重庆市2022-2023学年高二下学期期末适应性检测（2）数学试题（含解析）

重庆市2022-2023学年高二下学期期末适应性检测（2）数学试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、在的展开式中，项的系数为( )
A.60 B.30 C.20 D.
2、若离散型随机变量X的分布列为（，），则 的值为( )
A. B. C. D.
3、按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，则a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数为( )
A.240 B.200 C.120 D.60
4、已知在处取得极大值，则a的值为( )
A.2 B. C.-2 D.
5、某家庭连续五年收入x与支出y如表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016
收入万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
画散点图知：y与x线性相关，且求得的回归方程是，其中，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为　 　万元．
A. 11.4 B. 11.8 C. 12.0 D. 12.2
6、若函数在区间上不单调，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.不存在这样的实数k
7、已知，过点可作曲线的三条切线，则实数m的范围是( )
A. B. C. D.
8、已知实数满足约束条件则等于( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题分，共20分）
9、已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列正确的有( )
附：随机变量服从正态分布，则.
A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9
C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95%
10、对任意实数x，有则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
11、2018年12月1日,贵阳市地铁1号线全线开通,在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况,某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本,分析其年龄和性别结构.并制作出如下等高条形图:
根据图中信息,下列结论正确的是:( )
A.样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B.样本中多数女性是35岁及以上
C.样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D.样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
12、设函数，若是函数的两个极值点，则下列正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13、在一组样本数据 (不全相等)的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数=__________.
14、某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______．（结果用分数表示）
15、有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2、3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________.
16、设过曲线 (为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总存在过曲线 上一点处的切线,使得,则实数的取值范围为__________.
四、解答题（第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）
17、已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
18、从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.
年龄/岁
频数 10 60 50 45 35
（1）估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为X，求X的分布列与期望.
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 5
女生 10
合计 50
19、为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部50人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
(3)现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：，其中)
20、中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期部分旧井的数据资料见下表：
井号 1 2 3 4 5 6
坐标（km）
钻探深度（km） 2 4 5 6 8 10
出油量（L） 40 70 110 90 160 205
（1）1~6号井位置线性分布，借助前5组数据求得经验回归方程为，其中，求a，并估计6号旧井中y的预测值；
（2）现准备勘探新井，若通过1,3,5,7号井计算出的的值与（1）中b,a的值的差均不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井.（注：其中的计算结果用四舍五入法保留1位小数）
附：.
21、设函数，.
（1）若恒成立，求a的取值范围；
（2）若有两个不同的实数根，求a的取值范围.
22、已知函数，是的导函数，且有两个零点，（）.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求证：.
参考答案
1、答案：D
解析：，若先满足项中y的次数，
则可以写出，其中展开式的通项为，
令得，所以项的系数为，选D.
2、答案：A
解析：离散型随机变量X的分布列为
（，），
，
，
解得，
，
故选A.
3、答案：C
解析：从a类中取1个元素有10种取法，从b类中取1个元素有12种取法，
则共有种取法.
故选：C.
4、答案：B
解析：由已知，，，得，此时，，令，得或，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，符合题意.则a的值为.故应选B.
5、答案：B
解析：由表中数据，计算，
，
代入回归方程可得，
回归方程为，
把代入回归方程计算．
故选B．
6、答案：B
解析：由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
或，
或，故A，C，D错误.
故选：B.
7、答案：D
解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.
又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.
因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.
令，则的图象与x轴有3个交点，
所以的极大值与极小值异号.又，
令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.
8、答案：C
解析：令则原不等式可变形为
令,则又由
得递增, 递减.
所以则要使成立,必须
即,解得
则
9、答案：ABD
解析：
10、答案：ACD
解析：对任意实数x，有，
，故A正确；
令，可得，故B不正确；
令，可得，故C正确；
令，可得，故D正确.故选ACD.
11、答案：ABD
解析：设等高条形图对应列联表如下:
35岁及以上 35岁以下 总计
男性 a c
女性 b d
总计
根据第1个等高条形图可知,35岁及以上男性比35岁及以上女性多,即;35岁以下男性比”岁以下女性多，即.根据第2个等高条形图可知,男性中35岁及以上的比35岁以下的多,即;女性中35岁及以上的比35岁以下的多,即,对于A,男性人数为,女性人数为,因为,所以,所以A正确;
对于B,35岁及以上女性人数为b,35岁以下女性人数为d,因为,所以B正确;
对于C,35岁以下男性人数为c,35岁及以上女性人数为b,无法从图中直接判断b与c的大小关系,所以C不一定正确;
对于D,35岁及以上的人数为,35岁以下的人数为,因为,所以所以D正确.
12、答案：CD
解析：依题意，
则，令，
由题意知，解得.依题意，，是的两个零点，
所以（*）
且①+②，得③，将（*）代入③，化简得（**）.
所以
④，
将（*）、（**）代入④，得.由于，所以当、、时，，，，故A、B错误，C正确.当时，，，，故D正确.
13、答案：1
解析：
14、答案：
解析：由题意可知，事件AB为，
，
所以，
，
，
由条件概率公式得.
15、答案：
解析：记为事件“零件为第i（）台车床加工，B为事件“任取一个零件为次品”，则，，，
所以
所以.
故答案为：.
16、答案：[-1,2]
解析：函数的导数为,
设曲线上的切点为,则的斜率.
函数的导数为,
设曲线上的切点为,则的斜率是.
由题设可知,从而有,
∴,对,使得等式成立,
则有的值域是值域的子集,
即,
,
∴.
17、
（1）答案：
解析：函数的定义域为，.
当时，，
，
因而，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）答案：当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值
解析：由，知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，由，解得，
又当时，；
当时，，
从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值.
18、答案：（1），
（2）分布列见解析，数学期望
解析：（1）由粉丝年龄频率分布直方图知，
由游客年龄频数分布表知，
所以，解得.
（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，该粉丝年龄在内的概率为，
从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，该游客年龄在内的概率为，
由题可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
19、答案：(1)列联表补充如下：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
(2) 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜欢数学与性别有关.
(3)分布列见解析，数学期望为.
解析：(2)，
在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜欢数学与性别有关.
(3)喜欢数学的女生人数的可能取值，
其概率分别为，，
，
故随机变量的分布列为：
的期望值为.
20、答案：（1）因为前5组数据，经验回归直线必过点，则，故经验回归方程为.当时，，即y的预测值为24.
（2）根据1,3,5,7号井的数据计算可得，
所以，
，
即，由（1）知.
因为，均不超过10%，因此可以使用位置最接近的已有旧井.
解析：
21、答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
令，则，
令，则，且函数单调递减，
在上单调递增，上单调递减，
，
.
（2）解法1：由，得，得，
令，其中，
则，
令，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，
当，，
当时，，则；
当时，，则.
函数在区间上单调递增，在区间单调递减，
则，
且当时，，
当时，，
则，
即a的取值范围是.
解法2：有两个不同的实根，即有两个不同的正根，
令，
当时，在恒成立，则在上单调递增，不满足题设；
当时，令，由可知
存在，使且，
则由得（*）
因为在上单调递增，在上单调递减，
，
将（*）式代入上式，得
令，则在上单调递增且，
欲使有两个零点，则需，
则，
，即，
化解得，即，
a的取值范围为.
22、答案：(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题知的定义域为，
，（），有两个零点，，（），
设，（）
，（），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)因为，是的两个零点，
，，
，
下面先证明：，(1)
(注：对数均值不等式取倒数)
只需证，
只需证，
设，只需证明，
设
则
在上单调递增，，
，从而(1)式得证.
，
已知，，
由二次函数的性质知，
，命题得证.