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第 6 章 三角（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023 秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）以下命题正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．小于 90o的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
2．（2022 秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）若 sin 0,cos 0，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A． 43 和677 B．900 和1260 C． 120 和960 D．150 和630
4．（2022 春·上海杨浦·高一校考期中）VABC 中， A， B的对应边分别为 a，b ，且 A 3 ， a 6 ，
b 4 ，那么满足条件的三角形的个数有（ ）
A．一个； B．两个； C．0 个； D．无数个
5．（2022 2秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考开学考试）若 是锐角， sin 15o .那么锐角 2
等于（ ）
A．15o B．30o C． 45o D．60o
6．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）已知角A 、 B 是VABC 的内角，则“ A B ”是“ sin A sin B ”的
（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
cos x 1 x π 7．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知 ， , π ，则 x （2 ）6
π 2π arccos 1A． B． C． D． π arccos
1
3 3 6 6
二、填空题
8．（2023 秋·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）已知扇形的弧长为 π，其圆心角为60o，则该扇形的面积是
____________．
9．（2023 秋·上海杨浦·高一校考期末）已知角 的终边经过点P( 1,3)，则 tan ___________.
10．（2022 春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）在VABC 中，若 sin A 3 cos A，则角 A __．
11．（2022 春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知角 的终边与角 终边关于 y 轴对称，
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则 , 的关系是 _____．
12．（2022 秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）角2023 是第__________象限角．
13．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若点P(5, 12)是角 终边上的一点，则
sin _________．
3 π
14．（2022 秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知 sin ，则 cos( ) ___________.
5 2
15．（2022 秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）与 2023o终边相同的最小正角是______．
16．（2022 春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）将 3 cos x sin x 写成 2sin x 的形式，其中
0 2 ，则 __．
17．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若 2 3 sin cos cos 2 可化为 2sin(2 ) ，
则角 的一个值可以为__．
18．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）在VABC 中，角A B C 所对边分别是 a b c，若 a2 b2 ab c2 ，
则C ___________.
3 5
19．（2022 春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）已知 sin 2 ， ，则
6 5 6 12
cos 2 ___________.
三、解答题
1 2sin cos
20．（2022 春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知 tan ，求 的值．
2 sin cos
sin 3
cos
sin cos 21 2022 · ·
．（ 春 上海奉贤 高一校考阶段练习）化简： 2 2 2 .
cos sin 2
22．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）集合 A x 2k x 2k , k Z ，
3 3
B x 2k x 2k 2 , k Z
C ， x k x k , k Z ，D 10,10 ，分别求 A B ，
3 6 2
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A I C ， A I D ．
【典型】
一、单选题
1．（2022 春·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）若 ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，
则 ABC （ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）满足下列条件的三角形中，有 1 解的个数是（ ）
（1） a 2, b 3, B 105 （2） a 2, b 3, B 35
（3） a 2, b 3, A 90 （4） a 3, b 2, B 35
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．（2021 春·高一课时练习）若角 的终边过点 (3, 2)，则（ ）
A． sec tan 0 B． cos cot 0
C． sin cos 0 D． sin cot 0
cos sin cos
4．（2021 春·高一课时练习）若 是第三象限角，则 1 tan2 1 1 等于（ ）
sin2
A．1 B．-1 C． 1 D．0
5．（2021 春·高一课时练习）已知 A 是三角形的一个内角，则 cos A的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、零、负数都有可能
6．（2021 春·高一课时练习） cos 24 cos36 cos 66 cos54 的值为（ ）
1 3 1A．0 B． 2 C． D． 2 2
7．（2021 春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）一个扇形OAB 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘
米，则它的中心角是
A．2 弧度 B．3 弧度 C．4 弧度 D．5 弧度
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8．（2021·上海·高一期末）使 sin x cos x 成立的 x 的一个变化区间是
3
A． ， B． ， 4 4 2 2
3
C． ， D． 0， 4 4
二、填空题
9．（2022 春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习） ABC 中， AB 5, BC 4,CA 3，D为 AB 边上的中
点，则 ACD与 BCD的外接圆的面积之比为___________.
10．（2022 春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习） 为第三象限的角，且 cos cos ，则 是第
2 2 2
________象限的角．
11．（2022 春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）在相距 2 千米的A 、 B 两点处测量目标C ，若
CAB 750 , CBA 600 ，则A 、C 两点之间的距离是_______________ 千米．
P sin 12．（2021 春·高一课时练习）若 是第三象限的角，则点 , cos2 2
在第_________象限.
13．（2021 春·高一单元测试）已知函数 y f (x) ，若 f sin x 3 cos 2x，则 f cos x __________．
14．（2021 春·高一课时练习）下列四个关系式中错误的个数__________.
① sin5 sin3 2sin 4 cos ；
② cos3 cos5 2sin 4 sin ；
1
③ sin3 sin5 cos4 cos ；
2
④ sin5 cos3 2sin 4 cos .
15．（2021 春·高一课时练习）若 cos2 cos2 m ，则 sin( )sin( ) __________.
16．（2021 春·高一课时练习）化为 Acos ， A 0 ， 0,2 的形式：
3 sin cos ___________.
三、双空题
17．（2021 春·高一课时练习）计算下列三角比的值.
sin 75 __________； sin15 __________.
18．（2021 春·高一课时练习）若 sin( ) 1， sin( ) 0，则cos sin __________，
sin( ) cos __________.
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四、解答题
19．（2022 春·上海虹口·高一上海财经大学附属北郊高级中学校考阶段练习）证明：
cos2 cos2 2 2
cot2 2
sin sin ．
cot
20．（2021 春·高一课时练习）在VABC 中，已知C .
3
（1）若 a 2，b 3，求VABC 的外接圆的面积；
（2）若 c 2， sinC sin(B A) 2sin 2A，求VABC 的面积.
2 2
21．（2021 春·
高一课时练习）化简： cos cos cos ．
3 3
22．（2021 春·高一课时练习）求函数 f (x) sin 2x cos 2x的最小正周期.
23．（2021 春·高一课时练习）已知 2k (k Z)
，求 ，并指出 角终边的位置．
3 2 2
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3
24．（2021 春·上海·高一期中）已知 为锐角，且 cos .
5
（1）求 tan
的值；
4
2 cos
（ ）求 sin( 2 )2 的值
.
1
25．（2021 · 2 5 春 高一单元测试）已知 cos( ) ， tan ，且 , 0, .
5 7
2
（1）求 cos2 sin2 sin cos 的值；
（2）求 2 的值.
【易错】
一．选择题（共 2 小题）
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1．（2022 春 浦东新区校级期中）已知角 α 是第二象限角，且|cos |＝﹣cos ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2022 春 杨浦区校级期末）已知点 A 的坐标为（4 ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，
则点 B 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共 4 小题）
3 ．（ 2022 春 浦 东 新 区 校 级 期 中 ） 已 知 ， 且 ， 则
＝ ．
4．（2021 春 浦东新区校级期末）已知 α∈（0，π），且有 1﹣2sin2α＝cos2α，则 cosα＝ ．
5．（2021 春 金山区校级月考）已知 sinα cosα＝ ，且 ＜α＜ ，则 cosα﹣sinα＝ ．
6．（2021 春 金山区校级月考）在△ABC 中，已知 ，则 AC＝ ．
三．解答题（共 4 小题）
7．（2021 春 宝山区校级月考）已知 α，β 都是锐角，sinα＝ ，cos（α+β）＝ ，求 sinβ 的值．
8．（2021 春 浦东新区校级月考）已知 sin（3π+θ）＝ ．
（1）求 cos2θ 的值；
（2）求 + 的值．
9．（2021 春 静安区期中）已知函数 f（x）＝asinx+bcosx（a，b 为常数且 a≠0，x∈R）．当 x＝ 时，f（x）
取得最大值．
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（1）计算 f（ ）的值；
（2）设 g（x）＝f（ ﹣x），判断函数 g（x）的奇偶性，并说明理由．
10．（2021 春 浦东新区校级月考）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通
风设施．该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB＝2 米，BC＝0.5 米．上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD
的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上
下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆（MN 和 AB、DC 不重合）．
（1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积；
（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函
数 S＝f（x）；
（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·上海·高一专题练习）若函数 f (x) lg[sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x)]的定义域与区间[0,1]的交
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集由n个开区间组成，则n的值为（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
二、填空题
a b
2．（2021 春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）设VABC 的内角 A、B、C 满足6cosC ，则
b a
cot A cot B 的最小值为________．
3．（2021 春·上海·高一期末）设锐角 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 c 4， A 2C ，
则 ABC 的周长的取值范围为______________.
4．（2021 春·上海·高一期末）已知 f x 是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x ，都有
f f x 3 2 f log sin 17 x ，则 2 ______. 4 1 5 6
5．（2022 春·上海嘉定·高一校考阶段练习）下面这道填空题，由于一些原因造成横线上的内容无法认清，现
1
知结论，请在横线上填写原题的一个条件，题目：已知 、 均为锐角，且 sin sin ，______，则
2
cos 59 .
72
三、解答题
6．（2022 春·上海奉贤·高一校考期中）已知函数 f (x) | sin x | | cos x | (x R)，函数
g(x) 4sin x cos x k (x R) ，设F (x) f (x) g(x) .
（1）求证： 是函数 f（x）的一个周期；
2
（2）当 k=0 时，求 F（x）在区间 , 上的最大值； 2
（3）若函数 F（x）在区间 (0, ) 内恰好有奇数个零点，求实数 k 的值.
7．（2021 春·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在非直角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .
