暑假专题——变量之间的关系
教学目标：
使学生能够从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，解决一些实际问题，从而培养分析问题和解决问题的能力。
二. 重点、难点
从表格、关系式、图象中获取信息，解决一些实际问题是本节的重点与难点。
知识点归纳总结：
1. 因变量随自变量的变化而变化
【典型例题】
例1. 小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图像。
（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
解：（1）小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米
例2. 某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时、100千米/小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。
（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1与x的函数关系和y2与x的函数关系；
（2）通过计算说明当待运的海产品有100吨时，选择哪种货运公司更省钱？
解：
（2）把x＝100分别代入y1与y2
∴选择铁路货运公司更省钱。
例3. 某计算机商店销售计算机，经统计每台售价9000元，每天销售20台，而降价销售则销量增加，每台每降价300元，日销量增加一台，设日销量增加x台，日销售额为y元。
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）计算日销量增加5台时，日销售额的值。
解：
（2）把x＝5代入得
例4. 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：
（1）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（2）问快艇出发多长时间赶上轮船？
解：（1）轮船在途中的速度为：
快艇在途中行驶的速度为：
（2）设快艇出发x小时赶上轮船
40x＝20（x＋2）
x＝2
答：快艇出发2小时赶上轮船。
例5. 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？
（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？说明理由。
Q(吨)
69
Q1
40
30
Q2
O 10 t(分钟)
解：（1）由图象可知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟。
（2）由图象可知运输飞机的耗油量为：
∴10小时耗油量为：10×60×0.1＝60（吨）<69（吨）
∴油料够用。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题
1. 面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的关系式为_______。
2. 在A地通往B地的公路上，甲骑自行车、乙步行同时向B地出发，甲、乙两人与A地的距离s（千米）和所用时间t（小时）所满足的关系如图所示，根据图示回答：
（1）甲的出发地距A地______千米，乙的出发地距A地_______千米；
（2）甲到距A地60千米处共用了_______小时，乙到距A地50千米处共用了_______小时；
（3）甲的平均速度是__________，乙的平均速度是____________。
3. 某人从甲地到乙地，途中因摩托车出现故障而停车修理，修好后按原速度行驶，到达乙地刚好用了2小时，已知摩托车行驶的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息，回答：
（1）中途修车用了_______小时；
（2）从甲地到乙地共________千米；
（3）若这辆摩托车平均每行驶100千米的耗油量为2（升），则从甲地到乙地这辆摩托车共耗油_________升。
4. 看图填空：
温度计上有摄氏温度℃与华氏温度
（1）华氏温度随摄氏温度的升高而______，其中摄氏温度为______变量，华氏温度为_____________变量。
（2）当摄氏温度为50℃时，华氏温度为_______。
（3）摄氏温度每升高10℃，华氏温度升高______。
（4）当摄氏温度为60℃，华氏温度为________。
（5）设摄氏温度为x℃时，华氏温度为y，则y与x的关系式为_________。
二. 1. 声音在空气中的传播速度v（米/秒）与温度t（摄氏度）的关系如下表：
t（摄氏度） 1 2 3 4 5
v（米/秒） 331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 331+3.0
（1）写出速度v与温度t之间的关系式；并指出在此关系中，谁是自变量，谁是因变量；
（2）当t＝2.5度时，求声音的传播速度。
2. 某市出租车计费办法如图所示，请根据图回答问题。
（1）出租车起价是多少元？在多少千米之内只收起价费？
（2）由图形求出起价里程走完之后每行驶1km所增加的钱数；
（3）某地客人想用30元钱坐车游览本市，利用图形求出他大约能走多少千米？
【试题答案】
一. 1.
2. （1）10，40 （2）5，6 （3）10千米/时 千米/时
3. （1）0.5 （2）45 （3）0.9
4. （1）升高 自 因 （2）122
（3）1.8 （4）140 （5）
二. 1. （1）（t是自变量，v是因变量）；
（2）332.5米/秒
2. （1）5元，3千米；
（2）1.2元；
（3）23千米
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6暑假专题：工资上税
【典型例题】
例1．
按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表。
800元以内 不纳税
800至1300元 超过800元至1300元的部分按5%纳税
1300至2800元 超过1300元至2800元的部分按10%纳税
（1）玲玲的爸爸某月收入为1200元，他应纳税 20 元，他实际领到 1180 元。
（2）小立的叔叔的发明专利获了奖，奖金连同当月其他收入共2800元，按规定他的纳税额应分为两部分：
800至1300元纳税 25 元，
1300至2800元纳税 150 元；
共纳税 175 元。
例2. 按个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表：
800元以内 不纳税
800至1300元 超过800至1300元的部分按5%纳税
1300至2800元 超过1300至2800元的部分按10%纳税
（1）月收入1200元，应纳税多少？实领工资多少？
（2）月收入2800元，应纳税多少？实领工资多少？
解：（1）（1200－800）×5%＝20（元）
