广东省珠海市斗门第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

珠海市斗门第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，在正方形网格中位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是圆O的直径，点A是圆O上异于B、C的点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. 与共线 D.
7. 已知复数，是关于的方程的两根，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B.
C D. 若，则
8. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 如图，是单位圆上的两个点，点的坐标为，点以的角速度 点以的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则（ ）
A. 时，的弧度数为
B. 时，扇形的弧长为
C. 时，扇形的面积为
D. 时，点，点在单位圆上第一次重合
11. 已知曲线，曲线，曲线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 将曲线的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线的图象
B. 将曲线的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得到曲线的图象
C. 将曲线各点的横坐标先伸长为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到曲线的图象
D. 将曲线各点的横坐标先缩短为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度得到曲线的图象
12. 欧拉公式（其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 的模为1 B. 的共轭复数为
C. 对应的点在第一象限 D. 复数的虚部为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则__________．
14. 一游客在处望见在北偏东的方向上有一塔，在南偏东的方向上有一塔，测得，间的距离为1.25公里，，两点间的距离为2公里，则塔与塔间的距离为__________公里．
15. 复数与复数在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则__________．
16 设，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数是纯虚数（i为虚数单位，m为实数）．
（1）求m的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求最小值．
19. 在中，的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
20. 已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间，对称轴；
（3）求在区间上的最大值和最小值以及对应的x的值．
21. 已知，，，．
（1）求的值；
（2）求值．
22. 已知向量，，且，且，
（1）若与夹角，求；
（2）记，是否存在实数，使，对任意恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
珠海市斗门第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题 答案解析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，
所以.
故选：A
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将齐次式由弦化切，即可求值.
【详解】.
故选：C
3. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令方格边长为1，、与水平线夹角为，，由结合差角正切公式求夹角大小.
【详解】若每个方格边长为1，、与水平线夹角为，，
由图知：，而，
所以，则 .
故选：A
4. 已知是圆O的直径，点A是圆O上异于B、C的点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作于，得出向量在向量上的投影向量为，然后由直角三角形的性质求得，从而可得结论．
【详解】如图，由题意，又，所以，是三角形内角，因此，所以，
作于，则，即，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：A．
5. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解.
【详解】由以及扇形的面积公式可得: ,
故选：D
6. 如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. 与共线 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.
【详解】设，∠A=30°，且三点共线，
则，，，，
所以.
故A、B、C成立，D不成立.
故选：D
7. 已知复数，是关于的方程的两根，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数概念、运算判断各选项．
【详解】对于关于的方程，则，
∴，不妨设，，
，故A正确；
，故C正确；
，∴，当时，，故B错误；
当时，，，所以，
，，同理，故D正确．
故选：B．
8. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中利用两角差正弦公式求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】在中，，而，
所以，
，
由正弦定理得，，
即，解得，所以，
在中由余弦定理，
即，
所以，，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可.
【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量
对于A，因为，，所以，则不共线，故A符合；
对于B，因为，，所以，则不共线，故B符合；
对于C，因为，，所以，则不共线，故C符合；
对于D，因为，，所以，则共线，故D不符合.
故选：ABC.
10. 如图，是单位圆上的两个点，点的坐标为，点以的角速度 点以的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则（ ）
A. 时，的弧度数为
B. 时，扇形的弧长为
C. 时，扇形的面积为
D. 时，点，点在单位圆上第一次重合
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件，弧长公式及扇形面积公式，逐项分析即可求解.
【详解】时，点按逆时针方向运动，点按逆时针方向运动，此时的弧度数为，故不正确；
时，的弧度数为，故扇形的弧长为，故正确；
时，的弧度数为，故扇形的面积为，故正确；
设时，点，点在单位圆上第一次重合，则，解得，故不正确.
故选：.
