同底数幂的乘法[下学期]
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文档简介
初一数学学习指导——整式的加减
§ 同底数幂的乘法:
学习要求：
1 掌握同底数幂的乘法的运算法则；
2 用它熟练地进行运算；
知识要点：
1 正整数指数幂的意义：
n个相同因数a相乘，即, 记作an;
an中的a称为底数，n为指数，an称为幂。
2 同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
a m. an = am+n ( m, n都是正整数)
注意事项：
1 在学习同底数幂的乘法的法则过程中，不仅要记住结论，更重要是掌握推导得出结论的过程，即：
am ·an=
=aa……a=am+n;
2 在进行同底数幂的运算时，首先要弄清各个因式的底数和指教分别是什么，是否可以使用这一法则进行计算。
3 am·an中a不仅代表具体的数字，也可用单项式，多项式来代替，同样m﹑n也可以用正整数，以及表示正整数的其他字母或式子来代替。
4 当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有am ·an= am+n ( m﹑n都是正整数)这一性质。
例如： am ·an·ap=am+n+p (m﹑n﹑p 都是正整数)。
5 要注意同底数幂乘法与加法不可相混 淆。如a3 ·a2 ·a3是同底数幂的乘法，计算时“底数不变，指数相加”，即a3·a2·a3=a3+2+3=a8;而a3+a2+a3是整式的加法，计算时，只能合并同类项；a3+a2+a3=2a3+a2,其中a3和a2不是同类项，不能合并。
6 运用这个性质，也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指教。
如： 25=23·22=2·24;
再如：xnyn+1=xnyny;
例题分析：
例1． 计算：
（1） -105*103; （2）（-2）3·(-2)2
（3） （x+y）2·(x+y)3;
（4） (-x)2·x3·(-x2);
（5） (x+2y) ·(x+2y)m-1·(x+2y)m+2;
（6） (x-2y)2·(2y-x)3；
说明：(1) 在进行幂的乘法计算时，首先要看清底数，例如是10还是-10
(2) 当数字不大时，应算出幂的结果，如（2）中25，但是对于底数为10的幂，应保留幂的形式，如（1）中108；
(3) 在幂的运算中的底数，可以是数字﹑字母﹑也可以是单项式或多项式。例如（1）中10；(4)中x；(3)中(x+y);(5)中(x+2y)。指数可以是正整数，也可以是代表正整数的字母，（4）﹑（6）题应用了(a-b)2=(b-a)2来变换底数。
讲解：（1）、-105*103=-（105*103）=-105+3=-108；
（2）、（-2）3·（-2）2=（-2）3+2=（-2）5=-32；
（3）、（x+y）2·(x+y)3=(x+y)2+3
=(x+y)5
(4)、(-x)2·x3(-x2)=x2x3(-x2)=-(x2·x3·x2)
=-x2+3+2=-x7;
(5)、(x+2y) ·(x+2y)m-1(x+2y)m+2
=(x+2y)1+(m-1)+(m-2)=(x+2y)2m+2;
(6)、（x-2y）2·(2y-x)3
=(2y-x)2·(2y-x)3
=(2y-x)2+3=(2y-x)5.