实领工资1200－20＝1180（元）
（2）（1300－800）×5%＋（2800－1300）×10%＝175（元）
实领工资2800－175＝2625（元）
例3. 不超过800元不纳税，超过800元部分为全月纳税所得额，
全月应纳税部分额 税率
不超过500元部分 5%
超过500元至2000元部分 10%
超过2000元至5000元部分 15%
（1）月收入2500元，应纳税多少？
（2）月收入4000元，实领工资多少？
（3）税款为110元，月收入多少？实领工资多少？
解：（1）500×5%＋（2500－800－500）×10%＝145（元）
（2）500×5%＋（2000－500）×10%＋（4000－800－2000）×15%＝355（元）
实领工资4000－355＝3645（元）
（3）设月收入工资是x元
500×5%＋（x－800－500）×10%＝110
x＝2150（元）
所以实领为2150－110＝2040（元）
［课堂练习］
1. 月收入4300元，实领工资多少元
解：（1300－800）×5%＋（2800－1300）×10%＋（4300－2800）×15%＝400（元）
4300－400＝3900（元）
2. 得奖金4000元，按个人所得税规定，奖金收入扣除800元后的余额部分，按20%的比例纳个人所得税，那么实领奖金多少？
解：800＋（4000－800）×（1－20%）＝3360（元）
3. 按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法：1000元以内不纳税；1000至1500元超出1000元的部分按5%纳税；1500至2000元超出1500元的部分按10%纳税。
（1）笑笑的妈妈月收入1300元，她实际领到的工资为多少元？
（2）笑笑的爸爸月收入可达1850元，爸爸实领工资为多少元？
（3）笑笑的叔叔某月工资纳税额为37元。你能计算出这个月叔叔的工资是多少元吗？
解：（1）（1300－1000）×5%＝15（元）
1300－15＝1285（元）
（2）（1500－1000）×5%＋（1850－1500）×10%＝60（元）
1850－60＝1790（元）
（3）因为（1500－1000）×5%<37
25<37
所以月工资的范围是1500——2000元
设叔叔的月工资是x元
（1500－1000）×5%＋（x－1500）×10%＝37
x＝1620
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 公民的月收入超过800元时，超过部分必须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内（含500元）时税率为5%。某人月收入为1160元，则该人每月应纳税 元。
2. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细则如下表。
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分超过500至1000元的部分超过1000至3000元的部分…… 06080……
某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是多少元？
3. 按规定个人收入达到一定数额时要交纳税，具体方法如下：
800元以内 不纳税
800至1300元 超过800至1300元的部分按5%纳税
1300至2800元 超过1300至2800元的部分按10%纳税
2800至5800元 超过2800至5800元的部分按15%纳税
（1）当珍珍的爸爸月收入为1200元，按以上规定，他应缴纳的税金是多少元，他实际应领的工资是多少？
（2）小明的爸爸月收入为3200元，按以上规定，他应缴纳的税金是多少？应领的工资又是多少呢？
4. 按规定个人收入达到一定数额时要交纳税，具体方法为：1000元以内不纳税；1000至1500元超出1000元的部分按5%纳税；1500至2000元超出1500元的部分按10%纳税。
（1）小文的妈妈月收入为1450元，她的实领工资是多少元？
（2）小明的爸爸月收入为1980元，他的实领工资是多少元？
（3）若小丽的爸爸某月纳税39元，你能计算出小丽爸爸的月收入是多少元吗？
【试题答案】
1. 18元
2. 2200元
3.（1）20元 1180元 （2） 235元 2965元
4.（1）1427.5元 （2）1907元 （3）1640元
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3暑假专题——整式的运算复习拓展
复习知识要点：
【典型例题】
例1. 计算下列各题。
（1）
（2）
（3）若，求的值。
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2. 若x、y均不等于0或1，且，求的值。
解：∵x、y均不等于0或1，且，所以可得
，解得
将代入，得：
例3. 若能将表示成的形式，求证：
证明：令，则
代入得：
则
例4. 设，试比较M与N的大小。
解：令，则，且
所以
，即M＜N
注：上述例3、例4所使用的方法是换元法，即用新的变元替代某个式子，从而使问题转化（化难为易，化繁为简），这种换元的方法在代数式变形中是十分有效的。
例5. 若，且，求的值。
解：设，则
由得：
所以
例6. 若a、b、c为非零数，且。
求：的值。
解：设
那么
得：
则
若时，
那么
若，则
那么
综上所述，的值为或8
注：从上述例5、例6可以看到，对于已知条件是一个连等式或连比式时，不妨设连等式或连比式的值为k或其他形式，然后利用等式证明的相应技巧进行适当变形。
例7. 已知：多项式，当时，它的值为81，则当时，它的值为多少？
解：当时，
当时，
例8. 设，求代数式的值。
解：
注：例7、例8中可以看到，将整个代数式看作一个变量进行代换，把它作为整体变形的一部分，进而使问题合理而迅速地得到解决。
例9. 求满足条件的所有整数n的和。
解：据整数指数幂的运算和整式的运算，得满足的条件的情况有：
（1）当且时，
此时
（2）当时，
此时，解得：
或
（3）当且是偶数时，
此时，得
或（时，不是偶数，故应舍去），取
∴满足条件的所有整数n为
即所有整数n的和为
例10. 如果都是质数，请你写出所有符合条件的m。
解：（1）设时，都是质数
（2）当时，设或，P是正整数
当时，是合数
当时，是合数
所以符合条件的质数只有
［小结］
1. 复习巩固整式运算一章的概念、法则、公式。
2. 进一步提高对换元思想方法的理解和掌握。
3. 通过本节拓展进一步提高分析问题和解决问题的能力。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 设a、b、c的平均数为M，a、b的平均数为N，N、C的平均数为P，若，则P_______M（填数量关系符号）。
2. 已知关于x的一次式在和时，它的值分别是和11，求当时，这个一次式的值。
3. 已知，求b的值。
4. 设，若，则的值为多少？
5. 若，其中x、y是相邻的整数，且，求证：S是奇数。
【试题答案】
1. ＜
2. 当时，它的值为
3.
4.