11. 已知曲线，曲线，曲线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 将曲线的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线的图象
B. 将曲线的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得到曲线的图象
C. 将曲线各点的横坐标先伸长为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到曲线的图象
D. 将曲线各点的横坐标先缩短为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度得到曲线的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图像确定，，确定得到，确定，再根据三角函数的平移法则依次判断每个选项得到答案.
【详解】对曲线，当时，，，故，
当时，，故，
即，，且，解得，
故时，满足条件，故曲线，
对选项A：平移得到的曲线为，
伸缩得到的曲线为，正确；
对选项B：平移得到的曲线为，
伸缩得到的曲线为，错误；
对选项C：伸缩得到的曲线为，
平移得到的曲线为，正确；
对选项D：伸缩得到的曲线为，
平移得到的曲线为，错误；
故选：AC.
12. 欧拉公式（其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 的模为1 B. 的共轭复数为
C. 对应的点在第一象限 D. 复数的虚部为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由欧拉公式把复数为化代数形式，然后再根据复数的相关概念判断．
【详解】选项A，，A正确；
选项B，，其共轭复数是，B正确；
选项C，，对应点坐标，在第一象限，C 正确；
选项D，，虚部是，D错．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】由算出答案即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
故答案：2
14. 一游客在处望见在北偏东的方向上有一塔，在南偏东的方向上有一塔，测得，间的距离为1.25公里，，两点间的距离为2公里，则塔与塔间的距离为__________公里．
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】依题意可得，，，
由余弦定理，
即，所以，即塔与塔间的距离为公里.
故答案为：
15. 复数与复数在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由复数的运算化简复数后得两点坐标，求得和的正切值，然后由两角差的正切公式计算．
【详解】，所以，
，所以，如图，
则，，
所以．
故答案为：1．
16. 设，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角公式化简函数式，然后计算后配对求和可得结论．
【详解】，
则
，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数是纯虚数（i为虚数单位，m为实数）．
（1）求m的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据复数定义求解；
（2）由复数除法化简算数为代数形式，然后由几何意义得不等式式组，从而求得参数范围．
【小问1详解】
由题意，解得；
【小问2详解】
由（1），，
由题意，解得．
18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求最小值．
【答案】（1）填表见解析；；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据五点法，计算即可填表，写出解析式；
（2）先写出的解析式，用代入法求出的最小值．
【详解】解：（1）
0
0 5 0 0
依题可得，，，所以函数；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，
得到
又图象的一个对称中心为，
所以
所以，，又
所以，且
所以时取到最小值是．
19. 在中，的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出；
（2）利用正弦定理表示出，利用三角函数求出最值.
【小问1详解】
在中，的对边分别为，
由正弦定理得.
因为，所以，
.
∵，∴.
.
【小问2详解】
由题意，
则，
则，
由，得，
则，
故的取值范围为
20. 已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间，对称轴；
（3）求在区间上的最大值和最小值以及对应的x的值．
【答案】（1）
（2）单调增区间为，对称轴为
（3）当时，有最大值为；时，有最小值为
【解析】
【分析】（1）根据向量的运算法则结合三角恒等变换化简得到，再计算周期即可.
（2）取，和，解得答案.
（3）确定，再计算最值即可.
【小问1详解】
，
故.
【小问2详解】
取，解得，
故单调增区间为，
取，解得，故对称轴为.
【小问3详解】
当时，，
当，即时，有最大值为；
当，即时，有最小值为；
21. 已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由诱导公式和余弦的二倍角公式求解；
（2）由平方关系、两角差的余弦公式计算．
【小问1详解】
，则，
又，则，所以；
【小问2详解】
由（1）得，即，
因此由，，得，，
所以，，
所以．
22. 已知向量，，且，且，
（1）若与夹角，求；
（2）记，是否存在实数，使，对任意恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用平方的方法化简已知条件，从而求得的值.
（2）由构造函数，结合函数的单调性列不等式，从而求得的取值范围.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
即，
得.
【小问2详解】
由（1）中，
且对恒成立，则有：，
令，由函数的单调性可知：，
即，解得，即.