安徽省六安市毛坦厂中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

毛坦厂中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章~第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 下列说法错误的是（ ）．
A. 向量与向量长度相等 B. 起点相同的单位向量，终点必相同
C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动
3. 函数的最小正周期为，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
4. 若，，，则m＝（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A. 5千米 B. 千米 C. 4千米 D. 千米
7. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确是（ ）
A. 第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
10. 已知，则的值可以是（ ）
A. B. C. D. 3
11. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的最小正周期是
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．
14. 在中，若，则______
15. 已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为________．
16. 设非零向量和的夹角是，且，则，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在平面直角坐标系中，点，，记，．
（1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值；
（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
18. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 如图，在四边形中，，，．且．
（1）求四边形面积；
（2）求的长．
20. 已知内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.
21. 已知向量，不共线，，，．
（1）若，，求x，y的值；
（2）若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
22. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有相异两解
求：①实数a的取值范围；
②的值．
毛坦厂中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题 答案解析
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章~第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．
【详解】由，则，所以的虚部为．
故选：A．
2. 下列说法错误的是（ ）．
A. 向量与向量长度相等 B. 起点相同的单位向量，终点必相同
C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项.
【详解】和长度相等，方向相反，故A正确；
单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；
向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．
故选：B
3. 函数的最小正周期为，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.
故选：C
4. 若，，，则m＝（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示计算．
【详解】，因为，所以，解得m＝5．
故选：B．
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】将所给函数化为，根据三角函数相位变换原则可得结果.
【详解】
只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象.
故选：A
6. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A. 5千米 B. 千米 C. 4千米 D. 千米
【答案】B
【解析】
【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.
【详解】根据题意可知，.
在中，由正弦定理得,即.
故选:B
7. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，由此求得.
【详解】由图可知，，
，
所以，
由于，
其中，
所以，
所以，
所以.
故选：B
8. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长．
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】AB
【解析】
【分析】由象限角的概念，扇形面积公式，及三角函数的概念判断选项正误.
【详解】选项A中，的终边在第三象限，是第三象限角，A正确；
选项B中，设半径为r，则，所以，扇形面积，B正确；
选项C中，P到原点的距离为，当时，，当时，，C错误；
选项D中，是锐角，但不是钝角，D错误.
故选：AB.
10. 已知，则的值可以是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案.
【详解】解：由，得，
又，
所以，
解得或，
当时，，则，
当时，，则.
故选：CD.
11. 在平行四边形ABCD中，E是BC上点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求.
【详解】由题设，①，
②，
所以①2②得即，
②①得，故，A正确、B错误；
所以，
故，故C正确、D错误.
故选：AC
12. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的最小正周期是
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用偶函数求出，再利用周期公式求解周期，利用图象的性质求解对称性和单调性.
【详解】因为为偶函数，所以，
又，所以，即.
对于A，由，得.当时，，故的图象关于直线对称，正确；
对于B,的最小正周期是B正确；
对于C,图象的对称中心为C错误；
对于D，令，则，即是的一个单调增区间；由于在上单调递增，D正确.
故选:ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性分析求解.
【详解】因为在上是增函数，在上是减函数，
所以只有时满足条件，故．
即的取值范围为，
故答案为：
14. 在中，若，则______
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦定理将，转化为，再利用余弦定理求解.
【详解】因为，
所以，
所以．
又，
∴．
故答案为：
15. 已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的范围以及函数函数在区间上的最大值列不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，，
当时，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16. 设非零向量和的夹角是，且，则，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算，先求的结果，再求最值.
【详解】∵，
∴当时，的最小值为3，∴的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在平面直角坐标系中，点，，记，．
（1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值；
（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据投影向量的定义，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解.
【小问1详解】
设与夹角为，
则．
【小问2详解】
设点，因为四边形为平行四边形，所以．
又，，
所以，解得．
故．
18. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和正弦的二倍角公式求解；
（2）利用诱导公式，同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以，
所以．
19. 如图，在四边形中，，，．且．
（1）求四边形的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得，由此求得，求得，进而求得四边形的面积.
（2）利用余弦定理求得.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
依题意，
则为锐角，所以.
所以四边形的面积为.
【小问2详解】
在三角形中，由余弦定理得.
20. 已知内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.
【答案】（1）
（2）等边三角形，
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；
（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出b和c，从而判断性质和求解面积.
【小问1详解】
由题意，
由正弦定理得，
因为，
所以，因为，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，即，所以，
由得，所以为等边三角形，
所以的面积 .
21. 已知向量，不共线，，，．
（1）若，，求x，y的值；
（2）若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的基本定理列方程组来求得的值.
（2）根据三点共线列方程来求得的值.
【小问1详解】
当时，，
而，
所以，解得.
【小问2详解】
，，
由于三点共线，所以，解得.
22. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有相异两解
求：①实数a的取值范围；
②的值．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；
（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.
【小问1详解】
．
因为的最小正周期为，所以，解得．
所以．
小问2详解】
①，即．
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图像在区间上有两个交点，
由，得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
做出在上的图像如图，
由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，
所以实数a的取值范围为．
②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，
则有，所以，
所以的值为．