5. 解：不妨假设，故，则
又
所以
为偶数
那么为奇数
即S为奇数
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5与整式乘法有关的综合题
教学目的：
使学生能够熟练并灵活运用乘法公式
教学重点与难点：
乘法公式的变形使用
教学过程：
例1. 计算：
分析：从表面上看，三个多项式中没有任何两个符合公式要求，这就需要根据它们的结构，看是否通过变形后能够符合公式结构要求。
解：
例2. 计算：
分析：如果能发现使用平方差公式变形，并出现，那么就不必把展开，而与抵消，从而简化了运算。
解：
例3. 已知的值。
分析：不可能从求出a的值，所以目前只能由得到等形式，采取整体代入求值的方法。
解：
例4. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则求可能加上的单项式。
（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）
分析：本题是一个结论发散题，所得结论不止一种。
解：（1）把看做是平方和，应添乘积项，则有
，
并且它们是一个整式的完全平方，即
（2）把看做是乘积项，即，
应添完全平方项
（3）由于和1都是整式的完全平方，所以也可以使化成单项式。则有
综上，可从添加中任选一种。
例5. 对于所有有理数，我们规定
按上述规定运算，求下列各式的值：
分析：应明确新符号所表示的运算结果是，它是如何得到的：左上角的数值a乘以右下角的数值d所得乘积ad做为被减数；右上角的数值b乘以左下角的数值c所得乘积bc做为减数，从而得到。
解：
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 计算：
（1）
（2）
2. 已知，求的值。
3. 已知，且，求的值。
【试题答案】
1. （1）
（2）
2.
3. 解：由已知条件，有
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3暑假专题——简单的面积问题
【典型例题】
例1. 如图所示，边长为3cm和5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的顶点为圆心，边长为半径的圆弧，求阴影部分面积（π取3）
解：阴影部分可以看作是圆面积加上小正方形的面积和△AOF的面积，再减去△EFC的面积。
例2. 根据图中绘出小三角形面积的数据，求△ABC的面积。
解：设△AGE面积为x，△FBG的面积为y
同高，△ABG与△BGD同高
同理，△AFG与△AGC同高，△BFG与BGC同高
例3. △ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，，求△ABC的面积。
解：
例4. 如图所示是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求两个直角边的立方和。
A E D
F
B C
解：将这个图形补上四个全等的直角三角形
例5. 将△ABC平均分成面积相等的5部分，并指出哪五部分面积相等。
A
B C
解：
b
a a a a a 4b
a a a a
2b
例6. ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，===1，求。
A E B
F
D C
解：
A E B
F
D C
例7. △ABC的面积为1，分别延长AB、BC、CA到D、E、F，使AB=BD，BC=CE，CA=AF，连DE、EF、FD，求△DEF的面积。
F
A
B C E
D
解：分别连结AE、DC、FB
等底同高
F
A
B C E
D
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，，则△ABC的面积是（ ）
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
2. 如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为，试比较与的大小，并说明理由。
A D
F
B E C
3. 将△ABC分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分（只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法）。
A
B C
4. 2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于___________________。
5. 如图所示，在长方形ABCD中，，是以A为圆心，a为半径的一段圆弧，是以B为圆心，b为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积___________。
D M C
a-b
K
A a N b B
6. 如图所示，ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，，则____________。
A E B
F
D C
【试题答案】
1. 选B。
2. 提示：
3. 解：
b
a a a a a 4b
a a a a
2b
4.
解：补上四个相同直角三角形
∴边长和为5
∵差为1，∴为2和3。
5. 提示：连结MN
①
②
D M C
a-b
K
A a N b B
6. 解：连结ED、AC
∴F为四等分点
A E B
F
D C
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4暑假专题——多边形
（一）知识整理
1. 知识结构
2. 主要知识内容：
通过本章的学习，我们应掌握以下知识内容：
（1）瓷砖的铺设：
<1>密铺的特征：相邻几个多边形中，在同一顶点的几个角的和等于
<2>常见的地砖形状：三角形、四边形和正六边形
（2）三角形：
<1>三角形的分类
①三角形按边分类：
②三角形按角分类：
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类。
<2>三角形各角之间的关系：
①三角形的内角和等于
②三角形的外角和等于（每个顶点处只取一个外角）
③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
<3>三角形的三边关系：
①三角形的任何两边的和大于第三边
②判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
（3）多边形的内角和与外角和
①n边形的内角和等于，n边形的外角和等于
②正n边形的每个内角都等于，每个外角都等于
③n边形从一个顶点出发有条对角线，n边形共有条对角线
（4）用正多边形拼地板：
①正多边形拼地板的必要条件：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
②一种正多边形能密铺平面的只有：正三角形、正方形和正六边形
③两种或两种以上正多边形组合密铺平面的设计。
【例题分析】
例1. （1）如图（a），求证：
A
D
B C
（a）
（2）如图（b），若，求的度数。
A
E F
G
B C
D
（b）
分析：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，这里是求证一个角等于三个角的和，这就启示我们要将此图化为三角形进行研究。