例2 计算：
(1) x3·x4+x·x3·x3+(-x) ·(-x)3 ·x3;
(2) 34·35-32·36+3·(-3)7;
(3) xn·xn-1+xn+1·xn-2+(-x)3·(-x)2n-4;
分析：此题为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算。
讲解 (1)原式=x3+4+x1+3+3+x1+3+3
= x7+x7+x7=3x7;
(2) 原式=34+5-32+6-31+7
= 39-38-38[39=338逆用运算性质]
=3·38-38-38 (逆用分配律)
=38(3-1-1)
=38;
(3)原式=xn+(n-1)+x(n+1)+(n-2)-x3+(2n-4)
=x2n-1+x2n-1-x2n-1
=x2n-1;
能力训练：
1 判断正误，错误的予以改正：
(1) xn·xn=2xn ( ) (2) an+2·an+2=a2n+4 ( )
(3)-x5(-x)3=(-x)8 ( )
(4) y2+y3=y5 ( )
(5) (-3)2·(-3)m=3m+2 ( ) ( m为奇数 )
2 填空题：
(1) a3·a( )=a2·a( )=(-a)5 ·(-a)( )=a20;
(2) bm· b·___=b2n+1;
(3) (-b)2(-b)3=___;
(4) (-a)m·(-a)m·(-a)m·___=a4m;
(5) y2m+1=ym___·=y2m-2___·=ym+2___·;
(6) –(-x)2=___;
(7) –(-a2)= ___;
(8) –32 * 33=___;
(9) x3·xn-1=___;
(10) (m+n)2·(m+m)= ___;
(11) (m-n)2·(n-m)= ___;
(12) (-a)3·___=-a10;
(13) (-x)2(-x)3=___x5;
三 计算题：
(1) (-x)10·(-x)9; (2) –x2(·-x)2;
(3) -(-m)2·x; (4) a2·(-a)3·(-a)3;
(5) 100·10n·10n+2·10n-3; (6)103·10+100·102;
(7) x·x2·x3·x4; (8) -(-b)3·(-b);
(9) (m-2n)8·(2n-m)n;
(10) (2x-y)m+1·(2x-y)m+1+(y-2x)2m+2.
§ 幂的乘方与积的乘方
学习要求:
1 掌握幂的乘方,积的乘方法则。
2 会用它们熟练地进行计算。
知识要点:
1 幂的乘方的意义:
(a3)5表示5个a3连乘,即:
(a3)5=a3 ·a3· a3 ·a3 ·a3=a3+3+3+3+3=a3*5=a15.
[(x+y)3]2表示2个(x+y)3连乘,即:
[(x+y)3]2=(x+y)3·(x+y)3=(x+y)3+3=(x+y)2*3 =(x+y)6.
2 幂的乘方的法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
(am)n=amn ( m﹑n 都是正整数)
幂的乘方 的推导是根据乘方意义和同底数幂的性质.
注意事项:
(1) 幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆.例如: 不能把(a5)2的错误地写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
(2) 幂的乘方是变乘方为(底数不变,指数相乘的)乘法,如(a3)2=a3*2=a6;而同底数幂的乘法是变(同底数幂)乘为(幂指数)加,如 a3·a2=a3+2=a5;
3 积的乘方:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂的相乘,即:
(ab)n=an·bn (n 为正整数)
积的乘方法则的推导过程如下:
(幂的定义)
(乘法交换律)
(乘法结合律)
= an ·bn (幂的定义)
三个或三个以上的积的乘方,也具有这一性质,例如: (abc)n=an·bn·cn.
注意事项：
1、 幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变);
2、 同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础,也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数字表达式和语言表述,不仅要记住,更重要的是理解,在这三个幂的运算中,要防止符号错误,例如(-x)2不等于-x2,(-x)3不等于-(-x)3,还要防止运算性质发生混淆:(a5)2不等于a7;a5·a2 不等于a10等等.
例题分析:
例1 计算:
(1) (x3)2; (2) (-bn)4;
(3) [(x-2y)2n]m; (4) (-x3)2·(-x2)3;
(5)(a2n-1)2·(an+1)3; (6) (-1/2ab2)3;
(7)(-2x4)4+2x10·(-2x2)3+2x4·5(x4)3;
分析: 看清题意,分清步骤,注意运用幂的性质.
讲解: (1) (x3)2=x3×2=x6;
(2) (-bn)4=bn×4=b4n;
(3) [(x-2y)2n]m=(x-2y)2nm=(x-2y)2mn;
(4) (-x3)2·(-x2)3=x3×2(-x2×3)
=x6·(-x6)=-x6+6=-x12;
(5) [(x+y)2]3·[(x+y)3]2
=(x+y)2×3·(x+y)3×2
=(x+y)6·(x+y)6=(x+y)6+6=(x+y)12;
(6) (-1/2ab2)3=(-1/2)3·a3·(b2)3=-1/8a3b6
(7) (-2x4)4+2x10(-2x2)3+2x4·5(x4)3
=(-2)4·(x4)4+2x10·(-2)3·(x2)3+2x4·5x12
=16x16+2x10·(-8x6)+10x16
=16x16-16x16+10x16=10x16.