（1）若 a c 2b，且B ，判断三角形 ABC 的形状；
3
（2）若 a c mb(m 1)，
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A
（i）证明： tan tan
C m 1
；（可能运用的公式有 sin sin 2sin
cos ）
2 2 m 1 2 2
cos A cosC (m)
（ii）是否存在函数 (m)，使得对于一切满足条件的 m，代数式 (m) cos AcosC 恒为定值？若存在，请
给出一个满足条件的 (m)，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
8．（2021 春·上海·高一专题练习）借助三角函数定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问
题.试解答下列问题.
1 3
（1）在直角坐标系中，点 A 3 , 12 2 ，将点
A 绕坐标原点O按逆时针方向旋转 到点 B ，如果终边
6
经过点A 的角记为 ，那么终边经过点 B 的角记为 .试用三角函数定义，求点 B 的坐标；
6
uuur uuur uuur uuur
（2）如图，设向量 AB (h,k) ，把向量 AB 按逆时针方向旋转 角得向量 AC ，试用 h、k、θ 表示向量 AC
的坐标；
（3）设 A(a,a)、B(m,n)为不重合的两定点，将点 B 绕点 A 按逆时针方向旋转 角得点 C.判断 C 是不能够
落在直线 y x 上，若能，请求出 θ 的三角函数值（正弦、余弦、正切不限），若不能，说明理由.
9．（2021·上海·高一期末）用 a,b,c分别表示VABC 的三个内角 A, B,C 所对边的边长， R 表示VABC 的外接
圆半径.
（1）R 2, a 2, B 45 ，求 AB 的长；
（2）在VABC 中，若 C 是钝角，求证： a2 b2 4R2 ；
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（3）给定三个正实数 a,b, R ，其中b a ，问 a,b, R 满足怎样的关系时，以 a,b为边长， R 为外接圆半径的
VABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在VABC 存在的情况下，用 a,b, R 表示
c .
10．（2021 春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，某公司要在 A、B两地连线上的定点C 处
建造广告牌CD ，其中D为顶端， AC 长 35 米，CB长 80 米，设 A、B在同一水平面上，从A 和 B 看D的仰
角分别为 .
（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求 ，问CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？
（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 求CD 的长（结果精确到
0.01 米）？
sin( ) cos(3 ) tan(2 )
11．（2021 春·高一课时练习）已知函数 f ( ) 2 2 .
tan( )sin( )
（1）化简 f ( ) ；
1 5 3
（2）若 f ( ) f ( ) ，且 ，求 f ( ) f (
)
4 2 的值；2 8 2
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（3）若 f ( ) 2 f ( )，求 f ( ) f ( ) 的值.
2 2
12．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f (x) ，如果存在给定的实数对（ a,b），使得 f (a x) f (a x) b恒
成立，则称 f (x) 为“S-函数”.
1 f (x) x, f (x) 3x（ ）判断函数 1 2 是否是“S-函数”；
（2）若 f3(x) tan x是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对 (a , b ) ；
（3）若定义域为 R 的函数 f (x) 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对( 0, 1)和 (1, 4) ，当 x [0,1]时， f (x)
的值域为[1, 2]，求当 x [ 2012, 2012]时函数 f (x) 的值域.
13．（2022 春·上海闵行·高一校考期中）已知函数 y f x ， 若存在实数 m、k m 0 ， 使得对于定义
域内的任意实数 x ，均有 m f x f x k f x k 成立， 则称函数 f x 为 “可平衡” 函数， 有
序数对 m，k 称为函数 f x 的 “平衡” 数对;
(1)若 f x x2 ， 求函数 f x 的 “平衡” 数对;
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(2)若 m 1， 判断 f x cosx 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由;
(3) 2 2 2若 m1、m2 R ， 且 m1， 、 m2， 均为函数 f x cos x 0 x 的 “平衡” 数对， 求 m1 m2 2 4 6
的取值范围.
14．（2021 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如果对于三个数 a、b 、 c能构成三角形的三
边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数” a、b 、 c，如果函数 y f (x) 使得三个数 f (a) 、 f (b)、
f (c)仍为“三角形数”，则称 y f (x) 为“保三角形函数”.
（1）对于“三角形数”
、 2 、
，其中 ，若 f (x) tan x ，判断函数 y f (x) 是否是“保三角
4 8 4
形函数”，并说明理由；
7
（2）对于“三角形数” 、 、 ，其中 ，若 g(x) sin x ，判断函数 y g(x) 是否是“保
6 3 6 12
三角形函数”，并说明理由.
15．（2022 春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考阶段练习）对于集合 A 1, 2 ,L , n 和常数 0，定义：
cos2 1 0 cos2 2 0 L cos2 n 0 为集合 A 相对的
n 0
的“余弦方差”．
（1）若集合 A ,
， 0 0，求集合 A 相对 0的“余弦方差”；
3 4
A , 2 （2）判断集合 , 相对任何常数 0的“余弦方差”是否为一个与 0无关的定值，并说明理由；
3 3
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（3）若集合 A , , ， [0, ) ， [ ,2 )，相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值，
4
求出 、 ．
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【基础】
一、单选题
1．（2023 秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）以下命题正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．小于 90o的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
【答案】D
【分析】根据象限角的定义判断求解即可.
【详解】对于 A,例如30o和390o终边相同，但两个角不相等，故 A 错误；
对于 B,例如0o 90o，但0o不是锐角，故 B 错误；
对于 C,例如 210o是第二象限角，但 210o不是钝角，故 C 错误；
因为锐角为大于0o小于90o的角，所以锐角在第一象限，故 D 正确.
故选:D.
2．（2022 秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）若 sin 0,cos 0，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据三角函数在各个象限的正负性求解即可.
【详解】因为 sin 0，所以 在第三象限或第四象限，或 终边为 y 轴非正半轴，
因为 cos 0，所以 在第二象限或第三象限，或 终边为 y 轴非正半轴，
所以 是第三象限角.
故选：C
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A． 43 和677 B．900 和1260 C． 120 和960 D．150 和630
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案.
【详解】A 选项，由于677 720 43 ，所以 43 和677 终边相同.
B 选项，由于1260 360 900 ，所以900 和1260 终边相同.
C 选项，由于960 1080 120 ，所以 120 和960 终边相同.
D 选项，由于630 360 270 ，所以150 和630 终边不相同.
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故选：D
4．（2022 春·上海杨浦·高一校考期中）VABC 中， A， B的对应边分别为 a，b ，且 A 3 ， a 6 ，
b 4 ，那么满足条件的三角形的个数有（ ）
A．一个； B．两个； C．0 个； D．无数个
【答案】C
【分析】根据余弦定理即可求得.
【详解】有已知及余弦定理可得： a2 b2 c2 2bc cos A=16 c2 4c 6 故Δ 0
所以方程无实数根.
故选：C
5．（2022 2秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考开学考试）若 是锐角， sin 15o .那么锐角 2
等于（ ）
A．15o B．30o C． 45o D．60o
【答案】B
【分析】由题可得 15o 45o，即得.
2
【详解】因为 sin 15o ， 是锐角，2
o o o
所以 15 15 ,105 ， 15o 45o，
所以 30o .
故选：B .
6．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）已知角A 、 B 是VABC 的内角，则“ A B ”是“ sin A sin B ”的
（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据大边对大角定理、正弦定理结合充分条件、必要条件的定义判断可出结论.
【详解】在VABC 中， A B BC AC sin A sin B .
所以，“ A B ”是“ sin A sin B ”的充要条件.
故选：C.
1 π
7．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知 cos x ， x
6
, π ，则 x （ ）
2
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π 2π
A． B． C． arccos
1
D． π arccos
1
3 3 6 6
【答案】D
【分析】利用反三角函数进行求解.
【详解】由题意得： x arccos
1
π arccos
1
.
6 6
故选：D
二、填空题
8．（2023 秋·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）已知扇形的弧长为 π，其圆心角为60o，则该扇形的面积是
____________．
3π
【答案】
2
【分析】计算出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
π r π 3
【详解】扇形圆心角的弧度数为 ，故该扇形的半径为 π ，
3 3
S 1因此，该扇形的面积为 π 3
3π
.
2 2
3π
故答案为： .
2
9．（2023 秋·上海杨浦·高一校考期末）已知角 的终边经过点P( 1,3)，则 tan ___________.
【答案】 3
【分析】根据正切函数定义计算
tan 3【详解】由题意 3．
1
故答案为： 3．
10．（2022 春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）在VABC 中，若 sin A 3 cos A，则角 A __．
2π
【答案】
3
【分析】由正弦余弦三角函数关系得出正切值，再根据三角形中角的性质求出即可.
【详解】在VABC 中，因为 sin A 3 cos A，
所以 tan A 3 ，
又0 A π ，
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A 2π所以 3 ，
2π
故答案为： .
3
11．（2022 春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知角 的终边与角 终边关于 y 轴对称，
则 , 的关系是 _____．
【答案】 π 2kπ,k Z ##180 k 360 ,k Z
【分析】利用角 与 终边关于 y 轴对称的关系及周期性求解
【详解】因为角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称，在一个周期 0,2π 中，
π，即 π ，所以由周期性知 π 2kπ ， k Z．
故答案为： π 2kπ ， k Z．
12．（2022 秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）角2023 是第__________象限角．
【答案】三
【分析】利用终边相同的角的表示判断出2023 与 223 的终边相同，即可判断.
【详解】因为 2023 5 360 223 ，
所以2023 与 223 的终边相同，为第三象限角.