解：（1）法一：如图1，延长BD交AC于E
A
E
D
B C
图1
法二：如图2，连结AD并延长至E
A
D
B E C
图2
则
即
法三：如图3，连结BC
A
D
B C
图3
即
（2）
例2. （辽宁省03年中考）已知中，，角平分线BE、CF相交于O，如图所示，的度数应为（ ）
A. B.
C. D.
A
F E
B C
分析：与已知角不在一个三角形中，要建立和的联系，需应用三角形内角和定理，通过与建立它们之间的联系。
解：分别是角平分线
选A
（拓展延伸）
（1）本题是近几年全国各省市中考题的热点之一，陕西省、山西省、辽宁省几省市近三年的中考题都考了本题的特例。
（2）如图，角平分线AD、BE、CF交于O，类似的有
A
B D C
（3）由上述结果，
故与互余，图中还有其它互余的角吗？
例3. （山东省03年中考题）已知一个等腰三角形的三边长分别为x，，，其周长为________
分析：从等腰三角形的两腰相等入手，根据题意，设其中两边为腰，列出关于x的方程，进而可求各边长，同时应考虑到应分三种情况讨论。
解：（1）若，则，三边分别为1，1，2
（2）若，则，三边长分别为
（3）若，则，三边长分别为
（1）（2）两种情况不符三边关系定理，故舍去
其周长为
易错分析：解本题除注意分类讨论外，还应注意到等腰三角形三边也应满足三角形三边关系这一隐含条件。
例4. 如果多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加多少度？将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？上述两种情况下外角和怎样变化？
解：设这个多边形的边数为n，当边数增加1后，多边形的边数变为(n+1)，则两个多边形的内角和之差为
当多边形的边数增加1倍时，边数变化为2n，则此时两个多边形的内角和之差为
上述两种变化情况下，多边形的外角和保持不变，都是
例5. （1）已知如图（a），在中，于D，AE平分，则与有何数量关系？
A
B E D C
（a）
（2）如图（b），AE平分，F为其上一点，且于D，这时与又有何数量关系？
A
F
B E D C
（b）
（3）如图（c），AE平分，F为AE延长线上一点，于D，这时与又有何数量关系？
A
D
B E C
F
（c）
分析：在（1）问中，要找出与的数量关系，可考虑利用三角形内角和定理及三角形的外角性质转化，同时应注意灵活运用图中隐含的角与角的和差关系，在解决第（2）、（3）问时，应注意把它转化为第（1）问的情形，运用第（1）问的结论，过点A作，则有
解：（1）
平分
即
（2）如图（b），过A作于G，由（1）知
A
F
B E D G C
（b）
（3）如图（c），过点A作于G，由（1）知
A
D
B E G C
F
（c）
说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。
例6. 如图，点A、O、B在同一直线上，点C、O、D在同一直线上，的平分线交的平分线于点P
（1）若，求的度数；
（2）试归纳与之间的关系
D
A
F
C
分析：本题图形较复杂，涉及的三角形较多，虽然与的度数是已知的，但和的形状是可以改变的，因此图中许多角的度数在变化，为什么是不变量呢？
解：（1）在和中，有
在和中，有
平分，DP平分
（2）由（1）知与之间的关系为
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为____________
2. 两个木棒的长分别为3cm和5cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角架，若第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长__________cm。
3. 已知a、b、c为三角形三边的长，且，则这个三角形的形状为__________
4. 如图，已知，（1）若点O为两角平分线的交点，则________；（2）若点O为两条高的交点，___________。
A
O
B C
5. 如图，在四边形ABCD中，，则____________
D
A
B C
6. 等腰三角形的周长为20cm，（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_________；（2）若其中一边长为5cm，则腰长为__________
7. 过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则_________
8. 如图，的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且，O为DC与BE交点，若的面积为，的面积为，则____________
A
B C
9. 三角形中，最大角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和1997，则满足条件的三角形的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 能铺满地面的正多边形组合是（ ）
A. 正三角形和正八边形 B. 正五边形和正十边形
C. 正三角形和正十二边形 D. 正六边形和正八边形
12. 如图，在中，D是BC上一点，若，，则与的关系为（ ）
A. B.
C. D.
A
B D C
13. 一个多边形除去一个内角之外，其余各内角的和为，则这个内角的度数为（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，已知在中，，问AD平分吗？请说明理由。
A
B D E C
15. 已知：如图是不规则的六边形地砖，在六边形ABCDEF中，每个内角为，且，求该六边形地砖的周长。
A F
B
C D
16. 如图中的几个图形是五角星和它的变形
（1）图（1）中是一个五角星，求
（2）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即）如图（2），说明你的结论的正确性。
（3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性。
【试题答案】
一. 1. 9 2. 4或6
3. 等边三角形（提示：）
4. （1） （2）（点拨：此题中，）
5.
（点拨：<1>
<2>把与的和当作一个整体去考虑）
6. （1）6cm或7cm （2）7.5cm
7. 12
（点拨：，有，即
，又
于是）
8. （）
9. D 10. B（1994，1996，1998，2000四种情况）
11. C 12. D 13. C
14. AD平分
理由如下：
又
即
15. 周长为
16. （1）
（2）无变化，因为
（3）无变化
11暑假专题——二元一次方程组
【教学要求】
1. 熟练掌握二元一次方程的意义，二元一次方程组的定义及二元一次方程，二元一次方程组解的定义。
2. 熟练掌握二元一次方程组的解法。
3. 会运用二元一次方程组解决实际问题。
【教学过程】
二元一次方程组的知识是一元一次方程知识的深化和发展，是进一步学习数学必备的基础知识，此外，有很多工农业、国防科技和生活中的实际问题，也要用二元一次方程组来解决。因此，二元一次方程组是初中数学的重要内容之一，常见的题型有：填空题、选择题、列方程组解实际问题，以及综合题。随着素质教育、创新教育和新课标在全国各地的开展和深化，近年来对数学思想方法的考查越来越重视，“消元”的数学思想和“代入法”、“加减法”的数学方法将是今后考试命题的热点。
【典型例题】
（一）二元一次方程（组）的有关概念
例1. 下列方程中，二元一次方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
例2. 已知是方程的解，那么k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
答案：A
（二）构造二元一次方程组解题
例3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
分析：本题利用非负数的性质可构造二元一次方程组来求解，由非负数的性质可得：
，解得
答案：C
例4. 已知方程组的解是，则____________。
分析：本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方程组的解法。
将代入可得到关于a、b的二元一次方程组
依据整体思想，两方程相加，便得，即。
（三）二元一次方程组的解法
1. 二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。
2. 灵活消元
（1）整体代入法
例5. 解方程组
解：原方程组可变形为
继续变形为
<2>代入<1>得：
解得：
方程组的解为
（2）先消常数法
例6. 解方程组
解：<1>×5－<2>得：
<3>代入<1>得：
把代入<3>得：
所以原方程组的解为
（3）设参代入法
例7. 解方程组
解：由<2>得：
设，则
把<3>代入<1>得：
解得：
把代入<3>，得：
所以原方程组的解是
（4）换元法
例8. 解方程组
解：设，则原方程组可变形为
，解得
所以
解这个方程组，得：
所以原方程组的解是
（5）简化系数法
例9. 解方程组
解：<1>＋<2>得：
所以
<1>－<2>得：
由<3>、<4>得：
（四）列二元一次方程组解决实际问题
例10. （2004年北京市中考题）
某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助中学生和小学生人数的部分情况如下表：
年 级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名）
初一年级 4000 2 4
初二年级 4200 3 3
初三年级 7400
（1）求a，b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中小学生人数直接填入上表中（不需写计算过程）。
解：（1）根据题意有
解这个方程组，得：
（2）初三年级学生捐助贫困中学生人数为4（名），捐助贫困小学生人数为7（名）。
说明：本题已知条件由表格给出，题型比较新颖，要学会审读表格信息，分析其中蕴含的数量关系，巧列方程组求解，第（2）问设初三年级捐助贫困中学生x人，捐助贫困小学生y人，列方程组得：
解得：
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一. 精心选一选（每小题2分，共20分）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下面的几组数值中，是方程组的解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如果是方程的解，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 若是二元一次方程，那么a、b的值分别是（ ）
