成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为
A．10 B．6 C．5 D．3
3．设，则“”是“”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为
A． B． C． D．
5．已知函数在点处的切线方程为，则的值为
A． B． C． D．
6．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是
A． B．
C． D．
7．若满足约束条件则的最大值是
A．5 B．10 C． D．20
8．已知函数则
A．4 B．8 C．16 D．32
9．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为
A． B．
C． D．
10．已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
11．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则
A．1 B． C． D．
12．如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是
① 若，则；
② 若，则的值为1；
③ 的面积；
④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，则______．
14．函数的单调递减区间为______．
15．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为______．
16．已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
设是函数的两个极值点，且．
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域．
18．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年15月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
器材售价x（元） 100 90 80 70 60
销量y（千套） 5 7.5 8 9 10.5
（1）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？
（2）为了解顾客对器材的使用满意度情况，该店拟从3名男顾客和2名女顾客中随机抽取2人进行调研回访，求选中的两位顾客为男女各1人的概率．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
（1）证明：平面平面；
（2）若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围．
20．（12分）
已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数，，．
（1）当时，证明：时，恒成立；
（2）若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；
（3）令，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
22．（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（2）若点，直线l与圆相交于两点，求的值．成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A B B C D D C A D C D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1），， …………………………2分
由，可知， …………………………4分
，解得； …………………………6分
（2）， …………………………8分
得下表：
0 1 3
0
1 单调递减 极小值 单调递增 10
在区间上的最大值为，最小值为， ……………………11分
在区间上的值域为． …………………………12分
18．（12分）
解：（1）， …………………………1分
， …………………………2分
，， …………………………3分
则， …………………………4分
， …………………………5分
关于x的线性回归方程为：， …………………………6分
当； …………………………8分
（2）设男顾客为A、B、C，女顾客为a、b，
则可能的组合有：
共10种情形， …………………………10分
其中一男一女的有6种，故选中的两位顾客为男女各1人的概率为． …………12分
19．（12分）
解：（1）在中，， …………………………1分
为直角三角形且， …………………………2分
又底面是矩形，则， …………………………3分
，平面， …………………………5分
又平面，平面平面； …………………………6分
（2）在平面内，取中点为，过点作，交于点，，，
由题意可得平面，且平面，
则，直线两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，
…………………………7分
则，，，，，
，， …………………………8分
设，
则，， …………………………9分
又，
则， …………………………10分
，， …………………………11分
与平面所成角的正弦值的取值范围为． …………………………12分
20．（12分）
解：（1）由题意可知：，可得，， …………………………2分
椭圆C的方程为：； …………………………4分
（2）设直线为，
由，得，
联立，得， …………………………6分
显然，设，，则，
， …………………………7分
，
…………………………9分
的取值范围为，
则，解得， …………………………10分
，
，
， …………………………11分
则，
的取值范围为． …………………………12分
21．（12分）
解：（1）当时，，，函数在单调递增，
，时，恒成立； …………………………2分
（2），，，
，当，得； …………………………4分
在单调递减，在单调递增，
，，，，
函数在区间上的值域为； …………………………6分
（3）由题意，有两个不同的零点，则不可能为0，
则， …………………………7分
设，， ……………………8分
设，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
， …………………………10分
当时，，当时，， …………………………11分
要使有两个不等的实数根，则，
的取值范围是． …………………………12分
22．（10分）
解：（1）由圆的参数方程（为参数）得：
， …………………………3分
根据， …………………………4分
则圆的极坐标方程为：； …………………………5分
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程得， ………………8分
设A，B两点对应的参数分别为，． ……………………10分
解析：
1．解：，，则，故选：A．
2．解：四川大学和电子科技大学学生人数之比为，则从四川大学学生中抽取的人数为，故选：A．
3．解：由可得，或，
“”是“”的充分不必要条件，故选：B．
4．解：，故选：B．
5．解：，，则切线为，的值为1，故选：C．
6．解：，A正确，
，正确，
，正确，
，D错误，故选：D．
7．解：画出可行域如图，表示到原点距离的平方，则的最大值为，故选：D．
8．解：，故选：C．
9．解：由图可知，为偶函数，则排除B、D，C选项的极值点为和1，与图象不符，故选：A．
10．解：关于的方程有两个不等的实数解，即有两个不相等的实数解，
即，的图象有两个交点，
是以为圆心，1为半径的上半圆（除去点、原点），
而是过定点的直线，由图可知，当直线在和之间时符合要求，
当直线为时，，
当直线为时，由点到直线的距离等于半径可得（正值舍去），
实数的取值范围是，故选：D．
11．解：由已知可得，，是和的公共斜边，是三棱锥的外接球直径，由，设，则，则，故选：C．
12．解：①，，
，即，，故①正确；
②椭圆与双曲线有公共焦点，
，在第一象限，且，，
，
即，即，故②错误；
③设椭圆的焦距为，，，则，，
解得，，
，即，，
，，
，故③正确；
④设椭圆的焦距为，则，，
解得，，
在中，根据余弦定理可得：，
整理得，即，
，
当且仅当时取等号，故④错误，故选：D．
13．解：，则，故答案为．
14．解：，则单调递减区间为，故答案为．
15．解：由离心率为可解得，则的渐近线为，则m可能取的值为，和为0，故答案为0．
16．解：和是函数两个不相等的零点，
不妨设，，
两式相减得，令，
，
，
令，
令恒成立，
在是单调递增，恒成立，
在是单调递增，恒成立，
，
，故答案为．