故答案为：三
13．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若点P(5, 12)是角 终边上的一点，则
sin _________．
12
【答案】
13
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为点P(5, 12)是角 终边上的一点，
y 12 12
所以 sin x2 y2 52 12 2 13 ．
12
故答案为： .
13
3 π
14．（2022 秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知 sin ，则 cos( ) ___________.
5 2
3
【答案】 ## 0.6
5
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】 cos
π
sin
3
.
2 5
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3
故答案为：
5
15．（2022 秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）与 2023o终边相同的最小正角是______．
【答案】 223o
【分析】用诱导公式（一）转化即可.
【详解】因为 2023o 5 360o 223o，所以与 2023o终边相同的最小正角是 223o .
故答案为： 223o .
16．（2022 春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）将 3 cos x sin x 写成 2sin x 的形式，其中
0 2 ，则 __．
2
【答案】 3
【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.
【详解】因为 3 cos x sin x
3 1
2 cos x sin x 2
sin 2π cos x sin xcos 2π 2sin x 2π ，
2 2
3 3 3
2 所以 ．
3
2
故答案为： .3
17．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若 2 3 sin cos cos 2 可化为 2sin(2 ) ，
则角 的一个值可以为__．
π
【答案】 （答案不唯一）
6
π
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式即可化简得 2sin(2 ) ，进而可得 2kπ (k Z) ,即可求解.
6
【详解】 2 3 sin cos cos 2 3sin 2 cos2 2sin 2
π
2sin(2 )，
6
所以 2kπ
π
(k π Z)，则角 的一个值可以为 ．
6 6
π
故答案为：
6
18．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）在VABC 中，角A B C 所对边分别是 a b c，若 a2 b2 ab c2 ，
则C ___________.
π
【答案】 ##
3 60
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
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【详解】Q a2 b2 ab c2 ，
2 2 2
cosC a b c 1 ，
2ab 2
π
Q0 C π， C .
3
π
故答案为： .
3
sin 3 5 19．（2022 春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）已知 2 ， ，则
6 5 6 12
cos 2 ___________.
3 4 3
【答案】
10
4
【分析】根据 的取值范围，利用平方关系得 cos 2 ，利用两角差的余弦公式求解即可.
6 5
5
【详解】解：因为 ，所以 2 ，
6 12 2 6
又 sin
2 3 ，则 cos
4
6 5
2 ，
6 5
cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 4 3 3 1 3 4 3则 .
6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 10
3 4 3
故答案为： .
10
三、解答题
tan 1 2sin cos 20．（2022 春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知 ，求 的值．
2 sin cos
【答案】0
【分析】将原式化为关于 tan 的式子即可求解.
1
1 2sin cos 2 tan 1 2 1
【详解】因为 tan ，所以 2 0 .
2 sin cos tan 1 1 1
2
sin cos sin 3 cos
21．（2022 春·上海奉贤·高一校考阶段练习）化简： 2 2 2 .
cos sin 2
【答案】 0
【分析】根据诱导公式进行化简求值即可.
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sin cos sin cos
3
【详解】 2 2 2
cos sin 2
cos sin sin ( sin )
cos sin
sin sin
0.
22．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）集合 A x 2k x 2k , k Z ，
3 3
B x 2k 2 x 2k , k Z ，C
x k
x k , k Z ，D 10,10 ，分别求3 A B ， 6 2
A I C ， A I D ．
【答案】 2k , 2k
, k Z
2k 7 5 5 7 ； , 2k
,k Z , , ；
, .
3 6 3 3 3 3 3 3 3
【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.
【详解】 A B 2k
, 2k 2
2k , 2k
2k , 2k
3 3 3 3
, k Z；
A C 2k , 2k k ,k
3 3 6 2
2k , 2k , k Z ；
6 3
分别令 k＝－1，0，1，即可得：
A D 2k , 2k
10,10
7 , 5 , 5
,
7
.
3 3 3 3 3 3 3 3
【典型】
一、单选题
1．（2022 春·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）若 ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，
则 ABC （ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】由 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，得出 a : b : c 5 :11:13，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计
算出 cosC ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】由 sin A : sin B : sin C 5 :11:13，可得出 a : b : c 5 :11:13，
设 a 5t t 0 ，则b 11t ， c 13t ，则角C 为最大角，
a2 2 2cosC b c 25t
2 121t 2 169t 2 23
由余弦定理得 0，则角C 为钝角，
2ab 2 5t 11t 110
因此， ABC 为钝角三角形，故选 C.
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【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定
理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）满足下列条件的三角形中，有 1 解的个数是（ ）
（1） a 2, b 3, B 105 （2） a 2, b 3, B 35
（3） a 2, b 3, A 90 （4） a 3, b 2, B 35
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【分析】根据各组条件中的两边一对角的值，利用正弦定理，求出另一边的对角的正弦值，根据其值的大
小，结合大边对大角，判定角的解的个数，即为△ABC 的解的个数.
a sin B 2sin105
【详解】（1） sin A 1,又∵ a b ,∴ A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（1）中的条件的三
b 3
角形有唯一解；
sin A a sin B 2sin 35 （2） 1,又∵ a b ,∴ A B ,∴ A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（2）中的条件的三
b 3
角形有唯一解；
sin B bsin A 3sin 90 3（3） 1, B无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解；
a 2 2
a sin B 3sin 35
（4） sin A 1,又∵ a b ,∴ A B ,∴ A 为锐角或钝角，故A 有两解，∴满足（4）中的条件的
b 2
三角形有两解；
故选：C.
【点睛】由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦
值大于 1，则无解；若正弦值等于 1，则只有一解；若正弦值小于 1，要结合大边对大角进行判定解的个数.
3．（2021 春·高一课时练习）若角 的终边过点 (3, 2)，则（ ）
A． sec tan 0 B． cos cot 0
C． sin cos 0 D． sin cot 0
【答案】D
【分析】由题意可得 在第四象限，利用各象限三角函数的符号得出结论．
1
【详解】由题意可得 在第四象限，则 sec cos 为正数，
且 sin 0， t an 0， cot 0，
所以选项 A，B，C 错误； sin cot 0正确，
故选：D
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cos sin cos
4．（2021 春·高一课时练习）若 是第三象限角，则 1 tan2 1 等于（ 1 ）
sin2
A．1 B．-1 C． 1 D．0
【答案】B
【分析】先切化弦，再根据 的象限，去掉绝对值符号，即可.
【详解】解：
cos sin cos cos sin cos cos sin cos
1 tan2 1 2 1 1 sin 1 sin
2 cos2 sin2 cos2
sin2 cos2 sin2 cos2 sin2
cos sin cos cos sin cos
1 cos2 1 cos
cos2 sin2 cos sin
又 是第三象限角，故 sin 0,cos 0 ,
cos sin cos
cos2 sin2 1
所以 1 cos
cos sin
故选：B.
5．（2021 春·高一课时练习）已知 A 是三角形的一个内角，则 cos A的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、零、负数都有可能
【答案】D
【分析】将锐角、直角、钝角带入求值即可.
cos 60o 1 0,cos90o 0,cos120o 1【详解】解： 0，
2 2
故选：D.
6．（2021 春·高一课时练习） cos 24 cos36 cos 66 cos54 的值为（ ）
A 0 B 1 C 3
1
． ． 2 ． D． 2 2
【答案】B
【分析】先利用诱导公式化为只含有两个角的三角函数的积与和差的式子,然后逆用两角和差的三角函数公
式化为一个特殊角的三角函数,从而得解.
【详解】由题意可知 cos66°=sin24°，cos54°=sin36°，
所以原式=cos24°cos36° - cos66°cos54°=cos24°cos36° - sin24°sin36°
=cos(24°+36°)=cos60°= 12 ，
故选：B.
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【点睛】本题考查两角和差的三角函数公式的逆用，关键是先利用诱导公式调整为只含有两个角的三角函
数的积与和的形式.
7．（2021 春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）一个扇形OAB 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘
米，则它的中心角是
A．2 弧度 B．3 弧度 C．4 弧度 D．5 弧度
【答案】A
【解析】设出扇形的半径与弧长，根据面积与周长列出方程组，求解出半径与弧长，根据弧长公式求出圆
心角即为中心角.
【详解】设半径为 r ，弧长为 l，圆心角为 ，
lr 2 l 2
因为 ，所以 ，
l 2r 4 r 1
l所以 2 .
r
故选：A.
【点睛】本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角，难度较易.已知扇形的半径为 r ，圆心角为
0 1 1 2，则扇形弧长为 l r ，面积为 S lr r .
2 2
8．（2021·上海·高一期末）使 sin x cos x 成立的 x 的一个变化区间是
3 A． ， 4 4
B． ，
2 2
3 C． ， D． 0， 4 4
【答案】A
【解析】利用三角函数线解不等式得解.
【详解】如图所示
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x x 3 当 和 时， sin x cos x，
4 4
3
故使 sin x cos x 成立的 x 的一个变化区间是 ， .
4 4
故选 A
【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
9．（2022 春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习） ABC 中， AB 5, BC 4,CA 3，D为 AB 边上的中
点，则 ACD与 BCD的外接圆的面积之比为___________.
【答案】9 :16
【分析】根据边长，在 ABC 中利用正弦定理求得 A, B的正弦值比，据正弦定理求得 ACD与 BCD外接圆
直径，即可得外接圆的面积之比.
【详解】因为 AB 5
sinA BC 4
，BC 4，CA 3，由正弦定理得 ,
sinB AC 3
CD CD
从而△ ACD与 △ BCD的外接圆的半径分别为 r1 和 r ，2sinA 2 sinB
∴ r1 : r2 sin B : sin A ,
因此对应外接圆的面积之比为 sin2B : sin2 A 9 :16.