A. 1，0 B. C. 2，1 D.
5. 某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生增加10%，则这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（ ）
A. 1400和2800 B. 1900和2300
C. 2800和1400 D. 2300和1900
6. 方程组的解满足方程，那么a的值是（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
7. 以下方程组的解与的解不同的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被5整除，则这个两位数是（ ）
A. 53 B. 57 C. 35 D. 75
9. 已知方程组的解也是方程的解，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 某人将甲、乙两种股票卖出，其中甲种股票卖价为1200元，盈利20%，乙种股票卖价也是1200元，但亏损20%，该人在交易后的结果是（ ）
A. 赚100元 B. 亏100元
C. 不亏不赚 D. 无法确定
二. 耐心填一填（每小题2分，共20分）
1. 写出一个以为解的二元一次方程组：__________________。
2. 已知，当时，_________；
当时，_________，_________。
3. 方程的所有正整数解是__________________。
4. 已知，则_________。
5. 解方程组时，最简便的方法是用_________法，先消去_________。
6. 在等式中，当时，；当时，，则_________，_________。
7. 甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克。现在有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克。
（1）列出关于x、y的二元一次方程：__________________。
（2）若，则_________。
（3）若有乙种物品8个，则甲种物品有_________个。
8. 若与是同类项，则的值是_________。
9. 一个两位数，十位上的数与个位上的数的和为6，则符合这个条件的所有的两位数为_________。
10. 如下图，高速公路上，一辆长为4米、速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间x约是_________秒。
三. 用心想一想（每小题10分，共60分）
1. 解方程组：
（1）
（2）
2. 已知方程组的解满足方程，求m的值。
3. 某学生骑自行车从学校去县城，先以每小时12千米的速度下山，而后以每小时9千米的速度通过平路到达县城，共用去55分钟；返回时，他以每小时8千米的速度通过平路，再以每小时4千米的速度上山回到学校，又用去1小时30分。
（1）若设山路长为x千米，平路长为y千米，如何列方程组呢？
（2）若设下山需x小时，上山需y小时，方程组又是怎样的呢？
（3）若设去时走平路需x小时，返回时走平路需y小时，又怎样列方程组呢？
4. 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。
该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨。受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成；
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
5. 不论a为何值，关于x、y的二元一次方程必有一组解的值不变，试说明这个结论，并求出这个解。
6. 团体购买门票，票价如下：
购票人数 1～50 51～100 100以上
每人门票价 13元 11元 9元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1314元，若作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？
【试题答案】
一.
1. D 2. C 3. B 4. C 5. A
6. A 7. D 8. C 9. B 10. B
二.
1. 略 2.
3. 4.
5. 加减消元，y 6. 1，
7. （1）；（2）4；（3）5
8. 0 9. 60、51、42、33、24、15
10. 5.76
三.
1. （1） （2）
2.
