第二章 一元二次方程
2．6 应用一元二次方程（一）
一、选择题（每题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4分，共24分）
1.大成游乐园规定：如果一个人参加游戏， ( http: / / www.21cnjy.com )则给这个人一个奖品；如果两个人参加游戏，则给每人两个奖品；如果三个参加游戏，则给每个人三个奖品；……如果设x个人参加游戏，给出奖品一共有36个，则参加游戏的人数为【 】
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图1所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是【 】
A．x（76－x）＝672； B．x（76－2x）＝672；
C．x（76－2x）＝672； D． x（76－x）＝672．
3．裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，下列各式中，正确表示这个商店第一季度的总利润的是【 】
A．50[m2＋3m＋3] 万元； B．50＋50（1＋m）2万元；
C．50＋50（1＋2m）万元； D．50＋50（1＋m）＋50（1＋m）2万元．
4．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是【 】
A．－19 B．5 C．17 D．51
5．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于【 】.
A．15厘米2 B．30厘米2 C．45厘米2 D．60厘米2
6．如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝8cm，BC＝6cm．动点P、Q分别
从点A、B同时开始移动，点P的速度
为1 cm／秒，点Q的速度为2 cm／秒，
点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。
下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2 的是【 】
A．2秒钟 B．3秒钟 C． 4秒钟 D． 5秒钟
二、填空题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（每题4分，共24分）
7．如图3所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，
已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边长是 m。
8．在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离
地面的高度h（m） 与时间t（s）大致有如下关系：
h＝125－5t2．
秒钟后苹果落到地面。
9．一个数的平方等于它本身，你认为这个数是 。
10．2007年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有 支。
11．中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
牧童王小良，放牧一群羊。问他羊几只，请你仔细想。头数加只数，只数减头数。
只数乘头数，只数除头数。四数连加起，正好一百数。
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 。
12．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ．
三、解答题
13．放铅笔的V形槽如图4，每往上一层可以多放一支铅笔，
现有190支铅笔，则要放多少层 ？
14．2003~2005年陕西省财政收入情况如图5所示．根据图中的信息，解答下列问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：
（1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？
（2）陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约为多少？（精确到1%）
（备用数据，精确到1%）
15．某超市销售一种饮料，平均每天可售出1 ( http: / / www.21cnjy.com )00箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。如果要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价多少元？
16．如图6，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？
17．图7是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图7中
阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的
道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，
主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲场所南北长
18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装
区的面积为168m2，请问主干道的宽度为多少米？
18．一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的对话，请你阅读完后再解答下列问题。
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：
小明：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为，次数变成了4次，用现有的知识无法解答。同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
小亮：老师，我发现方程中是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，如果我们把看成一个整体，用y来表示，即=y，那么原方程就变成。
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程的根是，
小丽：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，，，，嗬，有这么根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法。在这里，使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法。
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程
19．如图8，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：
⑴ 在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一坚列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）；
⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？
⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
答案或提示：
1）B 2）A 3）D 4）C 5）B 6）B 7）7 8）5 9）0或1
10）15 11）x2+2x+1=100 12)，
13）解：设190支铅笔，可放x层.
n(n-1)=190
解之得，,(不符题意，舍去)
答：设190支铅笔，可放20层。
14）（1）这三年财政收入为1296亿元 （2）设陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约x，那么依据题 ( http: / / zk. / " \o "欢迎登陆全品中考网 )意得
326（1+x）2=528
解之得，，（不符题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )意，舍去）
答：陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约27%。
15）解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，依据题意得
（120-x）(100+2x)=14000
整理得，
解这个方程，得
答：每箱应降价20元或50元，可使每天销售饮料获利14000元。
15解：设t秒后，点P和点Q的距离是10 cm，则AP=3t，CQ=2t
过点P作PE⊥CD于E
所以四边形APDE是矩形，所以AD=PE=6cm
EQ=16-2t-3t=16-5t
在直角三角形PQE中，PQ2=PE2+EQ2
100=62+（16-5t）2
解这个方程，得，
答：秒或秒后，点P和点Q的距离是10 cm
17．解：设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm
依题意得：（16-4x）(18-4x)=168
整理，得，
当时，16-4x<0，不符题 ( http: / / zk. / " \o "欢迎登陆全品中考网 )意，故舍去
x=1时，2x=2
答：主干道的宽度为2米。
18．解：设，收原方程可化为，得，
当时，，得
当时，，得
经检验：，都是原方程的根。
19．（1）n+3，n+2 (2)y=(n+3)(n+2)，即y=n2+5n+6；（3）当y=506时，n2+5n+6=506
，解之得，n1=20，n2=-25（舍去）；（4）白瓷砖块数是420块，黑瓷砖块数为86块，共需1604元；（5）n(n+1)= (n+3)(n+2)- n(n+1),化简为n2-3n-6=0，解得n1=, n1=(舍去)，因为n的值不为正整数，所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形。
A
B
C
D
图1
B
A
C
P
Q
图2
图3
图4
528
415
326
0
2003 2004 2005
年份／年
陕西省财政收入／亿元
图5
A
B
C
D
P
Q
图6
E
北
西
东
图7
图8一元二次方程
2.6 应用一元二次方程（二）
考标要求：
会建立一元二次方程模型解决实际问题，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性
重点难点：
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题；
难点：把实际问题化归为一元二次方程
一 选择题（每小题5分，共25分）
1市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，这种药品平均每次降价的百分率是( )
A 10％ B 15 ％ C 20 ％ D 25 ％
2 一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）
A 等于1米 B 大于1米 C 小于1米 D 不能确定
3 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
4 某电视机厂计划两年后产量为现在的2倍，如果每年增长率为x，则可得方程（ ）
A =3， B 1+x=2 C 1+2x=2 D =2
5 借助一面墙为一边，再用13米的铁丝网围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的长和宽，设长为x米，根据题意可得方程（ ）
A x (13-x)=20 B x=20 C x (13-0.5x)=20 D =20
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 某印刷厂今年一季度印刷了50万 ( http: / / www.21cnjy.com )册书，第三季度印刷了72万册书，如果每个季度的增长率相同，设为x,依题意可得方程__________________;
7 某村家用电脑总量，2007年比2 ( http: / / www.21cnjy.com )005年增长69％，若设平均每年的增长率为x,依题意得方程：______________________;
8 某生活小区准备在每幢楼房 ( http: / / www.21cnjy.com )之间，开辟面积为200平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长为_____米，宽为_______米;
9 用长为24厘米的铁丝围成一个斜边为10cm的直角三角形，则两直角边分别为_______;
10 如图，某小区规划在一个长40米，，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，其余部分种草，若使每一块草坪面积都为144平方米,求小路的宽。设小路宽为x米，依题意得方程：______________________________.
三 解答题（每小题10分，共50分）
11将进货单价为40元的商品按50元售出时，
就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，
其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，
售价应定为多少？这时应进货多少个？
12 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
13 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，四个同学统计了全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
14 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
15 (2006年南京市) 西瓜经营户 ( http: / / www.21cnjy.com )以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
1.3 一元二次方程的应用（2）参考答案
1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 7 8 20
9 6cm 8cm 10 (26-x)(40-2x)=6×144
11设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是个.由题意列方程为
整理，得 .
解方程，得 .
故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.
当商品每个单价为60元时，其进货量只能是5 ( http: / / www.21cnjy.com )00-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是 500-10×30=200个.
12解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
13 解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
14解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.
整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意
15 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，
根据题意得：
解这个方程得：
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.