故答案为：9 :16
10．（2022 春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习） 为第三象限的角，且 cos cos ，则 是第
2 2 2
________象限的角．
【答案】二
【分析】根据 为第三象限的角，写出 , 的范围，再根据题意得 cos 0，即可判断 所在象限．
2 2 2
3
【详解】因为 为第三象限的角，有 2k 2k ,k Z ，
2
所以 k
3
k ,k Z ，又 cos cos ，所以 cos
0；
2 2 4 2 2 2
当 k 为偶数时， 是第二象限角，满足 cos 0；
2 2
当 k 为奇数时， 是第四象限角，不满足 cos 0；
2 2
故答案为二．
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【点睛】本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号．
11．（2022 春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）在相距 2 千米的A 、 B 两点处测量目标C ，若
CAB 750 , CBA 600 ，则A 、C 两点之间的距离是_______________ 千米．
【答案】 6
【详解】解：由 A 点向 BC 作垂线，垂足为 D，设 AC=x，
∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°-75°-60°=45°
∴AD= 2 x
2
∴在 Rt△ABD 中，AB sin60°= 2 x
2
x=" 6" （千米）
答：A、C 两点之间的距离为 千米．
故答案为 下由正弦定理求解：
∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°-75°-60°=45°
又相距 2 千米的 A、B 两点
2 AC
∴ 2 3 ，解得 AC=
2 2
答：A、C 两点之间的距离为 千米．
故答案为
12．（2021 春·高一课时练习）若 是第三象限的角，则点P sin ,cos 在第_________象限.
2 2
【答案】二或四
【分析】直接由
终边在第三象限写出对应角的范围，求出 的范围，则答案可求．
2
3
【详解】由 终边在第三象限，得 2k 2k ， k Z．
2
k 3 k ， k Z．
2 2 4
终边在第二或四象限．
2
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当 终边在第二象限时， sin 0,cos 0, P
sin ,cos
在第四象限，2 2 2 2 2
当 终边在第四象限时， sin 0,cos 0, P sin ,cos 在第二象限，2 2 2 2 2
故答案为：二或四．
13．（2021 春·高一单元测试）已知函数 y f (x) ，若 f sin x 3 cos 2x，则 f cos x __________．
【答案】3 cos2x
【分析】利用诱导公式先将 f cos x 中的 cos x化为 sin x ,然后将 f sin x 3 cos 2x中 x 替换成 x，
2 2
进而再利用诱导公式化简即得.
π
【详解】 f cos x f sin x 3 cos 2 x 3 cos 2x 3 cos 2x ,
2 2
故答案为：3 cos 2x .
14．（2021 春·高一课时练习）下列四个关系式中错误的个数__________.
① sin5 sin3 2sin 4 cos ；
② cos3 cos5 2sin 4 sin ；
③ sin3 sin5
1
cos4 cos ；
2
④ sin5 cos3 2sin 4 cos .
【答案】3 个
【分析】根据三角函数和差化积公式，可直接判断①②③，对于④先将 sin 5 cos3 转化为
sin 5 sin 3
，再根据三角函数的和差化积公式，化成积的形式，即可判断是否正确.
2
【详解】由和差化积公式，可知：
5 3 5 3
对于①， sin 5 sin 3 2sin cos 2sin 4 cos ，故①正确；
2 2
3 +5 3 5
对于②， cos3 cos5 2sin sin 2sin 4 sin ，故②错误；
2 2
3 5 3 5
对于③， sin 3 sin 5 2cos sin 2cos 4 cos ，故③错误；
2 2
对于④， sin 5 cos3 sin 5 sin
3
2
5 3 5
3
2sin 2 cos 2 2sin 4
cos
，故④错误.
2 2 4 4
故答案为 3 个.
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15．（2021 春·高一课时练习）若 cos2 cos2 m ，则 sin( )sin( ) __________.
【答案】 m
1
【分析】根据余弦的二倍角公式将原式化为 cos 2 cos 2 ，再根据和差化积公式可知
2
cos2 cos2 sin + sin ，由此即可求出结果.
m cos2 cos2 1+cos 2 1+cos 2 【详解】由
2 2
1
cos 2 cos 2 sin + sin
2
所以 sin sin m .
故答案为： m .
16．（2021 春·高一课时练习）化为 Acos ， A 0 ， 0,2 的形式：
3 sin cos ___________.
【答案】 2cos 3
【分析】结合余弦的和差公式，即可求解.
1 3
【详解】解： 3 sin cos 2 cos sin 2sin
2 2
3
故答案为： 2cos 3
三、双空题
17．（2021 春·高一课时练习）计算下列三角比的值.
sin 75 __________； sin15 __________.
6 2 6 2【答案】
4 4
【分析】根据75 45 30 ,15 45 30 ,利用两角和与差的正弦公式转化为特殊角的三角函数计算.
【详解】 sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30
= 2· 3 2 1 6 2 · ；
2 2 2 2 4
sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30
= 2· 3 2·1 6 2 ；
2 2 2 2 4
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6 2 6 2
故答案为： ； .
4 4
18．（2021 春·高一课时练习）若 sin( ) 1， sin( ) 0，则cos sin __________，
sin( ) cos __________.
1
【答案】 1
2 2
【分析】利用正弦的和差公式展开，即可求解.
【详解】解： sin( ) sin cos cos sin 1①
sin( ) sin cos cos sin 0 ②
①+②得 cos sin
1
，
2
②-①得 cos sin
1
，故 sin( ) cos sin cos =
1
，
2 2
1
1故答案为： ；
2 2
四、解答题
19．（2022 春·上海虹口·高一上海财经大学附属北郊高级中学校考阶段练习）证明：
cos2 cos2
2 2 sin
2 sin2 ．
cot cot
【答案】证明见解析；
【分析】交叉相乘，结合平方关系，即可证明.
2
【详解】证明：只要证 cos cos2 sin2 sin2 cot2 cot2
2
cos2
cos2 sin2 sin2 cos cos
2
只要证 sin2 sin2
只要证 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2
只要证 cos2 1 sin2 cos2 1 sin2
只要证 cos2 cos2 cos2 cos2
得证.
20．（2021 春·高一课时练习）在VABC 中，已知C .
3
（1）若 a 2，b 3，求VABC 的外接圆的面积；
（2）若 c 2， sinC sin(B A) 2sin 2A，求VABC 的面积.
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7
【答案】（1） ；（2 2 3） .
3 3
【分析】（1）由余弦定理求得 c 7 ，利用正弦定理求得外接圆半径，进而计算外接圆面积；
（2）利用两角和差，二倍角公式整理化简已知等式，得到 cos A 0或 2sin A sin B ，然后分类研究三角形
的形状，并根据已知条件求得三角形的面积.
2 2 2 1
【详解】（1） c a b 2abcosC 4 9 2 2 3 7 ,
2
c 7c 7, 外接圆半径R ,
2sinC 3
2 7
外接圆面积为 R ;
3
（2）由 sinC sin(B A) 2sin 2A，C =p - ( A +B) ,
得 sin Acos B cos Asin B sin B cos A cos B sin A 4sin Acos A，
sin B cos A 2sin Acos A， cos A 0或 2sin A sin B ，
当 cos A 0时， A ,
2
C , Q B ,Q c 2, b 2 3 , S ABC 1 2 33 6 △ bc
；
3 2 3
当 2sin A sin B 时，由正弦定理得2a b ,
又Q C ,所以△ABC 为等边三角形，
3
由于 c 2
4
,所以 c2 a2 b2 2abcosC 5a2 2a2 4 2，所以 a ，3
2
S ABC= 1 absin C 3a 2 3所以 △ ；
2 2 3
所以VABC 2 3的面积为 .
3
2 2
21．（2021 春·高一课时练习）化简： cos cos
cos ．
3 3
【答案】0
【分析】利用“奇变偶不变，符号看象限”化简求值.
2 2 2 2
【详解】解：原式 cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3
cos 2cos 2 cos cos cos 0 .
3
故答案为：0.
22．（2021 春·高一课时练习）求函数 f (x) sin 2x cos 2x的最小正周期.
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【答案】T
【分析】利用辅角公式化简可得 f (x) 2 sin
2x ，再根据最小周期公式，即可求出结果.
4
【详解】因为 f (x) sin 2x cos 2x 2 sin 2x ，
4
2
所以函数的最小正周期为T .
2
23．（2021 春·高一课时练习）已知 2k (k Z)，求 ，并指出 角终边的位置．
3 2 2
k 【答案】 ,k Z ，终边在第一、三象限
2 6
【分析】直接运算求得 k ,k Z ，分 k 是奇数和偶数讨论终边位置.
2 6
【详解】∵ 2k (k Z)，∴ k ,k Z ，
3 2 6
当 k 是偶数时，角的终边在第一象限，当 k 是奇数时，角的终边在第三象限,
∴ 角终边在一、三象限.
2
3
24．（2021 春·上海·高一期中）已知 为锐角，且 cos .
5
（1）求 tan 的值；
4
（2）求cos
sin( 2 ) .
2
的值
44
【答案】（1） 7 ；（2） .
25
【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及两角和的正切公式求解即可；
（2）利用诱导公式和二倍角公式求值即可．
3
【详解】（1）因为 为锐角，且 cos .
5
sin = 1- cos2 4= tan sin 4所以 ，所以 ，
5 cos 3
tan tan
4 1
所以 tan 4 3 7 .
