
三、计算题
15．因式分解：．
16．因式分解：
（1）
（2）
四、解答题
17．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
18．已知 ，求 的值.
19．试说明对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
20．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了a，分解结果为，乙看错了b，分解结果为．求多项式分解因式的正确结果．
五、综合题
21．仔细阅读下面例题，解答问题.
（例题）已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
解：设另一个因式为 ，
则 ，即 .
解得
∴另一个因式为 ， 的值为 .
（问题）仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
（2）已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求 的值.
22．
（1）已知 的值.
（2）先化简，再求值：
23．【阅读理解】
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式.但对于二次三项式，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
.
像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
【解决问题】
（1）利用“配方法”分解因式：.
（2）已知，，求的值.
（3）已知x是实数，试比较与的大小，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【解析】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
故答案为：D.
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；根据定义并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【解析】解：，
∴应提取的公因式是，故C正确.
故答案为：C.
公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取公共字母的最小指数，据此解答.
3．【答案】A
【解析】解：，
故答案为：A．
提取公因式a，即可得到答案。
4．【答案】A
【解析】解：A、，可以分解因式，符合题意；
B、不可以分解因式，不符合题意；
C、不可以分解因式，不符合题意；
D、不可以分解因式，不符合题意；
故答案为：A．
利用提公因式和公式法因式分解逐项判断即可。
5．【答案】D
【解析】解：A、，只能提公因式分解因式，不符合题意；
B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，不符合题意；
C、不能继续分解因式，不符合题意；
D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意．
故答案为：D．
利用完全平方公式和平方差公式逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】解：∵(x+5)(x-4) =x2-4x+5x-20=x2+x-20
而x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，
∴x2+px+q=x2+x-20，
∴p=1，q=-20，
∴p+q=1+(-20)=-19.
故答案为：A.
首先利用多项式乘以多形式的法则求出(x+5)(x-4)的积，进而根据因式分解的定义可得x2+px+q=x2+x-20，由多项式的性质得p、q的值，最后再求p、q的和即可.
7．【答案】A
【解析】解：∵，，
∴与的公因式是，
故答案为：A
将代数式和分别因式分解可得公因式。
8．【答案】A
【解析】解：A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项符合题意；
B.6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项不符合题意；
C.3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项不符合题意；
D.3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项不符合题意．
故答案为：A．
利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。
9．【答案】D
【解析】解：A、 不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
B、 不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
C、 =（x+1）（x-1），用平方差公式分解，故不符合题意；
D、 =（2m-n）2，用完全平方公式分解，故符合题意；
故答案为：D.
完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，据此逐一判断即可.
10．【答案】D
【解析】解：∵，
∴.
故答案为：D.
先将等式右边的二项式利用平方差公式分解因式，再与等式左边比较即可得出答案.
11．【答案】1 ；
【解析】解：∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，
∴b= ，a=1 ．
故答案为：1 ， ．
根据多项式的乘法运算，把（x﹣2）（x+b）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
12．【答案】
【解析】解：.
故答案为：.
直接提取公因式即可.
13．【答案】
【解析】解：，
故答案为：.
直接提取公因式(x+3)即可.
14．【答案】
【解析】x2（a-b）+4（b-a）= x2（a-b）-4（a-b）=（a-b）（x2-4）=（a-b）（x+2）（x-2）
先提取公因式（a+b），再利用平方差公式因式分解即可。
15．【答案】解：原式
．
【解析】利用提取公因式的计算方法求解即可。
16．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【解析】（1）首先提取公因式xy，然后利用平方差公式进行分解；
（2）首先提取8，然后利用完全平方公式进行分解.
17．【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【解析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
18．【答案】解：∵x= ，y= ，
∴x+y= + =2 ，xy=（ ）（ ）=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2 .
【解析】先求出x+y和xy的值，再把原式提公因式化为xy（x+y）的形式，再代入进行计算，即可得出答案.
19．【答案】解：∵n（n+7）-n（n-5）+6
=n2+7n-n2+5n+6
=12n+6
=6（2n+1），
∴对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
【解析】先进行整式的混合运算，将原式整理化简，得出一个含6的公因数，即可得证.
20．【答案】解：∵，甲看错了的值，
∴，
又∵，乙看错了的值，
∴，
∴多项式．
故答案为：．
【解析】先根据甲的结果求出b的值，再根据乙的结果求出a的值，最后利用十字相乘法因式分解即可。
21．【答案】（1）解：设另一个因式为
则 ，即 .
∴ 解得
∴另一个因式为 ， 的值为 .
（2）解：设另一个因式为 ，
则 ，即 .
∴ 解得
∴ 的值为20.
【解析】（1）按照例题的解法，设另一个因式为 ，则 ，展开后对应系数相等，可求出a，b的值，进而得到另一个因式；（2）同理，设另一个因式为 ，则 ，展开后对应系数相等，可求出k的值.
22．【答案】（1）解：∵x2y=2，x-2y=5，
∴原式=x2y（x-2y）=2×5=10；
（2）解：原式=x2-4y2-（4y2-4xy+x2），
=x2-4y2-4y2+4xy-x2，
=-8y2+4xy，
∵x=2，y=-1，
∴原式=-8×（-1）2+4×2×（-1）=-16.
【解析】（1）利用提公因式法将原式因式分解，再将x2y=2，x-2y=5，代入化简后的式子计算求值；
（2）利用平方差和完全平方公式去掉原式括号，再进行整理、化简为最简式，再把x=2，y=-1代入化简后的式子，计算求值即可.
23．【答案】（1）解：原式
（2）解：∵a + b = 5 ，ab = 6，
，
（3）解：
∵
∴
∴
【解析】（1）原式可变形为a2-6a+9+8-9，对前三项利用完全平方公式分解可得(a-3)2-1，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据a2+b2=(a+b)2-2ab求出a2+b2的值，然后将待求式变形为(a2+b2)2-2(ab)2，据此计算；
（3）根据整式的加减法法则可得x2-4x+5-(-x2+4x-4)=2x2-8x+9=2(x-2)2+1，然后结合偶次幂的非负性进行解答