3. （1）
（2）
（3）
4. 解：方案一：总利润（元）
方案二：设4天内加工酸奶x吨，加工奶片y吨
根据题意，得：
解得：
总利润（元）
因为，所以选择第二种方案获利较多。
5. 分别取，将其代入原方程，得：
解之，得：
故，所以
可见方程组的解为时，与a的取值无关。
6. 解：设甲、乙两个旅游团分别有x、y人，因为1008是9的倍数，而不是11和13的倍数，所以1008÷9＝112（人），故其中一团人数不超过50人，而另一团人数超过50人，但不超过100人，不妨设甲团不超过50人，根据题意得：
解得：
即这两个旅游团分别有41人，71人。
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8初学添加辅助线
教学目的：
使学生掌握添加辅助线的方法
教学重点与难点：
如何添加辅助线
教学过程：
说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；
1. 缺角补角
在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。
2. 缺线补线
如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。
例题解析：
例1. 如图所示，AB//CD，∠A=∠C。求证；AD//BC。
D C
A B
分析：由AB//CD知它所对应的图形应是三线八角，而在图中，没有完全显露出来，为了更好地使用已知条件，可以将某些线段延长。
证法1：如图所示，延长CD和AD。
D 1 C
2 3
4
A B
证法2：延长CD和AD。
证法3：延长CD和AD
小结：
延长AD，CD是为了更好地认识和使用图形——三线八角，但没有决定性作用，可以不作为添加辅助线的必要部分。
本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。
例2. 如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED，求证：AB//CD。
A B
E
C D
分析：由条件和结论可以发现，要证明AB//CD，缺少第三条直线，怎样添加第三条直线呢？
如图1中，DM是第三条直线；图2中，BN是第三条直线；图3中，BD是第三条直线，按这三种方法添置辅助线，都可以进行证明，只是在证明过程中，要用到三角形内角和定理。
A M B
E
C D
图1
A B
E
C N D
图2
A B
E
C D
图3
由已知图形及条件∠B+∠D=∠BED可以意识到，AB，CD分别在两组“三线八角”中，而且BE，DE分别是第三条直线，基于上述认识，过E点应存在一条平行于AB的直线，这就挖掘出了添置辅助线“过E作EF//AB”的背景。
如图4，也是过E作EF//AB，图5也是过E作EG//AB，只是方向不同。
A B
E 1 F
2
C D
图4
A B
G 3 E
4
C D
图5
证法1：如图4，过E作EF//AB
证法2：如图5，过E作EG//AB
请同学自己完成证明。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 如图所示，已知AB//CD，求证：
A B
E
C D
2. 如图所示，已知，求证：。
A
M F N
B
α
l D
C
3. 如图所示，AB//CD，EF分别交AB、CD于G、H，GK平分，HK平分。求证：。
E
A G B
K
C H D
F
【试题答案】
1. 提示过E点作平行于AB的平行线
2. 提示过B点作平行于MN的平行线
3 提示过K点作平行于AB的平行线
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5暑假专题——一元一次不等式复习拓展
概念、性质复习：
1. 用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。
2. 解一元一次不等式的过程类似于解一元一次方程，它们的区别在于不等式两边同乘（或同除）以同一个负数时，不等号要改变方向。
3. 常用的不等式的性质：
（1）若，则，称为反身性。
（2）若，则，称为传递性。
（3）若，则，反之亦然。
（4）若，则，反之亦然。
（5）若，则，反之亦然。
（6）若，那么对任意实数c，都有。
（7）若，则。
（8）若，则。
（9）若，则（n为正整数）。
（10）若，则。
【典型例题】
例1. 已知，试比较与ab的大小。
解：（1）作差法：
方法一：
而
即
方法二：设
则
，即
（2）作商法：
方法三：
注：上例是比较两个有理数大小的问题，我们通常采用作差法（与0比较大小）或作商法（与1比较大小）比较两个数的大小，灵活地选择这两种方法比大小，是解题的关键。当“差”或“商”中含有字母不能直接得出结论时，有时需将条件中字母表示的数值代入再判断，有时还需分类进行讨论，如：比较与的大小。需要指出的是，在解选择题时，赋值法是一种有效的方法。
例2. 不等式的正整数解是方程的解，求的值。
解：由已知得：
，正整数解为
代入方程，得：
例3. 解不等式
解：当时，两边消去
化简得：
∴不等式的解为且
注：解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，但两边乘（或除）以同一个负数时，不等号一定要改变方向，还要关注不等式中未知数的取值范围。
例4. 解关于x的不等式
解：整理，得：
当时，解为
当时，解为
当时，原不等式为，此时
若时，则解为全体有理数
若时，则不等式无解
不等式中所含非未知数的字母称为参数，解含字母系数的一次不等式要对参数进行讨论；含有参数的任何一个一元一次不等式总可以化为标准式（或），对形如（或）的不等式：
当时，解为（或）
当时，解为（或）
当时，不等式的解为全体实数（或无解）
当时，不等式无解（或解为全体实数）
例5. 已知不等式的解集为，试求a的取值范围。
解：原不等式整理得：
当时，不等式无解
当时，解为，这与已知产生矛盾
当时，解为，与一致
故
注：由上例可得下面的结论：若不等式（或）的解为（或），则是其对应方程的根（且）。
例6. 当k为何整数值时，方程组有正整数解？
解：方程组的解为
解得：
∴1＜k＜4
由于k为正整数
∴k＝2或3
例7. 已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足，若，则S的最大值和最小值的和是多少？
分析：用含一个字母的代数式表示S，并确定这个字母的取值范围，就可求得S的最大值和最小值。
解：由已知得：
解得：
由得不等式组
解得：
∴2≤S≤3
所以，S的最大值与最小值的和为5
注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。
［小结］
1. 复习巩固不等式的定义、性质、解法的掌握和应用。
2. 提高应用不等式分析问题和解决问题的能力。
3. 巩固分类讨论思想在解决问题中的应用。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 如图，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数，则的大小关系是________________。
2. 已知：，那么A、B的大小关系是______________。
3. 已知不等式的正整数解为1，2，3，那么m的取值范围是____________。
4. 若方程的解小于零，求a的取值范围。
5. 设不等式的解集为，求不等式的解。
6. 已知方程组，若方程组有非负整数解，求正整数m的值。
【试题答案】
1.
2. A = B
3.
4.
5.