4 1 tan tan 1 4 1
4 3
（2）因为cos
sin ， sin( 2 ) sin 2 2 ，
所以cos sin( 2 ) sin sin 2
2
sin 2sin cos 4 4 3 44 2
5 5 5 25
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1 25 ．（2021 春·高一单元测试）已知 cos( ) 2 5 ， tan ，且 , 0, .
5 7 2
（1）求 cos2 sin2 sin cos 的值；
（2）求 2 的值.
11
【答案】（1） ；（2） .
10 4
【分析】（1）原式除以 cos2 sin2 ，分子分母再同时除以 cos2 即可得解；（2）由 cos( 2 5 ) 及二
5
倍角公式求出 cos2( )、 sin 2( )
1
，再由 tan 求出 sin 、 cos ，代入
7
cos(2 ) cos[2( ) ]的展开式即可得解.
cos2 sin2 sin cos 1 tan2 tan 11
【详解】（1）原式 ；
cos2 sin2 1 tan2 10
2 2 5
（ ）Q cos( ) 0且 (0, )，
0, 2
，则 sin( ) 5 ，
5 5
cos2( ) 2cos2 ( 4 3 ) 1 2 1 ，
5 5
sin 2( ) 2sin( 4 )cos( ) ，
5
1 0, Q tan ， 2
， sin 2 ,cos 7 2 ，
7 10 10
cos(2 ) cos[2( ) ] cos2( )cos sin 2( )sin
3 7 2 4 2 2
，
5 10 5 10 2
又 0,
0, 2 (0, )
2
， 2
，
2 .
4
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函
数值，重点考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.
【易错】
一．选择题（共 2 小题）
1．（2022 春 浦东新区校级期中）已知角 α 是第二象限角，且|cos |＝﹣cos ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【分析】根据 α 的范围判断出 的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正
二正弦三正切四余弦”再进一步判断 的范围．
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【解答】解：由 α 是第二象限角知， 是第一或第三象限角．
又∵|cos |＝﹣cos ，∴cos ＜0，
∴ 是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题的考点是三角函数值的符号判断，需要利用题中三角函数的等式以及角的范围和“一全正
二正弦三正切四余弦”，进行判断角所在的象限．
2．（2022 春 杨浦区校级期末）已知点 A 的坐标为（4 ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，
则点 B 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点 A 的坐标为（4 ，1），
∴设∠xOA＝θ，则 sinθ＝ ＝ ，cosθ＝ ＝ ，
将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，
则 OB 的倾斜角为 θ+ ，则|OB|＝|OA|＝ ，
则点 B 的纵坐标为 y＝|OB|sin（θ+ ）＝7（sinθcos +cosθsin ）＝7（ × + ）＝
+6＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的
关键．
二．填空题（共 4 小题）
3 ．（ 2022 春 浦 东 新 区 校 级 期 中 ） 已 知 ， 且 ， 则
＝ ．
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得 sinα 的值，在利用诱导公式对原式化简整理，把 cosα 和 sinα
的值代入即可求得答案．
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【解答】解：∵
∴sinα＝﹣ ＝﹣
∴原式＝ ＝ ＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．解题时注意三角函数的正负．
4．（2021 春 浦东新区校级期末）已知 α∈（0，π），且有 1﹣2sin2α＝cos2α，则 cosα＝ ．
【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．
【解答】解：由 1﹣2sin2α＝cos2α，得 1﹣cos2α＝2sin2α，
即 2sin2α＝4sinαcosα；
又 α∈（0，π），所以 sinα≠0，
所以 sinα＝2cosα＞0；
由 sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，
解得 cosα＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．
5．（2021 春 金山区校级月考）已知 sinα cosα＝ ，且 ＜α＜ ，则 cosα﹣sinα＝ ﹣ ．
【分析】根据 α 的范围，确定 cosα﹣sinα 的符号，然后利用平方，整体代入，开方可得结果．
【 解 答 】 解 ： 因 为 ， 所 以 cosα ﹣ sinα ＜ 0 ， 所 以 （ cosα ﹣ sinα ） 2 ＝ 1 ﹣ 2
＝ ，
所以 cosα﹣sinα＝﹣ ．
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意平方关系的应用，角的范围以及三角函数的符
号是解题的关键，考查计算能力，推理能力．
6．（2021 春 金山区校级月考）在△ABC 中，已知 ，则 AC＝ 1 或 2 ．
【分析】由已知中在△ABC 中， ，根据余弦定理 cosA＝ ，我
们可以构造一个关于 AC 的一元二次方程，解方程即可求出 AC 的长．
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【解答】解：∵在△ABC 中， ，
由余弦定理可得：
cosA＝
即 ＝
即 AC2﹣3AC+2＝0
解得 AC＝1 或 AC＝2
故答案为：1 或 2
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，其中根据已知条件，结合余弦定理，构造关于个关于 AC 的一
元二次方程，是解答本题的关键．
三．解答题（共 4 小题）
7．（2021 春 宝山区校级月考）已知 α，β 都是锐角，sinα＝ ，cos（α+β）＝ ，求 sinβ 的值．
【分析】由 α，β 都是锐角，得出 α+β 的范围，由 sinα 和 cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本
关系分别求出 cosα 和 sin（α+β）的值，然后把所求式子的角 β 变为（α+β）﹣α，利用两角和与差的正
弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．
【解答】解：∵ ， ，
∴ 0 ＜ α+β ＜ π ， ，
，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝ ．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解
本题的关键，同时注意角度的范围．
8．（2021 春 浦东新区校级月考）已知 sin（3π+θ）＝ ．
（1）求 cos2θ 的值；
（2）求 + 的值．
【分析】由已知求出 isnθ，然后了基本关系式以及诱导公式求值．
【解答】解：由已知 sin（3π+θ）＝ ，所以 sinθ＝﹣ ，
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（1）cos2θ＝﹣1sin2θ＝1﹣ ＝ ；
（2） +
＝
＝
＝ ＝ ＝32．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及基本关系式的混合运用；注意三角函数的名称以及符号．
9．（2021 春 静安区期中）已知函数 f（x）＝asinx+bcosx（a，b 为常数且 a≠0，x∈R）．当 x＝ 时，f（x）
取得最大值．
（1）计算 f（ ）的值；
（2）设 g（x）＝f（ ﹣x），判断函数 g（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】首先，根据已知得到 f（x）＝ sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到 a＝b，再化
简函数 f（x）＝ asin（x+ ），
（1）将 代入解析式求值；
（2）求出 g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．
【解答】解：由已知得到 f（x）＝ sin（x+θ），又 x＝ 时，f（x）取得最大值．
所以 a＝b，f（x）＝ asin（x+ ），
所以（1）f（ ）＝ asin（3π）＝0；
（2）g（x）为偶函数．
理由：设 g（x）＝f（ ﹣x）＝ asin（ ﹣x）＝ acosx，
所以函数 g（﹣x）＝g（x），为偶函数．
【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．
10．（2021 春 浦东新区校级月考）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通
风设施．该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB＝2 米，BC＝0.5 米．上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD
的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上
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下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆（MN 和 AB、DC 不重合）．
（1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积；
（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函
数 S＝f（x）；
（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．
【分析】（1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，MN 应位于 DC 上方，且此时△EMN 中 MN 边上的高
为 0.5 米，从而可求 MN 的长，由三角形面积公式求面积
（2）当 MN 在矩形区域内滑动，即 时，由三角形面积公式建立面积模型．当 MN 在半圆形
区域内滑动，即 时，由三角形面积公式建立面积模型．
（3）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确
取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
【解答】解：（1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，MN 应位于 DC 上方，且此时△EMN 中 MN
边上的高为 0.5 米，又因为 EM＝EN＝1 米，所以 MN＝ 米，所以 ，即三角通风
窗 EMN 的通风面积为
（2）当 MN 在矩形区域内滑动，即 时，△EMN 的面积 ；
当 MN 在半圆形区域内滑动，即 时，△EMN 的面积
综上可得 ；
（3）当 MN 在矩形区域内滑动时，f（x）在区间 上单调递减，则 f（x）＜f（0）＝ ；
当 MN 在半圆形区域内滑动， 等号
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成立时，
因此当 （米）时，每个三角形得到最大通风面积为 平方米．
【点评】本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了三角形面积公式，分段函数求最值以及基本
不等式法等解题方法．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·上海·高一专题练习）若函数 f (x) lg[sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x)]的定义域与区间[0,1]的交
集由n个开区间组成，则n的值为（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【答案】C
【分析】先求解函数 g(x) sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 在区间[0,1]的零点，将区间[0,1]进行分区，在每
一个区间内利用函数的图象研究函数 g(x)的正负，从而得出结果。
【详解】函数的定义域需要满足 sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，
可以先考虑 sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，
因为 x [0,1]
所以当 sin( x) 0 时， x 0或1；
当 sin(2 x) 0时， x 0 1或 2 或1；
当 sin(3 x) 0
1 2
时， x 0或 或
3 3
或1；
当 sin(4 x) 0
1 3
时， x 0 1或 或 2 或 或1； 4 4
这时区间[0,1]自然就被分为六个区间，分别为 (0,
1) (1 , 1) (1 , 1) (1 2 2 3 3， ， ， , )， ( , ) ， ( ,1)，然后对每
4 4 3 3 2 2 3 3 4 4
一个区域分析函数 y sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 的符号，
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1
根据图象可得，当 x (0, )4 时，
sin( x) 0， sin(2 x) 0， sin(3 x) 0， sin(4 x) 0，
所以 sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，故满足题意；
1 1
同理可得 x ( , )时， sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0，故不满足题意；
4 3
x 1 1 ( , )时， sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，故满足题意；
3 2
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x (1 , 2)时， sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，故满足题意；
2 3
x 2 ( , 3)时， sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0，故不满足题意；
3 4
x (3 ,1)时 sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 0 ，故满足题意.