例2 用简便方法计算:
(1) (3+1/5)8·(5/16)8;
(2) (-9)3×(-2/3)3×(1/3)3;
(3) 21998·(1/2)1999;
分析: 此题如果直接用幂的运算性质是不可能的,直接进行计算又十分繁琐,逆用积的乘方法则,即
an·bn=(ab)n;即可很简便地求出结果.
讲解: (1) (3+1/5)8·(5/16)8 =[(3+1/5) ·(5/16)]8
=(16/5×1/16)8=18=1;
(2) (-9)3×(-2/3)3×(1/3)3
=[(-9)×(-2/3)×1/3]3
=(-9×2/3×1/3)3=(-2)3=-8;
(3) 21998·(1/2)1999
=21998·(1/2)1998+1
=21998·(1/2)1998·1/2
=(2×1/2)1998·1/2=1×1/2=1/2;
能力训练:
1 计算题:
(1) (-2xy2)3 (2)(x2y)3·(xy2)3;
(3)[(a+b)2]n+1·[(a+b)n+1]2;
(4) [(-x2y3) ·(x2y2)5;
(5) 0.255×45;
(6) 0.1254×(-8)5;
(7) (-3+1/3a)1998·(-3/10am)1999;
(8) [(-1)m]2n+1m-1+01001-(-1)1001;
2 计算题;
(1) (-a2)2(-2a3)2; (2) [22·(x2)3]2;
(3)(-a2b6)2-(-a2b4)3;
(4) (0.2a3b6)2+(-1/5a2b4)3;
(5) [(-a4b3)3] ·(-a2b3)2·(-a2b3)5;
(6) –(-x3y)3(xyn+1)2;
(7) 5(p3)4·(-p3)3+2[(-p)2]4(-p5)2;
三 解答题:
1、(1) 如果2·8n·16n=222,求n的值;
（2）如果(9n)2=38,求n的值;
2、已知a+b=m.
(1) 求(2a+2b)3;
(2) 求(a+b)3(2a+2b)3(3a+3b)3(4a+4b)(5a+5b)
§ 同底数幂的乘法:
学习要求：
1 掌握同底数幂的乘法的运算法则；
2 用它熟练地进行运算；
知识要点：
1 正整数指数幂的意义：
n个相同因数a相乘，即, 记作an;
an中的a称为底数，n为指数，an称为幂。
2 同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
a m. an = am+n ( m, n都是正整数)
注意事项：
1 在学习同底数幂的乘法的法则过程中，不仅要记住结论，更重要是掌握推导得出结论的过程，即：
am ·an=
=aa……a=am+n;
2 在进行同底数幂的运算时，首先要弄清各个因式的底数和指教分别是什么，是否可以使用这一法则进行计算。
3 am·an中a不仅代表具体的数字，也可用单项式，多项式来代替，同样m﹑n也可以用正整数，以及表示正整数的其他字母或式子来代替。
4 当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有am ·an= am+n ( m﹑n都是正整数)这一性质。
例如： am ·an·ap=am+n+p (m﹑n﹑p 都是正整数)。
5 要注意同底数幂乘法与加法不可相混 淆。如a3 ·a2 ·a3是同底数幂的乘法，计算时“底数不变，指数相加”，即a3·a2·a3=a3+2+3=a8;而a3+a2+a3是整式的加法，计算时，只能合并同类项；a3+a2+a3=2a3+a2,其中a3和a2不是同类项，不能合并。
6 运用这个性质，也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指教。
如： 25=23·22=2·24;
再如：xnyn+1=xnyny;
例题分析：
例1． 计算：
（1） -105*103; （2）（-2）3·(-2)2
（3） （x+y）2·(x+y)3;
（4） (-x)2·x3·(-x2);
（5） (x+2y) ·(x+2y)m-1·(x+2y)m+2;
（6） (x-2y)2·(2y-x)3；
说明：(1) 在进行幂的乘法计算时，首先要看清底数，例如是10还是-10
(2) 当数字不大时，应算出幂的结果，如（2）中25，但是对于底数为10的幂，应保留幂的形式，如（1）中108；
(3) 在幂的运算中的底数，可以是数字﹑字母﹑也可以是单项式或多项式。例如（1）中10；(4)中x；(3)中(x+y);(5)中(x+2y)。指数可以是正整数，也可以是代表正整数的字母，（4）﹑（6）题应用了(a-b)2=(b-a)2来变换底数。
讲解：（1）、-105*103=-（105*103）=-105+3=-108；
（2）、（-2）3·（-2）2=（-2）3+2=（-2）5=-32；
（3）、（x+y）2·(x+y)3=(x+y)2+3
=(x+y)5
(4)、(-x)2·x3(-x2)=x2x3(-x2)=-(x2·x3·x2)
=-x2+3+2=-x7;
(5)、(x+2y) ·(x+2y)m-1(x+2y)m+2
=(x+2y)1+(m-1)+(m-2)=(x+2y)2m+2;
(6)、（x-2y）2·(2y-x)3
=(2y-x)2·(2y-x)3
=(2y-x)2+3=(2y-x)5.
