上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末统考数学试题（含答案）

上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末统考
数学
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 抛物线的焦点坐标是____________.
2. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数6的概率是____________.
3. 半径为1厘米的球的表面积为___________平方厘米.
4. 如图，正方体中，异面直线与所成角的大小是____________.
5. 双曲线的两条渐近线方程分别是____________.
6. 以为圆心，且经过的圆的方程是____________.
7. 如图，靶子由一个中心圆面I和两个与I同心的圆环II、III构成，射手命中I、II及III的概率分别为0.35、0.30及0.25. 则不命中靶的概率为____________.
8.“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是_________命题（填“真”或“假”）.
9. 已知一个圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是___________.
10. 已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是____________.（填序号）
11. 如图，正三棱柱的各条棱长都相等，线段、和是该正三棱柱的三条面对角线，直线与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是____________（写出所有可能的值）.
12. 已知数列，，，...，的各项均为正整数，其中，对于每个正整数，为相同的正整数，则的值是____________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 在长方体中，与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
15. 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；
③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.
其中真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
16. 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（ ）
A. 80厘米 B. 100厘米 C. 120厘米 D. 140厘米
三、解答题
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求公比的值；
（2）求的值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知，直线，直线.
（1）若，求与之间的距离；
（2）若与的夹角大小为，求直线的方程.
19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.
（1） 根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；
（2） 通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.
（1）当点是棱的中点时，求证：直线平面；
（2）当时，求点到平面的距离；
（3）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，已知点是椭圆上的一点，顶点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线交椭圆于两点（与不重合），若直线与直线的斜率之和为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（3）点、点是椭圆上的两个点，圆是的内切圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，分别交椭圆于点和点，判断直线与圆的位置关系并证明.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 和 6.
7.0.10 8.假 9. 10.（1）（2）（4） 11. 12. 4900
12.【答案】4900
【解析】设.则，.
令，则，
故，当时，
显然，边满足上式.
由，知于是，.
又则.
于是，.
二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.C 14.D 15.A 16.8
15.【答案】A
【解析】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心.故选A
三、解答题
17.（1），所以公差
（2）分
18.解（1）因为，所以，与之间的距二.
（2）设直线的一个法向量为，直线的一个法向量为，
因为与的夹角大小为，所以，解得得，
所以直线的方程为或.
19.解（1）组距为10，的频数为1，影距为，，
的频数为9，频率为0.45，
中位数、众数和极差可以确定，
分别为：中位数为26.5（分），众数为25（分），极差为36（分）
（2）
被污染的数值为5，
样本平均数（分），样本方差，
可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为26.5分，平均数为29.1分，方差为82.39.
20.（1）证法一：因为，
由勾股定理，得，同理可得，，
所以直线平面；
法二：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系.得，
求得直线的方向向量分别为，，
由，，得.
所以直线平面，
设点，则，
由，即，得，
可计算得，设平面的法向量为，
由，计算得，，
可取，得，
从而得到平面的一个法向量是，因为，
所以点到平面的距离为.
（3）解作平行于，交于点，连接，得截面，
连接，设线段的长为
由得，，
可得，
又由，可得
由题意，整理的，解得
所以线段的长度为.
另解：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，
得截面，因为平面平行于三棱锥的底面，得棱台，
设线段的长度为，线段长度为.则，得，
由题意，，
所以，整理得，
由函数和图像可知，点是两个函数图像的一个交点，
即是方程的一个解，
因式分解，可得，得或或，
由，得，即.
21.（1）解，将代入，
得，，离心率.
（2）当直线不垂直于轴时.设直线的方程为，
直线的方程为，
整理得，
由不重合，可知，得 ①，
，整理得
因为.所以 ②，
由①②等价，得
整理得
可得直线与直线的斜率之和为，
整理得，直线的方程为，
即，直线过定点
当直线垂直于轴时，由椭圆的对称性可知，
，，得，
直线的方程为，直线也过定点，
综上所述，直线过定点.
（3）直线与圆相切，证明：如图，设圆半径为，圆心，
即，则点.由相似三角形可知.
，整理得，
由得，
所以，整理得，
由，得，解得或（舍）
，设点，
直线的方程为，整理得，
由直线与圆相切，得，
整理得，
由，代入得，
因为，所以，整理得，
同理可得，即点满足，
所以直线的方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切.