6. m＝1或m＝3
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5暑假专题：分期付款
【知识目标】
1. 会根据利率求利息额和本息款。
2. 通过有关分期付款问题的解决，了解不同分期付款的利与弊，增强学生应用数学的意识。
【能力目标】
增强应用数学意识，学会用数学方法确定解决实际问题的合理方案，进一步提高分析问题和解决问题的能力。
【知识要点】
掌握利率、利息、本金之间的关系。
利息的公式：利息=本金×利率×时间
本息和=本金＋利息
或用利率表示 本息和=本金×（1＋利率×时间）
【典型例题】
例1. （书12页例1）某电脑公司以分期付款的方式销售其产品。一台电脑的售价为8000元，首付2000元，以后每月付一定的数额，一年或半年付清购买电脑的全部款，但每月付款的同时还要付一定的利息。
剩余额的付款方式有以下几种：
（1）每月付500元，一年后全部付清，从第一个月到第十二个月，每月付利息额依次为1%到12%，请填下表。
以这种方式购买电脑共花多少元？
解：2000+505+510+515+520+525+530+535+540+545+550+555+560=8390（元）
（2）每月付1000元，半年后全部付清，从第一个月到第六个月的利息依次为1%到6%，先估计一下这种付款方式须付款多少。具体计算一下，与方式（1）相差多少？说一说这种方式的优点。
解：2000+1010+1020+1030+1040+1050+1060=8210（元）
（3）剩余款一年后全部付清，同时要付6%的利息，共要付利息多少元？一共要付款多少元？
解：6000×6%=360（元）
8000+360=8360（元）
例2. 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买12万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车：
（1）方案1：首付6万元，其余款项一年后一次付清，同时要付10%的利息，共需付利息多少元？一共要付款多少元？
（2）方案2：首付3万元剩余款分三次付清，每次付款3万元及利息依次为4%，8%，12%。请计算采用方案2买车，实际需付多少钱？
（3）比较说明两种方案有什么优点和缺点？
分析：考查利息、利率、本金之间的关系，计算时，注意分段计息的本金额。
解：（1）6×10%=0.6万元 需付利息6000元，共付款126000元。
（2）3+3（1+4%）+3（1+8%）+3（1+12%）=12.72万元。
采用方案2共需付款12.72万元。
（3）方案1的优点是付款总额比方案2要少，但每次付款的数额较大，方案2的优点是每次付款数额较小，但总的付款额高于方案1。
习题：空调5000元，首付1000元，四个月还清余款，从第一个月起以后每月应付1000元与剩余欠款利息的和，剩余欠款月利率为1%，求每个月的还款额？总共买空调花销多少？
解：第一月：1000+4000×1%=1040（元）
第二月：1000+3000×1%=1030（元）
第三月：1000+2000×1%=1020（元）
第四月：1000+1000×1%=1010（元）
1000+1040+1030+1020+1010=5100（元）
例3. （书13页例2）村里要建两个养鱼池，准备以贷款的方式从银行借2万元。两年后，养鱼场开始卖鱼，再用卖鱼收入还清贷款。偿还贷款的方式有以下两种。
（1）三年后一次还清2万元，但要付利息5%。共需还贷款多少元？
（2）两年后每年还款5000元，四年还清，年利息依次为3%，5%，5.5%，6%。
解：（1）20000（1＋5%）=21000（元）
（2）第一次还款的利息150元，共还款5150元；
第二次还款的利息250元，共还款5250元；
第三次还款的利息275元，共还款5275元；
第四次还款的利息300元，共还款5300元；
共还贷款20975元。
习题：某养殖基地从银行贷款4万元，3年后一次还清，利息要付5%，那么这个养殖场需共还款 万元。
解：4×（1+5%）=4.2（万元）
例4. 存款利率表：
存期 1年 2年 3年 5年
年利率（%） 1.98 2.25 2.52 2.79
（1）将2000元存2年定期，到期后本息和是多少？
（2）将3000元存3年，到期后连本带利再转存2年，到期后共得本息和是多少？
（3）将3000元存5年，到期后本息和是多少？
（4）将1万元存4年，可以如何存？哪种存款方式合算？
解：（1）2000（1+2.25%×2）=2090
（2）3000（1+2.52%×3）（1+2.25%×2）=3372.006
（3）3000（1+2.79%×5）=3418.5
（4）四个一年 10000×（1+1.98%）=10815.83443
一年、二年、一年 10000×（1+1.98%）（1+2.25%×2）（1+1.98%）=10867.91682
一年、三年 10000×（1+1.98%）（1+2.52%×3）=10968.9688 最合算
两个两年 10000×（1+2.25%×2）=10920.25
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. 小文把压岁钱800元存入银行，活期的年利率为1%，那么一年后小文的利息为（ ）。
A. 80 B. 40 C. 8 D. 4
2. 小明打算将1000元存入银行，定期3年的年利率为2.5%，但对于所得利息要扣税20%，那么，3年后小明所得的本息和为（ ）。
A. 1100 B. 1050 C. 1040 D. 1060
3. 有一种商品原价为10元，在8月份的促销中，第一次降价2%后又降价6%；在9月份的促销中，在10元的基础上先降价4%又降价4%，那么8、9月份两次连续降价后商品的价钱（ ）。
A. 8月份更便宜些 B. 9月份更便宜些
C. 8、9月份一样 D. 无法判断
4. 有一种商品在原价的基础上上调了20%，后又降价20%，那么现价比原价（ ）。
A. 一样B. 低C. 高D. 无法判断
二. 填空题
某公司从银行贷款8万元，预计两年后每年还款2万元，4年还清，还款利息分别为3%，5%，5.5%，6%。那么，第三年这个公司第一次还款的总金额为 元，第六年即第四次还款的利息为 元。这个公司6年后共还贷款（加利息）为 元。
三. 解答题
1. 小淘气的妈妈准备到银行存2万元钱，银行的营业员告诉妈妈可存定期两年，年利率为2%，也可存活期的，年利率为0.75%，也可以先存定期一年，一年后可将本息自动存入下一年，年利率为1.5%，你认为小淘气的妈妈采用哪一种方式两年后获得的利息最多？
2. 某公司以分期付款的方式销售摄像机。一台摄像机的售价为1.4万元，首付4400元，以后每月付一定的数额，一年或半年付清购买摄像机的全部款，但每月付款时还要付一定的利息。
（1）若每月付800元，从第一个月到第十二个月每月利息分别为1%到12%，以这种方式购买摄像机共花多少钱？
（2）每月付1600元，半年后付清，从第一个月到第六个月利息分别为1%到6%，以这种方式购买共花多少钱？
（3）若剩余款一年后一次付清，同时要付6%的利息，共要付利息多少元？这种方式购买摄像机共花多少钱？
【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. D 3. A 4. B
二. 填空题
20600 1200 83900
三. 解答题
1. 选二年定期
2.（1）14624元 （2）14336元 （3）576元 14576元
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4暑假专题——多边形的基本知识
【典型例题】
例1. 如图=________。（“希望杯”邀请赛试题）
解：连结AB两点
答案：360o
例2. 凸n边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解：
答案：B
例3. 凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570o，求n的值。（山东省竞赛题）
解：设这个内角为x
例4. 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x厘米规格的地砖，恰需n块，若选用边长为y厘米规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是整数，且x、y互质，试问这块地有多少平方米？（1998年湖北省荆州市竞赛题）
解：
例5. 一个正m边形恰好被正n边形围住，正好可以镶嵌（例如图m=4，n=8），若m=10，求n的值。
解：
例6. 一个凸11边形是由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙拼成，求此凸11边形的各个内角大小，并画出这个凸11边形。
解：
（图略）
例7. 如图是一个正n角星的一部分，这正n角星是一个简单的封闭的多边形，其中2n条边相等，角相等，角相等，如果锐角比锐角小，那么n等于（ ）（第43届美国数学竞赛题）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
解：连结