例2 计算：
(1) x3·x4+x·x3·x3+(-x) ·(-x)3 ·x3;
(2) 34·35-32·36+3·(-3)7;
(3) xn·xn-1+xn+1·xn-2+(-x)3·(-x)2n-4;
分析：此题为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算。
讲解 (1)原式=x3+4+x1+3+3+x1+3+3
= x7+x7+x7=3x7;
(2) 原式=34+5-32+6-31+7
= 39-38-38[39=338逆用运算性质]
=3·38-38-38 (逆用分配律)
=38(3-1-1)
=38;
(3)原式=xn+(n-1)+x(n+1)+(n-2)-x3+(2n-4)
=x2n-1+x2n-1-x2n-1
=x2n-1;
能力训练：
1 判断正误，错误的予以改正：
(1) xn·xn=2xn ( ) (2) an+2·an+2=a2n+4 ( )
(3)-x5(-x)3=(-x)8 ( )
(4) y2+y3=y5 ( )
(5) (-3)2·(-3)m=3m+2 ( ) ( m为奇数 )
2 填空题：
(1) a3·a( )=a2·a( )=(-a)5 ·(-a)( )=a20;
(2) bm· b·___=b2n+1;
(3) (-b)2(-b)3=___;
(4) (-a)m·(-a)m·(-a)m·___=a4m;
(5) y2m+1=ym___·=y2m-2___·=ym+2___·;
(6) –(-x)2=___;
(7) –(-a2)= ___;
(8) –32 * 33=___;
(9) x3·xn-1=___;
(10) (m+n)2·(m+m)= ___;
(11) (m-n)2·(n-m)= ___;
(12) (-a)3·___=-a10;
(13) (-x)2(-x)3=___x5;
三 计算题：
(1) (-x)10·(-x)9; (2) –x2(·-x)2;
(3) -(-m)2·x; (4) a2·(-a)3·(-a)3;
(5) 100·10n·10n+2·10n-3; (6)103·10+100·102;
(7) x·x2·x3·x4; (8) -(-b)3·(-b);
(9) (m-2n)8·(2n-m)n;
(10) (2x-y)m+1·(2x-y)m+1+(y-2x)2m+2.
§ 幂的乘方与积的乘方
学习要求:
1 掌握幂的乘方,积的乘方法则。
2 会用它们熟练地进行计算。
知识要点:
1 幂的乘方的意义:
(a3)5表示5个a3连乘,即:
(a3)5=a3 ·a3· a3 ·a3 ·a3=a3+3+3+3+3=a3*5=a15.
[(x+y)3]2表示2个(x+y)3连乘,即:
[(x+y)3]2=(x+y)3·(x+y)3=(x+y)3+3=(x+y)2*3 =(x+y)6.
2 幂的乘方的法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
(am)n=amn ( m﹑n 都是正整数)
幂的乘方 的推导是根据乘方意义和同底数幂的性质.