4
故选：C
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题，考查了分类讨论的思想方法，还考查了函数 y sin( x)的图
象的画法。
二、填空题
a b
2．（2021 春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）设VABC 的内角 A、B、C 满足6cosC ，则
b a
cot A cot B 的最小值为________．
【答案】 2
【分析】首先利用基本不等式求得C
0,arccos
1 2 2 3
，再根据余弦定理变形得 a b c
2
，
3 2
将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为 cot A cot B 4cot C ，最后利用角C 的范围求最
值.
2 2
【详解】由题意得cosC
1 a b 1 1
C
6 ab 3
0,arccos
3
，
1 a2 b2 a2 b2 c2 3
另一方面，cosC a2 b2 c2 ，
6 ab 2ab 2
cot A cot B cos A cos B sinC c
2 1 2 a2 b2
sin A sin B sin Asin B absinC sinC 3ab
2
6cosC 4cot C 4cot arccos
1 2 C arccos 1 , A B
3sinC 3 ，当且仅当 时取到最小值 2 ． 3
故答案为： 2
3．（2021 春·上海·高一期末）设锐角 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 c 4， A 2C ，
则 ABC 的周长的取值范围为______________.
【答案】 8 4 2，12 4 3
【分析】根据锐角三角形的性质判断出30o C 45o，然后利用正弦定理将三角形 ABC 的周长转化为用
cosC 来表示，从而求得 ABC 的周长的取值范围.
【详解】由于三角形 ABC 是锐角三角形，所以0o A 90o，所以0o 2C 90o .
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B 180o A C 180o 3C ，所以0o 180o 3C 90o 30o C 45o .
a b c 4
由正弦定理得 ，可得
sin A sin B sin C sin C
a 4sin A 4sin 2C 8cosC ，
sin C sin C
4sin B 4sin 180o 3C 4sin 3C 4 sin 2C cosC cos 2C sin Cb
sin C sin C sin C sin C
8cos2 C 4cos 2C 16cos2 C 4 .
2
所以 a b c 16cos2 C 8cosC 16 cosC 1 1 .
4
由于30o C 2 45o，所以 cosC 3 .
2 2
1 2 2 3
而 y 16 cosC
1在
4
, 上递增，
2 2
2 2
16 2 1 1 8 4 2 ，16
3 1
1 12 4 3 ，
2 4 2 4
所以 a b c 的取值范围是 8 4 2，12 4 3 .
故答案为： 8 4 2，12 4 3
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理求三角形周长的取值范围，属于中档题.
4．（2021 春·上海·高一期末）已知 f x 是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x ，都有
f f x
3 2 17
x ，则 f log2 sin ______. 4 1 5 6
7
【答案】
5
【解析】根据函数解析式,利用换元法表示出 f x .结合函数的单调性,令 x t 代入后可求得 f x 的解析式.
17
结合三角函数的化简求值及对数运算将 log2 sin 化简,代入解析式即可求解.6
3 2
【详解】对任意实数 x ,都有 f f x 4x 1 5
令 f x 3 x t4 1
则 f t 2
5
因为 f x 是定义域为 R 的单调函数
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3
所当 x t 时,函数值唯一,即代入 f x x t4 1
3 2 3
可得 f t t ,即 t
4t 1 5 4t 1
3
化简可得 t t
2
,经检验可知 t 1为方程的解
4 1 5
y 3 2而 t 为单调递减函数, y t 为单调递增函数4 1 5
3 2
所以两个函数只有一个交点,即 t t 只有一个根为 t 14 1 5
所以 f x 3 x 14 1
而 log2 sin
17
log2 sin
5
log 1 1
6 6 2 2
17
所以 f log2 sin 6
f 1
3 7
4 1
1
1 5
7
故答案为:
5
【点睛】本题考查了复合函数解析式的求法,换元法求解析式的应用,三角函数化简及对数运算性质应用,属
于难题.
5．（2022 春·上海嘉定·高一校考阶段练习）下面这道填空题，由于一些原因造成横线上的内容无法认清，现
1
知结论，请在横线上填写原题的一个条件，题目：已知 、 均为锐角，且 sin sin ，______，则
2
cos 59 .
72
【答案】 cos cos
1
3
【分析】注意到 sin sin 2 cos cos 2 2 2cos ，将已知条件代入上式，求得 cos cos
的值，由此得出正确结论.
【详解】 cos cos cos sin sin 59 ， sin sin 1 ，0 ，
72 2 2
sin sin 2 cos cos 2 2 2cos 13 1 ，解得 cos cos .36 3
1
故答案为 cos cos .
3
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的余弦公式，考查三角恒等变换，考查
化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
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三、解答题
6．（2022 春·上海奉贤·高一校考期中）已知函数 f (x) | sin x | | cos x | (x R)，函数
g(x) 4sin x cos x k (x R) ，设F (x) f (x) g(x) .
（1）求证： 是函数 f（x）的一个周期；
2
（2）当 k=0 时，求 F（x）在区间 , 2
上的最大值；
（3）若函数 F（x）在区间 (0, ) 内恰好有奇数个零点，求实数 k 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 ；（3） k 1或 k 2 2或 k 2 2 .
【分析】（1）根据周期函数的定义进行证明即可；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可；
（3）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为 f (x ) | sin(x ) | | cos(x ) | | cos x | | sin x | f (x)，
2 2 2
所以 是函数 f（x）的一个周期；
2
（2）当 k=0 时，因为 x , 2
，
所以F (x) f (x) g(x) sin x cos x 4sin x cos x，
3
令 t sin x cos x 2 sin(x
) x , ，因为 ，所以 (x )
,
4 2 4 4 4
，
因此 sin(x
2
) ,1 ，即 t 1, 2 ，因为 t sin x cos x ，4 2
2
所以 t 2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x sin x cos x 1 t ，
2
h(t) t 1 t
2 1
因此有 4 2t 2 t 2，对称轴为： t ，
2 4
因为 t 1, 2 ，所以当 t 2 时，函数 h(t)max h( 2) 2 2 ，
即 F（x）在区间
, 上的最大值为 ；
2 2 2
（3）当 x
(0, ]时，
2
由F (x) f (x) g(x) 0可得： k sin x cos x 4sin x cos x，
令 t sin x cos x 2 sin(x
3
)，因为 x (0, ]，所以 (x ) ( , ]，
4 2 4 4 4
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sin(x 2
因此 ) ,1 ，即 t 1, 2 ，因为 t sin x cos x ，
4 2
2
t 2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x sin x cos x t 1所以 ，
2
2 1
因此 k K (t) t 1 t 4 2t 2 t 2，该二次函数的对称轴为： t ，
2 4
因此当 t 1, 2 时，该二次函数单调递减，所以
所以当 t 1时，即 k 1时，有一解，
当 t 2 时，即 k 2 2时，有一解，
当 t (1, 2)时，即 2 2 k 1时，有二解，
当 x (
, )时，
2
由F (x) f (x) g(x) 0可得： k sin x cos x 4sin x cos x，
x ( , ) (x ) ( , 3 令 t sin x cos x 2 sin(x )，因为 ，所以 ]4 ，2 4 4 4
因此 sin(x
) 2 ,1 ，即 t 4 2
1, 2 ，因为 t sin x cos x ，
2
所以 t 2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x sin x cos x 1 t ，
2
k G(t) t 4 1 t
2 1
因此 2t 2 t 2，该二次函数的对称轴为： t ，
2 4
因此当 t 1, 2 时，该二次函数单调递增，所以
所以当 t 1时，即 k 1时，有一解，
当 t 2 时，即 k 2 2时，有一解，
当 t (1, 2)时，即1 k 2 2时，有二解，
综上所述：当函数 F（x）在区间 (0, ) 内恰好有奇数个零点， k 1或 k 2 2或 k 2 2 .
【点睛】关键点睛：利用分类讨论思想，结合换元法是解题的关键.
7．（2021 春·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在非直角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .
（1）若 a c 2b，且B ，判断三角形 ABC 的形状；
3
（2）若 a c mb(m 1)，
A C m 1
（i）证明： tan tan ；（可能运用的公式有 sin sin 2sin cos ）
2 2 m 1 2 2
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cos A cosC (m)
（ii）是否存在函数 (m)，使得对于一切满足条件的 m，代数式 (m) cos AcosC 恒为定值？若存在，请
给出一个满足条件的 (m)，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
2m
【答案】（1）等边三角形；（2）（i）证明见解析；（ii）存在， (m)
m2
，证明见解析.
1
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
A C A C
（2）（i）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得 cos mcos ，再由三角恒等变换即可求证；
2 2
cos A cosC 2m
m2 1
（ii）根据三角恒等变换代数式可化为 2m 1，比较可知存在.
2 cos AcosCm 1
2 2 2 a c【详解】（1）由余弦定理得b a c ac，将b 代入得到 a c ，
2
所以VABC 为等边三角形.
（2）（i）由 a c mb a b c及正弦定理 sin A sin C msin Bsin A sin B sin C 得 ，
A C A C B B
所以 2sin cos 2msin cos ，
2 2 2 2
A C B
因为 ，
2 2 2
2sin B cos A C 2msin (A C) cos B所以 2msin
A C cos
B
2 2 2 2 2 2 2 2
，
cos A C有 mcos
A C
，由两角和 差的余弦公式可得
2 2
cos A cos C A sin sin C m cos A cos C sin A sin C mcos A cos
C
msin A sin C ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 m)sin A整理得 sin
C
(m 1)cos A cos C ，
2 2 2 2
故 tan
A tan C m 1 .
