北山中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学模拟试题（六）
单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，或，则( )
A. ：，或 B. ：，且
C. ：，且 D. ：，或
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，若，则随机变量的均值及方差分别为( )
A. 2和 B. 6和 C. 和 D. 和
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”，它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度其锅具抽象成数学形状如图同一类格子形状相同“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味现有种不同食物足够量，其中种适合放入中间格，种适合放入十字格，种适合放入四角格现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物不考虑位置，则有多少种不同放法( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，
则不等式的解集是（ ）
B. C. D.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
B. 在检验与是否有关的过程中，根据数据算得，已知，，则有的把握认为与有关
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 在回归分析中，残差平方和与决定系数都可以用来刻画回归的效果，它们的值越小，则模型的拟合效果越好
10.下列函数中，在内为增函数的是( )
A. B. C. D.
11.设，且，若能被整除，则的值可以为( )
A. B. C. D.
12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点
C. 函数必有个零点 D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知是的极小值点，那么函数的极大值为
14.中国古典乐器一般按“八音”分类，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春官大师为了培养学生音乐素养，发展学生特长，某校开设了“金、石、革、土、匏、竹”六种乐器的选修课，其中“金、石、革”为三种打击乐器，“土、匏、竹”为三种吹奏乐器．若该校某学生从这六种乐器中随机选出两种进行学习，事件表示选出的两种中有打击乐器，事件表示选出的两种中有吹奏乐器，则________
15.已知函数的定义域为，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则___________
16.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”，设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分10分）已知全集
求、；
求
18.（满分12分）已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的值域．
19.（满分12分）年月日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示：
航天达人 非航天达人 合计
男
女
合计
补全2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联
现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
20.（满分12分）在年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以胜平负进球失球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练每人各踢一次为一轮，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有人进球另一人不进球，进球者得分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
经过一轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；
若经过两轮踢球，用表示经过第轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．
21.（满分12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人）与年收益增量（万元）的数据如下：
人工投入增量 （人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 （万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有，，，．
（i）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
附：若随机变量Z~N(u,σ2)，则，；
样本的最小二乘估计公式为：，，
另，刻画回归效果的相关指数．
22.（满分12分）已知函数
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围。北山中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学模拟试题（六）参考答案
1.【答案】D
【解析】由 ，可得 ，解得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故选：．
2.【答案】B
【解析】命题：，或是特称命题，
故其否定为全称命题，即：，且
故选：．
3.【答案】A
【解析】若，则，
所以由能得，即充分性成立，
若，当满足，
即不能得，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
4.【答案】D
【解析】由为奇函数，得，
， ．
故选D．
5.【答案】A
【解析】，由二项分布的数学期望公式得，
由二项分布的方差公式得，
，，
则，
，
故选A．
6.【答案】B
【解析】
展开式中的通项为
令，可得．
故选：．
7. 【答案】C
【解析】根据题意，分步：
从种适合放入十字格的食物中，选一种放两个十字格，有种，
种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有种放法
则一共可以有种不同放法；
故选：．
8.【答案】B
【解析】，
由，
恒成立，定义域为，
令，
函数，所以是奇函数，并且在上是增函数，
，
因为函数在上单调递增，结合奇函数的性质得该函数在上单调递增，
，为奇函数，且该函数在上单调递增，
，，，解得，
故选B ．
9.【答案】AC
【解析】对于：由知，乙组数据的线性相关性更强，A正确；
对于：由，即，则有的把握认为与有关，B错误；
对于：由已知，随机变量的分布曲线关于对称，
故，C正确；
对于：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，但决定系数越大，模型的拟合效果越好，D错误．
故选AC．
10.【答案】BC
【解析】对于，，在存在，使的情况，
对于，在上恒成立，
对于，，在上恒成立，
对于，，在存在，使的情况，
故选BC．
11.【答案】CD
【解析】因为
，即被整除的余数为，
而且，若能被整除，
则或，故或．
故选：．
12.【答案】BD
【解析】，则，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
故是函数的极小值点，
若，则函数至多有个零点，
若，则函数有个零点，
若，则函数没有零点，
又在区间上单调递增，
由，得，
故．
故选BD．
13.【答案】
【解析】，
因为是极小值点，所以，
即，得，则，，
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以可得的极大值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由题意，，
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解析】的图象关于直线对称，．
又为奇函数，，．
又，
．
16.【答案】
【解析】因为是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在满足，
所以，所以，
构造函数，，
令，，
所以因为，所以．
故答案为 ．
17.【答案】解：由已知得：，
解得，．
．
由可得或．
故或
18.【答案】解：由题意得．
令，得令，得或，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
由知，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
，，又，，，，，，函数在区间上的值域为．
19.【答案】解：补全列联表如下表：
航天达人 非航天达人 合计
男
女
合计
零假设假设“航天达人”与性别无关．
根据表中的数据计算得到．
查表可知．
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关．
在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有人，女航天达人有人．
所有可能取值为：，，．
则，，．
所以的分布列如下：
的数学期望为．
20.【答案】解：记一轮踢球，甲进球为事件，乙进球为事件，、相互独立．
由题意，，
甲的得分的可能取值为：，，．
的分布列为
所以
根据题意，经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙有三种情况：
甲两轮中第轮得分，第轮得分
或者甲两轮中第轮得分，第轮得分
或者甲两轮各得分，
由知，
21.【答案】 解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，，
由正态分布的对称性可知
，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，
其中质量小于20g的牡蛎为X只故X~B（10，0.0013），
则，
这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%；
（2）（i）由，，
，，
有，
且，
所以模型②中y关于x的回归方程为；
（ii）由表格中的数据，有182.4>79.2，
即，
模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
当x=16时，模型②年收益增量预测值为：（万元），
这个结果比较模型①的预测精度更高、更可靠.
22.【答案】解：因为函数在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
又对恒成立，所以在上递增，
所以．故的取值范围为
若有两极值点，即在上有两根，则
，
因为
令，
令
，，即
在递减，，
故的取值范围为