注意事项:
(1) 幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆.例如: 不能把(a5)2的错误地写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
(2) 幂的乘方是变乘方为(底数不变,指数相乘的)乘法,如(a3)2=a3*2=a6;而同底数幂的乘法是变(同底数幂)乘为(幂指数)加,如 a3·a2=a3+2=a5;
3 积的乘方:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂的相乘,即:
(ab)n=an·bn (n 为正整数)
积的乘方法则的推导过程如下:
(幂的定义)
(乘法交换律)
(乘法结合律)
= an ·bn (幂的定义)
三个或三个以上的积的乘方,也具有这一性质,例如: (abc)n=an·bn·cn.
注意事项：
1、 幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变);
2、 同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础,也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数字表达式和语言表述,不仅要记住,更重要的是理解,在这三个幂的运算中,要防止符号错误,例如(-x)2不等于-x2,(-x)3不等于-(-x)3,还要防止运算性质发生混淆:(a5)2不等于a7;a5·a2 不等于a10等等.
例题分析:
例1 计算:
(1) (x3)2; (2) (-bn)4;
(3) [(x-2y)2n]m; (4) (-x3)2·(-x2)3;
(5)(a2n-1)2·(an+1)3; (6) (-1/2ab2)3;
(7)(-2x4)4+2x10·(-2x2)3+2x4·5(x4)3;
分析: 看清题意,分清步骤,注意运用幂的性质.
讲解: (1) (x3)2=x3×2=x6;
(2) (-bn)4=bn×4=b4n;
(3) [(x-2y)2n]m=(x-2y)2nm=(x-2y)2mn;
(4) (-x3)2·(-x2)3=x3×2(-x2×3)
=x6·(-x6)=-x6+6=-x12;
(5) [(x+y)2]3·[(x+y)3]2
=(x+y)2×3·(x+y)3×2
=(x+y)6·(x+y)6=(x+y)6+6=(x+y)12;
(6) (-1/2ab2)3=(-1/2)3·a3·(b2)3=-1/8a3b6
(7) (-2x4)4+2x10(-2x2)3+2x4·5(x4)3
=(-2)4·(x4)4+2x10·(-2)3·(x2)3+2x4·5x12
=16x16+2x10·(-8x6)+10x16
=16x16-16x16+10x16=10x16.
例2 用简便方法计算:
(1) (3+1/5)8·(5/16)8;
(2) (-9)3×(-2/3)3×(1/3)3;
(3) 21998·(1/2)1999;
分析: 此题如果直接用幂的运算性质是不可能的,直接进行计算又十分繁琐,逆用积的乘方法则,即
an·bn=(ab)n;即可很简便地求出结果.
讲解: (1) (3+1/5)8·(5/16)8 =[(3+1/5) ·(5/16)]8
=(16/5×1/16)8=18=1;
(2) (-9)3×(-2/3)3×(1/3)3
=[(-9)×(-2/3)×1/3]3
=(-9×2/3×1/3)3=(-2)3=-8;
(3) 21998·(1/2)1999
=21998·(1/2)1998+1
=21998·(1/2)1998·1/2
=(2×1/2)1998·1/2=1×1/2=1/2;
能力训练:
1 计算题:
(1) (-2xy2)3 (2)(x2y)3·(xy2)3;
(3)[(a+b)2]n+1·[(a+b)n+1]2;
(4) [(-x2y3) ·(x2y2)5;
(5) 0.255×45;
(6) 0.1254×(-8)5;
(7) (-3+1/3a)1998·(-3/10am)1999;
(8) [(-1)m]2n+1m-1+01001-(-1)1001;
2 计算题;
(1) (-a2)2(-2a3)2; (2) [22·(x2)3]2;
(3)(-a2b6)2-(-a2b4)3;
(4) (0.2a3b6)2+(-1/5a2b4)3;
(5) [(-a4b3)3] ·(-a2b3)2·(-a2b3)5;
(6) –(-x3y)3(xyn+1)2;
(7) 5(p3)4·(-p3)3+2[(-p)2]4(-p5)2;
三 解答题:
1、(1) 如果2·8n·16n=222,求n的值;
（2）如果(9n)2=38,求n的值;
2、已知a+b=m.
(1) 求(2a+2b)3;
(2) 求(a+b)3(2a+2b)3(3a+3b)3(4a+4b)(5a+5b)