2 2 m 1
tan A tan C m 1 1 cos sin （ii）由 及半角正切公式 tan 可得
2 2 m 1 2 sin 1 cos
2
tan A tan C 1 cos A sin A 1 cosC sinC 1 cos A 1 cosC
(m 1)2
，
2 2 sin A 1 cos A sinC 1 cosC 1 cos A 1 cosC (m 1)2
展开整理得 4m 2 m2 1 (cos A cosC) 4mcos AcosC ，
4m 2 m2 1 (cos A cosC)
即 4m，
cos AcosC
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cos A cosC 2m
即 m2 1 2m ，
cos AcosC m2 1
cos A cosC 2m
m2 1 2m
即 2m 1，与原三角式比较可知 (m)存在且 (m) 2 .
2 cos AcosC
m 1
m 1
8．（2021 春·上海·高一专题练习）借助三角函数定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问
题.试解答下列问题.
1 3
（1）在直角坐标系中，点 A 3 , 12 2 ，将点
A 绕坐标原点O按逆时针方向旋转 到点 B ，如果终边
6
经过点A 的角记为 ，那么终边经过点 B 的角记为 .试用三角函数定义，求点 B 的坐标；
6
uuur uuur uuur uuur
（2）如图，设向量 AB (h,k) ，把向量 AB 按逆时针方向旋转 角得向量 AC ，试用 h、k、θ 表示向量 AC
的坐标；
（3）设 A(a,a)、B(m,n)为不重合的两定点，将点 B 绕点 A 按逆时针方向旋转 角得点 C.判断 C 是不能够
落在直线 y x 上，若能，请求出 θ 的三角函数值（正弦、余弦、正切不限），若不能，说明理由.
k k Z ,m n 2a
2,1 hcos k sin ,k cos hsin 【答案】(1) ；(2) ；(3) 2能，
k arctan m n k Z ,m n 2a
m n 2a
【分析】（1）计算出 OA 以及 sin 、 cos 的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得 cos 和
6
sin 6 ，进而可得点 B 的坐标；
uuur h k uuur
（2）记 AB r ， cos ， sin ，可得出 AC r cos , r sin ，利用两角和的正、余弦
r r
uuur
公式可求得向量 AC 的坐标；
（3）求得点C 的坐标，由点C 在直线 y x 上可得出 m n 2a sin m n cos ，分m n 2a 0与
m n 2a 0两种情况讨论，结合反三角函数可得出角 .
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21 3 2 1 3
【详解】（1）由于点 A 3 , 12 2 ，则 OA 3 1 5 ， 2 2
3 1 3
根据三角函数的定义可得 cos 2 2 15 5
1
， sin 2 15 2 5 ，
5 10 5 10
2 15 5 3 15 2 5 1 2 5
所以， cos cos cos sin sin ，
6 6 6 10 2 10 2 5
sin sin cos cos sin 15 2 5 3 2 15 5 1 5 ，
6 6 6 10 2 10 2 5
由旋转可知， OB OA 5 ，
所以，点 B 的横坐标为 xB OB cos 6
2，纵坐标为 yB OB sin 1，
6
因此，点 B 的坐标为 2,1 ；
uuur h uuur
（2）记 AB r ， cos ， sin
k
，则 AC r cos , r sin ，
r r
其中 r cos r cos cos r sin sin hcos k sin ，
r sin r sin cos r cos sin k cos hsin ，
uuur
因此， AC h cos k sin , k cos hsin ；
uuur
（3） AB m a,n a ，
uuur
由（2）可知 AC m a cos n a sin , n a cos m a sin ，
uuur uuur uuur
OC OA AC a m a cos n a sin ,b n a cos m a sin ，
即点C a m a cos n a sin ,a n a cos m a sin ，
由于点C 在直线 y x 上，
可得 a m a cos n a sin a n a cos m a sin ，
整理得 m n 2a sin m n cos .
①当m n 2a 0时，即当m n 2a 时， cos 0，此时 k k Z ；
2
m n m n
②当m n 2a 0时，即当m n 2a时，可得 tan ，此时， k arctan k Z .
m n 2a m n 2a
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k
k Z ,m n 2a
2
综上所述，
k arctan m n
.
k Z ,m n 2a
m n 2a
9．（2021·上海·高一期末）用 a,b,c分别表示VABC 的三个内角 A, B,C 所对边的边长， R 表示VABC 的外接
圆半径.
（1）R 2, a 2, B 45 ，求 AB 的长；
（2）在VABC 中，若 C 是钝角，求证： a2 b2 4R2 ；
（3）给定三个正实数 a,b, R ，其中b a ，问 a,b, R 满足怎样的关系时，以 a,b为边长， R 为外接圆半径的
VABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在VABC 存在的情况下，用 a,b, R 表示
c .
【答案】（1） c 6 2 （2）见解析（3）见解析
【分析】（1）先根据正弦定理得b ，再根据余弦定理求 AB 的长；
（2）先根据余弦定理得 a2 b2 c2 ，再根据正弦定理放缩证明结果；
（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求 c .
【详解】（1） 由正弦定理得b 2R sin B 2 2 2 2 2
2
b2 a2 c2 2ac cos 所以 8 4 c2 2 2c c 6 2 （负舍）；
4
（2） 因为 a2 b2 c2 2abcosC ， C 是钝角，
所以 a2 b2 c2 0 a2 b2 c2 (2R sin C)2 (2R)2 4R2
因此 a2 b2 4R2 ；
（3）当b 2R 时, VABC 不存在，
当 a 2R b时，VABC 不存在，
当 a 2R b时，存在一个VABC ，此时 A ,c a2 b2
2
当 2R a b时，存在一个VABC ，
2 2
此时 c 2a cos B 2a 1 sin2 B 2a 1 b 2 2a 1
a
2 ，4R 4R
当 2R a b时，存在两个VABC ，
cosC cos(A B) sin Asin B cos Acos B
当 A 为锐角时，
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a b a2 b2cosC sin Asin B 1 sin2 A 1 sin2 B 1 1
2R 2R 4R2 4R2
2 2 2 2 2 2 2 2
c a2 b2 2abcosC a2 b2 2ab ab 4R a 4R b a2 b2 ab[ab 4R a 4R b ]
4R2
2R2
当 A 为钝角时，
2 2
cosC sin Asin B+ 1 sin2 A 1 sin2 B a b + 1 a b
2R 2R 4R2
1
4R2
2 2 2 2
c a2 b2 2abcosC a2 b2 2ab ab 4R a 4R b
4R2
2 2 2 2
a2 b2 ab[ab+ 4R a 4R b ]
2R2
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
10．（2021 春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，某公司要在 A、B两地连线上的定点C 处
建造广告牌CD ，其中D为顶端， AC 长 35 米，CB长 80 米，设 A、B在同一水平面上，从A 和 B 看D的仰
角分别为 .
（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求 ，问CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？
（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 求CD 的长（结果精确到
0.01 米）？
【答案】（1） CD 28.28米；（2） CD 26.93米．
2 0 2 【详解】（1）由题得，∵ ，且 ， tan tan 2
2
CD
CD
40即 35 2 ，解得， CD 20 2 ，∴
CD 28.28米
CD
1
6400
由题得， ADB 180o 38.12o 18.45o 123.43o，
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∵ 35 80
AD
，∴ AD 43.61米
sin123.43o sin18.45o
∵ CD 2 352 AD 2 2 35 AD cos38.12o，∴ CD 26.93米
sin( ) cos(3 ) tan(2 )
11．（2021 春·高一课时练习）已知函数 f ( ) 2 2 .
tan( )sin( )
（1）化简 f ( ) ；
f ( ) f ( 1 ) 5 3 （2）若 ，且 ，求 f ( ) f ( )4 2 的值；2 8 2
（3）若 f (
) 2 f ( )，求 f ( ) f (
) 的值.
2 2
3 2
【答案】（1） cos （2） （3）
2 5
【详解】试题分析：
（1）利用诱导公式可化简；
（2）代入已知 f ( ) f (
) sin cos ，从而得 sin cos
1
，结合平方关系
8 sin
2 cos2 1可求得
2
sin cos 值；
（3）同样由诱导公式化已知为 sin 2cos ，代入平方关系 sin2 cos2 1可求得 cos2 ，也即得
f ( ) f ( ) sin cos 的值．
2
试题解析：
cos sin ) tan （1） f
cos
tan sin .
f 1 cos sin f f cos sin 1(2) ，因为2 2 ，所以 ，可得 2 8 8
sin cos 2 3 5 3 ，结合 ， cos sin ，所以 f f sin cos
3
.
4 4 2 2 2
f 1（3）由（2）得 2 f 即为 sin 2cos ，联立 sin2 cos2 1，解得 cos2 ，所以
2 5
f f sin cos 2cos2
2
.
2 5
点睛：诱导公式：公式一： 2k ，公式二： ，公式三： ，公式四： ，公式五： ，公
2
式六： ，这六公式可统一写成： k ， k Z，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．
2 2
12．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f (x) ，如果存在给定的实数对（ a,b），使得 f (a x) f (a x) b恒
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成立，则称 f (x) 为“S-函数”.
（1）判断函数 f1(x) x, f2 (x) 3
x
是否是“S-函数”；
（2）若 f3(x) tan x是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对 (a , b ) ；
（3）若定义域为 R 的函数 f (x) 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对( 0, 1)和 (1, 4) ，当 x [0,1]时， f (x)
的值域为[1, 2]，求当 x [ 2012, 2012]时函数 f (x) 的值域.
