太原市英才学校高中部2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试
数学试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.下列命题中正确的是( )
A.两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B.三棱柱的侧面为三角形
C.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形
2.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是π，则该正方体的体积为( )
A.4 B.16 C.8 D.64
3.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B.
C. D.
4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为
2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π
C.20π D.10π
5.如图所示，下列符号表示错误的是( )
A.l∈α B.P l C.l α D.P∈α
6.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
7.直线在平面外是指( )
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多只有一个公共点
8.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.随机数法
C.分层随机抽样法 D.其他方法
9.样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10..如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是________.(填序号)
A平面ABC⊥平面ABD；
B平面ABC⊥平面BCD；
C平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
D平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
11.(多选)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
12.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是( )
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
13.某县两所学校高级教师年龄如下：
甲：38 38 40 41 41 42 43 44 49 51 52
54 55 57 57 58 61
乙：35 36 38 39 39 40 42 43 43 44 44
44 46 47 48 49 51 52 52 53 55 57
根据上述数据给出以下说法：A甲学校高级教师的年龄主要集中在40～60岁之间；B乙学校高级教师的年龄分布大致对称；C甲学校高级教师的平均年龄比乙学校高级教师的平均年龄大；D两所学校高级教师的平均年龄都是50.其中说法正确的选项是（ ）
填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
14.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
15..已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.
16.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
17.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共82分)
18.(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
20.(14分)
.某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值).
21.(14分)某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
22.(15分)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数
甲班 79 70 87
乙班 79 70 79
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.
23.(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力).太原市英才学校高中部2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试
数学试卷 答案
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.下列命题中正确的是( )
A.两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B.三棱柱的侧面为三角形
C.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形
答案 D
2.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是π，则该正方体的体积为( )
A.4 B.16 C.8 D.64
答案 D
3.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B.
C. D.
答案 A
4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为
2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π
C.20π D.10π
答案 D
5.如图所示，下列符号表示错误的是( )
A.l∈α B.P l C.l α D.P∈α
答案 A
6.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
答案 C
7.直线在平面外是指( )
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多只有一个公共点
答案 D
8.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.随机数法
C.分层随机抽样法 D.其他方法
答案 C
9.样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
10..如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是________.(填序号)
A平面ABC⊥平面ABD；
B平面ABC⊥平面BCD；
C平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
D平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
答案 C
11.(多选)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
答案 ABD
12.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是( )
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案 ABC
13.某县两所学校高级教师年龄如下：
甲：38 38 40 41 41 42 43 44 49 51 52
54 55 57 57 58 61
乙：35 36 38 39 39 40 42 43 43 44 44
44 46 47 48 49 51 52 52 53 55 57
根据上述数据给出以下说法：A甲学校高级教师的年龄主要集中在40～60岁之间；B乙学校高级教师的年龄分布大致对称；C甲学校高级教师的平均年龄比乙学校高级教师的平均年龄大；D两所学校高级教师的平均年龄都是50.其中说法正确的选项是（ ）
答案 ABC
填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
14.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
答案 60°
15..已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.
答案 5
16.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
答案 0条或1条
17.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
答案 100
三、解答题(本大题共6小题，共82分)
18.(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解 如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)解 由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
∵AD⊥平面PDC，PD 平面PDC，∴AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)解 过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
20.(14分)
.某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值).
解 (1)设各小长方形的宽度为m，
由频率分布直方图知各小长方形面积之和为1，
可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)m＝0.5m＝1，
故m＝2.
(2)由(1)知各小组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，
其中点分别为1,3,5,7,9,11，
对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
故可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×
21.(14分)某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
解 (1)设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%＝60；
抽取的高二教师人数为200××50%＝75；
抽取的高三教师人数为200××10%＝15.
22.(15分)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数
甲班 79 70 87
乙班 79 70 79
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.
解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
23.(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力).
解 (1)由图可知，甲打靶的成绩分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3.
如下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力.