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 如图，凸四边形有_____个；_______。（1999年重庆市竞赛题）
E
B A
D
F G
C
2. 如图，_________。
F
G
A E
D
B
C
3. 如图，ABCD是凸四边形，则x的取值范围是___________。
B
2 A
4 x
C 7 D
4. 一个凸多边形的每一内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）（第九届“祖冲之杯”邀请赛试题）
A. 9条 B. 8条 C. 7条 D. 6条
5. 一个凸n边形的内角和小于，那么n的最大值是（ ）（1999年全国初中联赛试题）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
6. 一个凸n边形的内角中，恰有4个钝角，则n的最大值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 一个凸n边形，除一个内角外，其余n－1个内角的和为2400o，则n的值是（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 不能确定
8. 我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面。
现在，问：
（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图。
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图。（2000年安徽省中考题）
【试题答案】
1. 7；540o
2. 540o
3. 14. D 5. C 6. B 7. B
8. （1）
（2）用四个全等四边形
（3）正六边形和正三角形
3暑假专题——三角形
［教学目标］
1. 理解三角形三边之间的关系以及三角形的内角和。
2. 掌握两个三角形全等的条件以及全等三角形的性质，并能解决一些实际问题，发展分析问题和解决问题的能力。
二. 重点、难点：
应用三角形全等的条件及全等三角形的性质解题，从而发展分析问题和解决问题的能力是本节的重点与难点。
［知识点归纳总结］
1. 三角形的三边之间的关系
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。
2. 三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°。
3. 三角形全等的条件
（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
4. 全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
5. 三角形的外角性质
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
【典型例题】
例1. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。
A
D
F
解：△CEF≌△BDE
理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE
∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE
∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE
∴△CEF≌△BDE（ASA）
例2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？
D C
A B
解：理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠DEC＝∠BFA＝90°
在Rt△DEC和Rt△BFA中
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）
∴∠DCE＝∠BAF
∴CD∥AB
例3. 用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成一个四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。
A D
B C
解：结论：BE＝CF
理由：∵△ABC、△ACD为等边三角形
∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∠BAC＝60°
又∵∠1＋∠EAC＝60°，∠2＋∠EAC＝60°
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴BE＝CF
例4. 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高，∠B＝20°，∠C＝40°，求∠DAE的度数。
A
B D E C
解：∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
又∵∠B＝20°，∠C＝40°
∴∠BAC＝180°－20°－40°＝120°
∵AD平分∠BAC
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°
又∵∠C＝40°
∴∠EAC＝90°－40°＝50°
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝60°－50°＝10°
例5. 如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，且AC＝3cm，BD＝5cm，你能利用全等三角形有关知识测出AB的长吗？
D
C
A B
解：如图所示，在AB上截取AF＝AC，连结EF
D
C
A F B
∵AE是∠CAB平分线
∴∠CAE＝∠BAE
∵AC＝AF，AE＝AE
∴△ACE≌△AFE
∴∠C＝∠EFA
∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°
∵∠AFE＋∠EFB＝180°
∴∠D＝∠EFB
∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE
∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE
∴BF＝BD
∴AB＝AC＋BD
∵AC＝3cm，BD＝5cm
∴AB＝8cm
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题。
1. 已知等腰三角形的两边长是4cm和9cm，则此三角形的周长是（ ）
A. 17cm B. 13cm C. 22cm D. 17cm或22cm
2. 两根木条的长分别是20cm和30cm，要钉成一个三角形的木架，则在下面4根长度的木条中应选取（ ）
A. 10cm B. 20cm C. 50cm D. 60cm
3. 如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠1与∠A的关系是（ ）
A
D
C B
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不确定
4. 如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的和为（ ）
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
5. 在两个三角形中，下列条件能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 有两条边对应相等
B. 有两角及其中一个角的对边对应相等
C. 有三个角对应相等
D. 有两边及一角对应相等
6. 在具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A. ∠A－∠B＝∠C
B. ∠A＝3∠C，∠B＝2∠C
C. ∠A＝∠B＝2∠C
D.
二. 已知：如图所示，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数。
三. 已知：如图所示，AC＝BC，AD＝BD，M、N分别是AC、BC的中点，则DM＝DN，为什么？
四. 已知：如图所示，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别是B、D，要想得到AB＝AD的结论，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。
【试题答案】
一. 选择题。
1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C
二. ∠EBD＝∠EDB＝35°，∠BED＝110°
三. 先证△ACD≌△BCD（SSS），再证△DCM≌△DCN（SAS）
四. 补充：BC＝DC或∠BAC＝∠DAC或∠BCA＝∠DCA或AB＝AD
理由略
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