【答案】(1)是
f (x) tan x (2) 满足 3 是一个“S-函数”的常数（a, b）= k ,1 , k Z
4
(3) 2 2012 , 22012
【详解】解：（1）若 是“S-函数”，则存在常数 ，使得 (a+x)(a-x)=b.
即 x2=a2-b 时，对一切实数恒成立.而 x2=a2-b 最多有两个解，矛盾，
因此 不是“S-函数”.………………………………………………3 分
若 是“S-函数”，则存在常数 a,b 使得 ，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此 是“S-函数”………………………………………………………6 分
（2） 是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则 tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立.
当 a= k
,k Z 时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7 分
2
因此 ， ,
则有 .
即 恒成立. ……………………………9 分
即 ,
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当 , 时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足 是一个“S-函数”的常数（a, b）= .…12 分
(3) 函数 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对 和 ，
于是
即 ,
， .……………………14 分
.………16 分
因此 , …………………………………………17 分
综上可知当 时函数 的值域为 .……………18 分
13．（2022 春·上海闵行·高一校考期中）已知函数 y f x ， 若存在实数 m、k m 0 ， 使得对于定义
域内的任意实数 x ，均有 m f x f x k f x k 成立， 则称函数 f x 为 “可平衡” 函数， 有
序数对 m，k 称为函数 f x 的 “平衡” 数对;
(1)若 f x x2 ， 求函数 f x 的 “平衡” 数对;
(2)若 m 1， 判断 f x cosx 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由;
(3)若 m1、m2 R
m m 2
2 2
， 且 1，2
、 2， 均为函数 f x cos x 0 x 的 “平衡” 数对， 求 m1 m 4 6 2
的取值范围.
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【答案】(1) 2,0 ；
(2)是“可平衡” 函数，理由见解析；
(3) 1,
20
9
.
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) m 1时,判断 cos2 x= cos x k 2 cos x k 2 是否存在 k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将m1,m2 用关于 x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
(1)
根据题意可知,对于任意实数 x , mx2 = x k 2 x k 2 2x2 2k 2 ,
即mx2 2x2 2k 2 ,即 m 2 x 2 2k 2 0 对于任意实数 x 恒成立,
只有m 2 , k 0 , 2故函数 f x x 的“平衡”数对为 2,0 ,
(2)
若m 1,则m f x cos x ,
f x k f x k cos x k cos x k 2cos x cos k ,
要使得 f x 1为“可平衡”函数,需使 1 2cos k cos x 0对于任意实数 x 均成立,只有 cos k ,
2
此时 k 2n
, n Z ,故 k 存在,所以 f x cos x 是“可平衡”函数.
3
(3)
m1 cos
2 x cos2 x 2 cos x ,所以m1 cos
2 x 2sin2 x ,
2 2
m cos2 x cos2 x cos2 2 x ,所以m
2
4 4 2
cos x 1 ,
0 x , 2 2由于 所以m1 2 tan x , m2 sec x ,6
2
m2
2
1 m
2 1 tan22 x 4 tan4 x 5 2tan2 x 2 tan2 x 1 5 tan2 x 1 4 ,
5 5
0 x 1 1 1由于 ,所以0 tan2 x 时, tan2 x
8
,
6 3 5 5 15
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2
1 5 tan2 x 1 4 20 ,
5 5 9
20
所以1 m2
20
1 m
2
2 , m
2
即 1 m
2
2
1, .
9 9
【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，
即可解决问题.
14．（2021 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如果对于三个数 a、b 、 c能构成三角形的三
边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数” a、b 、 c，如果函数 y f (x) 使得三个数 f (a) 、 f (b)、
f (c)仍为“三角形数”，则称 y f (x) 为“保三角形函数”.
（1）对于“三角形数” 、 2 、 ，其中 ，若 f (x) tan x ，判断函数 y f (x) 是否是“保三角
4 8 4
形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数” 、 、
7 ，其中 ，若 g(x) sin x ，判断函数 y g(x) 是否是“保
6 3 6 12
三角形函数”，并说明理由.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.
【分析】（1）取 ，分别求得 f ( ), f (2 ), f
6
4
，由此可得 f ( ) f (2 ) f ，故函数
4
f (x) tan x 不是“保三角形函数”；
5 5 7
（2）分 ， ， 三种情况均可证得 g( ), g , g
6 4 4 12 12 12 6
能构成三角形
3
的三边，故函数 g(x) sin x 是“保三角形函数”.
【详解】（1）因为 ，取 ，
8 4 6
3
3 f tan
1
则 f ( ) tan ， f (2 ) tan 3 ，
3 2 3 ，
6 3 3 4 4 6 1 3
3
f ( ) f (2 ) f 显然 ，即 f ( ), f (2 ), f
不能构成三角形的三边，
4 4
故函数 f (x) tan x 不是“保三角形函数”.
5 7
（2）①当 时， ，所以 sin
最大.6 4 6 6 12 2 3 12 3
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g( ) g g sin sin
sin
6 3 6 3
3 1
sin 3 1 cos 2 6 2 sin
6 2
cos
2 2 4 4
2 cos
sin sin cos 2 sin
12 12 12
,
由
得 ，所以 sin
0，
6 4 12 12 6 12
g( ) g g g( ), g , g 故 ，即
能构成三角形的三边；
6 3 6 3
5 5 7 3 ②当 时， ，所以 sin
最大.
4 12 6 12 6 12 3 4 6
g( ) g g
sin
sin
sin
3 6 3 6
3 3
sin 3 1 cos
2 2
5 由 得 sin 0， cos 0，
4 12
故 g( ) g
g ，即 g( ), g
, g
能构成三角形的三边；
3 6 6 3
5 7 5 7 11 ③当 时， ，所以 sin 最大.
12 12 12 12 6 3 12
g
g
g( ) sin
sin sin
6 3 6 3
3 1 sin 3 1 cos 2 6 2 sin 6 2
cos 2 2 4 2
2 sin sin cos
cos 2 cos ,
12 12 12
5 7
由 得
，所以 cos 12 12 3 12 2 12
0，
g g 故 g( ) g( ), g
，即 , g 能构成三角形的三边；
6 3 6 3
综合①②③可知，函数 g(x) sin x 是“保三角形函数”.
5 5 7
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分 ， ， 三种情况证明
6 4 4 12 12 12
g( ), g , g 能构成三角形的三边.
6 3
15．（2022 春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考阶段练习）对于集合 A 1, 2 ,L , n 和常数 0，定义：
cos2
1 0 cos
2 2 0 L cos2 n 0 为集合 A 相对的 0的“余弦方差”．n
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（1）若集合 A ,3 4
， 0 0，求集合 A 相对 0的“余弦方差”；
A 2 （2）判断集合 , , 相对任何常数 0的“余弦方差”是否为一个与 0无关的定值，并说明理由；
3 3
（3）若集合 A , , ， [0, ) ， [ ,2 )，相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 无关的定值，
4 0
求出 、 ．
7 23 11 19
【答案】（1 3 1） 8 ；（2）证明见解析；定值 ；（3） , 或 , 2 .12 12 12 12
【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】（1）因为集合 A , ， 0 0，
3 4
cos2 cos2 1 1
所以 3 4 4 2 3 ；
2 2 8
cos2 0 cos
2 2
0 cos
2
（2）由“余弦方差”的定义得： 0 ， 3 3
3
cos
2 2
cos 0 sin
sin 0 cos
2 cos 0 sin
2 sin 0 cos cos 0 sin sin
2
0 ，
3 3 3 3
3
2 2
1
cos
3 1
0 sin 0 cos
3
0 sin 2 2 2 2 0
cos2 0
，
3
1 cos2 30 sin
2 0 cos
2
2 2 0 1 .
3 2
所以
1
是与 0无关的定值. 2
cos2 2 0 cos 0 cos23 “ ” 0 （ ）由 余弦方差 的定义得： 4 ，
3
2
cos
cos 0 sin sin
0 cos cos 0 sin sin
2
0 cos cos sin sin
2
4 4 0 0 ，
3
1
(1 cos2 0 cos 0 sin
1
0 sin
2 0，3 2 2
cos2 cos2 0 2cos cos 0 sin sin 0 sin
2 sin2 0，
cos2 cos2 0 2cos cos 0 sin sin 0 sin
2 sin2 0 )，
1
[(1 cos2 cos2 ) cos2 0 (
1
sin2 sin2 )sin2 0，3 2 2
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(1 sin 2 sin 2 ) cos 0 sin 0 ]，
1[(1 1 cos 2 1 cos2 cos2 ) 0 ( sin2 sin2 )1 cos 2 0 ，
3 2 2 2 2
(1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ]，
2
1[(cos2 cos2 sin2 sin2 ) cos 2 1 0 (1 cos2 cos2 ) 1 (1 sin2 sin2 ) ，
3 2 2 2 2 2
(1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ] ,
2
1
[(cos 2 cos 2 ) cos 2 0 3 (1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ]，
3 2 2 2
cos 2 cos 2 0要使 是一个与 0无关的定值，则
1 sin 2 sin 2 0
，
因为 cos 2 cos 2 ，所以 2 与 2 的终边关于 y 轴对称或关于原点对称，
又 sin 2 sin 2 1，
所以 2 与 2 的终边只能关于 y 轴对称，
cos 2 cos 2 0
所以 1 ，
sin 2 sin 2 2
因为 [0, ) ， [ ,2 )，
2 7 2 23 当 时， ，
6 6
2 11 2 19 当 时， ，
6 6
7 23 11 19
所以 , 或 , 时，
12 12 12 12
相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.
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